장음표시 사용
241쪽
F13o Curvi ac recti proportio promota.
Dico tam I P. quam MV. 'perpendiculares secari propo tutan tionaliter in puncto R. maiust que segm eutum esse IR . minus . RP. item maius M R. minus RV. Nam cum Lehi prima I M. cum secunda MB. angulum ad M.&ab extremitatibus primae, & secundar I. B. duciar sit I P. BF. tertia & quarta concurrerite in R. puncto, & secantes opposita BM. in P. IM. bifariam in F. erit per. 19. huius ut MB.'ad BP. id est ut BP. ad PM. ita I R. ad RP. sed BP. cst maius segmentum itineae proportionaliter scetur,l M. minus. Igitur etiam IR. est maius segmentum,RP.minus lineae IP.proportionaliter
S I in triangulo Iso scele ex cuius angulis pe
pendiculures secant opposita latera propo tionaliter, segmen in in minus perpendicularis ad basim duplicetur; secabitur aggregatΠm perpendicularis & minoris segmenti in puncto concursus proportionaliter, cuius minus sἡgmentum. erit duplum minoris segmenti maius . maius segmentum perpendicularis.
SIT iterum triangulum I sceles quale saepe superi ribus propositionibus delincatum est.' Producatur perpendicularis basis BF. in G. sintque RF. FG. aequales. Dico
242쪽
231BG. sectam .esse in R. proportionaliter,cuius minus segmcntum . GR. maius RB. Nam quia ex 18. propositione terib huius est ut M P. ad PB. ita FR. ad medietatem ipsius RB. erit ut M P. ad PB. ita duplum FR. videlicet tota RG. ad totam I B. scista est autem MB. in P. proportionaliter, ex hypothesi, cuius ininus segmentum MP. maius PB. Igitur&GB. secta eli propo monaliter in R. cuius minus segmentum G R. maius RB. sed erat demonstranduim.
. SI triangulum Isi,seeles quod superiori pr-sitione IBM. &producta FG. sit aedualis segmento VR: &
conlaccta tui I G. item PV. 1 ecans BF. in H. Cum sint mutem BI. pata telae erunt M F. PH.& x t BI. ad PM. ita ΒΗ. ad FIR ideoque cum BM. sit secta piraportionalirer in P. sitque maius segmentum BP. minus PM. erit BF. sccta proportionaliter in H. maius. que segmentum ΒΗ. minus HF. Dico HG. esse medietatem ipsius BG. aut aequalem ipsi HB. Cum enim PR. acl RF. rationem habeat quam latus quadrati ad latus Hexagoni, erit quadratum P R. duplum quadrati RF.sed
THEOREM A XVIII. PROPOS. XXI. IN li i angulo Isis scele ex cuius angulis perpen
diculates secant opposita latera proportion liter : medietas aggregatI ex perpendiculari ad basim & minori eius segmento est aequalis in tori segmento ei uidem perpendicularis proporti naliter sectae.
243쪽
23 a. Curui ac recti proportio promota .
etiam rectangulum GRF. est ' β' duplum quadrati R F. igitur aequale est quadratum PR.r . G rectangulo GR F. ergo ut GR. ad RP. ita RP. ad RF. aequi- si angula igitur sunt triangula 4. s. GR P. PRF. vi igitur PR. ad RF. ita GR. ad RP. sed PR. - δέ huius, ad RF. rationem habet quam latus Quadrati ad latus Heaxagoni igitur GR. ad RP. rationem habet quam latus Quadrati ad Iatus Hexagoni,11. huius. ut vero latus inadrati ad latus Hexagoni ita BR. ad RI. Vt igitur GR. ad RP. ita BR. ad RI. sed & aequalis est angulns ad verticem R. aequiangula igitur sunt trian-,j. i. gula GR P. BRI, atque adeo angulus PGR. aequalis angulo IBR. id est RBM. parallelae igitur sunt PG. BI. &ε i. aequalis PB. seu BV ipsi FG. ergo & parallela VG. ipsi defiti. s. i. BM- & parallelogrammum est B FGV. in quo se diametri PV. BG. bifariam secant in H. est igitur BH. aequalis HG. Quod erat demonstrandum.
