장음표시 사용
251쪽
traperium altitudinem habet,quae fit illic FC.hic HM.Cum ergo duo triangula ΗΚI. ACB. bases AB. HI. aequales habeant,erunt inter se ut altitudines FC. HM. Item quia trian sctos. i.αgula ADC. HGΚ. bases DC. GK. aequales habent erunt inter se ut altitudines FC. HM. ergo ut triangulum ACB. s. ad triangulum HKI. ita triangulum ADC. ad triangulum . ΗGK.& permutando ac componendo & iterum permutando,ut trapezium ABCD. ad traperium H IKG. ita triangulum ADC. ad triangulum ΗGK, est: autem probatum triangulu ADC. ad triangulu HGK. ut est: altitudo FC. ad altitudinem HM. igitur ut altitudo CF.ad altitudinem H M. ita trapeaium ABCD. ad trapegium HIΚG. Quod erat demonstrandum.
SI in trapezio habente duo latera parallela se
cto utcumque recta linea transeunte per latera parallela abscindantur minora latera ex maioribus,& residuorum medietas accipiatur: erit ut unium ex minoribus lateribus cum medietate sui excesi is, ad alterum minus latus cum medietate eius excessus, ita pars trapezij ad parrem. Sit trapeχlum ABCD. cuius duo latera AB. DC. parallela , quod diuidatur u cumque linca EF. virumque latus paral- R D
252쪽
Σ Σ Curui ac recti proportio promota.
productae in I. Eodem modo ex FC.maiori latere quam EB. abscindatur rectae EB. aequalis FK.&residuum KC.diuid tur bifariam in L.& rectae BK. ducatur parallela I M. Occurrens rectae EB. productae in M. secans BC.in Ο.erit AG. excessus quo E A. luperat FD. eiusque medietas Hri seu ID. Item erit KC. excessus quo FC. superat EB. eiusque medietas ΚL. seu BM. Dico esse ut EM. ad EH. seu vi FL. ad FI. ita trapeZium EBCF. ad trapeZium EADF. sunt enim tam GD. quam ΒΚ. parallelae rectae EF. Nam cum parallela: sint & aequales rcctar EG. FD. ex constructione,rectae GD. EF. eas coniungentes parallelae erunt & aequales.
Eodem modo parallelae erunt & aequales EF. BK. Rursus parallelogramma crunt tam HGDI.quam BKLM. quod ex constructione latera opposita habeant parallela. Et cum parallelograminum GHID. & triangulum ADG. sint in ijsdeparallelis AG. ID. &basis AG. trianguli ADG. sit dupla . . basis AH. parallelogrammi ΗGDI. erit triangulum ADG. aequale parallelogrammo HGDI. codem modo ostendetur triangulum BCL. aequale parallcIogrammo BMLΚ. Rursus erunt triangula BO M. LO C. aequiangula & aequilat ra, nam anguli ad verticem O. aequales sunt: i tem angulusMBO. aequalis angulo LCO. & BMO. angulo CLO. quod parallelae sint BM. LC. latus aute BM.aequale est lateri ΚL. quod parallelograminum sit B ML Κ.& latus Κ ateri LC. cx constructione , aequalia igitur latera B M. LC. & laterata BO. OC. & MO. OL. & totum triangulum toti triangulo . Idem ostendetur de triangulis ANH. IND. si igitur comuni figurae rectilineae EBOLF. addantur aequalia triangula
pegio EBCF. recta enim ML. parallela rectar ΒΚ. quae parallela est rectae EF. ut ostensum cst, est etiam parallela rectae EF. ac proinde facile ostendetur esse parallelogram muEMLF. Item si communi figurae rectilineae E HK addam tur aequalia triangula ANH. DNI. erunt parallelogrammuE HI F. & trapezium EA DF. aequalia. Est autem ut G. ad FI.
