장음표시 사용
331쪽
mi' THEOREM A XIX. PRO PQ β. XIX
Polygona in Circulo atque Ellipsi : Parabolis
item & Hyperbolis analogis inter diuersis parallelas motu aequidistanter &aequaliter proportionali procreatis similiter descripta inter te sunt ut altitudines.
Sint eadem quae superiori propositione, sed figurae ana-
Iogar non sint intercaldem parallelas, sintque motu aequi- dinanter &aequaliter proportionali procreatae, ita ut reis FV. VI. parallelis proportionalibus OS. SQ. sint quales,& BE. En ipsis LR.RN. atq; ita in deinceps, quae connectantur rectis sibi inuicem respondentibus AF. . .&c. & ΚΟ. OL. LM. &c. quae essicient duo polygona in ellipsi dccirculo;item in parabolis & Hyperbolis analo- sis, eo modo quo definitione 3. huius traditum est. Diuo 'Ipolygonum AFBGCF DI. ad polygonum KOLXM. esse , ut altitudinem figurae CA. ad altitudinem figurae MΚ. S cet recta quaepiam AC. rectas FI. BD. GH. bifariam ilia - - punctis V. E. V. sitque ad angulos rectos parallelis extremis, erit A V. altitudo trianguli FAI. VE. altitudo trapezij FD. & EY. altitudo traperij ΒΗ. & YC. altitu-co trianguli in circulo ; in Parabola vero aut Hyperbola ultimi trapeau GCΗ. Ita sit ΚM. ad angulos rei tos paral-eIISexti emis,& ΚM.diameter secet parallelas proportiones O N. XP. bifariam in punctis S. R. T. erunt Kb. 5 R. R T. altitudines trianguli, & trapeziorum OK., altitudo trianguli XMP. in ellipsi; in Parabola vero aut Hyperbola trapeab XMP- Quoniam is - tur triangula in I. OK aequales habeat basei, exlivpo- i tHeu , erunt inter se ut altitudines: quare ut A V. ad KS.ita Cp J xxiangulum FALM triangulum OK cursus quia trape- Ss etiorum
332쪽
dem modo ostendemus ut EY. ad RT. lia trapeχium ΒΗ- ad trapeZium LP-&vt YC. ad I M. ita triangulum, aut tra Zium GCH. ad triangulum aut traperium XMP-
S R. ita trapegium FD. ad trapezium ON. erit ut triangulum FAI. ad triangulum OK ta trapeZium FD. ad trapeaium ON. Item cum sit trapezium FD. ad trapeZium , . remm. ON-Vt V E. ad S R. & ut VE. ad SR. ita EY. ad RT. & ut liuius. EY. ad RT. ita trapezium B H. ad trapezium LP. erit Ut traperium FD. ad trapeaium ON. ita trapezium BH. ad trapeZium M. Atque eadem ratione ostendemus esse vi
etiorum FD. O N. aequalia sunt latera parallela FI. BD. Imis. quarii. teribuS O -N. sunt inter se ut altitudines V E. SR. Eo.
333쪽
trapeχium ΒΗ. ad trapezium LP. ita trlangulum aut tr pezium GCH. ad triangulum aut trapezium XMP. Quare cum sit ut triangulum FAI. ad triangulum OKQ ita traperium FD. ad trapezium ΟN. & ut trapezium FD. ad trapeZium ON. ita trapezium ΓΗ. ad trapeetium π.& ut trapezium FH. ad trapegium LP. ita triangulum aut tra- pegium GCH. ad triangulum aut trapeaeium XMP. erit ut triangulum in I. ad triangulum OK ta totum polyg num AFBGCH DI.ad totum polygonum ΚO LXMPN sed ut triangulum FAI. ad triangulum OK Ita AV. ad KS. vi modo probatum est,& ut A V. ad KS. ita AC. ad K M. ut igitur AC. altitudo ad altitudinem ΚM. ita poly
Circuli atque Ellipses: Parabolae item, aut
Hyperbolae analogae inter casdem, aut aequat iter di stantes parallelas descriptae suntii ter se ut parallelae proportionales.