HInc confrat punctum II. Ne censrum circuli circo triangulum BIM. desiripti , atque eundem circulum transire per Auncrum G. Nam quod centram circuli aecto triangulo circa cripti su in ricta CB. patet ex Corollario primae tertij : Euod in puncto H. connat quia ricta BG. diuisa eubifariam in H, Euod circulus transat per. G. eodem modos batur quia ex proposimone , HB. HG. sent aequales, .
244쪽
LIBER ills. MATHEOREMA XIX. PROPOS. XXILIIsdem positis. Dico aggregatum BG. ex pe
pendiculari BF. ad basim,&minori segmento FR. id est FG. seu diametrum circuli circu- scripti triangulo BIM. ad maius segmentum perlinendicularis ad latus IR. rationem habere quantiatus Quadrati ad latus Decagoni, iNam si connectatur MG.erit angulus BMG.reetiis;rectius autem est etiam MFG.Igitur ut BM.ad MF.id est latus quadrati ad latus Decagoni, ita BG. ad GM. id est m. ad MR. 8. s. nam cum duo triangula MFG. MFR. haberat duo latera in huiu MFG. MFR. aequalia circa angulos ructos ad F. erunt bases MG.MR. aequales Quod Gaz 4. I.
SVper data basi triangulum Isosceles describsre, ex cuius angulis perpendiculares secent opposita latera, in quae incidunt,proportio
naliter. SIT data in secunda figura basisIM. super qua Oportet constituere triangulum isosceles ut proposi tum est. Primo sit constructum triangulum BIM. in prima figura, nulla data determinata linea , per Ia. huius, in quo perpendiacularcs MV. JP. secent opposita latera proportionali ter, sintq, delineata ea quae I . huius dicta sunt. Hinc in secunda figura diuidatur IM. bifariam in F. & centro F.distantia FM. descriptus sit circulus lXM. & fiat ut latus quadrati circulo inscriptita lis ad latus Mogoni ita JM. ad MP. quae MP.in circulo qptetur ex puncto M.quae producta secet ductam ad I M. perpendicularemFB. in B. secabaautem CD 13. pron. Quod annulus BFM. di acinia .mmores sim duobus
245쪽
in R.per quod trast & perpendicularis FB. Dico in secunda figura constitutuella super basi data IM. triangulum I sceles IBM. in quo perpendicularcs MV. I P. secant oppossita latera BI. BM. proportionaliter. Cum .enim triangula IMPA MF.habeant angulum communem ad M. & rectos ad F. P. cnim BF. perpendicuIaris ad I M. & IPM.in semicireulo rei hirs crura t. a quiangula: igitur ut I M. id est latus quadrati ad MP. id est Iatus decagoni ita BM. latus quadrati ad MF. latus d cagoni , scd etiam cst in prima figura BM. ad MF. ut latus quadrati ad latus Dccagoni , & in utroque angulus i cetus BFM. ideoque reliquoriam uterque minor recto urinilia igitur sunt triangula FMB. atque adeo tota MBI. in utraque. figura. Sed & similiter secta sutar: Nam ut B M. ad MI. in . . prima,ita B M. ad MI. in secunda,ut modo orin sum est , &vi l M. ad M'. in prima, ita I M. ad 31P. in secunda , igitur - cxaequali ut BM. ad I M. in prima ita B M. ad I M. in secui da, sed in primas ceta est BM. proportionaliter in P. ergo& in secunda. Igitur super data basi &c. Quod erat facien
THEO REMA XX. PROPOS. XXIV. I ex addition e alterna duarum linearum quarum prima sit segmentum minus, altera ma
246쪽
iiis rectae proportionaliter sectae sex magnitudines ordine constituantur quae ternae ordine continuo coniugantur : prima & secunda coniugatio in medietate Geometrica ; tertia in medietate quinta Geometricae opposita; quarta in Harmonica proportionalitate consistet.
