장음표시 사용
351쪽
33. I. Conic. posse inueniri Hyperbolam cuius latus re-itum OK transuersum OR. & diameter OP. Ducta vero qualibet PG. a sectione ad diametrum in angulo GP . sit. vlRO. ad OX. ita rectangulum RPO. ad quadratum PG. congruent rectae OP. Hyperbolae inuentae &'UP. Conicotidis secundi,cum sint aequales, item rectae PG. Hyperbolae& PG. Conicoidis,eo quod sint aequales,& anguli ad P. aequales , & ob eandem rationem congruent OX. Hype bolae & Conicoidis,& RO. utriusque figurae4 Ergo vel figurae totae congruent, vel minime. Ponantur primum non
congruere, ac ubi deficiunt applicetur ordinatim LIY.quae secet Conicoides in I. Hyperbolaiii in Y Quoniam in utraque figura OX. est recta iuxta quam possunt ordinatim applicatae,& RO. latus transuersum; erit ex paulo ante demonstratis , ut R O. ad OX. ita rectangulum RLO. ad quadratum LI.&vt RO.ad OX. ita rectangulum RLO. ar. r. nia ad quadratum LY. aequalia igitur sunt quadrata LI. LY. ς' ζ' . pars & totum: quod est absurdum. Congruent igitur Hyperbola ac Conicoides secundum: ergo in unam figuram con incident, quare Conicoides secundum rectum& circulo aequic horde, est Hyperbola. Sed Conico id es secundum sit non QOG. sed TZK. is angulus TU Z. quicumque, ac rectae Sq. D7. ΚZ. cum rectis LI. M H. PG. continuatae, ipsis AE. AF. AD. id est LI. MΗ. PG. proportionales. Dico etiam TZK. esse Hyperbolam. Cum enim parallelae sint O T. PK. &propor Iemm. ,h
tionales O L. LM. MP. ipsis I S. SD. DK. item proportio- , -- nales LI. M H. PG. ipsis S . DT. ΚΖ. erit figura TZΚ. ad
Hyperbolam QOG. analoga,ac motu aequi distanter ad defin. s.hu-
Hyperbolam proportionali procreata: igitur & ipsa Hy--, huperbola. Quare Conicoides secundum est Hyperbola. iiij. '
352쪽
3 α Curat ac recti proportio promota; COROLLARIVM I.
COUM ex intima parte huius propositionis, omnes VI
perbolas qua motu ad chordas parabola coniunctas riquidinanter proportionali producuntur esse analogas s iae que omnes Uectiones HAperbolarum analogaram illis com
pendicalaris ad extremas parallelas , ct recta LI. . PG. ipsis AE. AF. o. aequales, rectangula RLO. RMO. APO. quadratis LI.MN. PG. gula sngulis esse aequabo. Hoc enim in propositione probarum eis.
DEnique, quod etiam de Parabola in as. huius anno a tam est , se in ordinatim applicatas Parabola productas ex punctis in quibus diametrum secant choris Parabo
lae , vel cώordis proportionales transferantur , per earum emtrema transeuntem curuam es V perbolam.
THEOREM A XXIX. PROPOS. XXIX. ΗΥpςxbole prima, rectangula , ac Parabo
boliae atquichordis est sectio coni aequic- ruris rectanguli, cuius latus est aequale compositae ex sinu recto & secante anguli semi- recti in circulo, in quo diameter est latus coni aequi lateri cuius sectione fit Parabola, ac semidiameter diametro ipsius Hyperbolae aequalis, ita ut dicta
353쪽
-i LIBER V. ' 343 dicta sectio transeat per lineam aequidistanter rectae ductae a vertice ad centrum basis , & a scindentem ex laterc coni ad' verticem tertia ipsius lateris partem.
