Curui ac recti proportio a Bartholomaeo Souero Friburgensi in Gymnasio Patauino matheseos professore promota libri sex

361쪽

lues SCA. rit 'ut quadratum G. ad rectangulum 2BA. ita quadratum CZ. ad rectangulis, a CA. & permutando, ut quadratum ΒΥ.ad quadratum CZ.ita rectan sulum 2BA. ad tecta' gulum a C A. eodemque modo ostendemus esse ut quadratum DO. ad quadratum CZ. aut BY. ita rectangulum 2DA. ad rcctangulum CA. aut a BA. Quare cuin hae sint propriciates Hypei bolae ex et r. primi Conicorum, manifestum est ex dictis in propositionibus 17. & 28. huius Hyperbolam rectanguIam cuius latus re- ctum A ransuei sum AZ. diameter A V.congruere cum Conicoide ALP. ideoque Conicoides tertium csse Hype lbolam,cuius latus rectum Ain transuersum AZ. Quod fuit demonstrandum. '

ΤΗ OREM A XXXII. PROPOS. XXXII.

Onicoides cruartum rectangulum,&secundae HuperDolae aequichorde est Hyperbola: cuius latus rectum est aequale lateri r cto primae Hyperbolae, transuersum est recti te tia parS.

Conicoides Aabs ordine descriptum eo modo quo in de finitione,ac superiori propositione dictum est: Rectar aliatem NA. accipiatur tertia pars A 3. Dico Conicoides quartum AQa. esse Hyperbolam,cuius latus' rectum A transuersum A3.Sumantur ipsi N..id est AB. aequalis 67. 17. Huus. Nam ut constat ex superim propositione, quadrato M. aequale est rectangulum OBA. Quadratum autem M. id . est Ba. est aequale quadratis BY. An igitur qu dratum Ba. est aequale rectangulo OBA. & quadrato AB. quadrato autem 6BA.& quadrato AB. aequale est rectangullam

7BA. cum aequalia sumptisint ij. AIL .erunt TA.

362쪽

3 1 α Curui ac recti proportio promota.

. aequales & rectangulum 7AB.rectangulo 6BA. aequale,ideoque rectangulum 7BA. rectangulo 6B A. cum qua-idrato AB. aequale Quare cum aequales si't AB. No. ον, erit AB. aggregati magnitudinum AB. N6..67.Itertia pars: sed etiam A 3. est tertia pars ipsius AN. vi igitur AB. N5.67. ad AB. ita AN. ad A 3. &diuidendo vi N7.. ad AB. ita N3. ad A3. Igitur per Lemma 3. huius , erit virectangulum 7BA. id est quadratum Ba. illi aequale ad rectangulum 3BA. ita NA. id est A latus rectum ad transuersum A3. Eodem prorsus modo quo priori parto huius,& quo praeeedenti, demonstrabimus esse ut quadratum C6. ad rectangulum 3CA.ita QA.ad A3.Hinc esse ut Quadratum Ba. ad quadratum C6.ixa rectangulum 3BA. ad rectangulum 3CA. Quare cum hae sint proprietates Hyperbolae ex 2I. I. Conicorum Iconstat eas ijs quae dicta sunt in propositionibus huius Hyperbolata rectangulam cuius latus rectum A gransuersum A3 . diameter AV. congruere cum Conicoide Abs ideoqqe Conicoides quartum rectangulum esse Hyperbolam, cuius latus rectum Aintransuersum A3. Quod erat dic.

THEO REMA XXXIII. PROPOS. XXXIII. I Mnia Conicoidea rectangula & priori-3 bus aequichordia primo excepto sunt Hyperbolae , quae si ordine accipiantes

eorum blatera transtieria rationem habent inteς

si a numeris ab unitate serie naturali progredientibus, seu' ab exponentibus denominatam.

lis sit perpendiculam λα Hinc ducta. bH. infinita Os

dinatam

363쪽

dinatim applicata; item recta per punctum E. intestigatiar transite conicoides primum, per punctum I. secundum per v tuscium , por, a. quartuna per se quintum ἔpet h. tum, ae sic dein reps: Dico haec mania ciaicola dea,primo excepto,csse Hypetinosas , ac Iarassi rectum adluans uel sum in prinia Hyperbola habere rationem quani I. ad i. in secunda duplum, in tertia triplam, in quarta quadruplam, 'sic in infinitum. Manifestum est Coni- coides primum AE. esse Parabolam, secundum AI. esse :

primam Hyperbolam congeneam ; tertium AY. esse , 17. lusus.

