장음표시 사용
311쪽
eerit spatium quod adiacet tertiae proporeumat , latitudinem habem eam qiue interordinatim applicatam & sectionem interijcitur , & deficiens Musas miti ei qua diametro ipsa &δenia ἔπι -
μ njoirali coluinesur. sit Haips id s ABCD. cuiu diametri coniugatae AC. BD. prima AC. secunda BD. & fiat ut A C. ad BD. ita BD. ad A L. Apteturque A L. ipsi AC. ad angulos rei tos, iuncta CL. applicetur FG. ordinatim ad BD. & ducatur GI. ipsi AL. aequidi- ustans & ΗΙ. pa- Λ Tallela recta M. Dico quadratum. FG. aequale esse rectansulo AI. Est enim ut quadratum A C. adequadratum BD...
ita recta CA. ad s*W3 hi 'U' ' enim sint conpi nue proportionales AC. m. M. Ut - Ructione erit ut quadratum AC. ad quadratum BD. ita Q. ad AI . hoc est CG. ad GI. is sunt enim triangula P. in L. LGI. smili ob parallelo DL AL. ut autem qua- Cς , dratum A C. ad quadratum BD. ita rectangulum CGA.ad 7. huius. quadratum FG. Quare rectangulum CGA. ad quadratum FG. est vi CG. ad sit. Vt autem CG. ad GI. ua1ectangulum CGA. ad rectangulum AGI. s posita enim communi altitudine GA. prit ut CG. ad GI. ita rectangultim GA. ad rectangulum AGI. seu rectangulum Al. EMgo quadratum FG. aequale est rectangulo AI. quod adi cens tertiar proportionali AL. latitudinem habet RG. &
deficit figura LF I. ipsi LAC. simili. VO-
312쪽
os Curvi ac recti proportio promota.
is sub si Vocetur autem Ata transuersum figurie latus, & AL,
Ex dictis manifessum ea rectane tum A. ad quais
tώm FG. es ut transuersum figurae latus AC. aE rectam A L.probatum enim es esse ut CG. ad GI. ita re ictangulum CG A. ad quadratum FG. vi autem m. ad GI. ita est CA. 'ad AL. τι ergo CA. ad M. Ata rectangulo C . Uuadratum FG. '. l
V X demons ratis aperte ea at figura, ellipsiden es
. . Is Meram elli n. Eodem enim prorsus modo Serenus propositione ire. δε fictione cylindri , demon Brat fictionem cylindri quae neque basibus quid πιι neque sebcontrarie posita e It , neque per axem ducitur , neque, quidi Her et qaia per axem sit parallelogrammo, eme e ipsin. Et quandoquidem cum Sereno sumimus, in e iis lineam iuxta quam po sunt quae a salone ad diametrum ordiaalim applicantur esse eam ad quam secunda Hameter eandem habet rationem quum prima Hamiser ad Ucundum P id Feris
Heus Commandinus magnus isse Geomeria vix ulli antiquorum ιnferior, demonstras in Com niano M propos Dionem -16ib. I. Sereni de ione Ilindris, ad Ταem lectorem r
I in ellipseide figura coniugatae Aa metri
sint ,.&. fiat ut secunda diameteri ad primam,
. ita prima ad ullam linea mi quae ab ellipsoi-
313쪽
.M , L izRὼ 3oide ad secundam diametrum otilinatim applic tur poterit spatium quod adiacet terriae propo tionali , latitudinem habens eam quae inter ordinatim applicatam , 5 lectiosi m interlicitur, mdeficiens figura simili et quae secunda diametro& tertia proportionali inuenta cotitinetur. i
Sit ellipseides ABCD. & fiat ut AC. secunda diameter ad DB. diametrum primam ita DB. ad AI.pcinaturque AI. ad angulos rectos ipsi AC. deinde ad AC. ordinatim ap-
pscetur FE.& ducatur EH ipsi AI. aequidistans,ΗG. vero aequid istans ipsi EA. Dico quadratum EF. parallelogrammo AH. aeqiialc esse, Hoc eodem pene modo demonstrabitur quo priori propositione. Quoniam enim ut qu*dratur AC. ad quadratum BD. ita linea CA. ad AI. sunt enim in continua proportione CA. BD. A I ideoque ut quadra I' ' ' φ' tum A C. ad quadratum BD. ita AC. ad AI. hoc est CE ad ΕΗ. .sunt enim duo triangula CAI. CEH. CQ ψ' ' Gparallelas AI. EA. similia &per 8. huius est ut quadra, hWH tum A C. ad quadratum BD. ita rectangulum CEA. ad quadratum EF. Quare rectangulum C . ad quadratum EF.
