장음표시 사용
231쪽
1 io Curvi ac recti proportio promota
Ducatur recta MC. Vtcumque quae diuidatur in B. extrema ac media ratione , seu quod idem est, Vt Ris multis usurpatur pr portionaliter: eademque diuisa bifariam in G.describatur semicirculus MEC. ad quem ducatur eX B. perpendicularis BE.secans semicirculum in E. connectatur ME. CE.
EA. Dico triangulum ACE. esse IsosceleS , cuius late ra EC. AC. sunt aequalia,& latus AC. perpendiculari EB. sectum est proportionaliter. Quoniam aequales sunt positae BC. MA. addita communi AB. aequales huius. erunt MB. AC. ipsi autem MB. est aequalis EC. Igitatur etiam ipsi AC. est aequalis EC. Triangulum ergo I sceles est ACE. sed MB. est maius segmentum lineae MC. proportionaliter stetie et igjtur etiam AC. est maius segmentum lineae M C. proportionaliter sectae , sed schol. s. re.BC. est minus segmentum: ergo CA. secta est extrema ac media ratione , seu proportionaliter in B. cuius maius segmentum BC. minus BA. Quare triangulum Iso- sceles descripsimus &c. Quod erat faciendum.
232쪽
S in triangulo oxygonio ex singulis angulis ad
latera opposita perpendiculares ducantur: rectangula sub lateribus aut perpendicula- aribus ac segmentis in idem anguli punctuin desinentibus . item sub perpendicularium segmentis contenta: denique ea quae sub laterum segmen
tis & ijs quae sub perpendicularibus ex opposito
angulo in latus cadentibus , εἴ segmento perpen dicularis inter punctum concursus, & latus contento comprehenduntur rectangula aequalia sunt.
SIT triangulum Oxygonium ABC.ex cuius singulis an-- gulis demittatur ad opposita latera perpendiculares AD. BE. CG. quae quidem omnes sese intersec bunt in uno puncto F. ut primo a Pappo Alexandrin' demonstr tum est lib. 7. collect. Mathemat. Proposit. R o. hinc fusius a Ior millo Glorioso, G
o rectangula ABG. CBD. EBF. lateribus AB. CB. perpendicularique EB. ac segmentis GB. DB. FB. in idem anguli punctum B. desinentibus contenta inter se esse aequalia : item rectangula BAG. CAE. DAF. ijsdem lateribus ac segmen- , tis GA. EA. FA. in punctum A.desinentibus comprehensa, ad haec rectangula BCD. GCF. ME. in punctum. C. desinentia
233쪽
1 Curui ac recti proportio promota.
nentia inter se esse aequalia :In se per rectangula BFF. DFA CFG. quae segmenta perpendicularium continent, iudem inter se esse aequalia. Denique rectangulum CDB. rectan
gulo ADF. & BGA. ipsi CGF.& AEC. ipsi BEF.esse aequale . Nam quoniam in quadrilatero AGFE. anguli oppositi
3 G. E. sunt recti erit spsum in circulo:atque eandem ob causam quidi i latera BGFD. DFEC.erunt in circulo. Circuiu- scribantur igitur illis circuli AGFE. BGFD. DFEC. transibunt primus & secundus per eadem puncta G.F. secundus& tertius per eadem puncta F. D. primus & tertius per eadem F. E. Quare cum linea AC.GC. siccent cundem circu- tum AGFE erunt rectangula ACE. GCF. aequalia Ilcm , quia rectae GC. BC. secant eundem circulum GBDF. in puctis F. D. erunt rectangula sub GCF. BCD. inter se aequa- . lia:quare & aequalia erunt rectangula ACE. BCD. Eodem modo ostendemus B AG. DAF. CAE. inter λ, item CBD. EBF. ABG. rectangula esse aequalia. Praeterea cum aequiangula sint triangula CFE. BFG. ob angulos rectos ad E. G.