장음표시 사용
301쪽
: i THEOREMA III. PROPOS. III. SI ad datum circulum motu aequi distanter proportionali figura analoga describatur, ita ut partes proportionales incidentium , t artibus parallelarum proportionalium quae il-as secant, sint proportionales : figura analogae,
circulus erit. Sit eadem synthesis quae in superiori propositione , idemque schema, nempe inter duas parallelas GO. Η P. ducatur incidens perpendicularis G H. circa quam centro N.descriptus sit circulus GLM.ac inter easdem parallelas, aut diuersas H P.
CF. ducatur alia incidens perpendicularis OP. Moueatur GO. aequi distanter ipsi H P. ita Vt perueniat ad quasi bet puncta I. K. N. in incidente G H. & ad puncta R. b. mn incidente OP. quae est inter easdem parallelas, secetque circulum in punctis L. M. X. constat ex Lemm . i. huius duas GH. OP. secari a parallelis IK. KS. proportionaliter: aut si non sit inter easdem parallelas, sint rectae G H. OP. sectar eadem ratione in I. K. N. & R. S. α&c. moueatur HO. parallela, ita ut quo tempore G. peruenit in I. ctiam O. perueniat in R. & cum illa in K. ista progrediatur in S. cum illa in N. centrum, haec in e parallelae Oo a RT.
302쪽
x is Curvi ac rem proportio promota. RΤ. SV. QΥ. parallelis I L. ΚM. m. sint proportionales, qui motus primae definitioni congi uit sitque vi HL ad I L. ita PR. ad RT. & vi HK. ad ΚM. ita PS. ad SV. hoc enim fieri posse in superiori propositione ostensun est) describaturque figura OTV. Dico figuram OTV. ec
se circulum. Cum enim motu aequi distanter propol tiona-
- dradix li sectae sint proportionaliter HG. PO. erit ut NI. ad HI.μJ ita QR. ad PR sed ut HI. ad lL ita supponitur PR. ad RT. ergo exaequali vi NI. ad I L. ita QR .ad RT. quare cum re-6 6. cti sint anguli ad I R. aequi angula erunt triangula LNI. δεεh. i. TM. Vt igitur LN. ad NI. ita TQ ad QR.& ut NI. ad huiu,. NG. ita QR. ad QO. ex descriptione, ergo ex aequalitate, dtan, ut ad NG. ita T id QO. aequales autem sunt LN. NG. aequales igitur sunt QT. . Atque eadem ratione ostendentur aequales Vin QO. & quotquot exrs. defin. ad perimetrum OTV. ducentur. Igitur figura OTV. ci cuius est. Quod erat demonstrandum.
TAEOREMA IV. PROPOS. IV. SI motu ad datum circulum inter duas parallelas aequi distanter proportionali figura
analoga describatur, ea aut circulus erit, aut
Inter duas parallelas GO- ΗP. ducta sit ad utramquGperpendicularis HG. circa quam descriptus sit centro N. circulus GL M. ac inter easdem aut diuersas parallelas circa incidentem secundam OP. motu ad circulum G LM.
proportionali descripta sit figura analoga OTV. Dico illam figuram aut esse circulum, aut Ellipsoides. . Sit primum incidens OP. peependicularis ad extremas parallelas ut patet in secunda & quarta figura dc ducantur quaelibet I L. ΚM. NX. parallelae interiores in ciris culo GLM. quibus in figura OTV. iespondeant proporritionales
303쪽
tionales parallelar RT. SV . QV&sint etiam primo partes huius incidentium proportionales, partibus parallelarum proportionalium proportionalcs, nempe ut HI.ad I L. ita PR. ad RT.&vt HK. ad K M. ita PS. ad SV. erit figura OTV. i h
Sit secundo OP. perpendicularis ad extremas parallelas, siue illa caedem sint siue diuersae, sed partes incidentium proportionales partibus parallelarum proportionalium analogae non sint, nempe non sit ut HI. ad IL. ita PR. ad RT. Dico figuram OTV. non esse circulum. Si enim aliter asseratur , sit si fieri possit circulus, ergo eX Coroll. secundae Co ol. , huius erit ut HI. ad I L. ita PR. ad RT. quod est absurdum huius. ponitur enim non esse ut HI. ad I L. ita PR. ad RT. Denique incidens PO. non sit ad extremas parallelas perpendicularis sed obliqua, ut patet in penultimo sch mate, faciatque cum extremis parallelis angulos non rectos. Dico illam non esse circulum. Sit enim si fieri potest circulus. Quoniam rectae PQG QO. rectis aequalibus ΗN. NG. proportionales sunt, etiam inter se sunt aequales, & rectar Ea . rectis ZN NX. aequalibuε proportionales , etiam sunt aequales, centrum igitur circuli est punctum si enim centrum non esset duae rectar EY. OP. sese mutuo .. secantes non per centrum intensae sese mutuo bifariam non secarent, quod est absurdum, cum probatum sit eas
