장음표시 사용
131쪽
dicum ab unitate per ordinem dispositarum,ultima in D eedentem multiplicati, preducit mcme , cuius dimidium essaggregatum ipsarum radicum ommus . Nam per septimam sitieceden is libri tale productum est inplum trianguli colateralis ultime radicisci triangulus autem est, per dissin.ag gregatum omnium radicum usque ad ultimam inclusue. Cum ergo dimidiuna talis producti sit equale triangulo,eriectarquale aggregato radicum Quoabest propositum
Numerus multitudinis imparium ab hirtate si dispositorum infe ductus, producit aggregatum ipsoriimumparium omiuium . Exempli gratia sint quinque impare a b c d e ab unitate dispoliti dico, quod quoniam quinque sunt, quinarius in seductus producit aggregatum ipsortim quinq; imparium Nam, per quintamdecimam praecedentis libri, quinqi dicti impares aggregati conficiunt quintum numerum quadra. tum, qui ex quinario in se dacto producitur. Verum est e go propositum in orini casu:
Numerus multitudinis purum a binario successive di oBorum, multiplicatus unumerum nitate maiorem, producit a gregatum ipsorum parium omisit unia. Exempli gratia sunto quinq; pares a b c illa a binario per ordinem dispositi fauiatem sit quinarius numerus ipsorum: autem numenis,nitate maior, scilicet senariusio ex sin .fiat h. A io, quod haest aggregaturn ipsorum a b c d e parium. Dd se patet. palam est,quod in tali exemplo s. est inta radix δ g. sex radix: Igitur,per septimam praecedentis libs h. talium radiacum productam est numerus patre altera hongior sextus ui et octogesimam quintam dicti libri,elaggregatum ip-us e. paci, texti loci,d omnium praecedentium' quod eraddemonstra dum Et similiter ino casu constabit propolita
Si in υno ordine Derint quotlibet quantitates contino stoportionales, di insecunI ordin quantitates ni tu et in eadem ratione continue proportionales ita ut earum d ferentiae
snt Mutitatibus primi ordinis singula singulis aequales tunc differentia primae ct pontemae secunIi qui Us Datis erit
A egato quantitatum primi ordimu Pon in tu in prim Fordine quantitates continue Proportionales quot-
132쪽
ais, vim quatuor a b cd.quib succedat in eade pportione ipsa'.qnta Demde in secudo ordine una plures quatita. tes.s quinq; fghil. ita coparatae, ut dra ipsarusnstaecmalis ipsi a. Et dit serentia ipsit'. h. aequalis ipsit.&ura ipseMik aequalis ipsi c. differentia ipsarum Et aequalis ips d.
Tunc a io,v dit rentia ipsarum si .erit aequalis aggregato ipsaru a b c d Patet propositu qrsi dii gerentia ipsaF. . extremaru conficitur ex differen iij quatuor medijs quae per hy- potesim sunt aequales ipsis quatuor abcd. quantitatibus Sed suppositis magnitudinib' primi ordinis i sc inuenietur ra magnitudines secim di ordinis. Sit ipsa Mai. dit serentia m. cla I sicut est .ad ipsam a. sic sit a. ad s. de sicut est a. ad e. sic sit f. 27
ad i. Vnde sicut ipsis a e intersunt tres mediae proportiona soles ita ipsis si totidem media proportionales in eadem 60. 14 proportione intererunt quae sint glik. Et, quoniam ppQ milem proportionem, sicut est a. ad s. sic est dinerentia ipsorum a b. scilicet m. ad dit remiam plarula suitq; is ad a. sicuta ad s. ideo in eandem habebit rationem ad a. addit Terentiam ipsarum fg.aequalis ergo est a.dit Terentia iplana fg. Sed cum disserentia seruent continuatam magnitudinuproportione,'ropterea tam bairae ipsaru ib. Q c. differentiae iplarum h laci d. sit serentia ipsarii El. qualis erit. I Iinc oritur regula progressionis magnitudinia continue proportionalium. Nam ex m. a. iam notis, notescit deinde ex a. e.
s. nota venit l. cuius ipsius L excessius eriggregatum 'sarum a b c d sicut ostensim est.
