장음표시 사용
291쪽
. Vt si sint duae parallelae Ata BP. ad quas AB. prima imcidens sit perpendicularis, circa quam circulus deseriptus sit ADC. secunda incidens OP. cum dictis parallelis quemlibet angulum faciat; moueatur autem Ao. ipsi BF.
arquidistanter, ita vitam LI. quam LT. ipsi AE. chordae, item MΗ. MS. chordae AD. ac sic deinceps sint aequales describetur linea curua ac figura FOQ quae Conicines primum dicatur. Iam vero si ijdem motus fiant in Conicoide primo AOB. ubi chordarum maxima AB. circa verticem A. ita
tinuo secet,etis B. C. D. recta Fo. ita sursum La quid istanter m :ueatur ut transeat M perpuncta F. G. H.
I. faciatque lineas Nparallelas FO.GN. I M. I L. ipsis AB. OA C. AD. AE. proportionales describet extremum F. Iineam curuam Α ΙΗGF..quae vocetur Conicordes secundum.
292쪽
18 ι Cures ac recti proportio promota.
Atqueeadem ratione circa Conicoides secundum ijsdM . motibus producetur Coni ides tertia , dc ita deinceps in infinitum aVII.
Momi quo huiusmodi figurae producun
tur dicatur ad chordas coniunctas datae figura aequidistanter proportionalis. Figura autem quae producitur generatim ae alae Aurae conchordis : quod si chordae parallelae propo tionalibus etiam aequales sint Datae figura aequia chordis appelletur.
INcidentes prima & secunda: Parallelae extremae interiores , media : Rectae sibi re ondentes eodem modo dicantur quo in secunda defi
P0 na similiter rifcripta, in figuris conchoria
dibus eadem ratione definiantur qua quinta definitione huius.
N tres parallelas duae rectar incidentes secantur ab ijs in eadem ratione. Sint ites parallelae IB. CD. EF. in quas incidant duaere ICE. BDF. aut ICE. ΗGF. ita ut a tribus illis parallelis secentur in I. C. E. & B. D. F. & H. G. F. sintque pri-
293쪽
mum IE. BF. parallelae. Dico esse ut FD. ad DB. ita EC.ad CI.cum enim parallelae sint IB. EF. parallelogramma e- n runt ID. CF. aequalia igitur aduersa la- tera BD. IC. & DF. CE. Vt igitur FD. ad DB. ita EC. ad CI. . . E SSed non sint parallelardi incidentes ut IE. FH. quae secentura parallela CD. in C. & G. & ducatur FB Da ra llela ipsi EI. Dico esse ut FG ad GH. ita EC. ad CL Est enim ut FG. ad GH. ita PD. ad DB.&vt FD. ad DB.ita, ex prima parte huius EC. ad CI. ergo ut FG. ad GH. ita EC. ad CI. Quod erat secundo loco probandum. 4
SI duorum rectangulorum aequalium quaeli
bet latera proportionaliter dividantur et rectae per illa puncta perpendiculares rectangula in partes inuicem aequales diuidunt.
294쪽
18 Curui ac recti proportio promota.
ctanguIum LV. & permutando: aequalia autem ponuntur rectangula BX. PV. igitur aequalia etiam sunt rectangula TX. LV. Quare & reliqua BΥ. PZ. Quod propositum .
LEMMA III. SI data utcumque diuidatur, atque ei utrim
que duae rectae ad ij ciantur eandem rationem cum partibus quibus cohaerent habentes : rectangulum sub data cum adiunctis & al- tera adiunctarum, ad rectangulum sub parte cohaerente cum eadem adiuncta,&adiuncta, est ut data ad partem quae cum adiuncta cohaeret, Sit data AB. quae diuidatur utcumque in C & ad ijcian tur utrimque duae rectae A D. BE. sitque ut A C. ad CB. lita AD. ad hE. Dico re
data AB. cum adiunctis AD.DE.& adiuncta qualibet BE.) ad rcctangulum CEB.s sub parte CB. cum adiuncta & cohaerente eadem BE. &adiuncta BE. csse ut datam AB. ad partem BC. quae cum adiuncta BE.coharet. Quoniam est ut DA. ad BE. ita AC. ad CB. erit permutando, componendo, & itcrtim permutando,ut DC. ad EC. ita AC.ad CB. &componem, do ut DE ad EC. ita AB. ad BC. cum ergo duo rectangula iDEB. CEB. eandcm habeant basim BE. erunt in tei se ut altitudines DE. EC. sed DE. ad EC. est ut AB. ad BC.em , go rectangulum DEB. ad rectangulum CEB. est ut AB.ad iBQ Quod demonstrandum erat. . -
295쪽
PEr datum punctum in peripheria ellipsis contingentem lineam ducere. Sit in peripheria datae ellipsis ACG.datum punctum C.
per quod oportet ducere rectam quae ellipsin tangat. Inueniatur axis ellipsis G A. ad quem ordinatim applicetur expuncto C. perpendicularis CD. & rceitae DA .accipiatur aequalis DE.&hac ut GE. ad ED. ita GA. ad AB. & connectatur BC. Dico quod recta, JC. tangit ellipsin in puncto C. Nam quoniam est ut GE. ad ED. ita G A. ad AB. erit componendo ut GD. ad DE. id est GD.ad DA. ita GB. ad BA.. Quare recta BG. ficti nem tangit in C. Igitur per datum punum in peripheria eli ipsis contingentem lineam duximus. Quod crat faciendum.
