장음표시 사용
101쪽
quadratus secundus, qui fit ex quadrato primo in se pluminie ex radicem cubum nt, ut posita quantitas, radix, quadratum, cubus, inuadratum secundum, sint continue proportionalia tacmperque crescentia, si radix si maiori quam posita. Decrescentia vero, si minor. Quantitas magnitudine rationalis est, quiposiae commensurabilis est.
Quantitas potentia tantum ratiCnalis est, cuius quadratum duntaxat posita commensurabile est. Quam ita cubo tantum rationalis est, cuius cubus solum positae com mensurabilis est de qua nihil Euclides. Quantitas quadrato cundo tantum rationalis est , cuius quadratum secundum untaxat posita commensurabile est qua medicatis quantitas vocatur. inomium est bimembris quantitas ex duabus quantitatibus potentia tantum inuicem commensurabilibus composita. Excessus autem maioris membri supra minus, Apoto me, siue recisum, vel residuum vocabitur.
Quidquid de Numerorum inearum et solidorum ductu ratione,proportione Gymmetria, atque similitudine ratiocina-muar, idem de quolibet quantitatis genere demonsdrare atque concludere possumus. Hoc enim fer assiimptis ad demonstrandum classinitionibus, ac suppositis nostris. Exempli gratia, si duorum numerorum uterque multiplicet reliquum producti sunt aequales, quae est γ' septimi Elementorii. Igitur cis duarum quantitatum utraque multiplicet alteram, producta erunt aequalia. Quod sic ostendam. Qualitas a multiplicans quantitatem b. producat quantitat mc. Item quantitas'. multiplicans quantitalcm a. faciat qualitatem d. Aio, quod quantitates c d sunt inuicem arquaistes. Cum enim ex dissinitione multiplicationis c. producta a b. multiplicatam sit sicut a multiplicans ad positam, erit permutatim c. ad a. sicut b. ad positam . Sed rursus ex diffinition. multiplicationis , scuta multiplicans ad positam, sic d producta ad a. multiplicatam. Igitur sicut d ad a. sic ad a. perinde, per nonam quinti, cd qualitates sunt aequales quod sui demonstrandum. Excinis plum alit icta sequenti propositione sumptum. Si numerus duos multiplicans duos produxerit, producti sunt multiplicatis, portionales. Igitur: si quantitas duas quantitates multiplicas, duo Educ ccerit, producta multiplicatis
102쪽
erunt proportionalia: quod sic ostendam .Qtiantitas a. mutitiplicans ipsam' producat d. multiplicans autem c. faciate. Aio, qu5d sit cui esti ad c sic est d ad e cam enim per distinitionem multiplicationis d. producta ad b. multiplicatam, si sicut a multiplicians ad positam, nec non e pro
ducta ad c multiplicatam , sit etiam sicut a multiplicans ad positam Iam erit sicut e ad c sic d ad b. Ergori permutatim erit sicut e ad d. sic αad b. conuersim sic itu ad sic b. ad c quod est propositum. Similiter quicquid in septimo octauo nono de numeris ostendit Euclides, idem de quantitatibus in genere ostendere possumus. Alicubi tamen pro numeris quantitates rationales substituendo, assumptis
diffinitionibus ac suppositis nostris . Quidquid etiam in secundo, sexto: vndecimo Elementorum de ductuin proportione linearum , arearumin solidorum traditur, potest ad quantitates in genete sumptas conuerti. Exempli gratia prima secundi sic conuertetur si fuerint dii innantitates,
quarum altera in quotlibet segmenta secetur illud, quod ex ductu alterius in alteram fiet, aequum erit his, quae ex ductu curantitatis indiui se in unumquodq; segmentorum diuise pariter acceptis producentur. Quod sic ostendam: sint duae quanti ratesu indiuisa b c d. secta in partes quo tuis,ut puta tres b c d .eweca. in tota b c d prouenia te nec non e a.