Si secundu duos terminos summantur quotlibet qualitates co Irinue proportionales quam extrema multiplicet ipse prosicto, di ferentia diuisa inter minorv d feretii bibet ara asDregatu . num quantitatum. Sunto duo termini,gratia exe o. spli, numeri 1. de . quorum quadrati .dclari cubi autem ro. oo. 2Io. as. s. ia 1 .secundi quadrati i6. χχ, quadiatis autem intersit medius proportionalis O. cubis duo medij proportionalescio. 1 o. iecundis quadratis tres medij proportionales o. I cio. 2 1 o. qui tinguli producuntur ex ductu terminorum in se, ad inuicem Unde in singulos secundi, tertisordinis nume mi, vicissetet multiplicatorum. In ho-xum tertio Ordine sunt quatuor numeri continue proportionales scilicet g. o. JO. 23 in quorum extremos 8.
ia 1 multiplicati termini atavio producunt 16.4 621. Dd quorum
133쪽
ouorum differentia est os. Aio, quod huiusmodi disserentia diuisa in disserentiam ipseruit a.d s. hoc est in . exhibet
aggregatum dictorum quatuor numerorum continue proportionalium, scilicet 8 2 o. so. ia . quod sic ostenditur. Quoniam 1 ductus in se, facit . ductus in t facit Do Iam idem a in . quς differentia est ipsorum .d t. producet dis 16. O. oo. JO. 23 serentiam ipsorum .emio. productorum quoniam multiplicator ductus in differentiam multiplicatorum, producit differentiam productorum.Item quoniam .inci .facit o. dc in se facit i c. iamin idem .ino faciet disserentina ipsorum IO.&43. Simili ratione, quoniam r. in . facit s. de s ii facit a. o. propter proportionalitatem numerorum ideo . in differetiam dictam ipsorum .d,s.scilicet inci faciet disserentiam ipsorum 8. 4o. Non aliter deinceps ostendam,s, dicta terminorum a. t. differentia multiplicata in Io.facit disseretiam ipsorum 1 o. S 3 o multiplicata quoq; in VI. facit differentiam ipsorum so αν c. Quamobre de te
minorum differentia multiplicata in aggregatu ipsorum
Io. 2I. faciet aggregatum trium differentiaru dicta ru, scilicet ipsorum 8 Mao. ipsorum 1 o. so. ipsorum 1 o. 42 3. Sed tres tales disserentiae coniunctis componunt extremorum 8. clariss .differentiam, igitur dicta terminor u differcntia multiplicata in aggregatum ipsorum .io. 13.producet differen tiam ipsorum 8.cu 12 1 extremorum . Quare talis extremorum 8. I 'ine sunt producta ex terminis in . a. . multiplicatis differentia diuisa in terminorum differenti iura, exhibebit dictum ipsorum .im. 2 3. continue propor tionalium aggregatum sicut propositio concludit. Adhuc
numeror disseretias dei inde eade terminor urapa mi cata in aggregatu ipsorum 8.1 o. so. 23. producet aggregatu dictarum quatuor differentiar sequentis ordinis: Mideo producet dram duoru extremoru16.&61 1.quae sunt producta ex ductu terminorum .in s. in ipsos 8. s. extremos quatuor continue propol tionali u.Vnde tali ii productovdifferentia diuisa in disieret iam terminoru,exhibebit aggregatu ipsorum 8. 2 o. o. I 23. quatuor continue proportionali ii numeror : quod erat demonstrandii. Similiter pro carteris terminis, aut proportionibus ostedam qd proponitur.
