장음표시 사용
341쪽
. & ut figura AΚN. ad figuram A . ita m. ad I Merit ratio ORV. ad A DG. compositam rationibus G.ad AX.& KN .id est RV.ad DG. inod erat demonstrandum.
Hactenus egimus de figuris quae motu ira fiunt, ut em
r- Hametri in e sum rationes di audantur , t eque diame ri chordas parallelas etiam propartionaliter dia dant. Nunc transeundum ad illas quas desinitione sexta huitis ae sinisti mus , in quibus chorda unius figura circa alterum emrremum diametri circamuolutae or in peripheriam Aura reminatae ; chardis alterius figurae motu parallelo delatis aeper prioris perapheria puncta transeuntibus sunt proponi
SI motu ad chordas circuli coniunctas aequia distanter proportionali Conicoides primum
describatur illud est Parabola.
Sit Conicoides primum .F. inter duas parallelas AO. BF. descriptum cuius vertex O. diameter OP. ordinatim applicatae LI. M H. ipsi BF. parallelae. Dico Coni- coides QOF. esse Parabolam. Sit primum OP. diameter ad extremas parallelas perpendicularis, & intra duas parallelas AO. BF. descriptus sit circa diametrum AB.ad extremas AO. BF. orthogoniam circulus ADB. & prod uistae I L. HM. secent peripheriam circuli in E. D.& diametrum in T. R.&connectantur AE. AD. item BE. BD. erunt ex dclini definitione 6. huius , reetae LI. M H. rectis AE. AD. proportionales; fini autem primum aequales: erit ut quadratum MH. ad quadratum LI. ita quadratum A D. ad quadratum AE. sed quadrato A D. aequale est rectanguli a
342쪽
331 Curui ac recti proportio promota.
BAR. & quadrato A E. rectangulum BAT. nam in trian F 31. s. gulis rectangulis BDA. BEA. ad D. & L. in quibus ad bases demissae sunt perpendiculares DR. ET. ex hypothesi, . est ut BA. ad AD. ita AD. ad AR. & ut BA. ad AE. ita, 2 AE. ad AT. ideoque quadrata AD. AE.rectangulis BAR.
3 r. s. BAT. aequalia sunt igitur ut quadratum MH. ad quadratum LI. ita rectangulum BAR. ad rectangulum BAT. Lemm. sed rectangula BAR. BAT. rectangulis POM. POL. simi- hM lia sunt Nam ut BA. ad A R. ita PO. ad O M.&ut BA. Dessit. r. ad AT. ita PO. ad OL.similia igitur sunt rcctangula BAR.
1. s. cundam, ita BA. tertia ad PO. quartam,erit ut rectangulum BAR. ad rectangulum POM. ita rectangulum BAT. ad rectangulum POL. & permutando, ut rei ingulum , BAR. ad rectangulum BAI . ita rectangulum P O M. ad rectangulum POL. sed rectangulum BA R. ad ructangulum BAT. paulo ante ostensum est esse ut quadratum M H. adii. s. quadratum LI. igitur erit ut rectangulum P O M. ad rectangulum POL. ita quadratum M H. ad quadratum LI. i. s. sed ut rectangulum POM. ad rectangulum POL. ita posita communi altitudine PO. MO. ad LO. igitur quadratum MN. ad quadratum LI. est ut MO. ad LO. Iam vero fiat ut PO. diameter Conicoidis primi ad BA. diametrum circuli, ita diameter circuli ad tertiam OV. quae ipsi PO. in vertice Ο. aptetur ad angulos rectos, & sit AX. arqu ilis tr. s. ipsi AB quoniam est ut PO. ad AB. ita AB.ad O V .erit rectangulum P OV. quadrato BA. aequale. Rursus quoniam
343쪽
proponionaliter diuisae sunt BA. PO. in punctis Τ. L. tunt rectanglila XAT. id est BAT. &VOL. aequalia, re- ctangulo autem BAT. aequale est quadratum AE. ut supra Ostensum est, & quadrato AE. quadratum LI. cum aequales sint , ex descriprione, AE. LI. Igitur rectangulum
VOL. quadrato LI. aequale est. Iuam vero constat ex Sa. I. Conic. posse inueniri Par bolam cuius diametersit data OP vertex punctum O. temminus ipsius OP. Ducta vero quaelibet ut QP. a section ad diametrum in angulo recto QPO. possi rectangulum POV. sub diametro PO. & recta illi perpendiculari OR2uar erit latus rectum ex II. I. Conicorum. Inuenta iami,& imponatur Parabola Conicolai primor congruentPO. Conicoidi & PO. Parabolae cum aequales posita sint: item QP. utriusque figurae, cum tam recta: QP. quam anguli QVO.ponantur aequales et denique eandem ob causam conuentcnt OV. in utraque figura. Igitur aut congruet toti Conicoidi Parabola ; aut minime. Ponatur primum non congruere,& ubi deficiunt applicetur ordinatim LIY.quae secet Conicoidis lineam curuam in puncto I. Parabo-ti vero in Y.dioniam in utraque figura O Vaest recta iuxta quam possunt ordinatim applicatae, &, ut paulo antra ostea sum est,rectangulum LOV. aequale est quadrato LL& rectangulum LO V. aequale est quadrato LY. aequalia sint quadrata LI. LY. pars & totum: Quod est absurdum: Congruent igitur Conicoides primum & Parabolae ergo aequalia sunt, & in unam figuram coincidunt.