Triasiat praecipua medietatum genera , teste Pappo Alexandrino collactionum mathematicarum libro. 3. in par 6. Geometrica , Arithmetica , Musica, quae malit me vides sunt ad antiquorum lectiones, quibus Nicomachus Pytho poreus acalij nonnulli tres addiderunt , recentiores aditiae quatuor alias . Geometrica medietas est cum tres quantitates eandem proportionem habent: Arithmetica, cum trium quantitatem eadem est differentia, de qua superius plura. Harmonica quan Qo tres numeri ita disponuntur ut eadest proportio maximi ad minimum , quae differentiar inter maiores duos, ad dita di loferentiam inter duos minores'. medi etas vero quinta seu Antigeometi ica, ut
Μalias, omittamus, est eum ut tertius te minus ad secundum, ita primi excessus ad excessum secundi. Sint igitur sex lineae rectae quarum prima A sit minus segmentu rectae proportionaliter sectar, secunda B. maius aegmentum eiusdem rectae eodem modo sectar. tertia CP. snstituatur ex maiori & minori segmento: Quarta DPl.cκ tertia & maiori segmento: quinta E K. ex quarta & mirsori segmento: sexta I M. ex quinta & maiori segmento : Dicos coniugentur ordinc continuo ternae A. B. CP. & B. CP.
247쪽
Curui ac recti proportio promota.
. item tres secundas B. CP. DH.' esse in medieta
Geometalca: tres vero tertiae coniugationis CP. DH. Ex esse in medietate Antigeometrica ; denique tres vltimasDH. ΕΚ. FM. esse in proportionalitate Harmonica. Primo eu in recta CP. sit composita ex minori segmento
A.& maiori Rconstat ex desinit. 3 6 esse ut Aiad Rita Rad CP. Quod est esse in proportionalitate Geometrica . Secundo abscindatur DG. aequaIis ipsi CP. quoniam recta DH. constat ex recta CR& segme , maiori B. erunt GH.& B. aequales,&diuisa erit DΗ. in G. ptoporticipes, ter cuius maius segmentuin m. aequale ipsi CP. minus GH. Cum igitur B. sit postum maius segmentum rectae
utraque proportionaliter secauiradictis segmentis erit e*conuertentea. I ut 4 ad CP ita CP. d DH. ideoque trcs illae tectae in medietate Geometrica constituuntur.
Tertia abscindatur Einaequalis ipsi Dia. erit QK. disserentia ipsarum DF DK. ea suppostione . qualis inio ri segmento A. & . differeo ia duarum DEq. CF. iam Osrensa est aequalis maiori segmento R& CP. m. aequales ac Dc, maius segmentum rectae DIJ. proportionali ersectae minus GH. vi igitur media ΗD ad segmentum m ius DG. id est ad mininiam CP. ita Da segmentum maius v ctae DIJ. ad GH. segmentum minus, sed etiam GH. diuerentia mediar & mu ne est segmento maioci B. & re M. differentia mediar & maximae segmento minoris A. R- qualis ut igitur media ad minimam ita disserentia minimarti mediar ad differentia mediae & maxima. Exit igitur co uertendo ut tertiua terminus CP.ad secundum Diri ita e
estra primu4 ad secundum GH. qua cisiatin est in dietatii quintae apud Pappiam. inartu ex FM. abscindatur FN. aequalis ipsi E . A FLipsi DH. & FO. ipfi DG. Quoniam LN. est aequalis ipsi QK. id est ipsi A. O NM. adlacia est Wqualis ipsi B. erit tota
248쪽
nempe segmento DΗ. proponionaliter se id est ipsi Fo. ipsi autem DH. est aequalis FL. igitur etiam FL. secta est proportionaliter in o. cumque adiecta sit in. maiori sedimento DG aequalis erit FM. LM in L proportionaliter. Patet igitur esse ut FΜ. totam ad FL. maius segminium,
id est ad DH. minus extremum ira differentiam maiorum NM. quae est aequalis B. maiori segmento ad Qt . disserer tiam minorum,aequalem minori segmento A. quae est ratio Harmonica. Quamsi ex additione Uterna &c. Quod erat demonstrandum.
