장음표시 사용
261쪽
sub HE. F ta trapeχium ABCD. ad trapezium EFGH. Ducatur ipfi KD. parallela BN. &ipsi IIJ. parallela FO. i 3 Item ipsi ΚD. parallela AM. & ipsi IF .parallela EL. Occur- - ,rentes lateribus parallelis trapexij productis si opus suerit, illae in punctis N. M. istae in o. L.
Quoniam in triangulis ΚAD. IEH. latetibus A D. ΕΗ. . parallelae sunt BC. FG. ex hypothesi;erunt triangula KAD. C0y0 ΚBC. inter se litem IEH. I FG. inter se similia. Rursus quia est ut AD. ad EI . ita BC. ad FG. erit permutando ut A D. ad BC. ita EH. ad FG. Cum ergo super duabus A D. BC. sint constituta duo triangula similia AΚD. BKC. & supe duabus EF .FG. duo itidem similia EI H. FIG.erit viti ian- gulum AKD. ad triangulum BKC. ita triangulum EI H. ad
triangulum FIG. dc permutando. Quare cum sit ut totum
triangulum AKD. ad totum EI H. ita pars BKC. ad partem FIG. & reliquum trapezium ABCD. ad reliquum traperia EFGH. erit ut totum AKD. ad totum EI H. In seper cum in ' triangulis AKD. EIΗ. ducta sint ad latera TD. IIJ. par.llelae BN. FO.erunt triangula XAD. BAN.item IEH. FEO. Corol. similia; item cum sit ut AK. ad ΚΒ. ita.A D. ad BC. dc ut A D. ad BC ita ΕΗ. ad FG.ex hypothes,& ut EH. ad FG. 'ita EI. ad I F. erit ut AS . ad ΚΒ. ita EI. ad IF. & per comversionein rationis ut ΑΚ. ad AB. ita EI. ad EF. Quarea cum super duabus ΑΚ. AB.&super duabus EI. EF. con stituta sint illic duci triangula similia ΚAD. BAN. istic IEH. FEO. similia; erit ut triangulum ΚAD. ad triangu- ο hun N ita triangulum IEH. ad triangulum FEO.
permutando ut triangulum ΚAD. bd triangulum IEH. ita triangulum BAN. ad triangulum FEO. est autem ri apodχium ABCD. ad traheaium EFGH.ut trianaulum ΚΑΙ .ad triangulum IEΗ. ergo etiam erit trapeaium ABCD. ad trapeatum EFGH. ut triangulum BAN. ad triangulum FEO & permutando. Quare cum fit ut totum trape Zium ABCD. ad totum trapezium EF .ita pars BAN.ad paria '' 'uau FE in & reliquum parallelogrammum BL DN. ad P . , Ii a liquum
262쪽
21 2 Curui ac recti proportio pronaota.
liquum parallelograminum FGHO. erit ut totum trapersu, ABCD. ad totum trapeχium EFGH. at parallelogrammo BCDN. aequale est parallelogrammum sub CB. BP. & parallelogrammo FGHO. arqqale est parallelogrammum sub GF. FG. erit ergo ut rectangulum sub CP. BP.ad rectangulum sub GF. FG. ita trapegium ABCD. ad trapeZium EFGH. Denique cum sit ut A D. ad DN. ita ΑΚ. ad ΚΒ. quod positae sint parallelae BN. ΚD. & ut AK. ad ΚΒ. ita ostensum est supra EI. ad I F.& ut EI. ad I F. ita EH. ad Ho. ob parallelas positas FO. I H. erit ut A D. ad DN. ita ΕΗ.ad HO.sed ut AD.ad DN.ita parallelogrammtim M ADC., . ad parallelogrammum BCDN. &vtEH. adHO. ita parallelogrammum LEHG. ad parallelogrammiim FGHO. Vt igitur parallelogrammum MAL C. ad parallelogrammninBCDN. ita parallelogramu LEHG.l ad parallelograminu FGHO. & conuertendo ac permutando, ut parallelogram- naum BCDN. ad parallelograminum IcΗO. ita paratilelogrammum MADC. ad parallelograminum LEHG. Est autem ostensum paulo ante esse ut parallelograminum BCDN. ad parallelogrammum FGHO. ita trapezium ABCD. ad trapezium EFGH. ergo ut parallelogrammum MADC. ad parallelogrammum LEHG. ita trapezium ABCD. ad trapegium EFGH. sed 'parallelogrammo 3F- MADC. est aequale parallelogrammum sub DA.BP.& parallelogrammo LEHG. aquale parallelograminum sub HE. Fit igitur rectangulum sub DA. BP. ad rectangulum snbHE. FQG ita trapeZium ABCD. ad trapezium EFGH. Igitur si duo trapezia &c. Quod erat demonstrata.