sese bifariam secare 2 eiusque diameter PO. Rursus manis
304쪽
19 Curtii ac recti proportio promota.
ni festium est figuram analogam OEPY; quae circulus dici tur, totam intra parallelas AO. CP. quorum motu facta est, contineri: fi enim pals eius csset supra o. petis infra P. illa pars non esset descripta motu parallelae AO. quae ponitur motu esse paralleλωs abGO .in Η P. quod est contra rationem descriptionis,&definitionem primam huius: igitur figura dicta tangitur a parallelis AO. CP. in punctis O. P. ergo diameter PO. ad extremam tangentem GO. perpendicularis est : quod esta absurdum, cum ponatur obliqua; non igitur figura OTV. circulus est : sed quia ea, ut & s pcriores quae circuli non sunt paulatim a puncto O. dilatantur usque ad parallelam mediam EY. hinc rursus coamctantur dum in punctum P. desinant & claudantur, forma mellipsis praeseserunt,quapropter figuram hanc ,donec naturam eius cXplorauerimus, vocabimus Ellipsides. Igitur si motu ad datum circulum &c. Quod erat pr bandum .
Hinc confiat s motus si huiu odi qualis desieri bisur
tertia huius, figuram analogum esse circulum I secus nunquam ese circulum; se incidente ad extremas parallelas sente obliqua , figuram analogam circulum non esse.
secundae. lFigura analoga quae motu ad circulum aequid, anser pro ortionali procreatur, aus Circulus es aut Ellipseoides escisculus aut inIra easdem parallelas aut intra diuersas : sistra easdem parallelas producatur,patet esse dato aequalem, cum aequalem dato diametrum habeat ; s intra diuersas ormior es minor esse potest. Rursius et Fides am inter easdem sarallelas continetur, aut duersas , se utroque modo
305쪽
aut incidentem ad extremas parallelas recum haber,aut obliquam; ac denique parallelas proportionales ais parallelis dati circuli aequales habes, aut m aequales. EEV set des cmus inci s ad eAIremas parallelas recta est dica Ar Ellipsoides i ectum e id vero cuius incidens ebtiqua, vocetur Elli ploides obliquum . di parallela proportionales aequales tappelletur Ellipsoides AEquichoide ; s inaequales Diuersi chorde.
SI incidenti secundae parallela intra ellipso i
d es ducatur: ea a parallela media bifariam secabitur.
Describatur circulus ABCD.ac ellipseides quodcumq; FGHI.modo in prima definitione huius tradito a siue inter easdem parallelas BF. DH. siue diuersas; at sint primum inter easdem , sitque incidentium pi ima BD. secunda FH. illa diameter circuli ad BF.recta; ita aut recta aut obliqua; 'parallelarum media EΚ. transiens per centrum circuli E.&ipsam FH. secans in K. peripheriam circuli in C. ellip i- dis in G. ipsi autem FH. parallela ducatur LM. secans p riocham ellipseidis in punctis L. M.& parallelam mediam in
306쪽
1 σ Curui ac recti proportio promota.
in puncto P. Dico rectam L.M. a recta ΚΕ. bifariam sic ri in P. Ducantur per puncta L.M. duae parallelae interi res IN. MO. proportionales parallelis in circulo RT. QS. quarum illae incidentium secundam secent in N. o. istae circuli diametrum in R. peripheriam in T. S. & iungatur TS. secans ΕΚ. in V. Quoniam parallelae sunt ON. Definit. I. ML. ex hypotest: item LN. M o. ex definitione prima hu-hUM' ius , seu descriptione ellip ideos , parallelograminum est Definit. 3 s. LMON. quare aequalia sunt adiret j a latera MO. LN.Sed 3 - - MO.LN. sunt parallelae proportionales ipsis QS. R T. ex definit. I.huius:aequales igitur sunt QS. I T. sed sunt , paralle , ex eadem definit. Igitur etiam parallelae sunt xy. I. BD. TS. Igitur anguli BE V.&TVE. sunt aequales, ill autem rectus est ex definitione I. huius; quare & iste rectus est , secatque EV. rectam TS. bifariam in V. ut au- hemi , . tem SQ ad Ur ita MP. ad PL. Igitur etiam recta ML. huius. diuiditur bifariam in P. atque idem demonstrabitur doqualibet alia parallela ipsit FH.Sed circulus datus atque ellipseides analogum non sint inter easdem parallelas. Inter parallelas BF. DH. inter quas ellipseides describatur, motu ad datum circulum .3.&4.hin proportionali describitur circulus ABCD. quod ex superioribus fieri posse manifestum est; codem prorsus modo quo in prima parte huius propositionis demonstrabimus ML. bifariam secari in P. Quare si incidenti secundM&c. Quod erat piobandum. '
EX demonaratis manifesum ess LM. ponatur parallela ipsi FH. etiam illi respondentem TS. esse parallelamus BD. orcum illa bifariam fretur in P. hanc bifariam sue
307쪽
N Ellipsoide quolibet incidens sccunda,& p
rallelarum media sunt diametri coniugptae. - SIT idem ellip ides quod superiori propositiun
FGHI. in quo incidens secundaria,circa quam descriptusnest it FH. parallelarum media GL intra ellipseides contenta Dico FH. Gi: esse diametres figurae coniugatas. Nam quia recta FH.diuidit omnes parallesas interiores bifariam, ex definitione prima huius duex descriptione, erit ipsa diametcr ellipsoidis, per io. definitionem primi Conicorum Apollonij. Item quia parallelamedia GI. diauidi omnes parallelas incidentis leu diametri: m. bifa-
desin. Iahuius. defin. IO. I. Conic. s. huius.