134쪽
Sicut est quadratus ad duplum suae radicis, sic est conteralis
Triangulus no erus adseque em radicem, Estempli gratia sit a quinta radixi autem quintus quadratus numerus:
ipsius a duplus ipse catem d. sexta radix cumque a in se faciat ipsum b.Item a. in sequentem radicem d. facie ipsum c. io. - a. s. . se.per difs n. parte altera longiorem sexti loci. Cuius dimidi essit f.qui per octauam praecedentis libri, erit triangulus quin Ctus Demonstrandum est ergo, quod sicut est , ad ipsum c. sic est f. ad ipsum d Sic,quoniam a multiplicans ipsos a d. producit iplos: e. Iam ideo, per primam exti Euclidi ,erit d. o. ια-- si, sicut a.ad ipsum d sic b.ad ipsum .in permutatim sic b. ad
a. sicut LadH.Cumq; a. sit dimidiuscipuus c. atque e. dii nidius ipsius fiam, per 13 quinti Elementorum, erit ex aequali, licuit ad c hoc est,quadratus quintus ad suam radicem, s. triangulus quintus, ad L sextam radicem : quod ultra monstrandum. sicut pro quinto loco, ita pro quocunque eonstabit propositum. R post Tio 3
Omnis triagulus multiplicatus in duplum collateralis radicis. producit aggregatum ex cubo ct quadrato conteralibus. Repetita descriptione prς misse, ostendendum est, quod striangulus quintus multiplicatus in c. duplum ipsius a radicis quintae producit cubi quadrati quintorum congeriem, hoc modo Sicut Fb quadratus quintus ad c. lusam suae radicis a. sic est striangulus quintus a id sequentem radicet, per praecedentem. Cum vero a in b. per dissan. faciat cubum quintum Iam d. unitate maior, quam a in b. faciet congeriem ex cubo tali suoque quadrato. Sed per is sexti, quod fit ex d. in b.ςquum est ei, quod fit ex Linc fruere a 3 se , ptimi. Igitur fini faciet dictam cubi, quadratique cong xiem, quod erat demonstrandum. Et sicat in quinto, ita in
quovis loco constabit propositu iri. P Ropos I Tio Q '
Quod sit ex aggregat quotlibet radicum ab unitate,ordinatarum multiplicato in duplum radicis vlli mi, si iungatur cum ipso radicum aggregato,costabit triplum aggregati omnium quadratorum ex dόctis radicibus singulis factorunti, Nam cum
aggregarum , exempliaritia, quinque radicum ab unitate ordinatarum sit per dissin quint v trianguli H aggrega ue tum quinq: quadratorum taliam radicu, sit quinta pyrami
135쪽
quadrata per diffin. Iam demonstrandum erit, quod illud, . quod fit ex quinto triangulo in duplum radicis quintς, si V L iungatur cure ipso triangulo constabit triplum pyramidis
1d quadrataequintae. Sed, per praecedentem,id quod fit ex quinto triangulo,in duplum radicis quintae,aequum est aggrega-' to cubii quadrati quintorum.igitur demonstrandum erit, quδd congeries cubi quadratii trianguli quintorum, aequi ualet triplum pyramidis quadratae quintae. Quod cum iam ostensum sit in 3 precedentis libri iam constat propositum ita non solum in quinto , sed in quovis alio loco demonstrabitur, quod demonstrandum proponitur.
Hinc regula progressionis quadratorum ex radicibus ordiniitis factorum constat. Quia si numeri progressionis proposita sint ad radices singulis singulas dupli, tunc quadratorum quaestorum summa, ad quadratorum radicum congeriem erit quadrupla si tripli,nonupta; li quadrupli, sedecupla ; si quincupli vigecupla quincupla,&ita deinceps nam
quadratorum ratib duplex est ad laterum rationem. PRO Post Tio; 36'. .
Sifuerint quotlibet ab unitate ordinat8 radices: quod fit ex gregato postrema sequentis radicum in productum ex eisdem,duplum semper est ad congeriem ex cubo quadrato, ct trita gula collateresibus Uremae oeperinde sexcuplum pyramidis quadrata conteratis, hoc est aggregati quadratorum ex radiciabus ordinatis productorum , Sint,exempli gratia, quatuor ab unitate radices, quarum vis sit a .ei quadratus b.Dimidium nrultitudinis radicum sit c Radix equens, hoc est, quinta site. 4 d.fiatqueexb.in L numerus e.&e d. in c. numerus f. Palam
3 d. Η ἔφ' quod e est aggregatum excubo ipsius a. ex quadrato
is Fς-- eius, hoc est,ex'.quandoquidem . . multipliciuor est, ni ta- te maior quam a quodq; per 28 huius f. est triangulus quartus,aggregatumque quatuor radicum Deinde s si aggregatum ipsarum a.d radicum:&α sit productum ex earundem. h. iro a d multipllicatione, fiatque inde ex nin .numerus h. siedemonstrandum erit,quod nurnerus h. est duplum ad aggregatum ex e f. Quod sic patet. Numerus g. constativa. Q. ideo constat ex duolo ipsius a. ex unitate. numerus h. constat ex a.&b per nonam praecedentis libri quoniam'.
est parte altera longior quinti loci: Eth.est quartus quadrat citius radix a Igitur ex a. in a b fiet e. ex duplo ipsius a.
