장음표시 사용
111쪽
e A P. RExemplum l. iasque 'inione in quo Diriiser habu
quotiens integer est - - IIy1Oya
112쪽
TA . V. Exemplum a. absque fractione , in quo Diviser habet
113쪽
jor qui deni quam 99qeo. minor veri, quam Iococo. vel est ma)or 'uidem quam IOCOOG. quinque vero ipsius initiales ad sinistram sunt maiores quam 999oO. S minores quantiiooooo. facilis veru est horum duorum casuum solutio i si nempe in utroque casu non quinque initiales ceu diviBr a cipiantur, sed tantummodo quatuor, reliquis omnibus nia a nentibus, ut in praecedentibus dictum est.
I. 29. Quemadmodum jam ultro fatemur, divisionem per tabulas quadratorian, in casibus illis, in quibus divi r ias major est 'uam 999OO. nihil aut parum compendii afferi Gmis ea bin rei Matbematic.e, praeprimis clim a me inventa sit alia divia con θὰ o- . sionis ratio, quae&huic per tabulas & aliis quibuslibet pal-σ marium facile praeripere potest, duplicato nimirum &quin- iuplicato per dimidiationem solum divisore, ad quosvis quotientes simplici additione & subtractione inveniendos, ita demonstrationem ejusmodi divisioni subjicere haud necessarium esse existimavi, sperans hic cum Cartesio in finci,.suae Geometriae, a posteris mihi gratias liabitum iri, non solum pro iis, quae in hoc capite tiim utilitatis, tum curiositatis gratia explicui, sed etiam pro liac demonstratione, :: quam consulto omisi, quo ipsis voluptatςmillam inveniendi relinquerem.
114쪽
De Admirando Tabularum usu in numeris figuratis, praeter quadratum, reliquis, Trigonio, Penta-i gonio, Hexagonio&c. in infinitum.
CUM ex quatuor aut quinque solummodo operationibus Contιnua tota constet Arithmetica, quae sunt Additio, Subtra ost cito, Multiplicatio, Divisio& Radicum Extractio, adeo, ut Cartei ius non veritus sit hos ipsos Arithmeticos terminos, in suam Geometriam introducere, additio vero&subtraclio sint & simplicioris & communioris praxeos, econtra Multiplicatio, divisio S radicum extractio altioris indaginis, liaec vero, quomodo per tabulas expediantur, in praecedentibus plenissime & ostensa & demonstrata a nobis snt 3 Legitimationem tetragonometriae nostrae tabulariae in generalioribus & universali Mathesi timetentissimam esse, firmiter mihi persitasinia est, insuper etiam speciatim aliqua attingere haud abs re esse existimo, attingere dico, non plene absolvere, multo minus in demotastra se I quamvis demonstrabilia sint omnia, id quod Fata huic opusculo praeter intentionem ab initio meam denegarunt, curabo rarisei, - . niversalem Mathesin hilce tabulis plananime applicari, demonstrari, si DEUS Uitam largiatur Se operaim me.unis ' ',' publico gratam esse sentire potuero, primo vero illa pr ponam, quae circa numeros in univosali Mathesi inter alia Y 'multa proponi solent .es ad Milthesis universalis partem rithmetica ira potissimum spectam. g. 2 In Arithmeticis ex natura ipsa numerorum, ni PrU si Potiu3 ex naturalI a plorum progi ellione, te nobis olierto έ.
115쪽
e , mater mnium primo progressio vel proportio, quae Arithmetica μ' ηρη dicitur, cujus definitionem vide in I. r. capitis tertii , In quan ' progi essione sequentia observarunc ingeniosi.