Sed Conico ides primum , si non QOF. sed CNY.
angulus CYN.quicumq;&rectar GO. KS. NY.cum irectis Ll. M H. PF. continuatae ipsis AE.AD. AB. id est LI. M H. PF. proportionales. Dico etiam CNY. esse Parabolani. Cum enim parallelae sint OC. QΥ. & proportionales OL. LM. MP. ipsis CO. OS. SY. item proportionales LI.MΗ. PF. ipsi Go. Κb. NY. erit figura CNY. ad Parabolam. F. analoga,ac motu aequidistanter ad Parabolam pro-
Lemma huius. definit. 6. huius.
344쪽
3 3 rui ac recti proportio promotu
hvixi portionali procreata, igitur&ipsa est Parab,la. Quam Conicoides primum ea Parabola. Quod demonstram,
Ex dictis mani ficto ea sidiameter Parabola PO. sit per
pendicularis ad rectas Ao. BF. se recta LI. M L. PAchordis AE. AD. AB. aequales, rectangulum POL. esse aequa quadrato LI. se rectan uiam POM.quadrato MN. Cum enim aquai sint m. BA. OOL. AT. erunt rectangula POL. BAT: aequaliabat rectangulum BAT. quadrato AE. o quadratum AE. quadrato LI. aequale est: aequalia igitur sani rectangm Ium POL. or quadrat- LI. atque eandem ob causam qualia fani rectangulum POM. O quadrinum MLA
APerte etiam deducitur, immo cum propositione conuenit quod sequitur : si in sinus arcutim circuli productos, G punctis in quibus diametrum secans chordae eorumdem arcuum , mel chordis proportisnales transfraniar ,per earnm extrema transgens linea curua Parabola es. P t in figura prima definitionis 5. huius , s semicirculus ACB.F-cetur in quotlibet arcus AD. AE. AC. AB. quos subtendunt chorda AE. AD. AC. AB. se sinus EL. DM. CN. σ tangens FS. in quibus productis accipiantur LI. MΗ. . AF. ipsis M. AD. AC. AB. proportionales , curua linea AmGF. per extrema illarum linearum transiens in Parabola: hoc enim
i su alio titulo in propositione demo ratum es .
Consar etiam ex ultima parte propositionis, omnes Prirabolas qua motu ad chordas circuli coniunctas pro-
345쪽
ducuntur esse analogas ; atque ideo quae frena de parabolis algis dicta sunt illis conuenire.
I a circuli vertice ductie chordae aequalium arcuum peripheriam secent in punctis a quiabus in sequentes ac maiores chordas per- Pendiculares ducantur , quae in sinus eorundem arcuum a punctis in quibus diametrum secant hinc inde transferantur: Curva linea per earum
extrema transiens est Parabolao Sit circulus ACF. cuius diameter AF. vertex A. diutidatur semicirculus ACF. in quotcumquc Parica aequat i ii
346쪽
3 3 s Curvi ac recti proportio promota.