314쪽
1 οε Cafui ac recti proporti opromota
EF. est ut CF. ad ΕH. vrautem . ad ΕΗ. io litigialum GA. ad rectangulum F EA. c posita enim commuis ni altitudine AE. erit ut CE. ad El . ita rectangulum CEA. ad rectangulum HEA. ergo quadratum EF. aris quale est rectangulo AH. quod adiacens tertiae proporti nati AI latitudinent habens AE. & deficiens figura Gut simili et quae CEI . continetur . Quod erat demonstra
Constat ex dictis esse τι CA. ad AI. Da rectangulum CEA. ad quadratum Q. Es enim re malum CEA. ais quadratum EF. probatum kabere rationem quam CB. ad M. quod es τι CA. ad
T ex prapositione hae esscitur Geam euisam,suesti idem esse veram ac genuinam ellusim, cui et qua his demon ara sunt peculiaria ae propria esse probae Apollonius Pergaeas libro primo Conicorum Theoremare I I.
SI in ellipsoide rectie lineae ad diametrum
ordinatim applicentur: erunt quadrata earum ad spatia contenta lineis quae inter ipsas & terminos transuersi lateris figurae interponuntur , ut rectum figurae latus ad transue sum; inter se vero ut spatia quae lineis similiter sumptis continentur.
315쪽
In schemate nonae huius. Sit ellipseides ABCD.c ius diameter ac transuersum figurae latus AC. rectum AL.&ad ipsam AC. ordinatim applicentur FG. MN. Dia
evi LA.ad AC. quadratum FG. ad quadrais tum MN. esse ut rectangulum AGC.ad rectangulum . ANQQuoniam enim est ut quadratum secundae diametri BD. ad quadratum 3. huius. primae diametri AC. ita quadratum FG. ad rectangulum AGG& AL. latus transuersum ad A erit ut latuS rectum c.,haad transuersum , ita FG. quadratum ad rectangulum AGC. Eodemque modo ostendetur esse ut latus rectum ad transuersum ita, quadratum MN. ad rectangulum ANC. Eiit igitur ut ouadratum FG. ad rectangulum AGC. ita quadratum MN. ad rectangulum ANC. di per mutando. Quod erat demonstrandum.
agimus esse elli in ' Nam hanc ribbis proprietatem a esse ullipsim cum circulo tamen ac Θpe bola comunem demon trauit Apollonius Bb. I. Conis. prop. 2I. Cum vero constet hanes uram neque circulum esse , neque sperbolen , consequiturvi et sis extis anda iis . Atque his tribus notis contentus fuit Serenus ut secti nem cylindri ellipsin esse probaret , cum ramen assereret munro stares ex elementis conicis leti posie. Nos adhuc quar.
316쪽
os Curvi ac recti proportio promora.
ram addemus quae non ob re pro possum sciet. l
SI in ellipsoide recta linea ducatur per ceu
trum utrinque sectioni occurrens ad Cen- trurn bifariam secabitur.