& aequales ad vertitem F. erit ut . CF. ad FE. ita BF. ad FG. Quare rectangulum C FG. erit aequale rectangulo BFE. & quia aequiangula sunt triangula FEA. FDB. ob eandem, causam erit rectangulum BFE. a'- quale rectangulo DFA. & ipsi CFG. . Denique quoniam aequi angula sunt triangula DAC FAE. ob rectos ad D. E. & comunem A. item triangulata. FAE. FBD. ob rectos ad D. E. & aequales ad verticem F, aequiangula erunt triangula CDA.. FDB. Quare erit Ut CD. ad DA. ita FD. ad DB. ergo rectangulum CDB. rectangulo ADF. aequale est. Rursus quia sunt aequi angula CGB. CDF. ob comunem angulum ad C. & rectos ad D. G. item triangula FDC. GFA. ob rectos ad D. G. & aequa les ad verticem F.etiam aequiangula erunt triangula CGB. GFA. ideoque erit ut CG. ad BG. ita AG. ad GF. ergo rectangula CGF. BGA. sunt aequalia. Tandem eodessa mo
do ex eo quod triangula CEB. EAp. sint aequi angula inte
234쪽
HIc habes quatuor coniugationes ubi terna inteγη , se
unam ubi terna ternis rectangula aequalia sunt ό qkam propiationem non tantum triangulo aequiorari aptavimus De Pappus M. I. Cotti Math: Theor. r. adpropositionem a I. sed etiam Faleno tam ac ut angulo, quam oli angulo; nec unum rantum cassum , quod ille .sed ad ocudecim demonstra ionc haud admodum longiore , certe mAlto faciliore complexi sumus. mod se in superiori figura triangulum ABC. circulo comprehendamus , ac perpendiculares AD. BE. CG. in circumferentiam usque producamus In ρAncta I. H. K. erum earum partes extra triangulum, partius intra triangulum latere ac puncto concurses definitae aequales ' nempe DI. Vsi DF. HE. , EF. olΚG. i GF, nam rectangulo CDB. ossensum ea quale rectangulum ADF. se eidem rectangulo CDB. aquale eris rectangulam ADI. aequalia igitur sunt rectangula ADF. I. asae adeo aequales DF. DI. atque eodem modo pνoba-Hῆμ' ' bilar aequales esse reliquas . .
SI ex trianguli Isescelis singulis angulis per
pendiculares secent opposita latera extrema ac media ratione; rectangulum sub latere ac maiori segmento, aequale est quadiato perpendicularis in latus cadentis.
SIT triangulum I sceles IBM. cuius latera IB. MB. aequalia, ex cuius angulis emittantur ad opposita latera perpendiculares I P. MV. &ad basim ipsam perpendicularis BF. quae transibunt omnes per unum punctum R. Vt si pra
235쪽
xi Curui ac recti proportio promota.
pra probatum est secentur autem latera in punctis V. P. extrema ac media ratione sutq; segmenta maiora BV. Briminora VI. PM. Dico rectangulum IBV. Quadrato IP.esse aequale. Nam quadratum BI. aequale est rectangulis IBV. BIV. Item quadratis BP. PI. Igitui duo triangula IBV. BIV. aequalia sunt duobus quadratis BP.PI. Rectangulo autem BIV. aequale est quadratum BV. nam cum diuisa sit BI. proportionaliter in V. cuius Τmaius segmentum BV. erit ut IB., ad BV.ita BV. ad VI ideoque rectangulum BIV. quadrato. BV. aequale est igitur rectangulum IBV. & quadratum BV. sunt aequalia quadratis BP.PI. Quadratum autem BV. est aequale quadrato BP. nam cum aequales sint BI. ΒΜ.& aequaliter diuisae, erunt BV. BP.aequales si igitur eX ae- . qualibus , rectangulo IBV. cum quadrato BV. & duobus quadratis BP. PI. aequalia demantur quadrata BV. BP. te- manent aequalia rectangulum IBV.& quadratum PI. Quod
SI ex trianguli Isoscetis angulis perpendiculam
res secent opposita latera proportionaliter :Quadrata lateris, perpendicularis ad basim, perpendicularis ad latus, erunt in proportionalitate Arithmetica, quorum differentia quadratum dimidiae basis;& ordine eandem habebunt rationem, quam latus, composita ex maiori segmento cur 'dimidio minoris, & maius segmentum . .