TR pori in habent duo latera parallela, δε-
uiditur a linea recta pit angulos oppositos ducta in duo triangula quae inter se eandem rariunem habent qaam latera opposita parallela.
um igi ut BAC. Bin .a qualis est ali vita Cp. LV Est ergo ut basis BA. ad basim DC. ita triangulum BAC. ad uiangulum BDC. Quod erat.
249쪽
a. 3 8 Curat ac recti proportio promota .
R apezia in eis deni aut aequaliter distantia x u bus parallelis ita se habent in ter se, ut duo latera unius parallela , ad duo latera pa
Sint trapezia ABCD. BCFE. EFGH. inter easdem p rallelas AH. DH.&dividantur a lineis rectis DB. CE. FH. Per angulos oppositos
simul ad rectas BE. F. si mul ita trapezium ABCD. ad tragelium BCFE. . huius. Est enim ut recta AB. ad rectam DC. ita triangulum ABC. ad triangulum A DC.&componendo ut AB. DC. s. i. si ut ad DC. ita AB ADC. triangula simul, id es xi ape- tum ABCD. ad triangulum ADC. ct ut DC. ad CF. ita, a 'et' triangulum ADC. ad triangulum CBF: & ut CF. ad ZE.itii triangulum CBF. ad triangulum EFB. & componendo ut CF, ad CF. BE. simul ita triangulum C EF. ad triangula CDF.. EFB. sinapi id est , ad traperi u BCFE.cu igitur pliens sit esse ut AB. DC. simul ad DC. ita trapezium ABCD. ad triangulum ADC. &vt DC.ad CF. ita trianguiu ADC. ad triangulum CBF. &ut CF ad CF. BE. simul ita triai gulum CBF.ad trapezium BCFE. erit ex aequo ut AB. DC. simul ad CF. BE. fimul ita trapelium ABCD. ad trapezium pCFE. 1 Idem demonsitabitur de trapezio EFGH. Quod erat Sc.
250쪽
FX demonstratis seperiori propositione deducitur quod.
, Trapezium cuius duo latera parallela d Maniis mnea F cante utramque latus parallelum z erunt panes a lata inuicem , ut duo iaIera parallela unius partis ad duo laIera parallela alterius . . L Si trapedum AE . cuius duo latera AL DF. parallela quae Haidantur recta BC. Dico esse ut AB. DC. simoi ad AE. DF. simul ita pars MCD. ad partem BEFG. Hoc euide ιer patet ex propos IIone.
SI in trapezio in quo duo latera parallela , a puncto in quo duo non parallela producta
concurrunt ducatur recta diuidens lineam recta In ZYtruaMque latus p rallelum secantem rhabebunt trapezij partes eandem rationem , qua tata
partes lateris utriusvis paralleli a ducta linea diu isi.
Rursus trapeχium ABCD. secetur recta Ep. utcumque&DA. CB.latera non parallela producantur dum coeant ponuntur enim non parallela in H.& diuisa recta EF. bifa- φ 'riam in Κ. ducatur recta H L. quae producta secet latus DC. in G.& latus AB. in I. Dico es levi HAI. ad IB. aut DG.ad GC. ita par- l Jtem A FED. ad partem EFBC. Cum enim parallelae sint AB. DG easque secent EF. GI. rectae ; erit nin triangulo KEG. angulus ΚEG. aequalis alterno ΚFI. in tri .ngulo KFI.& appulus GYF. a qualis angulo FΚI. ad vertice ponitur aute FK. aequalis ΚΕ. 1. aequalia igitur sunt triangula ΚEG. KFI. Si igitur aequali bus