Num rM 3 Si ab unitate incipiendo ponamus naturaliter &μ g secundum ordinem numeros, continue unitate solummodo crescentes, & tandem, ubicunque libuerit in ultimo aliquo osside subsistamus, atq; summam omnium colligamus, istam sumis mam essicere numerum trigonium & inTriangulum aequis laterum aequalibus continuo distantiis exacte redigibilem. E. g. si subsistamus in numero, 7. & summam omnium, 7.6. s. '4.3.2.& I. colligamus, erit illa,23 sed hic numerus dicitur esse triangularis,quia singulae istius numeri unitates, ceu puncta, in triangulum aequilaterum exacte sunt redigibiles, ita ut perpetuo uniformiter a se invicem distent, ut patet ex apo
ιο modo absque min uia inve niatur,pe datum ultrismum pro
eerminum vel numerum termin oram.
Dato itaque quovis numero ultimo in progressi
ne ejusmodi arithmetica, vel etiam numero terni inorunia, ejusdem triangularis numerus, leti summa omnium terminorum invenitur per Regulam in Arithmeticis commuis nem , quod nempe ille numerus,unitate auctus debeat multiplicari cum dimidio numero terminorum, vel si hic nuta merus sit impar, ut dimidium non nisi in fracto numero ha- . heri possit, quod dimidium ultimi numeri unitate aucti multiplicari debeat, cum numero terminorum ι Sic In prae
cedenti Exemplo, ultimur erat 7. idemquς unitatς auctu '
116쪽
e Ap. VL δ' eujus dimidium . multiplicans numerum terminorum sunt enim in hac progressione septem termini) procreat
triangularem dictum 28. Pari ratione invenies, si numerusitItimus sit 48734. ejusdem numerum triangularem seu sumniam omnium terminorum esse , Π87F2J7 F. multiplicando nimirum ultimum terminum unitate auctum 487 . cum dimidio numero terminorum 2 367. ut tentanti constabit.
g. s. Multo facilior & compendiosior hic est operaticin ' νη per tabulas, in quibus solummodo evolvitur quadratum ublimi termini eidemque additur, sua radix i.e. ipse ultimus terminus, eritque tunc dimidia summa, quaesitui numerui. . triangularis, seu summa omnium terminorum; sic vides quod ultimi termini 7. quadratum sit 49. & horum duorum fiamma s6. dimidia vero 23. numerus triangularis i Pari modo quadratum ultimi termini q87sq. est 237s. ooz716. & ho rum fiamma 237FoFI49o. quare dimidia Il87Fry7 F. erit quaesitus triangularis, seu sumnia omnium terminorum. Nonflavis. 6. Elegantissime sic singulae radices in tabulis non , qua uis solum quadratos, sed etiam triangulares suos numeros dea et ri
. - angulares termInant. . 4 .
f. r. Econtra ex quolibet numero triangulari vel summΘ obtilis. progressionis, radix triangularis, vel ultimus terminus Vel Nummia etiam numerus terminorum extrahitur, si ipsius octu plum quadra Munitate auctum, ceu quadratum, in tabulis quaeratur, ejus-δεμ term idemque radicis unitate diminutae dimidium ; sic numeri triangularis r8. octuplum unitate auctum est 12S. cujus raου dix quadrata, unitate diminuta est ΙΑ. cujus dimidium 7. ς' rit radix triangularis quaesita i
g. 8. Si porro ab unitate incipiendo ponamus nume-2 2. '
ros binario crescentes&subsistamus in aliquo ceu ultimo a aisννιὰν que colligamus summam omnium terminorum, reprxsen Ilia 1 a
117쪽
tabit illa ipsa numerum quadratum, de quo, eum supra,Capite tertio ex prolasse actum sit, ad sequentes similes pergendum hie est. -ρ- s. q. Si itaque porro ab unitate incipiendo, ponamus