in singulas partes b c d proueniant singule fili quantitates. Dico tunc, quod e aequalis est ipsis fili simul sumptis. Nam ex diffin multiplicationis rite adicit scuta adpositam. Et similiter sicut a. ad politam, sic f. ad h. sic Iad c sic h. ad . Igitur per undecimam quinti,& coniunctam proportionem, totum pili ad totum b c d sicuta ad politam suit autem sicuta ad positam, sic e ad bi d. ergo sicut e ad b c d sic fili ad b c d Quare per nonam quinti gh totum aequale est ipsi e quod erat demonstrandum. Ex qua demonstrabuntur reliquae propinsitiones secundi successi ne de quantitatibus in genere. quemadmodum Campanus easdem de numeris demonstrauit in decim sexta noni. 'Quidquid denique decimus Elementorum delinearum arearum symmetria Huctat aut proportione ratiocinatur, potesttotu ad quodlibet g nus quantitatis conuerti. Exempli gratia, illa propolitio, Aridionalibus longitudine comensurabilib rectis lineis factu rectangulum rationale est ad quantitates in genere sic co
103쪽
uertetur quantitatum rationaliti producturationale est nasic ostenditur. Quintitas rationis a. multiplieans quantita te rationalem'. facit c. Dico tunc,quod c.quantitas ration
lis est. nainq; exa .in se fiat d.od tunc per prima secundi Et mento ad quantitates redacta erit, sicuta ad b. sed ad α' sed a ipsi'. commenturabilis est perli vpothesim erro de dapsit commensurabilis est. reicio decinit. Cumq; Τ ratio 'nalis sit quia quadratum est pitas a. ilam per dies a.dc .ra tionalis erit. Qima est propositu Similiter procedere poterimus, reliquas decimi Menam propositiones demonstran clo. Et quod nona eiusdem libri de quadratis ostendit, poetetiam ad cubo de ad secundi quadrata quantitatum reserri sic A commensurabilibus inuicem quantitatibus producta Ouadrata, sunt ad initicem sicut quid rati numeri producti cubi, sicut cubi numeri :&producti secunda qua-arata,ucut sectindi numeri quadrati. . Contra, quantitate
tam, quaru quadrata sunt ad inuicem, sicut numeri quadrati, quum, quarum cubi sunt ad inuicem, sicut numeri Cudi quamq; qu.irum secunda quadrata sunt ad inuicein Q cut secundi quadrati suntoc adinvicem omnino commen a Q. 24. s. 1 II quoad quadrata. Hoc scilicet supposito ante demonstra- quod sicut inter duos quad. atos numeros semper interis
Iacet unus numerus medius proportionalisci ita inter cubo interiacent duo medii proportionales: ola in tet 'cundos quadratos tres medi proportionales. Ab incommensurabilibus vero inuicem quantitatibus facta quadrata non sunt ad inuicem, sicut quadrati numeri; neq; cubi, sicut cubi num nec secunda quadrata sicut secundi quadrati numeri. Ontra, quantitates, tam quarum quadrata non sunt ad Inu cena, sicut qui irati numeri, quamqtiar in cubi no sunt Inuicem, sicut cubi numeri,quamque quirui secunda quadrata non sint ira alcem, sicut secudi aadrati nimeri sunt intus se inco mensurabiles quae duae proportiones sequuntur ex praemiliis adestructione contrariorum. Quo ut quot linearum irrationi lium species tractin tu in decima Llementoru, totide ei denominis, earunt proprietatu speciei inueniam interquantitates in Maarisium iacis ita, anquMVt In omni quantitate vijura n risexi: aloe rationalium specles Per hanc igit te propolion: ri in is seometrica speculatio redigitur ad numerariam praxi in.
104쪽
diuisis, vel radicum extractio, sit e eos niseros, a quibus ipse quantitates signi cantur' i. Hoc est, nurnerorum . per quos duet vel quotlibet quantitates singulo singulae signia
sicantur, aggregatum et numerus significans tabum quali-titatum aggregatum. Et numerarum, per quos duae quantitates inaequales significin tu excessus est numerus significas ipsam quantitatu ex caelam item numerorum, per quos due: quantitates liani licin tur, productas .est numerus,sgnificansearu quantitatu produciam. Adhac diuiso numelo in nu meru, prouenit seu elicitur numerus significans quanti taetem prouenientem ex diuisione quantitatis illius nui in quantitate hui'. Demrois radix quadrati, vel cubi numeri est numerus significans quantitate, qtiae radix est quantitatis quadratae velini ita per ipsum quadratu vel cubu ignium in.