punctis B. C. D. E. chordarum,in quibus peripheriam si cant,ducantur in sequentes chordas perpendiculares BG. CH. DI. ΕΚ. quae transferantur in sinus a punctis N. M. L. Κ ita ut NO. MP.L E. ipsis BG. CH. DI. EX.sint aequales. Dico lineam curvam AOPQE. esse Parabolam. Sumantur chordis AB. AC. AD. AE. AF. aequales in si ς' nubus productis NS. MT. LV. ΚΥ. manifestum est quod' per puncta A. S. T. V. Y. Z. transibit Parabola. Hinc cum 7, D aequales positi sin t arcus BC. CD. DE. EF. aequales,erunt anguli B AC. CAD. E. EAF. aequales ideoque in trian gulis rectangulis.GBA. HCA. IDA. KEA. reliqui anguli ad B. C. D. E. aequales ac omnia illa triangula sit nilia: utri igitur AB. ad BG. ita AC. ad CH.& permutando ut AB. ad AC. id est NS. ad MT. ita BG. ad CH. id est NO. ad M P. Eodem modo cum aequiangula sint triangula ACH. ADI. erit ut AC. ad CH.. ita AD. ad DI. & permutando ut AC. ad AD. id est M T. ad L V. ita MP. ad QL. atque eadem ratione probabimus esse ut LV. ad ΚΥ. ita L ad ad ΚΕ. vel ΚR- cum igitur Parabola sit data A,T YZ stque ut NS. ad MT. ita No. ad MP & ut MT- ad LV. ita MP. ad Lin& ut LV. ad ΚΥ. ita L id ΚΕ erit figu- ε 'Τ' ' ia AopQE. datae parabole ASTVYZ. analoga, idcoquet
Ex ae monstratis sequitur si rem M. AU. M. Ax. in
simus NM MC. LD. Οὐ ordine transferantur , lineam Xuam per illarum ex rema transiuntem se Parabolam
Nam in , em triangulis similibus ARI. CAH. DAI. EAces vi AB. ad AC. tra AG. ad ΑΗ. se ut AC. ad AD. ita AH. ad AI. o se deinceps ; quare siquitur id quod popo
347쪽
33T THEOREM A XXVII. PROPOS. XXVII. ΡΑrabola recta ac circulo aequichordis, est
sectio coni aequi lateri cuius basis est circulus habens diametrum diametro circuli congenei duplam , diuidens illum circulus
per centrum. Sint inter parallelas Ao. BF. circulus cuius diameter AB. & illi congenea Parabola QOF. cuius diameter Po. ad utramque parallelarum sit recta. Hinc centro H.
semidiametro I . quae ipsi AB. sit aequalis , descri- Datur circulus DFEG. qui si basis coni a quicruris cuius
348쪽
3 3 8 curvi ae recti proportio promota.
vertex A. seceturque plano per axem quod sectionem . faciat triangulum aequi crure CDE. Ductaque per centrum diametro FHG. ad DE. perpendiculari ,& diuisa DC. bifariam I. siccetur altero plano transeunte per rectam FG. & rectam IIJ. quae cum sit parallela ipsi CE.is. definit. nam diuisa DE. bifariam in H.& DC. bifariam in I. - ς' ex hypothesi,erit ut DFq. ad HE. ita DI. ad I C. ideoquGparallela I H. CE. constat sectionem FIG. quae fit illori. 1 Conic. plano,esse Parabolam. Dico Parabolam FIG. Parabola QOF. congrucre , ideoque unam & candem esse figuram.
d*βη ruam curn sumpta sit blG. aequalis AB. erit GF. quae dupla est ipsius GH; etiam dupla ipsius AB. sed ipsius AB. d pia est QF. ex descriptione: igitur aequales sunt bases FG.QF. duarum Parabolarum. Rursus quia parallela est IIJ Cor. Α ε- ipsi CE . erunt triangula CED. IH D. similia:quare ut CE. ad ED. ita ΙΗ. ad F D. aequales autem sunt CE. ED. igitur aequales IIJ. H D. sed ipsi F D. est aequalis AB. ex hy-a . L pothesi , & ipsi AB. recta OP. in palallelogrammo ABPO aequales igitur laut diametri Ibi. O P. Parabolarum FIG QOF. sed & anguli FHI. QPO. recti sunt , hic ex hypothesi , ille quia cum conus fit aeqvscruris erunt rectae a Vestice C. ad puncta D. F. E. G. aequales, in triangulis igitur C H. CG H. habentibus duo latera FH. FIC. duobus, GF . HC.aequalia ,&b.isim FC. basi GC. aqualem,eruntio. definit. & anguli Fb C. GH C. aequales, ideoque recti; atque eo-
,: iis: dem modo ostendentur recti DI C. EI C. recta igitur estii, CH. ad planum DFEG. Quare etiam rectum est planum3 CDE. plano GDFE. Igitur & planum GDFE. ipsi plano CDF. rectum est , cum igitur recta FΗ. faciat angulos re- , i. eios cum DE. CA. in puncto P . insistet plano DCE. ad
3.defin. ix. angulOS rectOS : quare sequitur angulum FHI. esse rectum.