Sit inter duas parallelas BF. AG. parabola congene ABC. cuius diameter ad parallelas tecta BD. Item con- genearum prima Hyperbola EFG. cuius diameter FH. ad parallelas itidem recta,& in qualibet linea recta sumatur IK. dupla ipsius BD. aut FH. super qua erigatur triangulum aequilaterum , circa quod vertice L. basi IK. axe LM. perpendiculari ad basim intelligatur descriptus conus aequi laterus , in quo sectio transiens per verticem & diametrum basis sit idem triangulum aequilaterum LI K. cuius latus LX. diuidatur bifariam in N. &connectatur NM. punctum autem M.dmidis basini IK. bifariam manife-schol.ini
354쪽
3 Curui ac recti proportio promota .
δε nutu stuminsectionem transeuntem per NM. effccre in superficie coni parabola ABC. Ducatur ipsi IK. par llela NO. secans axem seu perpendicularem LM. in T. & latus LI. in O.accentro N. describatur circulus OMΚL. qui quiden transibit per M. Κ. L. Cum enim diuisa sit bifariam L Tin N.erunt LN. NΚ.aequales,&cum No. parallela sit ipsi si ΙΚ.erit ut L Κ. ad K I. ita L N. ad LO. aequales autem sunt L Κ. ΚI.aequales igitur LN. NO. sed & NK. NM. aequales sunt,medietates nempe aequalium laterum LX. KI. Hine ducatur per centrum S N V. ipsi O N. perpendicularis, i per V. ad SV. perpendicularis PV tangens circulum i V.infinita , cui occurrat So. in P. secans I R. in X. & recta XNmn Quoniam parallelae sunt ON. IK. estque rex. eius angulus ad M. ex hypo thesi etiam rectus erit angulus Sehol in 16. ad T. Ideoque diuiditUrsifariam ON. in T. Adhaec cum angulus ONS. sit rectus ex hypothcsi,& latera NO. NS. aequalia erunt anguli NOS. NSO. semirecti. Item cum triangula o TX. N TX. habeant circa angulos rectos ad T. latera O T. TX. latcribus NT. TX. arctualia,crunt bases OX. NX.aequales & anguli TOX. TNX. aequalcs ac semi- recti,ideoq; OXT. NXT. semirecti, angulus igitur OX N. rectus est. Sed & cum eidem ON. perpendiculares sint LT. SN. paralellae sunt L R. S V. quare cum angulus ad V. rectus sit , rectus est etiam angulus XRP. XR Ied anguli ad X. ostensi sunt semirecti, igitur sunt & semirecti anguli ad PQ Is sceles crgo est triangulum X P cuius latus X Q. componitur ex recta XN. quae est sinus anguli semir G XON. &ex recta Ninquar est secans anguli scini recti VN nam cum semirectus sit XNS. etiam angulus ad vesticem V Ninest semirectus,cuius tangens Uta secans Ninac ipsa X N. est tertia pars totius Xα producta enim NX.duin tangenti semirecti S Z occurrat in Z.erit NZ. secans scini recti,ac tam angulus SNL. quam S ZN. in triaugulo NSZ. semirect ,ideoque aequales N S. S Z. sed & rectiiunt anguli NSL. NXS. vi igitur NS. aequalis ad a qualem
355쪽
SZ. ita NX. aequat is ad aequalem XZNuare NX. est medietas secantis semirecti NZ. id est N ac proinde tertia, pars totius X Iani vero circa vertiuein X. axem X R. circulumque cuius diameter PQ Vertatur triangulum, i XPin efformabitur Coni PX aequisruris rectangu- Conicitus, cuius latus X incompestum ex sinu recto X N. &se cante Ninata di s mi cti in circulo SOV- ac diameter circuli est I K. latus coni aequi lateri LI K. cuius sectionGNM.fit Parabola congenea. Sit autem idem trianguJum 3 XPQ triangulum per a em, ac per diam i um basis, &sccetur conus secundum rectam N V. quae producta productae PX. occurrat in S. Manifestum est sectionem tran- m. i. nie. seuntem per V. esse Hyperbolam , nam sectionis diam ter V N. producta cum latere trianguli PX. conuenit in S. extra verticem, quae semidiametro circuli SOV. est aequalis,&abscindit ex latere X versus verticem rectam.