136쪽
in h. fiet duplum ipsius e Sed ex unitate in h. fit dupluruipsius f. igitur ex aggregato dupli ipsius a. initatis , hoc
est ex g.in h. fiet daptu totius es quod erat demonstrandii. Qu)d enim productu exunitate in h. hoc est ipse h. sit dupluipsius spata est: Nam stilo c.in d. At ipse h. fit ex a.in'd qui duplus est ipsius'.quoniam scilicet a.est multitudo radicum e dimidium talis multitudinis Costat ergo propositum. Sed e fiet prςmissam est triplum aggregati quadratoruma quatuor adicibus propositis factorum argol qui fit ex g. in h.sexcaptus erit aggregati quadratorum, sicut propositio concludit. Dd autem pro quatuor radicibus conclusum est, pro quotcunque propositis in infinitum demonstrabitur.
Hinc altera regula elicitur ad habendum cumulum qu dratorum I quotcunque ab unitate ordinatis radicibus factorum. Quod ii pro radicibus proponatur aliar quantitates secundum primae crementum ordinatae , tunc proportio earum singularum ad singulas radices duplicanda est. secudum talem proportionem adaugenda, vel diminuenda erit
summa radicum, Vt proueniat suinma quadratorum propositarum quantitatum. PRO Post Tio 37'.
Tropositis ab nitate quotlibet radicibus i radix proximes quem multiplicet aggregatum ex quadrato postrema ex dimidi ipsius postremae producetur triplum summae quadratorum
ipsarum radicum propositarum . Exempli oratia,sunt rad ces octo dispositis ab unitate singuli cum luis quadratis. Radix proxime sequens erit o. aggregatum ex quadraro post mar scilicet σέ. ex dimidio ipsius postremae scilicet . erit 68. Aio igitur,quod sit ducatur in 68 producetur triplum summe: talium quadratorum omnium scilicet si ra. Quod sic paret te uela secundi horum arithmeticorum , ex aggregato ipseriam 8. p. hoc est postrem propositarum, de sequentis proxime radicis , hoc est ex ir in productum earundem scilicet a fit sexcirpium summae dictorum quadratorum. Igitur ex ἰ quod est dimidium dicti aggregari, raeniplam ad x Maiii ix.fiet triplu talis summae. Sed sicut E ad 9. sic S8.ad 8;ssumma radiatorum. quare,per vigesimam septimi Elementorii quod fit ex Ta.ino: uo li aequale I
137쪽
triplum furem quadratorum dictae.
s. aequale erit et,quod ex O .in 68. Igitur ex si .in 68. set trI-plum dicti summae quadratorum quod erat demonstrandum. Qubdautem 72.ad 9.sit sicut 68.ad 8. patet.nam a. ad O.est octu plus ex dissin. multiplicationis,atque o8. ad 8. smiliter octu plusci constat enim o 8.ex duobus, scilicet 64. quadrato,& ex dimidio suae radicis, scilicet .estq; 6 .octu lus ad 8. suam radicem , io tu plus etiam quatuor dimi ius eiusdem radicis ad . Quare totum 6 8. ad totum M similiter octuplum. Constat ergo propositum quod sicut de octo, ita de quotcunque propositis radicibus similiter
Quod fit ex aggregato quotlibet radicum ab unitate ordinatarum in seipsum multiplis ato, aequale est aggregato omnium borum asingulis radicibus sectorin . Nam per dissin .aggregatum radicum ab unitate ordinatarum est triangulus numerus postreme radicum. Sed triangulus talis in se ductiis. producit aggregatum cuborum omnium radicum usque ad postremam inclusiue,per 3 8 praecedentis libri.Igitura. gregatum ipsum radicum in sese multiplicatum producit corundem cuborum aggregatum quod ei at demonstrandu.