253쪽
243FI. id est ad EH. ita parallelogrammum EMLRad paralle Iogranimum EHI F. Igitur ut LF. ad FI . ita trapezium EBCF. ad trapezium EADF. Quod fuit probandum .
iών, o per puncta diuisionum ducamur rectae EF. OLDia , vi ex demon Bratione consat.
D 'Vo triangula angulum angulo qualem habentia , se eis
O angulos aequales latus -- lateri aequale a rationem habent quam reliquum latus circa angulum aequalem ata reliquum latui. Sint duo triangula ABC. DEF. qua angulos A. D. aequales habeant latera AC. DF. aequalia. Dico esse ut AB. ad DE. ita triangulum ABC. ad triangulum DEF. Sint primum triangula ABC.DEF.rectangula ad A.D. erunt AB.DE. eorum altis dines, cum igitur aequales sint AC. DF. ex h pothesi ritui AB. ad DE. ita triangulum ABC. ad triangulum DEF. Sint secundo triangula ABC. DEF. obliquangula os ducantur in latera aequalia ,prodacta si opus fuerit,
perpendiculares M. m. Euoniam aequales ponuntur
254쪽
1 4 Curui ac recti proportio promota.
sunt anguli ad HG. erunt in triangulis ovgo is reliqui HBAE DEG. in ambirgoni,s BAN. EGI . aequales, quare triangula. ΕΗ A. EGD. erunt aequiangula, eri que τι AB. ad ΒΗ.isa DE. ad EG. o permutando ut AB. ad DE.ita ΗΒ. ad EG.sed vi H B. ad . ita triangulum ABC.ad triangulum DEF.μ- aequales ponantur AC. DF. o perpendiculares ΓΗ. m. ni illorum triangulorum altitudines9 girur ut AB.ad DE.ita triangulum AEC. ad triangulum DEF. Σuod erat probandum.
LEMMA. II. SI fieris vi prima quantitas ad secundam ita tertia ad
quartam Cr iterum prima ad quintam fit ut tertia ad sextam dierιι prima ad secundam Cr quinta imul, vs tertia ad quartam se sextam mul. I. Demons ratum hoc es a Guido Galdois Marchionibas momtis Mathematico longe claromo , primo in Lemmatis anie I 3.ρroposDionem Archimedis de aequeponderansibus: hinc tib. I. propositione 6. de Cochisa, quod nos hic ab eo muttium sumimus , ut faciliWs nonnullas squentespropositiones
demonstemus. Sit vi A. ad F. ira C. ad F. or ut A. ad B. ita C. ad D. Dico A. ad EB. mulesse , ut C. adFD. uoniam enim eri τι A. ad E. ita C. ad Aeris conuertendo τι E. ad A. ita F. adCsd entis A. ad F. ita C. ad D. ergo ex aequali vi E. ad B. ita F. ad D. quare comi nendo cat ER. ad L. Da FD. ad D. Euoniam aurem es A ad F. Aut C. ad F. eris conuertendo τι E. ad A. isa D. ad C. rursus igitur ex aequali vi ER. ad A. ita FD. ad C. ac tandem conuerten o A. erit adE6.wC. ad M. G erat demon nom
255쪽
SI triangulum ac trapezium duorum latet m
parallelorum angulum unum mi angulo ae qualem habuerint, & unum latus circa angulum aequalem uni lateri aequale: eritin reliquulatus trianguli circa angulum aequalem ad duo latera parallela trapeZij, ita triangulum ad trapeziu.