Quanstates, qκarum dea minatores sunt aequales,sunt adin ikicem, sicut numeratores . . Sint duae quantitates ab e equarum denominatores ML ponantur aequalesci num Eratores autem sinta c. Aio,quod quantitas a b.ad quantita Llem c d est,sicata ad c. Nam ratio quantitatis a b .ad quantitatem c d componitur ex ratione ipsius ab adpositam, ex ratione poside ad ipsam CL. Numeri aut a .ad numeruc ratio componitur ex ratione numeri a i ad numerum b.&ex ratione numerii. vel M. furit enim aequale per hyppot sim adnumerum c. Sed perditu. termino ru, quantitas a b. ad positam,est sicut numerus a. ad numerum quantitas aut posita ad qiralitate es. . sicut numerus d. ad numerii c.Igitur per aequiptoporticine erit quantitas ab ad quantitate M. sicut numerusa ad numeruae. Quod erat demonstranaum.
Quantitates, quarum numeratores sunt aluales sunt ad inrucem sicut denominatores, ordine commutato. Sunto, sit ut in pnemissa, quantitates a b. d. in quibus ponantur aequales ipsi numeratores ac Aio tun q, quantitas a b. ad quilitate id est sica numerus d. ad numerum Fiat enim ex a iii d. num erus e.&ex b. in c. fiat Lex b.Vero in il proii
niat E eritque; perprima sexti sicut a. ad b. sic E ad prima propositione hui' oste lim' quare, sicut indisinitio,. asibus partu qualitas e g. c qualis erit ipsi a b. Item erit sim:-litera
105쪽
liter, sicut c.ad d. sic sad .& ideo quantitas se aequalis eris; similiter quantitati ed. Et qm quantitatum e g. t:. idem est denominator, ideo per prς cedere, e g. ad ipsum Q. erit sicut numeras diad numeru f. Sed e. ad Clicut d adi. qm c. ipsi a. aequalis multiplicans plo b d facit ipsos se. Igitur sicut d ad b. sic erit quantitas e g.ad quantitatemfg. hoc est, quantitas ab ad quantitatem c. d. Quod sui demonstandum.
Quantitatum duarum ratio componitur ex rationibus numeratorum est denominatorum ordine commutato sumptis. Sunto bina quantitates a b c a. quarum numeratoreS,a c. denominatores autem bd. numeri. Aio,i ratio quantitatis a b.ad quantitatem c d componitur ex rationibus duabus, scilicet ex ratione numeri a .ad numerui. ex rone numeri et .adnumerum. Ponatur enim his media quantitas escuius numerato e. si tarqu alis numero c.& denominator faequa lis numero b. eritque, per antepraemissam, quantitas a b ad quantitatem es sicut numerus a. ad numerre. hoc est, sicuta.ad c. Et per ne edentem, quantitas e f. ad quantitate c d. sicut numerus d. ad numera L hoc est, licui d. ad F. Sed potata media quantitate e fratio qualitatis a b. ad quatitate cd: coponitur ex ratione quantitaris ab . ad quantitate ef&ex ratione quantitatis e f. ad qualitate d.Igitur ex aequali ,eaeadem ratio quantitatis a b ad quantitatem' d. componeturi ex ratione numeri ae ad numerum c. ex ratione numeri d. ad numerumh Quod suit demonstrandum..
Duas propositas quantitates coniungere . Si propositie quantitates singulis significentur numeris.Tunc coiungatur numeri, per quos propositae quantitates significatur Na aggregat si tale erit numer significas aggregatu ppositaru qualitatu quaesitu persecuda huius. Si ante propositiquatitates lingui e binis sim i ficetur numeris sim ipsae tu a b c aequar num eratores dea c. denominatores aut v tali let d. Ducaturi in c. fiat e Ducatur etiam a in d. fiat f Sirq re ipsoru e f. aggregat ag deinde ex b. inid fiat h. eritq; qualitas a. cui nimiaeratore denormnator asit h. aggreg tu i pl.icaea Ch cd quantitaturia esita.Cu es b. maltiplicas
ti singulos d. tu ciat singulos eir erit per prinnam hulus, licute add. side: ad h.Et similiter,qin . multiplicas singulos a b. iacit singulos sit eritque &sicut a. ad b. sic f. ad h. Quare,
106쪽
fer dissimia, quantitas et .erit aequalis quantitati e d.di qualitas s hin qualis quantitati a b. Sed per distinitionem , scuti numerus maci numerui.sic quantitas eh.ad posta ac scutnumerus sad num cetussi. sic quantitas si, ad rostam. Igitur per 14 quin I Elemen .scut ginggregatum ipsoru es ad ma- merui sic aggregarine ipsis e n. sh quantitatibus, hoc est ex ipsis c d a b.quantitatibus ad positam Qtiare, per dissin. g h. numeri significant dictu quantitatu a b.c d .aggregatum, ita scilicet,vij.numerus sit numerator,&h. nus denomina tor. Itaq; g'.quantitas est propositariam a b c d .quantitatu congerim,quae qua batur. Quod si propositarum quantitatum alaera tantum binis notetur numeris , tunc reliquat
supplendus it numerus denominator, qui quidem in quantitatibus ad positam multiplicibus semperest unitas, quae integritatem positae in intcgris fgnificat.