Vnde manifesta fit regula progressionis cuborum. Et ille, sicut in quadratis, notandun, quod si pro radicibus proponantur aliae quantitates secundum primicrementum in ordinem continuatae tunc proportio earum singularum, ad singulas radices triplicanda est: secundum idem propo tionem adaugenda erit, vel minoranda summa cuborum iradicibus faetorum, ut proueniat summa cuborum Propo sitarum quantitatum.
Item huc spectat quidquid de pyramidibus in ptiecedenti libro conclusum est. Nam pyramis triangula est congeries
triangulorum inuadrata, quadratorum pentagona,pentagonorum, exagona hexagonorum, deinceps ab unitate ordinatorum.Vnde totide progressonu regula propagatur-PRo o
138쪽
Quas propositas rationes coniunger . Simio due rationes, una per duos numeros a b. altera per duos numeros es. . significata , oportet eas Cniungere ioc est, rationem ex ipsis duabus composta inuenire . Hoc fiet per multiplic tionem terminorum unius in terminos alterius sic Ducatur a in c.& fiat e Ducatur b.in d fiat g. Dico igitur, qudd a. 3 -- c. 1 ------ e r statio e.ad . est aggregatum rationum a.adi. i. ad d. hoc b. a d. - g. gest,qubd ratio e adj.componitur ex rationem, adi desere iaratione e.a1d.Quod sic ostenditur. Ex a .in d fiat f. tunc, quoniam a multiplicans ipsas. d. acit ipsas e ferit per pim e. c. mam sexti, scutc.ad d. sic e ad fatem,quia d. multiplicans s. d. a ipsas ah. producit ipsas fg.erit scuta ad b. sic f. ad g. Sedra g. btio . adi componitur ex rationi se ad sin ipsius f. ad . igitur eadem ratio e ad . componetur ex nominibus aequalibus,sciliceta ad b c c.ad d. Quod erat demonstrandum.
Non aliter tres,aut plures rationes in unam colligentur. PRO Posi TI o . Duaru rationi propositarum altera ab altera subtrahere Sunto duae rationes a. ad . cla c. ad . Oportet subtrahere hanc ab illa Hoc fiet per multiplicationem terminorum sordine permutato, sic:Ducatur d.ina.&fate Ducatur c. in Hub.& fiat s. Dico ergo,ratio e ad s. est, quae restat post subtractionem rationis .ald a ratione ipsius a.ad b.Quod sc ostenditur Exc ina fiat g. tunc, quia c. multiplican ip se a csos a b. facit g ferit, sicut a. adl sc g. ad s. de quoniam a. e. . . .
multiplicans ipsos c d faciunt ipses ge erit sicut c. add.sic L .
iam .ad e Sed ratio g. ad f. componitur ex ratione g. ad α ex ratione e. a. f. ergo ratio a. a. b. componitur ex is l-dem duit autem sicut c.add. sic g. ad, Igitur ratio a .ad b. componetur ex rationibus c. adH. Me ad s. Quare , ablata ratione c. add a rationea ad b. supererit ratio e.ad s. quod
erat demonstrandum. P Ropos ITI I .
Datam ratione toties, quoties quis proponat, multiplicari Ἀ-3-9-27-8ISi data ratio duplicanda staper antepronissai: , iungatur 4-2- - 8 Iobis
139쪽
bis ipsam et sibi, si triplicada, duplatariam iungatur iterum: si quadruplicanda, triplat iungatur iterum citaque duinceps Ita enim intelligitur multiplicari ratio, ut bis, ter, quatervecCntinuetur in terminis.Vnde quadratorum ratio dupla cuborum tripla secundorum quadratorum quadrupla ad laterum siue radicum rationem. COROLLARIUM. Igis rationis duplatae terminis, ii intererit medi 'proportionalis Triplatae,dum Quadruplatae,ires: itaque deinceps.
Datam rationem bifaria sine trifaria lae quadrifaria, siue plurioriam utcunque quid iam postulauirit, aequaliter partiri.