Habeant triangulum ABC. & trapeχium BEFD. Iaterii BD. EF. parallelorum angulos ad B. E.& latcra AB. BR aequalia. Dico esse ut BC. ad BD. EF simul, ita triangulum ABC. ad traperium BF. conncctantur ED. Quoniam parallelae sunt BD. EF. erunt anguli BEE. id est ABD.d ' DEBD. aequales duobus lectis: quare unauecta est AB E. a'. r. compositis videlicctρB. BE. & BC. BD. Ducatui que perpen-d icularis A HG. secans BC. ac BD. in Id. EEF. in G. Quoniam a parallelae sunt ΒΗ. EG. erit ut AB. ad BE. ita A H. altitudo , . trianguli ABC. ad HG. altitudinem uiangulorum LBD. EDF. aequales autem sunt ex hypothcsi AB. BE. aequales igitur sunt etiam AH. HG. erit igitur ut BC. ad BD. ita , Ο triangulum ABC. ad triangulum EBD. Rui sus quia ea dem habent altitudinem triangula ABC. EDF. erit Ut BC. a. a. ad EF. ita triangulum ABC. ad triangulum PDF. CLn igitur sit ut BC. ad BD. ita triangulum ABC. ad trianguluEBD. & ut BC. ad EF. ita triangulum ABC.ad triangulum ΕDF. erit, per Lemma a. praecedens, Ut BC, ad BD EF- lemma, simul ita triangulum ABC. ad duo triangula EBD. EDF. mcdilaus simul, id est ad totum trapeχium BF. Quod erat demo
256쪽
1 6 Curui ac recti proportio promota. THEOREMA XXVII. PROPOS. XXXI. S. I triangulum ac trapezium duorum laterum
, parallelorum angulum unum uni angulo mqualem habuerint: erit ut rectangialum
reheu ista sub lateribus trianguli aequalem angu
um comprehendentibus, ad rectangulum conten
tum sub duobus lateribus trapezij parallelis tanqua
vna linea recta, & latere tertio quod aequali angulo adiacet, ita triangulum ad trapeZium.
Sit triangulum ABC. trapeZium autem DEGF. habe tia angulos ABC. DFG. aequales. Dico esse ut rectangi tum ABC ad rectangulum contentum DF.FG.simul & DF. ita triangulum GC ad trapezium DFGE. Ducantur per pendiculares AH. DI. & connectatur EA. DG. Quoniam tria-gulum ABC.& rect
sunt inter easdem parallelas , ac ean
dem basim habent BC. erit rectangulum sub AH. & BC. trianguli ABC. duplum:eodein modo triangulum sub FG. Di. duplum erit trianguli FDG. & rectangulum sub DI. DE. duplum trianguli DGE. quare totum triangulum sub DI. & FG. DE.duplum est trianguli utriusque F . D . id eli totius trapezij DFGE. Hinc quoniam aequales sunt anguli ABH. DFI. & recti sunt anguli ad H. I. aequi angula sunt triangula ABH. DFI. erit igitur ut BA. ad AH. ita . posita communi altitudine BC. rectangulum sub AB. BC. ad fectangulum sub AH. BC. & ut FD. ad DI. ita p sita communi altitudine utraque DE..FG rectangulum sub FD. & DE. FG. simul ad rectangulum sub L I. &-DE.
257쪽
FG. simul. Quare ut rectangulum sub AB. BC. ad rectangulurn sub AIq. BC. ita rectangulum sub FD. & DE.FaGmul , ad rectangulum sub DI. & DE. FG. simul , & cons quentium dimidia, ut rectangulum sub AB. BC. quod os nium est dimidium re tanguli sub AH.BC. st ita rectangulum sub FD. & DE. FG. simul ad trapeχium DEFG. quod etiam est dimidium rectanguli sub DI.& DE.FG,simul) &permutando, ut rectangulum sub AB. BC. ad rectangulum sub DF. & DE. FG. simul,ita triangulum ABC. ad traperium DEFG. Quod propositum fuit demonstrare. Demonstratur hoc Theorema a Pappo. Lemm . 8. in I Conic. ApolloniI.
THEOREM A XXVIII. PROPOS. XXXII-SInt parallelie CE. m. I L. quotcumque distan
tes aequali spatio ita ut ducta AM. secetur a patallelis in partes aequales CF. FI. sintquet ijsdem partibus aequales AC. I M. & ducantur ΑλDG. GK. facientes rectilineum quinque laterum ADGKI. Dico triangulum AC. ad totnm rectilineum ADGKI. esse ut rectam CD. ad rectar CD. bis, ad FG. bis & rectam IK. semel.