Inter easdem parallelas AK. CM. descripta fini circulus ABCD.& ellipsis analoga KLMN.&Parabolae aut Hyperbolae AG ΚM.quorum parallelae quaelibet proportionales FI. O Dico este ut FI. ad O ita circulum ABCD.adcllipsin ΚLMM& Parabolam aut Hyperbolam AC. ad Parabolam aut Hyperbelam ΚM. Si enim non ita sit i siε ut ad OQcita circulus aut Parabola aut Hyperbola data . ABCD. ad aliquam aliam magnitudinem quae sit Z. quae vel minor crit, vel maior ellipsi vel Parabola, vel Hypembola analoga KLMN. si enim esset a qualis, haberet circulus ABCD. ad ellipsin ΚLMN. candem proportionem, ac propterea citet circulus ad cllipsin vi FI. ad U quod non supponitur. Sit ergo primum magnitudo Z. minor quam
334쪽
3 a Grai ae recti proportio promota. , Luu,. must idem dicendum in Parabolis aut Hyperbolis: Inscribatur Ellipsi & Parabolae, ac Hyperbo-
Iar analogae ΚM. figura muItorum angularum, & numero parium quae maior sit magnitudine Z. minore quam ipta
Ellipsis aut Parabola aut Hyperbola data sitque dicita figura ΚOLXMPN Hinc circulo ABCD. inscribatur Polygonum similiter polygono ellipseos quod sit AFBGCXDI. ac quod de Ellipsi dicitur intelligatur de Para-34 rivus. bola & Hyperbola analoga Quoniam est ut FI. ad OQ.ata polygonum AFBGCXDI. ad polygonum ΚO LXMΡNQ& ut FI. ad OQcita ponitur circulus ABCD. ad magnatudinem Z. erit ut po*gonum AFBGCFILI. ad pol gonum ΚOLXMPN ta circulus ABCD. ad magnit uinem Z. & permutando, ut polygonum AFBGCHLMd
335쪽
circulum ABCD.ita polygonum ΚOLXMPNα ad magnitudinem Z. sed polygonum A GCHLI. est minus circulo ABCD. igitur & polygonum KO LXMPNQ. est
minus magnitudinc Z. ostensum autem est & maius Aquod est absurdum a non igitur minor est magnitudo Z. ellKLMN. Quo vero modo probauimus non posse esiovi FL ad OQcita circulum ABCD. ad magnitudinem minorem ellipsi KLMN. ita ostendemus non posse esse ut Oata ad FI . ita ellipsin XLMN: ad magnitudinem circulo
ABCD. minorem,ut euidenter constat.
Sit deinde magnitudo Z. maior ellipsi KLMN. Clinia ergo ponatur circulus ABCD. ad Z. esse ut BD. ad LN. e rit & conuertendo Z. ad circulum ABCD. ut LN. ad BD. ponatur ut L. ad circulum ABCD. ita ellipsis KLMN. ad . magnitudinem aliquam 3. erit permutando ut Z. ad Ellipsin KLMN. ita circulus ABCD. ad magnitudinem 3. sed Z. ponitur maior quam ellipsis KLMN.ergo maior est circulus ABCD. magnitudine 3. Quare erit ut LN. ad BD. ita cli ipsis KLMN. ad magnitudinem 3. minorem circulo ABCD. Quod est absurdum,& contra id quod in fine primae partis huius probatum, est. Ergo circuli atque ellupses analogae &c. Quod erat demonstrandum. Idem sequetur si inter aequaliter distantes diametros circulus atque ellipsis; Parabolae item atque Hyperbolae analogae descri bantur. i
HInc conssat circHos atque elliflsis analogas inter easdem parallelas motu quid anter proportionali δε- scriptas esse vi secundas diametros e nam secunda diametri Gi- sunt inalgela proportionales.