scea adim Hyperbol1m, quartum A a. esse: β huiu tertiam Hypei bolam , ac primae quid . . . Hyperbolae latus rectum eine A transuersu in AN. quae rationem habent quam I. ad I. secundae latus rectum A quod ad transuersum A a. rationem habet duplam, tertiae latus rectum A quod ad rectum A 3. rationem habet triplam : Iam vero codem modo quo in duabus superioribus probabimus,

nico id es Ag. esse quartam Hypcibo iam , cuius latus icctum A id transuersum habet

rationem quadruplam . Reuocentur enim in memoriam duae superiores propositiones, & sit A . quarta parsipusius AN. & praeter partes acceptas N6. 67. aequales ipsi AB. accipiatur etiam 78. eidem AB. aequalis , eadcm , omnino ratione qua in duabus superioribus probabimus. quadratum gB. rectangulo 8BA. esse aequale. Rursus

quia A est ipsius AN . quarta pars & AB. ipsarurn AB.,

364쪽

3s Curui ac recti proportio promota.

N6. 62. 68. quarta pars,eodem penitus modo quo in duabus superioribus demonstrabimus esse ut rectanguluuia 8BA. id est quadratum gB. ad rectangulum qBA. ita NA. id est QA. ad A Item ut quadratum m C. ad rectangulum CA. ita QA. ad A . ideoque ut Quadratum Bg. ad quadratum Cm. ita rectangulum ABA. ad rectangulum 6CA. sicque propter eandem causam quam in duabus superioribus attusimus, conoides transiens per AGM. esse Hyperbolam quartam. Neque aliter escietur Conicoides sextum esse quintam Hyperbolam cuius latus rectum A Q habeat ad transuersum rationem quintuplam. Sit enim A . quinta pars totius AN. & accipiatur adhuc 89. ipsis N6. 67. 8. &ipsi AB. aequalis ; ostendemus ut supra quadratum Bli. rectangulo 9BA. esse aquale. Plaeterea quia A 3. est ipsius AN. quinta pars , & AB. ipsarum AB. N6. 67. 78. 89. quinta pars eodem prorsus modo quo in duabus superioribus demonstrabimus esse ut rectangulum sBA. id est quadratum Bli. ad rectangulum 3BA. ita NA. id est QA. ad A . ac reliqua ut in prima parte huius, ideoque Alin. esse Hyperbolam quintam, cuius latus rectum Ain ad rectum A s .habeat proportionem quintuplam. Atque ita demonstrabimus Conicoides septimum esse sextam Hyperbolam, cuius latus A ad transuersum .habeat rationem sextuplam ; sicque deinceps in infinitum . Quare omnia Conoidea congenea rectangula &c. Q. SCHOLIUM.

EX ρμentes vocamus his , or squentibus proposition

bus numeros quibus ordo H perbolarkm qua sese mmma atque ordinata generatione procreant, de gnatur , vin sordine disponantur prima, secunda, tertia, quarta oc. perbola earum exponentes iacentur numeri 1. a. 3. . atq-

365쪽

THEOREM A XXXIV. PROPOS. XXXIV. SI Hyperbolae conchordes rectangulae prior

ribusque aequichordes accipiantur, atquein diameter prioris ad partem diametri post rioris a vettice sumptam rationem habeat quam exponens posterioris ad exponentem prioris: erit prior Hyperbola posteriori Hyperbolae circa sumptam diametri partem analogas habebuntq; inuicem rationem ex rationibus altitudinum, ¶llelarum proportionalium compositam.

Sint Hyperbolae conchordes ALG. MVT. rectangulae quarum unaquaeque praecedentis sit a quichordis; atque ordine prior sit ALG. posterior quocumque interuallo MVT. sintque earum exponentes quilibet numeri ve bi gratia prioris 3. posterioris 4. nempe prior Hyperbola ordine ut tertia, posterior quarta & latera recta aequalia ex 33. huius AC. MO. transuersa AB. MN.quae pro- lo 'portionem habent ab exponentibus denominatam, nempe ut exponens Hyperbolae MVT. ad exponentem Hy-

366쪽

3 s 6 Cures ac recti proportio promota.

bola: A LG. ut in proposito η. Ad 3. ita diameter AGO: 4

partem diametri M R. & per R. orclinatim applicetur RZ. secans suam Hyperbolen in Z. Dico Hyperbolam A LG.