Colligitur ex probatis in propositione trapeyia AVD.
EFGH. esse ut triangula AUD. EIH. quae ex lateribus non parallelis in unum punctum productis , se uno laterum parallelorum fiunt: item eadem esse ut parallelogramma qu
263쪽
oronis laterum parallelorum , se utrovis non Drallelora confiant. demonstratum enim es esse ut parallelogrammuis ECDN. ad parallelogrammam FGHO. sevi parallelogram-mum CDAM. ad parallelogrammumGHEL. ita Irapeῆium ABCD. ad trape /um EFGH. idemque sequetur sesimantarparallelogramma sub CB. O. or DA. AB. aut sub GF. FE.cr HE. EF. τι inducenti manifenum eis. Denique esse ut iri gatam TAN. ad triangulum T EO. ita trape iam ABCD. ad irape tum EFGH. haec enim omnia ex progressa demon- rationis manifesta sens. H
THEOREM A XXXIII. PROP. XXXVII.
TR peri quorum duo latera parallela , &
Vtrumque Viriq; proportionalia; habent rationem eam quae componitur ex proportione laterum homologorum & proportione altitudinum. Sint , ut in superiori, duo trapezia ABCD. EFGH.quorum latera BC. AD. item FG. ΕΗ. parallela , itemque proportionalia ; ita ut sit AD. ad EH. Vt BC.ad FG.sintque altitudines trape-Ziorum perpendiculares ad utrumque latus trapezij BZ F Dico rationem trapezij ABCD. ad trapezium EFGH. esse compositam ex ratione AD. ad EI . & ex ratione BR ad FQ. aut ex ratione BC. ad FG. & ratione BP. ad F. Vt enim ex praec trapezium ABCD. ad trapezium CDEF. ita rectan --β tagulum sub DA. BP. ad rectangulum sub EΗ. F rectangulum sub CB. I P. ad rectangulum GR FQ.
264쪽
1 1 Curui ac recti proportio promota.
6 F llarum vero rectangulorum ratio compositaest ex rationibus A D. ad EH. & BP. ad Fin. aut ex rationibus BG ad FG. & BP. ad FQ. Igitur ratio traperij ABCD. ad trapezium EFGH. compollia est ex rationibus AD. ad EH. & BP. ad FQGlut ex rationibus BQ ad FG. & BP. ad F Quod erat demonstrandum.
.: THEOREM A XXXIV. PROPOS. XXXVIII. TR pςηi quae duo latera parallela, eadem que proportionalia , & angulum angulo aequalem habent sunt ut rectangula sub lateribus homologis , & lateribus non parallelis.
quae aequalem angulum continent, comprehensa.