em g mist numeros ternario crescentes, & subsistamus in aliquo ceu ......u Urimo, atque colligamus summam omnium terminorum, eis, Diae repraesentabit illa ipsa numerum pentagonium, seu qui quangularem ; quia in apposita figura pentagonia regulari cernere licet, quod ad punctum verticale, ceu unitate primo accedant, ad minimum quatuor puncta, ad formam dum pentagonium primum regulare, deinde porro accedunt tribus additis r. puncta, quae cum aliis tribus punctis, - quae fuerunt in pentagonio priori C in aequali distantia, formant secunis dum pentagonium, similiter porro
accedunt tribus additis Io. puncta, quae cum aliis s. punctis, quae su runt in secundo pentagonio, formant, in aequali distantia tertium. Pentagonium, non minus porro accedunt tribus additis u. puncta, quae eum aliis ' punctis, quae fuerunt in tertio pentagonio formant in aequali distantia quartum pentagonium; &c. Omnia vero puncta in tota figura C. vel alia quacunque maiori in unam summam collecta efficere dicuntur, numerumpentagonium, cujus radix pentagonia est larus pentagonii maximi, ultimus vero terminus progressionis, juxta diis rentiam 3. repraesentat tria maximi pentagonii latera. l. Io. Dato jam ultimo termino in progressione ab unitate arithmetica cujus disserentia est 3. summa omnium terminorum seu numerus pentaganius absque tabulis bre-
118쪽
c Ap. Vt - viori via inveniri non potest, quam, quod tertia pars ultimim p - termini binario alicti, multiplicari debeat, cum dimidiatam a
parte ejusdem quidem ultimi termini sed unitate solum uu-cti, si modo ultimus terminus sit numerus impare sic ex.gr. termino. ultimus terminus sit 13. & binario auctus IS. hujusque tertia Eri iam pars F. multiplicata cum dimidia parte .ultimi termini uni- inprimistate aucti, nempe 7. producit summam omnium termino- η-γα rum vel numerum pentagonium, S. Si Vero ultimus tem . minus sit numerus par, dimidius numerus terminorum
multiplicari debet, cum ultimo, unitate aucto; Sic ex. gr. ultimus numerus sit 51633. & binario a uctus 6 1 6 o. cujus se minum tertia pars riggo. hujusque dimidium Io94o. multiplicatum cum ultimo termino, unitate aucto, 6I639. producit summam omnium terminorum, Vel numerum pentagonium a8Q9o6 eo. g. ir. Multo brevius haec omnia fiunt per tabulas, in quibus solummodo quaerendum est quadratum ultimi termini, ejusdemque binario aucti tertia pars, est addenda i- ea ia-- .psius radici ceu ultimo termino, summae dimidium, erit matur pre .summa omnium terminorum seu numerus pentagonius. Sic Mμω. ex. gr. ultimi termini II. quadratum est Idy. cui si addatur Exemplumbinarius 2. erit summa I7I. cujus terria pars 1 . addita radici ' ρ misy, facit summam 7o. cujus dimidium 31. est ut antea, summa omnium terminorum, seu numerus Pentagonius: Similiter
ultimi termini 61538. quadratum binario ductu H est 4308. Eibis LM 347o46. cujus tertia pars I436iis68r. addita radici os638. facit hisis,
summam i 3633i32o. cujus dimidium 7I8o9O66O. est, ut an- m oris s. tea summa omnium terminorum,seu numerus Pentagonius. f. u. Data vicissim summa omnium terminorum seu
numero pentagonio, si quaeratur ultimus terminus in illata ' o nume- progressione ab unitate arithmetica continuae differentiae s. qM 1 tunc
119쪽
