장음표시 사용
321쪽
Uaelibet ellipsis circa quamlibet suarum diametrorum dato circulo, dataeque ellipsi est analoga.
Datus sit circuIus quilibet Z. & ellipsis 3. & sit quaelibet ellipsis KLMN. cuius qua libet diameter ΚM. centrum R. Dicocllipsim KLMN. circa diametrum ΚM. dato circulo Z.a ut ellipsi 3. esse analogam. Ducantur per puncta Κ Μ I m. rei, Κ A. MC. ellipsim KLMN. contingentes: quoniam huius . . recta ΚM. transit per centrum R. ellipss,cum ponatur eius diameter,icαr KA. M C. sibi ipsis aequi distabunt. Intur duas parallelas ΚA. M C. ducta ad utramque perpcndic lari A C. describatur circulus ABCD. & & mota AC. m tu ad MC. adquid litanti faciat parallatas in utraque figura FVI. OSQU& BED. LRN. & GYΗ. XTP. quae is centur illic ab A C. in punctis V. E. Y. istic a KM. in pu ctis S. R. T. Constat in circulo paralleIas dictas secari bifariam in punctis V. E. V. In ellipsi vero XLMN. cum recta LRN. transeat pcr centrum R. secabitur in R. bifariam iobi coni. sed&US Q. bitaliam sccatur in S. si enim non .ssic urbii
322쪽
sii Cunii ac recti proportio prinnota.
bifariam in puncto η. dc ducatur Κ . quoniam ellipsim KLMN. contingit K A. in puncto A. & hule aequidistans7 C-Πι Ο diuisa est bifariam in puncto A. erit ΚΑ. diameter
ellipsis,quod est absurdum cum non transeat per centrum; atque eodem modo probabitur rectam XP. & quamlibeti 1. desinit. parallelarum ad LN. secari bifariam a diametro KM. o 'Riς dinatim igitur applicantur ad diametrum ΚM. restiea . r. Coni, OS. LR. XT. &c. Ergo erit ut rectangulum MSK. ad rectangulum MRK. ita quadratum OS. ad quadratum LR. virectangulum M SK.ad rectangulum MRK. ita rectangulum CV A. ad rei Sangulum CEA. nam cum sit ut MS. I m. r. ad SK. ita CV. ad VA. erunt rectangula MSK. MVA. Q η'μ' milia, & ob eandem causam rectangula MRK. MEA. simi- emm. i. lia. Quare cum sit ut MS. ad CV. ita M R. ad CE. erit ut huius, rect ngulum M SK. ad rectangulum CV A. ita rectangu-α iri. Coni. tum M RK. ad rectangulum CEA. & permutando & virectangesum CVA. ad rectangulum CEA. ita quadratum 3 I- F- I. ad quadratum ED. erit ut quadratum OS. ad quadratum I R. ita quadratum VI. ad quadratum ED. ideo tu definia tui. Vt recta OS. ad rectam LR. ita recta VI. ad rectam ED. iv Quare ellipsis KLMN. circulo ABCD. est Analoga , sed 3 sis ',' circulus ABCD. circulo Z. etiam analogus est: igitur elli- psis KLMN. dato circulo Z. analoga est circa incidentem seu diametrum K M.
Rursus quia ellipsis 3. ex prima parte huius propositio
nis, circulo Z. analoga est circa quamlibet suarum diame trorum , & eidem circulo analoga est ellipsis KLMN. cim ca quamlibet suarum diametrorum, manifestum cst cilipses KLMN. & η. circa quamlibet suarum diametrorum descriptas esse analogas. Quare quae libet ellipsis circa quamlibet &c. Quod etat demonstrandum.
323쪽
SI motu ad datam Ellipsin aequi distanter
proportionali figura describatur , ea aut Circulus erit, aut Ellipsis.
Huc propositio euidenter deducitur ex superiori.Nam .huius. quaelibet ellipsis cuilibet circulo atque ellipsi analoga est , ergo motu ad datum circulum aut ellipsin aequid i- ὸEsta stanter proportionali describitur; Cum autem idem sit mo- huici' ius quo circulus aut ellipsis data,& ellipsis analoga describunturi si ellipsis analoga statuatur prima atque data manifestum est circulum aut ellipsin,quae data erat,motu a qui distanter proportionali delineari ac fieri analogam. Quod erat probandum .