SIN T vi in schemate penultimae huius duo trapeZia . ABCD. EFGH. quorum latera BQ AD. item FG. EH.pa rallela, itemque proportionalia, ita ut sit A D. ad EH. vi BQ ad FG. sintque praeterea anguli ad D. H. ideoque etiam ' anguli ad G. C. Dico esse ut reliangulum sub AD. DC. ad rectansulum sub AH. HG. Item ut rectangulum sub BC. CD ad rectangulum sub Fa G H. ita trapcetium ABCD. ad trapcZium EFGH. Ducatur ipsi KD. parallela BN. & ipsi ΙΗ. parallela Ilo. Item ipsi KD. parallela A M.&ipsi lH. parallela EL. occurrentes lateribus parallelis trapcrij productis si opus fuerit in punctis N. M. & O. L. paralla lograinma erunt MD. I H. aequiangula ob ansulcis a quales D. H. Item parallelogramma aequiangula erunt BD. FH. ob aeqtrales angulos ad C. G. erit igitulaex his quaeri monstrauit Pappus lib. 7. blath .it. Collectionum pro βς tu, luifit. 17 a.dc ab eo Clduius Schol. in a 3. 6. nroposit. . udrectangulum sub AD. DC. ad rectangulum sub EH. HG. ita parallelograirmaum M . ad parallesograuamum I H fle
265쪽
ita parallelograivmiam BD. ad parallelograminum rΗ. sed i parallel; si alvum MD. ad parissiclograminum LIq. & vi paralla logrammum BD. ad paralla logrammum FH. ita trapezi ni ABCI . ad trapc tum EI GH. Igitur ut recta gulum sub I. D. I C. ad rcctangulum sub EH. HG. N vir ctangulunt si b BC. c D. ad rectan lidum sub FG. GH. ita trapegium ρ BCD. ad trapezium EFGH. Quod propositu
THEOREM A XXXV. PROPOS. XXXIX. re Γ Rapezia quae duo latera parallela, eadem ill que proportionalia , & angulum angulo aequalem habent; sunt in ratione composita ex ratione laterum homologorum, & ratione laterum circa angulum aequalem : item ex ratione laterum non parallelorum angulis aequalibus adiacentium , & ex ratione excessuum laterum parallelorum. 3
Sint eadem nia quae superiori. Dico primo rationem trapezij ABCD. ad trapeatum EFGH. esse compositam ex ratione AD. adEΗ. & CD. ad GH. Item ex ratione BC. ad FG. & CD. ad GH. ratio enim parallelogrammi MD. ad parallelograminum LIq. composita est ex rationibus ΑD. Gad EFI. & DC.ad HG. Item ratio parallelogrammi BD.ado FH. composita est ex rationibus BC. ad FG.&CD.ad GH. c. 61Vt autem parallelogrammum MD. ad parallelogrammum hinus. LΗ. & ut parallelogrammum BD. ad pactilelogrammum FH. ita trapezium ABCD. ad traperium EFGH. igitur ratio trapezij ABCD. ad trapeatum EFGH. commuta est ex rationibus AD. ad ΕΗ. & CD. ad GH. Itemque ex ratio.
nibus BC. ad FG. & CD. ad GH. 5 Sint
266쪽
x 3 6 Curvi ae recti proportio promota
sint secundo anguli ad A. E. aeqv des. Constat AN. eL se excessum quo latus A D. alterum parallelum BC.superat, L cum in parallelogrammo BD. aequalia sint aduersa latera ND. BC. eodem modo EO. exccssus est quo EH. superat FG. & latera BA. FE. latera sunt in suis trapeaijs oppositis CD. GH. non parallela, angulis aequalibus A. E. adiacentia. Dico rationem trapezij ABCD. ad traperium EFGH. selibi li, componi eX rationibus AB. ad FE. & AN. ad EO. Cum 6.proposit. r.enim triangula BAN. FEO.aequales habeant angulos ad A. E. habebunt rationem compositam ex rationibus BA. ad si ly FE. & AN. ad EO.Vt autem triangulum BAN.ad triangulum FEO. ita trapezium ABCD. ad trapegium EFGH.igitur trapeZij ABCD. ad trapegium EFGH. ratio compo- nitur ex rationibus AB. ad EF.& AN. ad EO. Quod secundo loco propositum erat: igitur trapezia q uae duo latera parallela &c. Quod oportebat demonstrare.