AN. qua est tertia pars lateris X Q Dico Hyperbolam cuius diametcr NV csse andem Hyperbolae FG. Fiat eanina vi quadratum 1 Rrid rectangultim QRP.ita SN. ad aliam lineam NY erit NY. latus rectum S transuersum, sed quadratum LR. rectangul0QRP. estaequale ostensae enim sum aeqgales QR. R L. &RL. I P. igitur latus transuersum S N. est Quale lecto utrumque di metro N V. sed diameter N V. est aequalis diametro Par rs definiti bolae NM. id est ipsi Bri ex hypothesi, & BD. diametro HSperbolae FH. Igitur Hypersolae EI G. & NV. habentae lita Man diametrum sed in HyperiasI EFG. latus rebctum, item transuersum sunt aequalia dia nutro FP .lerao iisonitur utra
ergo Hypediametrum, aequale latus rectum, aequale transuci surria,
356쪽
3 6 Curvi ae recti proportio proHota.
nicorum,& ex impositioneullas Hyperbolas sibi congrue re ideoque unam,& eandem esse Hyperbolain. Quod fuerat demonstrandum.' u 3il COROLLARIUM.HIMe verte colligitur F eanus V leae rectangatas quilibet plano per tertiam Dieris partem versius verticem, axi parallelo secetur , fictionem esse HVerbolum, congenearum prima simulem. Ur A coniis I eos PM
I recta linea extra circulum ita moueatur, ut altero extremo diametrum productam . secet.
357쪽
secet, altero tangat: &per puncta ubi ea diame trum secat, recta' ad diametrum perpendicularis
continuo mocleat9r tangenti aequalis: linea ex
tremitate dictie perpendicularis descripta erit I Fperbola conchordium prima. irui i
Sit circulus ACO. cuius diameter Lo. perpendicularis ad parallelas tangentes LM. ON. quae producatur extra peripheriam, dc moueatur tangens quaelibet a puncto L. versus A. H. S. ita ut diametrum productam secet in A.
circulum tangat in Qistinc diametrum secet in H. S. circulum tangat in R. T. &c. & per puncta A. H. S. m ueatur continuo perpendicularis ad diametrum tangen tibus aequalis,nempe AI. sit aequalis ADt ΗΚ. ipsi HR.&SV. ipsST.&ZB.ipsi ZP. Dico lineam curvam LI K v. esse hyperbolam congenearum primam. Sit descripta circa Lo. Hyperbola prima cuius diameter LO. eadem quae circuli in qua sumantur rectar I F. LG. LX. Lo. ipsi LA. LH. LS. LZ. aequales,&applicentur ordinatim FD. GE. XΥ. erit rectangulum ZFL. aequale quadrato FD. &Xx a ZGL.
358쪽
3 8 Curui ac recti prophrtio promota.
ZGL. aequale quadrato tjSE.. & ZXLusaequale quadrato XY. atque ita deincepsis: Rectangulo antem ZFL. aequa te, est rregulum OA aequalis ennia ponuntur O ZL. item LF. LA. quare aequales O A. ZF. & rectangulo ZGL. retiangulum OΗL. &rectangulo ZXL. rectana gulum OS L. &c. sed i rectan gulo ZFL. aequale est qua dratum FD. &rectangulo ZGL. quadratum GE. & rectangulo ZXSia quadratum ΣY s&eia Iremi rectangulo 3β 3- L. est aequale quadratum A rectangulo OHL. qu dratum P R. & rectangulo OSL quadratum AT ipsis a tem quadratis Ain AR. AT. aequalia sunt quadrata ALΗΚ. SV. c nam lineae AI. ΗΚ. SV. ipsis AQ YR. AT a pronune. positae sunt aequales ) Igitur a primo ad vitinium, quadrata FD. GE. XY. quadratis A I. ΗΚ. SV. &c. sunt aequalia,ac proinde aequales FD. GE. ipsis AI ΗΚ.SV. sed & aequales dian etri OL. LT & aequales LF
13. r.Coni- Z. Igitur eat J3. I. Conicorum ex dictis superioribus propositionibus,& s. ac I 6. huius,patet si sibi impona tardua curuae I DN. LΚV. congruent inter se, ide que cum ADN- sit congenearum Hrima erit & LΚV. co chordium prima. Quod er i demonstrandum.