THEOREM A XVI. PROPOS. XVI. SI ad datam Parabolam motu aequi distanter proportionali figura analoga describatur,
ea erit Parabola. . Inter easdem aut diuersas parallelas ΑΚ. CL. data sit
parabola ABC. cuius diameter AC. latus rectum A T. incidens secunda quaecumque KL. moueatur ΑΚ. aequid istanter ipsi CL. ita ut continuo parallelae circa XL. sint proportionales parallelis circa AC. nimirum vi NM. ad PO. ita DE. ad FG. & ut PO. ad R ita FG. ad HI. & ut Rinad SL. ita HI.ad CB.atque ita deinceps etiam ex alia parte incidentium; secabuntur etiam AC. KL. proportio-τ naliter, ideoque iuxta primam definitionem huius, erit motus ad datam parabolam a quid istanter proportiona- huius. lis r Describatur eo motu figura ΚSL. quae erit analoga
parabolae ABC. Dico illam figuram esse parabolam. Quo- . ''R r niam
324쪽
31 Curtii ac recti proportio promota.
niam sectae sunt proportionaliter DK. FA. in punctis ruina. dici D. erit ut OK. ad MK. ita FA. ad DA: item quia parabola ψ-r Cenic est ABC. erit ut FA. ad DA . ita quadratum FG. ad qua- 'huiu, dratum D E. Rursus quia proportionales sunt rectae DE. ar. 6. FG. rectis NM. PO. erit ut quadratum FG. ad quadratum DE. ita quadratum P O. ad quadratum NM. ergo a primo ad ultimum virecta OK- ad rectam MK. nempe ut lineae quae ob ordinatim applicatis ex diametro ad verticem abscinduntur ita quadratum P o. ad quadratum NM. nimirum ita sunt inter se quadrata ordinatim applicatarum , quod tanquam parabolae peculiare demonstrat Apollo nius lib. I. Conic. proposit. 2 O. Rursus quadrato NM. fiat rectangu Ium MKV. aequaIe& ipsi LX. sit ΚV. ad punctum K. perpendicularis. Quoniam rectangula MXV. OXV. eandem altitudinem ha- . . s. bent K. erunt ut bases MK. OK. sed ut MK. ad OK. ita .
325쪽
paulo ante ostensum est quadratum MN. ad quadratum OR. ut igitur rectangulum MKV. ad rectangulum OK V. ita quadratum NM. ad quadratum PO. & permutando virectangulum MKV. ad Quadrarum NM. ita rectangulum ΟΚV. ad quadratum P O. aequale autem est rectangulum MKV. quadrato NM. in hypothesi, igitur aequale crit rectangulum OXV. quid rato PO. atque ita rectangulum QKV. erit aequale quadrato B QU&c. Quod parabolae conueniredemonstrat Apollonius ia. primi Conicorum n vocatque XV. Rectum figura latus. Iam vero oonstat ex Sa. primi Conicorum posse inueniri parabolam ,cuius diameter sit data KL. vertex punctum K. Ducta vero quaelibet SL.a sectione ad diametrum in angulo SLΚ. possit rectangulum LXV. subrecta LX. & pe pendiculari seu latere recto Κ V. Inuenta iam O & imp natur dicta pia abola figurae Κ SL. congruent rectar LX. parabolae, & LK. figurae ΚSL. cum aequales positae fint. Item rectae SL. utriusque figurae, cum tam SL. quam angulus S LΚ.ponanturaqualia:den' ; ob eandem causam conusnient ΚV.in utraque figura. Igitur,aut congruemdictae tagurae,aut non congruenta ponantur primum non congruere , ac ubi deficiunt appliceturordinatim MNX. quae secet figura analogam in N. parabolam in X. Quoniam in utraque figura ΚV. est recta iuxta quam pos iuniordinatim applicat erit rectangulum MKV. aequale quadrato MN.ex secunda parte huius propositionis : idemque rectangulum MKV. aequale quadrato MX. II. I. nic.Igitur aequalia sunt quadrata LI. LIq. pars & totum: quod est absur- ii. i. onici dum e congruent igitur Parabola, & figura analoga. Igi- '- tur aequalia sunt,ac in unam figuram coincidunt,estque G ' i' 'R gura analoga ΚSL. Parabola. Quod erat demonstra
326쪽
SI ad datam Hyperbolam motu aequidistan
ter proportionali figura analoga describ
turi, ea erit Hyperbola. Sit idem schema quod superiori propositione, sed figura ABC. ponatur este Hyperbola,& fiant reliqua vi tria praecedenti, tantum Hyperbolae ABC. accipiatur transuersum latus AT&ducta YZ. ipsi AK. parallela prod catur LX. dum concurrat cum YZ. in puncto Z. Dico figuram analogam ΚSL. esse Hyperbolami Est enim ut YD.