SI circa duas perpendiculares quarum altera alterius sit dupla circuli describantur: rectae ex centris ad puncta sectionis ductie esticiunt
angulum rectum. in . Perpendiculares sint TC CE. ad punctum E. illa huius
angulum ACD. id constat ex defcliptione. Ducatur DM.
267쪽
parallela ipsi CΤ. secans circulii EFC. in L. & rectam AR in M. & ducatur ad CI. perpendicularis AB. Item connectantur chorda: TF. FC. FE. Quoniam anguli TFC. EFC sunt instinicirculis, recti sunt: Vna igitur recta est TFE.Vt 3 ergo TF. ad FC. ita FC. ad FE. Quare similes sunt arcus maioris ac minoris circuli nimirum FBT. ipsi FLC. & FC. lemma. s. ipsi FE. aequales igitur anguli FAC. FDE. Quoiatim autem recti sunt EDM. CAB. ex descriptione,ideoque aequales demptis aequalibus FAC. FDE. remanent aequales FDM. FAB. sed&aequales sunt FMD. FAC. cum enim ex descri- μptione duo anguli ACD. MDC. sint recti erunt MD. AC. y parallellar aequales igitur sunt duo anguli FDM. FMD. duobus FAB. FAC. id est recto BAC. Quare & rectus est i. i. reliquus DFM. Quod probandum fuerat.
HInc conssat tam rectam AE. tangere circulum EF C .in F. quam rectam DF. irculum CFr. in eodem puncto F. Nam quoniam diametri sunt AF. DF. or angulus rectusAFD. Iam recta AF. cadet extra circulum E FC. quam recta /6. 3.DG. exIra circulum CFT. Euare dictos circulos tangent.
R Ursus manifessum es tam chordam TF.chordae FC.quam chordam FC. ipsius FE. esse duplam. Nam ut TC. 3 ad CE. ita TF. ad FC. es FG ad FE. sed ex h'pothesi dupla est 'C. V ut CF. igitur se dupla eis TF. Vsus FC. oro C. ipsius I E.
268쪽
Σ 1 8 Curui ac recti proportio promota. PROBLEMA V. PROPOS. XLI. Vadrantem in duos arcus inaequales ita di
uidere ut sinus versus minoris arcus, sinus versus maioris, sinus remis minoris, sinus rectus maioris, ac sinus totus propor cionem Arithmeticam continuam ab unitate incipientem & unitate differentem habeant. Ducantur d uae perpendiculares CT. CE. ad punctum C. quarum illa huius ut dupla quibus diuisis bifariam in A D. centris A. D. descripti circuli secent se in F.& ducta AB perpendicularis ad CT. auferat Quadrantem BC. Dico
Quadrantem BC. sectum esse in F. Vt proponebatur. Ducantur sinus rocti FI. FH. ille minoris, hic maioris arcus:Item continuetur I F. in G. critFG.sinus rectus arcus EF. connectatur EB. quae Virumqui
circulum tanget in E. B. eritque AE. quadratum, & OmneS figurae quadrilaterae interius descriptae erunt parallelogra-CQ l- 3- in 1 rcctangula. Cum igitur similis sint arcus FE. FOC.c-1em. lib. rit Ut TC. ad C E. ita sinus rectus Us.arcus FOC.ad sinum a. Ailrolab. rectum FG. arcus F E. sed T C. ipsius C E. dupla est ex hy-ς'-μjμβ pothesi, i itur H F. ipsius FG. id est H C. illi aequalis, du- 12 id plus est, sed & CH. sinus versus arcus FOC. duplus est rei ς u ctae GE. sinus versi arcus FE. id est ipsius BI. seu FΚ. producta ΗF.in K. est igiturEG. ad CH. ut 1 .ad a.& CH. adHF. xt et .sd q. ipsi autem H F. si addatur FK. id est EG. ci it tota
ΗΚ. id est CE. seu AC. sinus totus quinque partes, & C R.