δ, quomst- tune summa multiplicetur cum numero 14. & ex hoe pro VPe unitate aucto extrahatur radix quadrata, atque abi, νονν/lsioni 'r Me sebir batur numerus ternarius, 3. residui dimidi inmisin. um erit ultimus, qui quaeritur, terminus ; Sic ex. gr. summa multiplicata cum 24. producit I o. cujus producti, uni Exemplum late aucti, radix quadrata est, 29. & si ab hac subtrahitur, φ. is pamis restat 16. cujus dimidium, I3. est ultimus in progression quaesitus; similiter summa rigoyo65o. multiplicata cum a risis,tam produς t Ι7ι3 I7J8w. hujus producti unitate aucti radixi, m o=L quadrata est III 279. quod ipsum facili negotio, beneficio innumeris. f. IO. cap. q. eXperiri licet, si ergo ab hac radice subtraha-- tur ι. erit residui dimidium 8638.ultimus progressionis quae
Θι οδε si Vero per datum numerum terminorum,ceu radi-ῖν md rem cem numeri pentagonii, velimus quaerere in eadem pro renovoni' gressione continuae disserentiae 3. summam omnium termi norum seu numerum pentagonium, id absque tabulis erunt.ων .i-- ciemus, si quadem Πumerus terminorum, seu radix numeridem penα- pentagonii, sit in par, multiplicando dimidium tripli, uia, toniae abse late diminuti, & facti ex numero terminorum, cum eodem affue - μώ numero terminorum, productum enim erit quaesita silmma Exemptam vel numerus pentagonius ue Sic ex. gr. sit numerus termino ἐνρ ram, seu numeri pentagonii radix I. & triplum hujus, IS, atque unitate diminutum I . cujus dimidium 7. multiplica tum cum numero terminorum s. producit quaesita in summam, χu numerum pentagonium r, 33. enim puncta numerabis in figura, C. g. v. hujus capitis. Minax sit f. 14. Si Vero radix numeri pentagonii sit par, tunc ν-. dimidium ejusdem multiplicandum est cum triplo uni- emplam, tale diminuto , ejusdem adhuc radicis: Sic ex. gr. sit numeri pentagonii radix data 2ISSO. cujus quaeritur nume
120쪽
c Ap. VI. una perstagonius: Triptum ejusdem est 616 o. atque hoe unitate diminutum 61639. quod ipsum multiplicatum cum dimidia radice lo9 o. producit 718 9o66o. numerum Pentagonium quaesitum: g. Ι3. Rursiis per tabulas hic accrescit egregium com-AP 'meis pendium, nam data pentagonii numeri radice, ipse num rus pentagonius statim invenitur, quaerendo radicis quadratum, eidemque addendo ejusdem quadrati dimidium, neglecta fractione ex imparitate accedente, atque ab hac summa radicis dimidium subrrahendo, rurstis neglecta imparitatis fractione. Sie ex. gr. radicis F. quadratum est 2y. Exemplam huic si addas ejusdem dimidium 12.absque fractione, summa'st miserit 37. 1 qua si subtrahas dimidium radicis r. absque fra ctione, restabit 3s. quaesitus numerus pentagonius. Simbr-.liter radicis 2I38o. quadratum est 478. 344oo. huic si addasi 'ejusdem dimidium 1393672oo. Rinma erit 7 IIIOI6 O. a qua sin -meris.s subtrahas dimidium radicis I restabit IISo9o66α
quaesitus numerus pentagonius.
g. i5. Dato vicissim numero pentagonio, si quaeratur Q--δεοjusdem radix, id essiciemus, si numerus pentagonius mul-χtimeri perit licetur cum numero a . & e. producto unitate aucto, Nomie extrahatur radix quadrata, laujus radicis unitate auctae sexta imbat in
pars erit radix pentagonii quaeshar Sie ex. gr. numerus pen-' gonius 33. mulii Hicatus cum 2q. producit unitate super- . addita 8 I. cujus radix quadrata unitate aucta est 3o. &hu-;G2ιώjus 6ta pars F. quae a radix pentagoniit Similiter numerus numeruis pentagonius 7im9o66o. multiplicatus cum 24. producit Exemplumnitate superaddita aret. 34 18. I. Cujus radix quadrata jamuis numeris antea in L I2. inventa est 13I279. quare hujus radicis unitate , πισπ ἐμφεauctae sexta pars aIISo. erit radix pentagonia quaesita.