Σit ellip ides cuius diameter ΚΜ. ceutrum R. & per R. ducatui.ORP. secans lineam cumam in punctis OP. Dico OR. ipsἴRP. esse aequalem. Ordinatim enim applicentur Comit d OS. PT.& quoniam virectangulum RΤM ad quadratum cohorta Tl'. ita est transuersum latus ad rectum, & ut rectangulum s. huius. MSΚ. ad quadratum So. ita transuersum latus ad rectum, erit virectangulum ΚTM. ad quadratum TP. ita recta gulum MSK. ad qua-ι. dratum So. ut autem iquadratum I P.ad quadratum TR. ita quadratum So. ad quadratum SR. nam aequi angula sunt, imo aequalia triangula PT R.
to TR. ad quadratum TR.hoc est quadratum M R. ad quadratum RT. etenim recta ΜΚ. lechtur bifariam in R.dc in partes inaequales ad punctum T. iqeoque rectanguli M. ΚTM.sub inaequalibus segmcntis ΚT. 4 M. una cum quadrato TR. intamcdiae luctionis cst aequalia quadrato dimia
317쪽
siae m. γ ita rectangulum MSia una cum quadrato S R. ad quadratum SR. id est per candem quintam secundi elementorum I quadratum KR. ad quadratum SR. permutando ut quadratum MR. ad quadratum KR. ita quadratum TR. ad quadratum RS. Quare vi MR ad Rcita TR. ad RS. est autem recta MR. rectae RΚ. aequalis, ex destriptione et quare ructa TR. rectae RS. aequalis existit, ut autem TR. ad RS. ita PR. ad RO. a quiangula enim ostensa sunt triangula TR P. RSO. Quare PR. & RO. sunt aequales. Quod erat propositum. Hanc autem Ulipseos proprietatem demonstratApollonius
HAcrenin quatuor veluti reseras exhibuit Ellipside, nos rem qu bassi se genu/nam et sen probaret, τι imaer acui anguli conisectiones reciperetur; tres quidem ex δε-σeni penu, quartam ex nos cina depromptam ;sd et rixeor ne si .stae Imceus stupulos cuiuspiam Geometrae oculis disicianor non satis legitima Fideri poni , ac suspicionem mouere polynt et surpati nominis etam a nostris figura, quam a Finione cuindri apud Serenam se Archimedem de conὰ δε-bus, es Sphaeroidybus. Esto enim notae quas Serenus , quas nos adduximus ellusi conueniant, dubitare quispoterit num sit, ct ut m κυμῶ δεια Ant καὶ ἀντιπεφοντα, an vero ut in Scholis loquvnrar propria ranIum primo modo rcer epia - que omnes is emones quae in libris conicorum Ellipse in F demonin Iur , etiam circato , Multae sperbolae se oppositis pectionibus conueniunt ἱ neque s circuli ac essi eosin ere . . tia ignota esse , recte quis argueret ex assectionibus quas circulus cum empsicommunes habet illum se Ari n.' 3is . . nouit num MDO CHMdri , num Ellipssides nostrum comm nione quidem dictorem sis olorum iungatur cum Est, , -- , rura tamen ab ea' non minus quam circulus aut ono tae
318쪽
3 es Curvi ac recti proporti opromota.
vini exsalem assinantem nan plieiter sed per accidens. ransum conuerti in particularem aientem. Nec enim se omnis homo animal est ideo omne animat eis homo , neque essicitur se omnis ellipsis hoc habea vi prima diameter sectionis ad secundam eam rationem habeat quam secunda ad alia, quampiam, qua ad sicundam applicata erinatim post spatium quod adiaces tertiae proportionali reliqua qua in qu nia huius demon frata sunt , ut ideo quicqxid hoc habu i . protinus si ellipsis , Euare cum huiusnodi gna occurrant,
piarumq; peritiores Mathematici utuntur ἀπαγώγη μιν αδ α- τον su abductione ad absurdum qua certo flatuunt idde qudabitabatur; quae demonseratio licet ἡ κτιιια minus si μις-μονική, ac dignitate concedat , veritate tamen ac certitudiane ne hilum quidem inferior essit. Nos igitur 6 perioribus notis se ex contraria assertione manifestum ab urdum derivabimul , atque ita toIam re ae γε omnem dubietatis aleam constitue s.
i HEO REMA XIII. PROPOS. XIII. PRopositum sit vere demonstrare, sectionem cylindri quae neque basibus aequi distat, neque subcontrarie posita est neque per axem, neque aequi distante ei quod per axem fit parallelo-gr mmo , item Ellipso ides quodcuq; esse Ellipsin.