327쪽
ad DF. ita ZM. ad MO.& componendo, Jc per conuersi nem rationis ac permutando Vt YF. ad ZO. ita YD. ad ZM. sed est etiam ut YF. ad FA. ita ZO. ad OK. & ut YD. i. ad DA. ita ZM. ad MK. similia igitur sunt rectangui i. huius.
YFA. ZOK. item rectangula YDA. ZMΚ.cum igitur sit ut . YF. ad Zo. ita YD. ad ZM. & super prima ac secunda facta sint duo rectangula similia YFA. ZOΚ. & super terti & quarta duo itidem similia YDA. ZMΚ.erit ut rectangulum YFA. ad rectangulum ZOK. ita rectangulum YDA.
ad rectangulum ZMΚ. & permutando ut rectangulunia YFA. ad rectangulum YDA. ita rectangulum ZOΚ.ad rectangulum LM K. sed ut rectangulum YFA. ad rectangu-ir.3.Conic. Ium YDA. ita quadratum FG. ad quadratum DE. &vt quadratum FG. ad quadratum DE.ita quadratum PO.ad quadratum NM. igitur ut rectangulum ZOK. ad rectangulum ZMK. ita quadratum P O. ad quadratum NM. Deinde fiat ut rectangulum ZMK. ad quadratum MN.-Corolao.Lita ΖΚ. ad KV. Quoniam ostensum est prima parte huius, esse rectangulum ZOK. ad rectangui ZMK. vi quadratum P O. ad quadratum MN. erit ςqnuertendo & permutando ut rectangulum ZMK. ad quadratum MN. id est ut ΖΚ. ad KV. ita rectangulum ΖΟΚ. ad quadratum P O. A que eodem modo probabimus esse ut ΖΚ. ad K V. ita re-
elangulum ZQK. ad quadratum QR. Has affcctiones etiam in Hyperbola demonstrat Apollonius I. Conic.prop.
Constat autem ex 13. I. Conicorum posse inueniri ΗΡperbolam cuius latus rectum K V. transuersum ΚZ. & diameter KL. ducta vero quaelibet SL. a sectione ad diometrum in angulo SLΚ. sit ut ΖΚ. ad K V. ita rcctangulum ZLM. ad quadratum SL. Inuenta iam sit & imponatur dicta Hyperbola figura XSL. congruent rectae LΚ. Hypem holae , & LΚ. figurae,cum aequales positae sint: Item rectar SL. utriusqne figurae, cum tam rectar SL. quam anguli SLΚ. ponamur aequalco:denique ob eandem causam convcnient
328쪽
3 18 Curui ac recti proportio promota.
uenient XV. in utraque figura. Congruent ergo dieti si
gurae , aut minime congruent. Ponuntur primum non
congruere, ac ubi deficiunt applicetur ordinatim MN X. quae secet figuram analogam in N. Hyperbolam in X. Quoniam in utraque figura ΚV. est rech iuκta quam pota sunt ordinatim applicatae, ΖΚ. latus transuersum , eris exsecunda parte huius propositionis, ut ZK. ad KV. ita rectanguluin ZMK. ad quadratum MN.& ut ΖΚ, ad ΚV.ita rectangulum ZMΚ. ad quadratum MX. aequalia igitur sunt quadrata MN. MX. pars & totum. Quod est absu dum congruent igitur Hyperbola ac figura Analoga, a quales ergo sunt; immo in unam figuram concidunt, ut
proinde figura analoga ΚSL, Ω Ηypei bola. Quod erat
THEOREM A XVIII. PROPOS. XVIII.