IN circulo,& coni sectione potest describis
gura multorum angulorum & numero parium , quae maior si quacumque magnitudine minore quamd itus circulus, aut coni 1ectio. Sit circulus,Ellipsis, Hyperbola,Parabola DAB.& data magnitudo quaelibet Q. minor qualibet datarum fg rarum. Dico tam in circulo,quam in coni sectionibus posse describi figuram multornm angulorum, dc numero P rium quae maior fit data magnitudine in Ac primum in circulo DAB. cum is maior sit magnitudine in sit excogius quo dictam magnitudincm supcrat,
296쪽
Curui ac recti proportio promota
magnitudo S. constat ex a. I a. elementorum tantum posse abscindi ex circulo DAB.inscripta figura multorum angu-lqrum, & numero parium, ut relinquatur quoddam spatium minus ipso S. spatium autem illud quod relinquitur est differentia polygoni inscripti & circuli magnitudo S. est differentia magnitudinis Q dc circuli ue igitur minori. '
297쪽
differentia distat polygonum a circulo quam magnitudo ideoque maius est polygonum , quam magnitudo .,Sit secundo ellipsis,DAB. maior cadem magnitudine excessu magnitudinis S. manifestana est ex positione A chimedis propositione 3.de Conoidibus & sphaeroidibus sed euidentius, ex Commentarijs Federici Commandini
in eandem propositionem, in Ellipsi posse inscribi Durani
multorum angulorum , dc numero parium cuius residuum
seu differentia ad Ellipsim sit minor differentia S. qua eadem Ellipsis superat datam magnitudinem inatque adeo polygonum inscriptum esse maius data magnitudine' Sit tertio Parabola aut Hyperbola DAB. cuius diameter AK. basis seu ordinatim applicata DB. vertex A. & in Hyperbola centrum C. Inscribatur triangulum DAB.constat spatium illud maius esse quam sit dimidium spatij sectione DAB. contenti. Nam si per punctum A. duxerimus tangentem P parallelam scilicet ipsi DB. cui Occurrant , r. i. Conici ex D.B. perpendiculares DP. B fiet parallelograminum DPQB. cuius dimidium est triangulum DAB. spatium ve- ελ- a rosectione Parabolica aut Hyperbolica contentum DA C. minus est quam figura quadrilatera circumscripta DinIgitur inscripta figura seu triangulum DAB. maius est qua ipsius dimidium. Rursus rectar DA. BA. bifariam diui- dantur in H. & E.&in Parabola sit VH. diametro KA. a -'qui distans quae secet parabola in V. & EL. eidem diametro aequid istans secans Parabolam in L. In Hyperbola vero ducantur ex centro C. rectar CVIJ. CLE.secantes etiam Hyperbolam in V. & L.manifestum est ex conuertentibus Conuert. 46.&q7. I. Conicorum, lineas ΥVX. &MLN. tan-67. i. onic.
gentes sectiones in V. L. & ipsi DB. P occurrentes lxta punctis Y. X. & NM. ipsis DA. BA. aequid istare: idem. que parallelogramma esse XA. NA. quare ductis rectis A V. V D. & A L. LB. erit AVD parallelogrammi XA. & t. i.
ALB. parallelogrammi NA. dimidium ,& ob id maiusquam dimidium portionis Parabolae vel Hyperbolae quar, circa
298쪽
1 3 g Curui ac recti proportio promota.