336쪽
sis Cumi aerecti proporti opromota THEOREM A XXI. PROPOS. XXI.
Circulus S ellipsis analoga; Parabolae ite
aut Huperbolae analogae inter diuersis parallelas motu aequid istanter, & aequaliter proportionali descriptae sunt inter se ut altitu
Inter diuersas parallelas descriptae sint figurae analogae, circulus quidem & ellipsis ; Parabolae item Hyperbola AC. ΚM. motu aequid istanter & aequaliter proportionali ita rectar FV. VI. parallelis proportionalibus OS. S intaequales,& BE. ED. ipsis LR. R N. atque ita deinceps. Dico esse ut altitudinem figurae AC.2ad altitudinem figurae ΚM. ita figuram AC. ad figuram ΚM. Si enim non ita sit ivt altitudo figurae AC. ad altitudinem figurae ΚM. ita fiat figura AC. ad aliquam aliam magnitudinem quae sit Z. quae vel minor erit,uel maior figura ΚM. si enim esset a r. s. qualis haberet figura AC. ad figuram ΚM. eandem proportionem , atque ideo esset figura AC. ad analogam Κ M. ut altitudo ipsius AC. ad altitudinem ipfius K M. quod non conceditur. Sit ergo primum magnitudo Z. minor his, . quam figura analoga ΚM. cui inscribatur, siue ellipsis sit siue Parabola siue Hyperbola, figura multorum angui lorum, & numero parium quae maior sit magnitudine Z. quae ponitur minor quam figura analoga ΚM. & figurae AC. inscribatur polygonum simi liter ei quod in figura ΚM. quod fit AFBG HDI. secundum defin. F. huius,eOdem prorsus modo quo in is . huius,& secunda I a. et mentorum sequetur abductione ad absurdum esta AC.is. huius. Κ M. figuras intei se, ut altitudines. Nam quia est ut altitudo figurae AC.ad altitudinem ipsius K M. ita polygonum
337쪽
altitudo ad ast thudinem, ita ponitur figura AC.ad magnitudinem Z. erit ut polygonum AFGBCF DI. ad polygonum KOLXMPNinita figura AC. ad magnitudine L. &perinxitando ut polygonum AFBGCH DI. ad figuram . AC. ita polygonum KOLXMPNmid magnitudinem Z. sed polygonum AFBGCF LI. est minus figura AC. Igitur de polygonum KO LXMPN est minus magnitudine
Z. ostensum autem & maius. Quod est absurdum. Hine codem prorsus modo quo in secunda parte praecedentis, &in a. numero duodecimi, Ostendemus magnitudinem Z. non posse esse maiorem figura ΚM. Igitur illi aequalis erit. Vt igitur altitudo figurae AC. ad altitudinem figurae ΚM. ita figura AC. ad Z.aequale ipsi KM.nempe ad ipsam KM. Quod erat demonstrandum.