Hyperbolς M ZR .esse analogam,& habere rationem com mittam ex ratione altitudinum AG. ME. & parallelarum CL. R Z. Dividantur AG. M R. in totidem partes aequales in punctis D. E. F. G. & S. P. Q. R. per quae ducantur ordinatim applicatae DH. EI. FL. GL. & Sa. PM . R Z. Quoniam tam militiplex est GA. Ipsius A D. quamia Mil. ipsius M S. erit ut GA. ad RM. ita DA . ad SM. sed

Quare cum sit ut AB. ad MN. ita AD. ad MS. erit permu- tando & componendo ut BD. ad DA . ita NS . ad 1M. similia igitur sunt rectangula BDA. Nb M. Ruisus cum ae , quales sint DA. DE. & M SP. ex hypollic si, erit ut ED. ad EA. ita PS. ad PM. &ut BD. ad DA . ita BD. ad DE. itemque ut NS. ad SM. ita NS. ad SP. erit ut BD. ad DE- ita NS. ad SP. sed ut DE. ad EA. ita SP. ad PM. ergo exaequali ut BE. ad EA. ita NP. ad PM. similia igitur sunt rectangula B EA. N PM. Quare cum ostensum sit csse BD

ad DE. vi NS. ad SP. erit componendo dc per conue sionem rationis ut BE. ad BD. ita NP. ad N S.& permutando ut BE. ad N P. ita BD.ad N, .eruntque duo rectantula similia B EA. PM. &duo similia BDA. NSM. ω-

per q. proportionalibus B E. N P. BD. NS .constituta proportionalia et ut igitur rectangulum BEA. ad rectangulum NPM. ita rectivagulum BDA. ad rectangulum NSM. , permutando ut rectangulum BEA. ad rectangulum BDA..itarcctangulum N PM. ad rectangulum N, M. sed ut rectangulti BEA. ad rectangulum BDA. ita quadratum .

LI. ad quadratum DH. dc ut rcctangulum N PM. ad rectangulum

367쪽

etangulum NSM. ita quadratum PX. pd quadratum Sa. ut igitur quadratum EI. ad qu.ldiatum DH. ita . qua di Nitum PX. ad quadratum Sa. ideoque yrx .s i DH.ita PX. H. 6. ad Sa. atque eodem modo demonstrabimus c,sse ut FK. ad EI. S GL. ad FK. ita QV. ad PX. &RZ. ad QV. Quat cum in eadem ratione diuisae sint diametri AG. M R., parallelae DH. EI. FK. GL. ipsis Sa. PX. QY. RZ. sint

proportionalcs ; analogae sunt HyperbClar ALG. MVT. . desit. qijar cum sint inaequalis,& inter .diuersa 4 paralicias habent etiam rationem compositam LX rationibus altitudinum AG. M R. & parallelarum proportionalium G L. RL. Quod erat demonstrandum . .

THEOREM A XXXV. ΡROPOS.. XXXV.

SI Hypoxbobae conchordes rectangulae prio-

i ribusque aequichordes sumantur, atque diameter prioris producta ad diametrum posterioris rationem habeat quam exponens posterioris ad exponentem prioris : erit prior Hyperbola circa diametrum productam posteriori Analoga: habebuntque inuicem rationem compositam ex rationibus altitudinum parallela-Tum proportionalium.

Sint Hyperbolae conchordes ALG. MVT. rectangulae quarum unaquaeque praecedenti sit aequichordis; atquGordine prior sit ALG. posterior quocumque interuallo MVT.sintque earum exponentes quilibet numeri exempli gratia prioris 3.posterioris .nempe prior Hyperbola ordine sit tertia , policrior quarta & latera recta aequa lia ccx 3 3.huius AC. MO. transuersa AB. MN. quae prOPOrtacncm tabcnt 3 3. huius ab exponcntibus deno- mu -

368쪽

3s 8 Curvi ae recti proportio promota

minatam,nempe ut exponens Hyperbolae MVT.ad expo nentem Hyperbolae ALG. ita latus rectum AC. seu Mo. ad transuersum MN. Ducantur item diametri AG. NT.