Polygona in Circulo atque Ellipsi analoga i
item in Parabolis aut Hyperbolis analogis intra easdem parallelas similiter inscripta sunt inter se ut parallelae prCportionales.
Intereasdem parallelas ΑΚ.CM.descriptus sit circulus ABCD. & Ellipsis analoga ΚLMN. item duae aut parabolae, aut Hyperbolae analogar AC. ΚM. quorum diametri secundae BD. LN. eaque secent quotcumque parallelae proportionales illum FI.BD.GH.isiam O L .XP.connectantur rectis sibi respondentibus A F. FB. BG. &c. KO. OL. LM. &c. quae efficient duo polygona in circulo , ellipsi similiter descripta, eo modo quo definitione quinta huius traditum est. Dico polygonum AFBGCHDI. ad polygonum KO LXMPNQccsse ut proportionalem quamcumque FI. ad proportionalem O Secet diameter AC. rectas FI. J D. G H. in punctis V LY. erit A V. altitudo tam trianguli FAI. quam trianguli OK in eo
329쪽
quod sint inter easdem parallelas: itemque recta V E. erit altitudo trapeatorum FD. O N. & ΕΥ. altitudo trape-
xiorum BH. LP. denique YC. altitudo triangulorum in circulo & ellipsi, & in parabola, & Hyperbola vitimorum trapeziorum GCH. XMP. .Quoniam igitur triangula FAI. OKa eandem habent altitudinem, , erunt inter se ut bases, quare ut FI. ad O in ita triangulum FAI. ad triangulum OK Rursus quia tra- peetia FD. ON. habent latera FI. BD.proportionalia late- .ribus O LN. erunt inter se virectangula sub BD. EV.&sub LN. EV. sed rectangula sub BD. EV. & LN. EV. , . sunt inter se ut bases BD. LN. vi igitur BD.ad LN.ita tra- ' peetium FD. ad trapezium ON. eodem modo ostendemus cile ut GH. ad XP. ita trapezium AIq. ad trapeZium LP. &
330쪽
3 1s Curvi ac recti proportio promota.
triangulum GCIq. ad triangulum XM P. Cum igitur sit veFI. ad Orata triangulum FAI. ad triangulum OK sit
defia. I. M- autem ut Fl. ad O ta BD. ad I N.&ut BD. ad LN. ita trapeZium FD. ad trapeZium ON.erit ut triangulum FAI. ad triangulum OKQ ita trapezium FD. ad trapezium ON. Rursus cum sit ut BD. ad LN. ita trape tum FD. ad trapezium ON. & ut BD. ad LN. ita trapezium B H. ad traperium LP. ut paulo ante probatum exerit ut trapta etium FD. ad trapezium ori ita trapeZium B H. ad trapezium LP. Denique cum sit ut BD. ad LN. ita traperium BH. ad trapezium LP. sit autem ut BD. ad LN. ita GH. ad XP. & ut GH. ad XP. ita triangulum GCIq. ad triangulum XMP. erit ut trapeZium BX. ad trapezium LP. ita triangulum GCH. ad triangulum XMP. Quare cum sit ut triangulum FAI. ad triangulum OK ta trapezium FD. ad trapezium ON. &vitrape1ium FD. ad trapeZium ON. ita trapeZium BH. ad trapeZium LP.& ut trapezium BH. ad trapezium LP. ita in ellipsi& circulo triangulum, in parabolis aut Hyperbolis trapezium GCFq. ad triangulum aut traperium XMP. erit ut triangulum FAI. ad triangulum OK ta totum polygonum AFBGCH DI. ad totum polygonum KOLXMPN ed ut triangulum FAI. ad triangulum OK ta stensum est esse FI. ad O Vt igitur FI. ad O parallela proportionalis ad proportionalem ita polygonum AFBGCI DI. ad polygonum KOLXMPNQ Quod erat d
EX dictis confrat pol una tu circulo atque est si an loga inter ea em parallelas similiter descripta esse τι secundas diametros . Nam τι FI. ad radita pol onum adi pol onum .sed ut 0. ad O et Ia diameter secunda BD.ad huius. secundam LN. O i Iar BD. - . ita postgonum ad postgonum. THEO-