269쪽
id est IG. si dematur CH. id est GF. duae partes remanebstFI. trium partium. Igitur BI. est unius partis CH. duarum FI. trium FH. quatuor AC. seu AB. quinque. Est aut misIB. sinus versus arcus FB. CH. sinus versus arcus FOC. FLsinus rectus arcus FB. FH.sinus rectus arcus FOC. & AC, snus totus. Igitur factum est quod proponebatur.
I hac propositione quam plurima problemata ab sui pos
sunt, tot sicilicet quot connex bnes , seu coniugationes horum numerorum I. a. 3. q. . quibus gulae lineae BI. CH. FL
FH. AC. respondent, feri possunt. Nam diuadrantis ABC. Arcias CB. in F. ita secatur ut I BI. cum CH. sent aequales ipse F 2 EI. cum FI. sint aequales ipsi Fm B U R3 RI. cum FI. V ius cΗ. 9 CH. cum FH. 1 ias FI. or FI. cum AC. Vsias FH., BI. cum AC. Vsias G. sint duplae. AF. cum FN. ipsius FI. triplae V sius BI. nonculae existant,atque huiusmodi cialia problema a formari possunt. Ex regulis enim combinationum inter quinque res oo. possunt fieri diuerse compositiones , quae Angulae singulis problematis
Materiam praebent, ut inducenti aperte conctat. Posset etiam problema proponi hoc mari. Intra Euadrarum ρκnctum designare in quo duae lateribus quadrati para blaesi e in Iescantes in dic a latera termionae In qΠatuor segmenta ita cuidantur G ea cum tora habeam proportione nia Arithmeticam continuam ab unisate incipientem, vnit
te disserentem . Nam se in ra quadratam ABEC. desicriabatur marians ABC. or semicirculus EFC. sis in F secan-Ies,se ducantur GFI. V FH. lateribas quadrati parallelae a-
270쪽
Curvi ae recti proportio promota. PROBLEMA VI. PROPOS. XLII.
Uadrantem ita diuidere ut secans arcus maioris cum tangente sit tripla sinus totius , & secans minoris arcus cum tangen
Fiat eadem constructio quae superiori problemate . praeterea producatur AF. dum rectam BE. secet in N.& CE. productam in O. erit BN. tangent arcus minoris BF. MAN. eius secans r item erit C O. tangens arcus maioris FG.& A O. secans ei usdem arcus. Dico Ac . OC.simul esse triplam AC.& AN. NB. simul duplam eiusdem A C. similia enim sunt triangula AH F. ACO. Item AIF. ABN.quare & latera propol tionalia habent. ideoque visunt FA. FH. simul ad proposit. AH. ita AO. O C. simul ad C A. at FA. FH. ad AIq. rati pyῆςς ς' i' nem habeut quam s. ad 3. id est quam 3. ad I. Igitur ΑΟ.ΟC. simul ad CA. rationem habent quam 3. ad i. Eodem modo ostendemus cum AF. FI. ipsius I A. sint duplae ex prς- cedenti, etiam AN. NB. ipsius AB. esse duplas. Quare quadrantem ita diuisimus &c. Quod erat faciendum.
MAmfectam es ex hactenus demonstratis num totum
AC. tangentem CO. o secantem AO. esse in proportione Arithmetica quae est in his numeris 3. q. S . sunt enim ob smilitudinem triangulorum ΑΗF. A . tres rectae AC. CO. AO. tribus AH. ΗF. AF. proportionales sae me o habena .3- hin rationem, Arithmericam dictorum numerorum , eandem Uitur habent se illae. Eodem modo probatur tres Ad. o. AN. esse ut hos nu