riam , erit & ipsa, ex eadem definitione, diameter. Insuper quia utraque FH. GL diameter est, It FH. parallelas ipuus . GI. & GI. parallelas ipsius FΗ. bifariam secat, erunt ex , iconie' definit. 17. r. Conteorum FΗ. GI. diametri coniugatae. Detuitio: Voeetur autem ineidens FH. Biameter prima: parallela- NΣ
308쪽
i Curui ac recti proportio promota.
Llipseidos diametrum primam quasi bet pa
rallelarum interiorum ita secat, ut quadra- tum primae diametri ad quadratimi secti. dae sit ut rectangulum partibus primae diisnetia contentum ad quadratum dimidiae parallela: interioris primam diametrum .secantis
In schemate superiorum propositionum diametros privimas ellipso id is&circuli FH. BD. secet parallela interior RN. illam in N: istam in R. illius primetium in L. istius
peripheriam in T. Dico esse quadratum FH. ad quadratum GI. ut rectangulum FNH. ad 'uadratum NLI - 7- Quoniam proportionale sunt duae BR. R D. duabus FN. r. dzit.ε. ΝΗ- erunt rectangula BR D. I NH. similia in eandem ob causam similia erurit rectangula BED. FΚΗ. Item quia . , proportionales sunt RD. ED. ipsis NH. ΚH. a quibus re-i' . ctilinea BR D. BED.& FNH. kΚH. similia similiterquo descripta sunt: erit ut rectangulum IR D. ad rectangu-, . . '
309쪽
clum BED. ita rectangulum FNH. ad rei tangulum ΓΚΗ., Ad haec quia est vh R T. ad EC. ita LN. ad ΚG erit ut qd
drat i Rr ad quadratum EC. ita quadratum LM 'ad quadratum ΚG.scd ut quadratum RTιad quadratum EC. t ita rectangulum BR D. ad rectangulum BED. aequalia Venilia sunt rectangula BR D. BED. quadratis RT. EC. &-ut rectangulum BR D. ad re tingulum BED. ita ostensum est rectangulum FNH.ad rectangulum FΚΗ. vi igitur quadratum LN. ad quadratum GK. ita rectangulum FNH. adjectangulum Fg H d est ad quadratum FK.&con sequem Schol.ia 1 o. tium quadrupla vi quadratum LN. ad quadratum G Lita si rectangulum FNH. ad quadratum FH. & conuertendo ac ia permutando erit quadratum FH. ad quadratum GL ut re λangulum FNH. ad quadratum LN. Quod erat demo serandum.' . Quod si circulus datus atque ellipseides analogum non fiat inter easdem parallelas: eodem modo quo in quin traturius, in ter parallelas BF. DH. inter quas ellip ides describitur, motu ad datum circulum proportionali descri
batur circulus ABCD. quod cx superioribus constat fieri ius ' possiet eadem prorsus ratione qua in prima parte huius pro- positionis demonstrabimus esse ut quadratum FH ad qua ratum GL ita re flanguium INH. ad quadratum LN. Quod ad peritatam demonstrationem addendum erata e- THEOREM A VIII. PROPOS. VIII. ii
ΕLlipseidos diametrum secundam quaelibe
oldinatiui applicatarum ita secat,ut quadra. tum secundae diametri ad quadratum pri-naae, sit ut rectangulum sub partibus primae diΘ'metri, ad quadratum Oidinatim applicatae.
In stiperiori schemate ex quocumque punem L. ad se. Qihilam diametrulli GI. applicetur ordinatim recta I P.
310쪽
Si vero circulus datus, atque ellipsoides analogum non