o Mnes Ellipses Parabolae , Hyperbolae ana
logae quae motu ad datum circulum aut Parabolam aut Hyperbolam & aequidistanter,& arctualiter proportionali inter easdem parallelas descriptae sunt, tum figurae data tum inter se sunt aequales : item quarum parallelae lineae proportionales ad parallelas data: fgura:
eandem nabent rationem, inter se sunt aequales. Inter duas parallelas AK.CM. descriptus sit circuIus, . aut Parabola, aut Hyperbola ARCE. cuius diameter ad parallelas recta sit A C. & motu aut aequaliter ac aequid istanter proportionali describantur quotlibet ellipses aut Parabolae, aut Hyperbolae analogae ΚVNM. ita nimirum Vt Omnes parallelae proportionales circuli parallelis ellipsium sint aequales,ut ipsae QB. BC.in circulo ipsis TH.HLin ellipsi: item RD. DE. ipsis VLAM.atque ita deinceps
338쪽
sis eurui ac recti proportio promota
aut certe secundae diametri ellipsium VM. VM. habeant tili RE.vel AC.atque eodem modo in Parabolis & Hyperbolis. Dico in primo
casu ellipses KN. tum inter se, tum circulo esse aequales;in secundo easdem ellipses esse inter se aequales:atque eadem ratione Parabolas aut Hyperbolas ΚN. analogas tum inter se tum datae AC. esse aequales; in secundo easdem inter se esse aequales. Nam cum in primo casu parallela: pr portionales TI. aut VM. in ellipsi , parallelis QC. aut RE. huius, circuli sint aequales, sint autem circuli& ellipses analogae t. pi vhe. 'x ς sd paralicias ut parallelae proportionales ; m nisestuo est circulum AC. cuiuis ellipsium, ipsasque inter se esse 'quales. Quod si earumdem ellipsium parallelae proportionales VM. ad parallelam RC. eandem habeant' rationem , erunt aequales inter se , cum autem sint ipsae ad circulum ut parallelae proportionales ad parallelas circulii manifestum est ipsas ad circulum eandem habere rati f. nem, ideoque ene inter se aequales. Atque eadem sequuntur in Parabolis & Hyperbolis analogis. Quod erat d monstrandum.
339쪽
THEO REMA xXIII. PROPOS. XXIII. Ε Llipsis dato circulo analoga inter diuersas
parallelas descripta eam ad circulum rationem habet, quam secunda diameter ellipsis ad recham quae altitudini ellipsis & altitudini seu diametro circuli sit tertio loco proportionalis.
Sit ellipsis KN. dato circulo YZ. analoga sed interdiuersas parallelas constituta. sitque secunda diameter ellipsis VM. eiusque altitudo pernendicularis A C. & altitudo seu diameter circuli dati YZ. fiatque ut AC. ad YZ. ita
quampiam E. Dico esse ut VM. ad E. ita ellipsin ΚN. ad ci culum YZ. sit eodem motu adquid istanter proportionali quo ellipsis KN. descripta est , descriptus etiam circulus AC. erit ut diameter V M. ad ldiametrum A C. ita ellipsis KN. ad circulum AC- &vt quadratum diametri AC. ad quadratum diametri YZ. ita circulus AC. ad circulum YZ. vi autem quadratum dia, metri AC. ad quadratum diametri YZ. ita diameter A C. ad tertiam proportionalem E. Quare cum sit ut diameterVM. ad diametrum AC. ita ellipsis KN. ad circulum Ata& ut A C. ad E. ita circulus AC. ad circulum YZ. erit eX mquali ut diameter VM. ad rectam E. ita ellipsis KN.ad cir
culum YZ. Quod erat demonstrandum.
2.I.4.huius. Corol. 2 ilicius.
340쪽
3 3o Curvi aerecti proportio promota. THEOREM A XXIV. PROPOS IRCIrculi atque ellipses inaequales, item Par
bolae, atque Hyperbolae analoga in tet diauersas parallelas descriptae habent rationem compositam ex ratione altitudinum, & ratione parallelarum proportionalium-
Sint circulus atque ellipsis ADG. ORU. vel duae Par holae ADC. ORV. vel duae Hyperbolae ADG. ORV. inaequales, ADG. maior minor OR V .sed analogae, &ductae sint in figura ADG. parallelae BE. CF. DG. proportion tes parallelis PS. QT. R V. & sint altitudines AX. OY.quar& diametri seca tes parallelas pro- portionales. D rationem figurae OK V. ad si guram ADG. esse compositam ex ra- Diione OY.ad AX.& ratione RV. ad DG Sumantur
quales ipsi PS QT. RV Erit A KN. figura analoga ipsi OXV. ut ex demon stratis superioribus proposit ion ibus constat; quare ut AX altitudo ad altitudinem OY. ita figura ADG. ad figuram ORV.ut constat ex a I. huius, & vi K N. id est RV ad DG. ita figura AKN. ad figuram ADG ut probatum est χα huius. go cum sit ut sigura ORV. ad figuram AKN. ita OY. ad