Dinabus quantitatibus inaequalibus propositis, mi rem a maiorisubtrahere . Si propositae quantitates singulis denotentur numeris: tunc numerus minor subtrahatura maiori narelictus numerus erit is,qui significat qualitate,quae superest post subtractioncm minoris quantitatis a maiori, per secundam huius. Si autem proposita: qiuantitates, qhraru ait ra ab altera subtrahenda est, singulae binis exprimantur numeris. Sint ipse tunc a b. maior, cd. minor: quaru numeratore snta c.d cnominatores b d ita Vt oporteat quantitate cd. subtrahere aquantitate a b Ducatur a. in . fate. le- inde b. in c. fiat s. Mox siibtraharetra e numerus f de reliquum si g. Ducatur demum b. in . . fiat h. Eritque quan
titas h. cui numerator g denominator h.quq relinquitur post subtractionem ipsus bd.quantitatis,ab ipsa quantitates iri a b Crem d. micans singulos a b saciat singulos e h.erit, f. io p huius, sicut a.adi. sese. ad h. e smiliter, qm b.mscans sin g. ae gulos c d. facit singulos s h. ideo sicut c. ad d. sic fad h.Qua h. iure per corollaria distinitionum , quantitas h. ipsi a b.&quantitas si, ipsi, d. aequalis erit. Et quoniam h numerus est cois euum denominator, ideo per e huius, ipse quan rates et . fh. sunt ad inuice sicut es numeratores. Quamob- re excessus numerato',scilicet g. nus significabit quantitatue h.sh.disserentiauio est, ipsi g'.quantitas erit talis itia: sicut erat demonstrandu Quod si propositaru quantitatum altera in binis notet numeris: tu relique: suppledus est nus
107쪽
denominator: qiii quidem in quantitatibus adpositam,ti Itiplicibus semper est unitas, integritatem positae ac non Urint .s significas. Item notandu tam in praesenti ouam inpii cedenti propontione, quisd quantitates, quae ad positam multio lices sunt , insuper particulares , aut superficie res redigenda sunt ad partes, ita ut singulae hinis significentur numeris , atque modus demonstrandi locum habeat.
Hinc constabid, propositis duabus quantitatibus 'vetra
, Duabus quatitatibus propositis,altera in altera multiplicare. Si propositae quantitates singulis signentur numeris itinc numeri significantes ipsas quantitates multiplicentur alter in alterum mam productum, persecundam' u iis, erit numerus significans quantitatem ex propostarum quatitatu multiplicatione productam. Si aut qualitates, quae multiplicandae proponuntur, singula binis significentur numm
denominatores vero b d .Et ducatur numerus a in numerucide proueniate.Ite ducatur numerus b. in numerula. proueniat f. Eritq; quantitas e sciatus numerator .denominatoris productum ex multiplicatione quantitatis a b. in quantitate od Na, per quinta huius libri iti quantitatis e f. ad qualitate cM. coponitur ex rationib numeri e. ad humerui. numerid.ad numerui. Ratio aut qualitatis a b adpositacsironit ex ratione numeri a.ad unitate, ex ratione unitatis ad numerui. Sedi disti. multiplicationis numerorii, sicut a numerus ad nitate, lic numerus c. adnumerunt c. sicut unitas ad numeris b. sic numerus d.ad numeri f. Igitur,
per qua proportione,quantitas e f. ad quantitate evi sicut quantitas a b. multiplicans ad posita. Quit re,per disti. multis plicationis, quantitas of est praedictum prouenietis ex ductu quantitatis a b multiplicatis in quantitate ed. multipli: cata quod quaerebatur. Quod si altera propositarii quanti--tatu duobus signetur numeris, reliqua vero vito tunc huic supplece est, Vtin praemissis actu est,nunire,etor, hoc est, unitas: Et P quantitatu altera vel ambae sint mussu plices ad positam,& in sum superparticulares, vel si perpartientes tunc redirant ur ad partes, ita ut singulae Dinis con notatae tumeris, ta ad prolin, ad demonstratione accomodetur.