. Denique si fiat ut quadratum DE. ad rectangulum DCE. λ in ita linea ad Ita erit KLlatus rectum , aequale ipsi lC. nam in triangulo aequicrure DCE. quadratum DE. re
ctangulo DCE. aequale est id est ipsi ID. id est ipsi DH.
349쪽
Id est ipsi AB.ipsi autem AB.est etiam aequale latus rectum ΡV. Parabolae F. nam si fiat ut PO. ad BA. ita BA.
ad aliam OV. erit tertia illa o V. latus rectum Parabola QOF.sed aequales sunt B A. PO. Igitur aequales sunt OV. PO. id est BA. aequalia igitur sunt latera recta OV. KI. Ex quibus per impositionem facile colligitur identitas Parabolarum FIG. QOF. Nam recta PO. rectae aequali HI.
congruet, item angulus ad H. angulo ad P. &recta QF. rectae aequali FG. & angulus rectus POV. recto HI K. OV. aequali IK. Quare & curua QOF. curuae FIG. congruet. Si enim non dicantur congruere fiet abductio ad absurdum eodem prorsus modo quo I 6.huius. Congruent
igitur: ergo eadem erit figura QOF. ipsi PIG. Quod erat
THEOREM A XXVIII. PROPOS. XXVIII. SI motu ad chordas Parabolae aequid istanter proportionali Conicoides secundum describatur: illud erat Hyperbola.
Sint duae parallelae AO. BP. inter quas descripta sit Parabola CAD. & motu ad ipsius chordas aequidistanter proportionali, iuxta modum traditum definitione 6. huius descriptum sit Conicoides secundum Q OG. Dico illud cite Hyperbolam. Parabolae diameter sit AB. Conicoidis PO. Vtraque primo perpendicularis ad A O. &BP. Producta autem PO. in R. accipiatur illi aequalis OR.& ipsi OR. sit perpendicularis & aequalis OX: & applicatae ora inatim LI. M H. producantur,dum Parabolae diametrum secent in L. V. & ipsius lineam cumam in E. F. & ducantur chordae AE. AF. A D. quae primo ponantur aequales ipsis L . M H. PG. Quoniam RO.ponitur aequalis ipsi OP.& OP.aequalis est ipsi AB. erit RO.aequalis ipsi AB. sed & aequales sunt OL. AN. rectangula igitur ROL. BAN. aequalia sunt: sed
350쪽
3 4o Curvi ac recti proportio promota. 'dii,' rectangulo BAN. aequale est quadratum NE. Igitur reis '' ctangulum ROL. aequale est quadrato NE. At quadratum.
AE. est aequale quadratis AN. NE. & quadrato AE.est a quale LI. cum AE. LI. positae sint aequales, ergo quadratum LI. est aequale rectangulo ROL. & quadrato AN. id est OL. scdirectangulo ROL. & quadrato OL. aequale est rectangulum RLO. igitur quadratum LI. est aequale r ctangulo RLO. Eodemque modo ostendemus quadratum M H. esse aequale rectangulo RMO. vi igitur rectangulta in RLO. ad rectangulum RMO. ita quadratum L I. ad quadratum M H. Cumque aequalia sint rectangulum RLO. &quadratum LI. & aequales etiam positae RO. OX. patet est levi rectangulum RLO. ad quadratum LI. ita RO. ad OX. Quae proprietates etiam in Hyperbola demonstratae suntlis. I. Conic. prop. 2I. Vocetur autem RO. transtuersum figurae latus & OX. rectum. Hinc eodem prorsus modo quo ultima parte I7. huius, demonstrabimus Conicoides secundum esse Hyperbolam. Constat enim ex 33α