Sit primum sectio cylindri cuiusdinodi posita est in propositione , & Ellipsoides quodcumque rectum ABCD.c ius prima diameter seu axisAC. secunda diameter seu axis BD. fiatque ut AC.ad BD. ita BD.ad aliam videlicet AG. quae statuatur ipsi AC. ad angulos tacto , erit. ex ijs m n l. quae demonstrat Federicus Commandinui commentario tu 16. proposit. Serenide sectione cylindri, quod etiam se monstrasse assimul Serenus in Commentarijs suis tria
319쪽
Apollonium , quae ad nos non peruenerunt ) AC.
transuersum figurae latus,& AG. rectum, seu recta iuxta quam possunt quae M. sectione ad diametrum orodinatim applicantur. Iam Vero per primam partem Iq. I. insubiecto plano destri batur.elli psi s ita v t cidiameter hi AC vertex A.&rectum latus AG. ductis ivero a sectione ad AC. in
angulo recta appliccntura quae lati rudinus hiabeant ,
lineas interico &punctium A. deficiantque fio ura simill& si in iliter posita ei Qua lincisCA. AG. continetur t& diuisa AC. bifariam in E. ducatur sicunda Luaxis BD. ω cicias angulos recto* cum Bc . Hinc Ellipsis dicta sectioni cylindri aut ellipso idi recto superim ponatur congruat AC..ellipsis cum diametro AC. lectionis cylindri aut ellip ideos recti ipsis aequali et congruet etiam angulus rectus CAG. sum recto, & AG ellipsis cum aequali. AG. sectionis, aut est ipsoidis recti & recta BD. cum BD.& cum centro centrum E. Nam cum sint aequales EA. AG. tam in ellipsi quam in cylindri scctione,& ellip ide recto,& inter eas media proportionalis BD. erit BD. ellipsis aequalis BD. sectionis Ergo aut ellipsis cum sectione, vel ellipsoide congruet , aut certe non con- .gruet: Dicatur primum non congruere ι igitur ab illa deficiet , deficiat igitur ad puncta H. I. ductaque FHI. ordinatim applicata ad diametrum AC. secci sectionem cylii dri vel ellipso ides & ellipsim in punctis H. I. ita ut arcus RID. st arcus ellipsis &AH D. arcus sectionis cylindricae, yel Ellipsoidis.
320쪽
31 ct Curvi ae recti proportio promota.
Quoniam in ellipsi ordinatim applicatae sunt ED. FI. erit ut rectum figurae latus AG. ad transuersum AC. ita quadratum Fl. ad quadratum ED. Rursus quoniam in s ctione cylindri vel ellipseide ordinatim applicatae sunt FH. ED. erit ut latus rectum AG. ad transuersum AC. ita 'quadratum FH. ad quadratum ED. Ut igitur quadratum FI. ad quadratum ED. ita quadratum FH. ad quadratum ED. aequalia igitur sunt quadrata FH. FI. pars & totum equod est absurdum. Non igitur deficit ellipsis a section cylindri vel hil ipsoade recto: conuenit ergo: quare illi a
Idem eodem modo demon strabimus etiam in quocumque cilip ide obliquo, modo ductae a sectione ad diametrum A C. non applicen rur ad angulos rectos, sed ad angulos aequales ijs quos applicatae cum diametro efficiunt ii, ellipsoide obliquo;&persecundam partem q. I. Conicorum describatur ellipsis,ut dictum est prima parte huius, uis diametet AC. vertex A. rectum latus AG. idem quod in Ellip ide,ac fiat impositio utriusque figurae: idem enim absurdum sequetur si illa: non dicantur congruere. Igi tur vere demonstratum cst sectionem Cylindri quae ncque basibus a quidistat , nequc sub contrarie posita est , neque peraXem , neque aequid istante ei quod per axem fit parallelograinnao, item ellipsoides quodcumque esse ellipsin.
MDato igitur nomine Ellipsoria dico in Ellipsti Α- nilo squarum alia vobisntis Rectae atae obliquae: Hia AEquichordes; alia Diuersichordes: ij em scilicet co- Dominibus quibus Ellipsidea in Scholio quana hutns dissim