236쪽
SIT: triangulum aequicrure IBM. cuius nIatera aequalia IB. MB. basisIM .cx cuius angulis ad opposita latera, ad basim ductae sint perpendiculares I P. MV. BF. secantes se in puncto R.ex dictis proposit. 13. huius,& latera in punctis V. P. ita ut rectar IB.MB. sectae sint proportionaliter in V. P. Sintq; BV. BP. maiora segmenta. VI. PM, minora, & PA. dimidium segmenti minO- iris. Dico quadrata rectarum B I. BF. I P. Fesse in proportionalitate Arithmetica , cuinius excessus sit quadratum I F. Et esse, ut quadratum BI. ad quadratum BF. & quadratum BF. ad quadratum I P. ita la- 'tus MB. ad rectam AB. compositam ex AP. medictate sese menti minoris, cum PB. segmento maiori, & hanc ad maius segmentum B P. Connectatur AF. Quoniam PM. ex hypothesi, diuisa s l. s. 1
est bifariam in A. &IM. bifariam in R erit ut M A. ad AP.
ita MF. ad FI. ideoque parallelae erunt AF.PI. Rursus qua- dratum IB. excedit quadratum B F.quadrato I F. Cum vero quadratum BF. sit aequale duobus rectangulis FB R. BFR. sit autem rectangulum FBR.aequale rectangulo IBV.cX I3. huius. huius, &rectangulum IBV. quadrato I P. ut supra propo-st. I . probatum est, excedet quadratum BF. quadratum γε huius.
I P. rectangulo BFR. idest quadrato I F. quod paulo ante . . . probatum est esse aequale rectangula BFR. Igitur Quadrata 'i 'φμΤ'ta Bl. BF. I P. sunt in proportion alita te Arithmctica, quorum disserentia quadratum IF. Quod prius probandu erat. Praeterea cum aequiangula sint triangula IBF. FBA. ob angulos rectos ad FA.& aequales IBF. FBA. erit ut IB. BF. ita BF. ad BA. igitur est ut IB. idest MB.ad BA.ita quadratum IB.id est MB. ad quadratum B F.& conuertendo. Ite quonia est,ut BI.ad I P. ita I P. ad PB. ut supra ostensum est, ἡ erit ut IB. seu MB. ad PB. ita quadratu IB. seu MB. ad qua ''φ' .dratum IP. Quare ex aequalitate , erit etiam ut recta AB.ad
237쪽
11 c Curui ac recti proportio promota .
re stam BP. ita quadratum BF. ad quadratum IP. Igitur quadrata BI. BF. I P. se habent utre, MB. AB. PB. Quod
secundo loco ostendendum erat.
THEo REM A XIII. PROPOS. XVI. SI ex trianguli Isoscetis angulis pcrpendicula
res secent opposita latera proportionaliter :erit ut latus Hexagoni ad latus decagoni, ita latus ad maius segmentum s ut vero latus quadrati ad latus Hexagoni, ita maius segmentum lateris, ad segmentum basis; & ut latus quadrati ad latus decagoni, ita latus ad segmentum basis; denique ut latus Hexagoni, ad latus quadrati , ita maius segmentum laterio ad totam basim .
SINT in eodem triangulo IBM.Isoscete ex angulis se cta latera proportionaliter, modo saepe superius inculcato. Dico esse ut latus Hexagoni ad latus Decagoni, ita IB. ad BV. & ut latus qua- drati ad latus Ι cxagoni, ita BV. ad I F. &vt latus quadrati ad latus decagoni ita BI. ad IF. denique ut latus quadrati ii ad latus Hexagoni,ita I M. ad B V. Ac primum quidem aio r Q . ctam IB.ad segmentum maius 1 rationem habere quam latus Hexagoni ad latus Decagoni. Nam si componantur in v-s nam lineam rectam IB.BV.tota re sta secundum extr
238쪽
mam ac mediam rationem secabitur in B. eritque IB.maius segmentum, BV. minus ; quare si IB. ponatur latus Hexa stipi-9- 3 goni, crit BV . latus decagoni habcbuntque hae recta ratio- nem , quam latus HLXagoni ad latus Decagoni .