Vt enim CD. ad CD. ita triangulum A D. ad seipsum, Rursus ut CD. ad CD. & FG. simul ita triangulum AC D. ad trapezium CG. ergo ut CD. ad CD.& CD.
m. ita triangulum ACD. ad triangulum ACD. & trapeZium
CG. Rursus quia est ut CD. ad CD. & CD. FG. ita triangulum ACD.
258쪽
1 8 Curui ac recti proportio promota.
ACD. ad triangulum ACD.& trapeχium CG. item est ut , - , CD. ad FG. IK. ita triangulum ACD. ad trapezium FK.e- ante. rit ut CD. ad CD. & CD. FG. & FG. IK. id est ad CD. bisso. huius. FG. bis IK. semet,ita triangulum ACD. ad triangulum ACD. ac trapeetia CG. FK. id est ad totum rectilineum ADGKI. Quod erat demon strandum. Idem continget si sit plurium laterum, semper enim qua proportio CD. ad omnia latera duplicata praeter ultimum, quod ponitur simplex ita triangulum ACD. ad omnia tr peetia quae componunt trapezium pluri laterum.
THEOREM A XXIX. PROP. XXXIII. ORExentis iji quae superiori propositione po
sita sunt: ducatur etiam K M. ita ut sit i chilineum quinque laterum incipiens atriangulo AC D. & desinens in triangulum LMIsintque anguli ad C. I. aequales. Dico esse ut CD. ad omnia latera duplicata , nempe ad CD. bis FG. bis IK. bis, ita triangulum ACD. ad totum rectit, neum ADGΚM.
strauimus squales enim sunt anguli C. I. & ar quales MI. AC. igitur ut CD. ad CD. bis, FG. bis IK.s mel, & IK. semel, icu etiam IK. bis ita triangulum ACD. ad totum trapezium ADGΚM. Quod erat probandum. Atque idem omnino probatum in pluribus lateribus.
259쪽
LIBER III. THEOREM A XXX. PROPOS. XXXIV. Raeter ea quae praecedenti propositione fulmposuimus, sit aliud trapezium AEHLI. maius priori, illudqae continens.
. Quoniam enim paulo ante demonstratum est i . . se ut CD. ad CD. bis, FH. bis IK. semel, ita triangulum ACD. ad trapeZiu ADGΚI. erit conuem tendo ut CD. bis FH. bis IK. semcI ad CD. ita trapeZiu ADGΚI. ad triangulum ACD.
THEO REMA XXXI. PROPOS. XXXV. Int eadem quae in sichemate sit perioris prono sitionis ,& ducatur praeterea LM.' sintque an-
260쪽
s o Curvi ae recti proportio promota.
V enim CD. ad CD. bis, FG. bis IK. bis ita triangulum AC D. ad traperium ADGΚM. & conuertendo. Item vi CE. ad CE. bis FH. bis Ita bis ita triangulum ACE. ad trapezium AEHLM.ex
THEOREMA , XXII. PROPOS. XXXVI.
O I duo itapezia duo latera parallela propor tionalia habuerint: erunt inter se ut rectangula sub quouis laterum parallelorum pro
portionalium, & altitudine trapeziorum compre- nenia. Sint duo trapezia ABCD. EFGH. quorum latera BC. AD.item FG. Esq. parallela, itemque proportionalia; irravi sit A D. ad EH. vi
BG ad FG. sintque l .i Ialtitudines trape-etiorum perpendiculares ad utrumq;
latus trapezij BP.PQUDico esse ut re ctangulum sub CBO A P N DE
sub GF.FQ aut ut rectangulu sub DA. BP.adrectangulum 2 . sub