& fiat ut exponens Hyperbolae MVT ad exponentem Imperbola: ALG. ut in proposito .ad 3. ita diameter A . producta in d. ad diametrum MT.& ploducta Hyperbola ad diametrum Ad. ordinatim applicetur de. secans Hyperbolam productam in e. Dico Hyperbolam A ED. ΗΡ perbolae MVT. esse analogam, & habere dictas Hyperbolas rationem compositam ex rationibus altitudinum AD.MT. & parallelarum proportionalium DE. TV. Diui- dantur AD. MT. in totidem partes aequales in punctis D. E. F. G. d. & S. P. R. T. per quae ordinatim applicentur DH. EI. FK. GL. de. & Sa. PX. QV. R Z. TU. Quoniam tam multiplex est d A. ipsius A D. quam TM.ip- susMS. erit ut d A. ad TM. ita DA. ad SM. sed ut d A. ad ΤM. ita AB. ad MN. igitur ut AC. ad MN. ita AD. ad MS. & DE. ad SP. & EF. ad Pin& FG. ad QR.& Gd. ad RT. Quare cum sit ut AB. ad MN. ita AD. ad MS. erit permutando & componendo, ut BD. ad DA. ita NS. ad a. definit. 6. SM.similia igitur sunt rectangula BDA. NSM. Rursus cuaequales sint DA. DE. & MS. SP. ex hypothes,erit ut Enad EA. ita PS. ad PM. dc ut BD. ad DA. ita BD. ad DE.

369쪽

. LIBER V.

itemque vim. ad SM. ita NS. ad SP. quare cum sit ut BD. ad DA. ita NS. ad SM. erit ut BD. ad DE. ita NS.ad SP. sed ut DE. ad EA. ita SP. ad PM. ergo ex aequali ut BE. ad EA. ita NP. ad PM. similia igitur sunt rectangula BEA. NPM. Qua recum ostensum sit esse BD. ad DE. vi

NS. ad SP. erit componendo , & per conuersionem rati nis ut BE. ad BD. ita NP. ad NS. & permutando ut BE., ad N P. ita BD. ad NS. eruntque duo rectangula similia . BEA. N PM. &duo similia BDA. NSM. super quatuor proportionalibus BE. NP. BD. NS. constituta proportionalia: ut igitur rectangulum B EA. ad rectangulu NPM. ita rectangulum BDA. ad rcctangulum NSM.& permutando ut rectanguluin BEA .ad rectangulum BDA. ita rectangulum N PM. ad rectangulu NSM. sed ut rcctangulum BEA. ad rectangulum BDA. ita quadratum EI. ad quadratum DH. & ut rectanguluan NPM. ad rectangulum NSM. ita quadratu PX. ad quadratum Sa. Vt igitur quadratum EI. o. s. ad quadratum I H. ita quadratum PX.ad quadratum Sa. - ο- ideoq; ut EI.ad DII.ita PX. ad Sa. atq; eodem modo domonstrabimus esse ut FK. ad EI. & GL. ad FK. &de. ad GL. ita in . ad PX. & RZ. ad in. & TV. ad in. Quare cum in eadem ratione diuisae sint diametri AG.MR.& pG rallelae DH. EI. FΚ. GL.M. ipsis Sa. PX.QY. R Z. TV. sint proportionales;Analogae sunt Hyperbolf Aed. MVT.& ex a . huius habent etiam rationem compositam ex rationibus altitudinum Ad. MT. & parallelarum quarun cumque proportionalium de. TV. Quod erat demon. strandum .

Η perbolarum exponentes ordine con Inantur I. a. 3.

4. I. O. T. primam H perbolam esse parti secanda circa dimidiam di ameream analogam , eandeo tarn tertia HV0

370쪽

' 3 co Curvi ac recti proportio promota.

boia circa tertiam partem diametri ' o parti quaeriae cirraquartam partem diametri, atque ita deinceps anaugameam exponentes illas partes indicent ' ἰ.cto. Eodem modo sed eundam 'perbolam esse parti tertiae circa duas tertias dimmetri analogam, se eandem parti quartae Haperboia circa duas quartas parti quintae circa duas quintas Hametri, analogam,atque ita deinceps, quod exponentes indicant: sicque tertiam H perbolam esse parti quartae circa 3. quartas diametri , or parti quinta circa tres sextas anato σam atque ιta de reliquis ut anaret ex exponentibus Praeterea conssat ex ultima propositione , primam H embolam productam circa diametrum duplicatam sicundae M- perbole, circa triplicatam tertiae, circa quadruplicatam quam M V perbolae esse analogam: quod exponentes 'indicant . Item secundam H νperhclen circa diametrum a clam si uialtera proportione,ita ut diameter ad adiatam hiale atrationem se uialteram, ad secundam 'perbolam , ct eandem circa diametrum auctam proportione q. ad a. id est duplicatam , ad quartam; Gr eandem circa diametrum auctam proportione I. ad a. ad quin am: perbolam esse Analogam qui ostendunt exponentes atque ita deinceps in inm

FINIS LIBRI, INTI.