i Secundo, centro F. distantia FM. FI. describatur circulus secans B. F. in X. & connectatur IX. Cum quadratum . VB. sit aequale rcet ingulo BIV. vi Iq. huius probatum cli &hoc reet ingulo M IF ex Igi huius , rectangulum autem MI F. duplum est quadrati IF. erit quadratum B V. duplum quadrati I F. est autem & IX. duplum quadrati I F. aequalia igitur sunt quadrata , itemque latera VB. IX. sed IX. in circulo MXI. est latus quadrati,IF. latus Hexagoni , Igitur ut IX. latus Quadrati , ad IF. latus s. 4.Ηexagoni, ita B V. ad IF. Coro Tertio , Assumatur linea o. aequalis ipsi BI. & P. ipsi IF. R duar R. aequales ipsis B V. XI. fiatque ut O. ad P. ita seu R. ad S. statuaturque ipsa BI. seu O. semidiametet cit culi , circa ipsaira descripti,seu latus HeXagoni,k IF.seu P.s midiameter circuli MXI. &BV. seu Qaatus decagoni respcetu semidiametri IB. quod paulo ante probatum est; & IX. seu R. latus quadrati in circulo MXI. Quoniam faetiim est ut O. ad P. ita in ad S. crit permutando, Vt O. ad la P. ad S. o P Q sed O. ad inrationem habet quam latus HeXagoni ad latus Decagoni, ut modo probatum est , igitur P. ad S. rationem habebit, quam latus Hexagoniad I
239쪽
LLI Curui ac recti proportio promota.
tus decagoni, eritque S. in circulo cuius semidiameter est I F. seu in circulo MXI. latus decagoni in quo etiam rectata. R. st IX. est latus quadrati. Sed ut Q. ad S. ita R. ad S. cum aequales sint QR. habet autem R. ad S. rationem , quam latus Quadrati ad latus decagoni , & vi R. ad S. ita posita est O. ad P. idest BI. ad I F. igitur ut latus Quadrati ad latus Decagoni ita O. ad P.seu BI.ad I P.
'' tum B IV.quadrato BV. erit rectangulum MIF.aequale quar. 6. drato BV. ideoque totum quadratum M I. duplum quadrati BV. Duplum autem est quadratum lateris quadrati, quadrato lateris Hexagoni. Igitur ut latus inadrati ad latus Hexagoni, ita IM. ad B V. Quae omnia fuerunt demonstranda.
IIsdem positis Basis ad minus segmentum la
teris ; item maius segmentum perpendicularis lateris ad minus perpendicularis balis; d nique marus segmentum perpendicularis basis, ad minus perpendicularis lateris habent rationem . quam latus Quadrati ad latus Decagoni.
In sigura superiori. Dico basim MI. ad minus segmentum lateris IV. Item maius segmentum I R. perpendicularis lateris, ad RF. minus segmentum perpendicularis basis: denique BR. maius segmentum perpendicularis basis ad K L minus segmentum perpendicularis lateri S, ration cuia habere quam latus quadrati ad latus Decagoni. Similia . sunt triangula BIF. IMP. ob rectos ad F. & P. & aequales ad I. M. item triangula IMP.IRF.Ob communem anguinin
240쪽
ad I.&rectos ad FP. denique triangula IRF. BRP. ob aequales ad verticem R. & rectos ad P. F. vi igitur BI. latus quadrati ad I F.latus Decagoni ut in propositione demo stratum est ita I M. ad MP. & IR. ad RF. & BR. ad RP. Quod fuit probandum .
pendicularis basis B R. ad maius perpendicularis latcris RI. rationem habere quam latus quadrati ad latus Hexagoni.
Cum enim paulo ante in prop. I .huius ostensa sint sinilia triangula IF R. BPR. item similia etiam sint triangulet . BPR. BVR. ob aequales angulos ad B.& rcctos ad PV.erit igitur ut VB. ad BR. ita FI. ad I R.& permutando ut VB.ad IR ita BR. ad I R. sed VB. ad I F. probata est in prCpositione i6. habere rationem quam latus quadrati ad latus D cagoni : igitur ut latus quadrati ad latus P cxagoni, ita BR. adll . Quod fuit d monstrandum.
IN triangulo I sestele ex cuius angulis perpen
diculares secant opposita latera proportionaliter si etiam perpendiculares laterum sese proportionaliter secant, maiusque segmentum est ab angulo ad punctum contactus. SIT rursus triangulum I sceles IBM. quale propositum est , ac superioribus propositionibΗs descriptum