circa ipsum describitur. Atque idem demonstrabItur imalijs triangulis in infinitum:quod quidem semper fiat dum relinquantur quaedam sectionum portiones quae sint minores excessu S. quo Parabola vel Hyperbola datam magnitudinem Q Japerat : rursus enim ut in priori parte huius sequetur , Parabolam vel Hyperbolam minori excessu differre a polygono inscripto quam a magnitudine in ide que polygonum esse maius data magnitudine QUIgitur in circulo & coni sectione potest describi &c. Quod erat de
THEO REMA II. PROPOS. II. II otest ad datum circulum motus aequidistanter proportionalis ita fieri, ut partes pro- portionales incidentium partibus parallelarum proportionalium quae illas secant uni prOportionales. . Inter duas parallelas Go. ΗΡ, ducatur incidens perpendicularis GΗ.circa quam centroN.descriptus sit circumlus GLM. ac inter easdem parallelas,aut diuersas ΗP. CR ducatur alia incidens perpendicularis OP. moueatur GO. Paraλληλῶ. ipsi HP. . ita ut perueniat ad G ripuncta I.& K. in incidente G H. & ad puncta R.S. in inciis dente OP. quae est
inter easdem parati telas,secetque circ . tum in punctis L. M. constat ex Lemma- . te I .huius duas GH. OP. secari, a parallelis IR.Κ5. propor-
299쪽
ctae GH. OP. in eadem ratione, in I. K. & R. S. ac moueatur GO. parallela ita ut quo tempore G. per uenit in I. etiam O. perueniat in R. & cum illa in K. ita progrediatur in S. Diuisa bifariam OP. in Q. describatur centro Q circulus OTV. quem secent parallelae I R. Κ S. productae in punctis T. V. &connectantur QT. QV. Item N L. NM. Dico motum lineae GO. versus H P. aut linearum GO.HP. esse motum ad datum circulum G LM.a qui- distanter proportionalet taut quae proportio est HI. par tis incidentis ad I L.tangentem quae illam secat, eadem stPR. partis proportionalis incidentis ad RT. tangentem proportic nalem. Cum enim sit positione ut HI. ad I G. ita PR. ad RO. erit componendo vi HG. ad IG. it PO. ad RO. & antecedentium dimidia, 'tNG. ad Ic. ita QO. ad RO. & per conuersionem rationis ut GN. hoc est LN. ad N I. ita OQ d est Tinad QR. Cum ergo in triangulis LIN. TRQUmguli ad I. R. sint recti, ac proinde reliquorum angulorum L. T. uterque minor recto , erunt CQ 'triangula NIL. QR T. aequiangula angulosque aequales .. s. habebunt ILN. RT &INL. R QT. Erit igitur vi NI .ad. I L. ita QR. ad RT. Cum ergo ex hypothesi sectae sint GH. OP. a parallelis in eadem ratione , erit ut HI. ad IN. ita PR. ad Rin & ut IN. ad IL, ita ostensum est esse QR. ad RT. igitur ex aequali , ut HI. ad I L. ita PR. ad RT. atque eodem modo probabimus aequi angula esse triangula
se aequales, item csse vi HK. ad ΚM. ita PS. ad SV. cum .
igitur arquiangula sint triangula LIN. TR &anguli ad L. T. aequales erit ut N L. id est GN. ad LI. ita TQ Id est O id TR. & permutando ut GN. ad OQ. ita I L. ad TR.
atquc eodem modo ex triangulis aequi angulis NKM. QU. ostendemus esse ut GN. ad O ta ΚM. ad SV. em a r. go vi I L. ad RT. ita ΚM. ad S V. & permutando vi IL. ad K M. ita RT. ad S V. Cum ergo recta GH. duabus rectis
300쪽
19o Curvi ac recti proporti opromota.
parallelis Go. HP. occurrat, ac sit diameter circuli intra parallelas contenti, & in eas dein , aut alias H P. CF.'alia .recta OP. incidat , moueaturque aut una parallela GO. aut duae GO. HP.cX eadem in candem partem , ut alteri H P. aut CF. sint continuo parallelae, dividantque G H. & OP. in easdem rationes , & partes parallelarum I L. ΚM. partihusii, bu sint proportionales, constat ex prima defini tione huius , motum illum csse ad datum circulum inter duas parallelas aequid istanter proportionalem , cumqu sit ut HI. ad I L. ita PR. ad RI . item vi H Κ. ad ΚM. it
PS. ad SV. patet id quod proponebatur.
COROLLARIUM.M A Mifcctum eit ex duris in propositione si duo cirens
inter duas parallelas aequaliter aut inaequaliser ἀ- flantes descripti fuerint , es puncta contactus Hamerer comiuva per quae para elae ducantur quarum altera versus a teram in utroque circulo ita mouea ur ut partes ex Hametris eiusdem rationis abscindat: γ' imo arcus quos in motu abscindunt continuo e se s miles, secundo esse et I smus seu chordas arcuum in uno cirenis, ita snus se chordas in altero circulos denique esse panes incidentium ad partes parallelarum in uno circulo ut in alio seu es e sinus verss ad sinus rectos in eadem proportione in utroque circulo . Nam ex eo quod parallelae GO. IIP. motu sceni Hame ros . OP. in eastam rationes in circulis GLM. OTI . probatum es angulos INL. Bare item K . S V. esse aequales, quare arcus GL. OT..11.3. Dcm arcus G M. OV. similes sunt: praeterea ostensum es e MI IL. aEUN. ita ET. adSV. denique vi HI. adIL. ita P Ita ad ET.