THEOREM A XXXI PROPOS. XX XL Conicoides tertium rectangulum, & primae Hyperbolae aequichoide est Hyperbola,
cuius latus . rectum est aequale lateri recto primae Hyperbolaci transuersum recti dimidium.
Inter duas parallelas AX. VM descriptus sit circulus A SV. circa diametrum AV. perpendicularem ad parali Ias , & circa eandem diametrum Conicoides primum AFΗ. Conicoides secundum AKM. Conicoides tertium
AYZ. Divisaque A V. verbi gratia, in quotlibet & qua
359쪽
libet partes in puncti, B. C.D. ducanturordinatim applicatae BY. CZ. .&c. secantes Conico idea ordine in puniactis B. R. E. I. Υ. item c. S. ΓΚ. Z. & in punctis D. T. S. L. O. &c.& a puncto A. ducantur ad puncta sectionum chordae AR I AE. AI. AY. atque ita a vertice A. ad reliqua puncta intelligantur chordae, quibus aequales erunt in ordiniuim applicatis r l ctae BE: BI. BY. hempe recta BE. elibria uu mi AB: recta BI.chordae AE.& recta BY.chori dae A I. atque ita in reliquis, recta CF.cho dae AS. recta CX. chordae AF.& recta CZ. chordae ΑΚ. &c. ut conctat ex definitioni- . i bus huius, ac descriptione dictarum figura
rum. Hinc in V A. producta,& in perpendiculari AX. sumantur AN. A Jpsit VA. aequales, ipsiusque AN. dimidia pars A a. Dico Conicoides tertium esse Hyperbola, cuius latus rectum A transuersum A a.
360쪽
Curui ac recti proportio promota
Quoniam aequales sunt VA. AB. rectis NA. AB. erit re ctangulum VAB. aequalereoangulo NAB. sed rectans
T. u. to VAB. est aequale quadratum AR. id est BE. ex hypo
thesi. Igitur rectangulo NA 3. est aequale quadratum BE.
7. I. quadratum autem BE. cum quadrato BA.est aequale quadrato AE. id est BI. igitur rectangulum NAB cum qu drato AB. id est rectangulum NBA, est aequale quadrato BI. sumatur N6. aequali. ipsi AB. quoniam quadratum 7 BI. cum quadrato AB. est aeqMale quadrato A I. id estjBTex descriptione, erit rectangulum NBA. cum quadrato AB. id est No. nempe rectangulum 6BA. aequale quiar to G. cum igitur diuisa sit bifariam NA. in puncto a.d
utrinque additae sint aequales AB. N6. ideoque sit ut et A. Lemm. ad AB. ita a N. ad N6. erit ut rectangulum 6BA. id est 3 M ' quadratum BY. ad rectangulum a BA. ita NA. id est Q. latus rectum ad A a. transuersum. Eodem modo quoniam aequales sunt VA. AC. rectis NA. AC. erit rectangulum Coroll. r. 3. VAC. aequale rectangulo NAC. sed rectangulo V AC. est aequale quadratum AS. id est CF. ex hypothesi: igitur rectangulo NAC. est aequale quadratum CF. quadrytum autem CF. cum quadrato AC. est aequale quadrato A F. id est CK. igitur rectangulum NAC. cum quadrato A C. id est rectangulum NCA. est aequale quadrato CK. sumatur N7. aequalis ipsi AC. quoniam quadratum CK. cum ν. . t quadrato A C. est aequale quadrato AK. id est CZ. ex de scriptione erit rectangulum NCA. cum quadrato CR. id est N7. nempe rectangsum 7 . aequale quadrato CZ. Cum igitur ditiis a sit bifariam NA. in puncto 2. & viri que addi sitit aequales AC. N7. ideoque sit ut a A. ad yem. 3. AC. ita a N. ad N7. erit ut rectangulum 7CA. id est qua- huius.. dratum CZ. ad rectangulum a CA. ita NA. id est QA, ad Az. Eadem demonstrandi via orobabimus esse ut OA.