108쪽
Duabus quantitatibus propositis, alteram in alteram partiri. Si propositae quantitates singulis ligniticentur numeris, tuc ijdem numeri qirilitate ex diuision unius in alteram, proueniente exprimerent, ita quidem, ut numerus diuisus sit numerator uiuides denominator Na sicut se habet diuides quantitas ad divisim sic se habet posita ad quantitatem ex diuisione proueniente. Vt si sit diuidenda quantitas a. diui sdens vero b iam dico tunc, quod quantitas a b est quantitas quei prouenit ex diuisione ipsius a. in ipsi in b. Nam per 'huius, sicut est numerus b.ad unitatem, sic est quantitas a.
ad quantitatem ab quandoquidem earum numeratores sint aequales, quia. utrobique eli numerus a. denominator quantitatis a sit unitas Venominator vero quantitatis
a b sit ipse b. Ergo sicut quantitas b. scilicet diuidens ad positarii quae per unitatem significatur sic quantitas a. scilicet
diuisa ad quantitatem a b. proueniente. Quamobre, per dit s. diuisionis; ex durisione quantitatis a. in quantitatem'. prouenit qualitas a b. quod suit demonstrandum .Quod si qua titates, quarum altera in alteram diuidenda est, singulta binis denotentur numerisci tunc ipse a b.cM.quaru numeratoresam denominatores bH ita ut ipsa a b sit diuideda in ipsam c d Ducatur il in a. proueniat e. Item c. in b. proue e stniat s. eritque quantitas e f. cuius numerator e ac denomi- nator sm,qua prouenit ex diuisone ipsius a b. in ipsamcd. Quoniam, per quintam huius, quantitatis a b ad quantitatem e fratio, componitur ex ratione numeri a. ad numeri e. ex ratione numeri f. ad numerum b. Ac per distin. multiplicationis in septimo Elementorum, sicut a numerus ad
ipsum e sic unitas ad d. Ac sicut f. numerus ad ipsum b. siec. ad unitate. Et ratio qualitatis d. adpositam 3 o ponitur ex ratione numeri c. ad unitatentu, ex ratione unitatis adnumer d. Propterea, per aequa proportione, ratio quatitatis ab diuis , ad quantitatem e f. proueniente, erit, ac ut ratio c d diuidentis ad positam. Ergo, per distin . diuisionis , ex diuisione quantitatis a b.in quantitatem e d proueni tritia-titas es quod est propositum . Quod si propositarum
quantitatum altera uno tantum significetur numero, tunc
supplendus est ut denominator per unitatem ut in praemis sis siciendum praecepimus. Etsi quantitatum altera vel utraque sint multiplices ad positam, aut superparticulares,
109쪽
seu superpartientes redigantur singula ad suis partes Irae
quide, ut singulae per numeratore de denominatore expetes. iae ad pridicti praxima demonstratione accommodentur. P Ropos I Tlo o . Omnis additiori omnis subtractio in quantitatibus cognitis irrationalibus fieri potest per terminos plus is inus. Namq; quatitates, quaru sola quadrata, vel quaru bii cubi, vel quaru sola secunda quadrata sunt cognita, ut plurimum neq; coniungi pollunt, nisi per terminos binomiorum: neq; altera subtrahi ab altera, nisi per terminos residuorum, ut si iungendae sint duae quantitates r. 3.&r. a. statim diea earuaggregatum eller 3 p r. 2. Si vero haec ab illa subtrahenda sit, ilicet respondθbo, residuum poli subtractionem ellei. y. m. r. 2 Quando tamen ad inuicem comensurabiles fuerint, possunt ad viiii nome, ta in additione, sin subtractione, Et, ut postea docebimus. Illud tamen in binomiis, residuisq; sic prolatis, nunquam non licet comperire quadratum cuius radix sit ipsum binomiale aggregattrin, siue residuum, qgpadditione siste subtractione querendu proponitur Verum 4 tale quadratu non nilii duo nomina potest proterri, ' pro . positae quantitates gerint in comen stirabiles ot postea per exopta declarabiliriis, regul s singulas tradentes. .