Sint datae rationis terminia c. si oporteat rationem a ad c. bifariam partiri, interponatur eis media proportionalis . Si autem data rationis termini sint a d. oporteat ipsam uitariam diuide re; tuc interponatur eis duae media propor-nala b c Si vero date: rationis termini sint a c. iporteat iplam quadrifariam partiri: tunc interponantur eis tres m diae proportionales quantitares bccs. Cuius problematis practica executio, quamuis a nobis in Arithmeticis quaestionibus sit abunder radita, hic tamen ab exemplis non abstinebimus. Et in primis notandum, quod quando propositae quantitates sunt adinvicem sicut quadrati numeri tuc una quantitas interiacet illis media proportionalis: quando autem , sicut ubi numeri, tunc duae media . Quando verbscut quadrati quadratorum, tunc tres medite. Quando demum,sicut quadrati cuborum, tu quinque mediae proportionales quantitates propositis interiacent: in omni tali casu tales quantitates continue proportionales sunt dii; ui cu comesurabiles iquippe quae inter se in ratione numeroru: unde rationes ipsa tunc sunt rationales, hoc est, per numeros inpressae, atq; idco proposita ratio tunc secatur in ratio ne cognitas per numeros. Si ver,proposita quantitates secus, quam dictum est, ad inuicem se nabeant interpositae proportionales mediae rationales non erunt Exempli gratia, proponantur aeni hi duo numeria.&i8. quibus iubeor medium proportionalem inuenire, quoniam tales numeris habin adinvicem,sicut is is quadrati numeri, quibus interiacet medius proporticnalis b. Id propositis unus similiter medius intererit proportionalis a duplum ad illum medium , sicut propositi ci quadratos dupli sunt.
140쪽
Item si iubear ipsis 4. A . duos proportionales inter. ponere: quoniam tales numeri sunt ad inuice, sicut 8. 1 . cibi numeri,quibus interiacentcbio medij proportionales, scilicet 1Σ.&18. iam ideo tropositis totide medi proportionales interiacebuit scilicet 2 . 36 Item, si ipsis 3. 48, icomedios proportionales accolano late velim,no minus licebitis cum sint sicut I. ii quadrati secundi quibus tres m .s mecEjuxtersum:erutq; interPposito mcd9 6.l2.24. Adhuc situs numeris 3.& 92. labzt in tetrclud ς Minqv Irrisiones Gemedios proportionales posssibile erit qua loquide tales sunt in proportione ipsorum 1. 6 .lci sunt quadrati cuboru, quibus tremo nescit quinq; numeros intercuc proportiona et lales scilicet 1. .8.4 sit. Vnde cla probostis intererunt toti, de sciliceto. I et i . 8. 6. Quod si propositi num rialue si dictu eu adinvicem se habeant, norvintererunt ipse,quos V FR diximus, numeri proportionales:sed' Exempli causa, proponantur bi numeri nulli dictatu pro V cu. I r. cu 1 Sportionum ad inuicem seruantes, utpote a.& - Ianis nul x syn 7 22 Lienus messi proportionales,quos viximus,intererunt sciri. 6. aquaeda itiatio te quanti Mes. Itaque si Velim ipsi a.& r. rc x mecha includere proportionatu aga per eoru quia i r. 3 6. r. &,.quiis interest 6.qui quadratus erit madix qua sitae,quae Cr. 1 . ra. 1 iam potentia tantu notescit. Nam sicat tres quadrati A. 6.9. r. a. . . 3
sunt continue proportionales, ita oceorum, dic scilice is r. . r. 6. r. 3. sunt continue propinuonal , Si uim ijsdςm i
m umeris velim duas medias proportionales inserem auu
viam eorum cubos s. 47 quorum medii duo Aunt 2 e 18. in cubi sunt duarum quas quaerimu mediarum
Nam radices cuborum proportionalium sunt propor se ,
tionales. Si vero nidem tres medias Interponere iubear,
quorum ite numeri medio sunt scilicet x . 35. 3 . qui secundi quoque quadrati erunt quantitatum trium m diarum; quas quaerimus : Et quoniam horum numerorum medius quadratus numerus est , iam media trium quantitatum non brum secundo quadrato sed etiam primo notescit eritque ipsa r. 6. Si demum, ipsis et . p. quinq; m di is proportionale procurem,eliciam ex ipsis quadraros cuborum, Due cubos quadratoru, qui sunt o S 729. Quibus interponi piat quinq; numeri apportionaliter.c96. I 4. 21 3α . 86.isimiliter erui quadrati cuboru quinq; mediaria, quaru