Duas quantitates propositas , quarum Vel quadrata tam tum, vel cubi tantum, vel secunda quadrata tantum cogni- 1 ta supponuntur, inuicem multiplicare. Sunto ditae quanisa, titates a b quarum quadrata od tantum i cognita suppo , nuntur: si iubeara in b. multiplicare, id faciam per quadrae d in Sit enim ipsarum a b productum e quod cum rationa----le non sit, existentibus a b imaicem in comensurabilibus, de
perinde non semper possit exprimi numero; quaerendum est
M. per eius quadratum,quod semper rationale est,sic. Multipli 16 eo, pera liuius, c. in .l.& pro niat f. Aio igitur,l festritim dratum prodiicia quaesiti, hoc est ipsius eruod sic ost-ndoia D 96 ma. multiplicans se ipsim facit c. multiplicas ipsit in b. facit cierit ideo per prima 6 Euclidis,sic utandi. sicc ad α Et similiter, qm b. multiplicans se ipsam facit d. multipli- .cans ipsam a .facite erit sicata ad b. sice.ad dagitur c ecla sunt continue proportionales. Quare per i c sexti quod fit exae in . . scilicet faequii est quadrato,'d ex e.qd erat demo strandu. Si cotingat igitur ipsum fproductum eis quadiati
110쪽
nu:Ueru: quod tu cuit, nisi sunt inuice csime surabiles: tueipsume.productitrariationale est: qua loquide tunc quadrati cui s. radixest. Ponantur nunc ipsarum a b.quantitatum quadmia secuda in rationalia, mesest, cognita: numeros,
quae sint g.&h.ut scilicet g. sit quadratum ipsius c.atq; h.sit quadratu ipsius a. Rursum,nunc per istec secunda quadrata
vestigabo productu ipsaru a b.sic: Multiplico g. inisera hui'. proueniat P. Dico itaq; quodk.est quadratu secladis ipsi' e. producti, hoc est,quadratu ipsi findric ostendo C 69em c. in se faciat ' c. in d.faciat ferit,per primam sexti D g hci1 c. add. sic g. ad LEt similiter,quoniam d.in c.facit f& d. is 6 in se facit h.ideo scutc.add. sic fad h. Ergo fh. sunt continue Proportionales.Quare per Is sexti, quod fit ex g. in h. -- scilicet λ.est aequum quadrato ipsius f. Quod erat ostenden sindum Id idem quoque haud dissicilius ostendemus de te rijs, quartis quotiesciinque quantitatum quadratis in infinitum. Nam quota sunt quadrata quatitatum multiplicantium, productum ex quadratis, totum quadratum erit a quadrato producti multiplicanti u.Quod etiamstedit Capatius m fine decimi Elemento'. Hoc itaq; pacto multiplicatur ad inuice quantitates potentia tna ronales, vel mediates primae, vel cui ustuq ordinis.Venia nuc ad quantitate cuboim rationales, hoc est,quarum tum cubi supponuntur cognitisquauis de his nihil Euclides. Sunto,ut prius proposite: quatitates ab .quaru procliictustate . quaru quadrata c& eoru productui. Ducasa. in c. fiata. Iteb. inid. ia m. Eruntq; per dissin iis cubi quantitatem a b.per quos cubos quaerimus nunc productu ipsa διὰ b. s.ipsum .Multiplico igituri cubu in m. cubu,&Jueniatn Ai,nuc,q em numer est cub ipsi' e.hoc est,m ipsum .productu quae situ est radix cubica ipsi'n.Qd sic ostenda. Cu eca. in b.fiat . eva in fiat . erit per primam sexti sicut b. ad c. sce.all. Item cum ex d.ini fiat m.&exd.i ci fiat feriis militer. sicut b. 2 3 ad c sic iam , ad s. Quare fiet sicut m ad fsic e ad i. c e Et ideo, per decim aquartam sexti numerus n. qui fit ex l. in m. aequalis ei, quod fit exi in s. hoc est cubo ipsius'.qui videlicet fit ex e in suum quadratum fler diffii igitur e. est radix ibi ni ipsius n. auod fuit demonstrandum. Hac via multiplicanda sunt quantitates ab tantum cognitae. Quando autem una quantitatu multiplicandari cogniata Per se proponitur,alteriu3 aut Vel quadratum, vel cubus, Ves