장음표시 사용
111쪽
vel secundum quadratum tantum cognituris ot sertur, una capiendum est smiliterquadratum, vel cubus, vel se dum quadratum quantitatis per se cognitae,&deinde quadratum in quadratum, siue cubus,in cubum, sue secundum quadratum in secundum quadratu multiplicandum est. sic de inceps pro tertijs,aut quotiescunq; quadratis. Sic demo stratio dudu memorata procedet, propositu absoluetur.
Vnde manifestum est, quod ex ductu quadratorum , siue borum, siue secundorum quadratorum, aut sequentium, semper producitur quadratum sue cubus, sue quadratus secundus producti ex multiplicatione radicum, quarum quadrata, seu ubi, seu secunda, vel sequentia quadrata. Quae omnia, sicut iam demonstrata sunt,ita per Arithmeticam praxim , tam in quantitabus rationalibus , quam eo tentia, siue cubo, tantum rationalibus, siue medialibus, liue duorum pluriumve nominum, supputando comprobatur, quemadmodum in Arithmeticis quaestionibus per exempla tradidimus. PRO post Tro Σ'
Duabris quantitatibus propositis, quarum quadrata tantὴm me cubi tantum vel secunda quadrata tantum comta fuρ- ponuntur; alteram in alteram partiri. Qusniam, per dis-nnitionem, quando multiplicantur inuicem dine nantia rates, productum ad multiplicatam est, sicut multiplicans ad positam Iam si multiplicans nunc si diuidens, ac roductit in sit diuisum, erit multiplicata, quotiens. Quandoquis dem, per distin .diuisa quantitas ad quotientem est, sicut diuidens ad positum . Itaque diuiso producto in multiplicanintem, semper ex diuisione prouenit multiplicans. Quod cum ita sit,abloluemus problema,per descriptionem penitus, ae, suppositionem praecedentis propositionis. Sint igitur, scute M in praemissa,propositiquantitates a b quaru quadrata. d. - productum autem e & ipsarum c d productum f. Osten-
s tum est ergo,quis is est quadratum ipsus e. quod scilicet s
fit ex ductu c.i d.Igitur ex diuisone ipsus sin ipsam' pro
isi ueniet ipsis quod est quadratum ipsius b prouenientis
ex diuisione ipsius e in ipsam a Sit igitur, exempli gra-11 6 tia, diuidenda quantitas e diuidens autem a. ela Osterantur harum quadrata tantum , scilicet f. quadratum diu id cndie e. atquec quadratum diuidentis a diuidam ipsam si ipsam α
112쪽
ner e V orouenieth d. quadratum, scilicet ipsius b. quotientior,
quoni.im scilicet ex diuinone producti in uuiplicantem, prouenit multiplicat Item quoniam ex multiplicatione ipsarum g h. quae sunt secunda quadrata ipsarum a b producituri bsecundum quasi ratum ipsius e producti ex ipsis a b iam simili-ibri pro diuidenda quantitate e offeratur secundum eius quaeuari in ista pr.dmiCente4.proponatur secundum eius quadra-
tum p. tunc diuidam ipsam k in ipsam n prouenit h. secum clam quadratiam ip-b quotientis Nam ex diuitione producti. in multiplicantem, prὀsilit multiplicata. emum, quoniam i ex multiplicatione cuborum lis qui scilicet sunt cubi ipsarum ab producitur,. cubui ipsus e producti primati : non aliter, si pro quantitate e partienda detur eius cubus n. cla pro diuisio ite a.potiatur erus cubus ii tunc paruarcubum ipsum, in ipsum tibiisti. l.&proueniet mi cubus ipsim si, Quorienti .Namquep roductum Lia i remitiplicantem --Nec secus i ι faciendum pro tertijs ac sequentibus quadratis, quousque prin . oeelserit curiosias, Quod si diuisor aut daridendus nuNcrus ita ot Terantur alter per se notus si fallerius vero tantum po- tentia vel cubus es secundum quadratum cognitum propon ras C. tiir tunc par dignitas capiendacit numeri per se c*gniti, cisti licet, vel quadratum in quadratum .vel cubum incubum , vel secundum quadratum, in secutidum quadratum' vcl dignit. uem, quamuis in parem dignitatem partiarisci sicut in inultiplicatione tactaim est. Sic enim Milemonii ratio dudum explicata locum ii bet, D quasio finem iri t. l. ii H ab O MO R. Il M. Ex quibus mani stum est quod in diuisione quadrati, inrauadratum sue cubi incubum, siue Ccuruli quadra; in secundum quadratum, semper promenit quadratus,seu cubus, seu secundus quadratus illius quotientis,quod ex diuisione radicis in radicem,
Tropositarum duam umqui xtitutum per potentia c Πωs,ali per . .
duae quantitates ab quarum quadrata c. . cognita sint.Voloe, rum congeriem pronunciare. Per undechnam huius, multipliaco a in b. uer nota ipsarum quadrata cc dc proveniat e. Huiu
113쪽
duplum si L. Sumo igitur aggregatum piarum c d s. dico enim
quod tale aggregatum est quadratum congctiei quaesiae. Nam per secundi Elcmcntorum,aegregatuni ex duobus quadratis, duplaq; producti radicu,quarum sunt qua Orata, conficiunt quadratum congeriei radicum. Item sunt, ae quantitates a b.quarum maior b. earum quadrata sint d. Volo subtrahere ipsam a .ab i. 7 ipsa b. Per Di huius,multiplico a. in b, perear poton tias cd.& proucniate. Huius duplum sit f. quod subtraho ad aggregat ip-3 a salum c d di residuum sit . Dico igitur, quddi est quadratum e eius quantitatis, qua relinquitur pol subtractioniam ipsius a .ab, ipsa b.Nam per τε secundi Elcmcntorum, quadratum quatitatis, aqua fit subtracitio, una inim quadrato subtractae, sumptum aequale est quadrato resilui una cum duplo eius,quod fit a tota in sub
tractam. Quam ob rem, si tale duplum subtrahatur ab aggregato I quadratorum totius iubtractae, superest quadratum res tui. 1a Vbi notandum est, quin quando duae quantitates propositae sunt inuicem commensurabiles, tunc,quoniam est sunt eiusdem se cici e carum tam congeries, quam concessus est Meiusde m speciei quantitas. Exempli gratia: sue propostae quantitates snti
tentia tantum rationalcs inuicem commensurabiles: tunc earum tam congeries, quam di I Tecentia erit quantitas unius nominis ξο- tentia tantum rationalis. Si autem propositae quantitates ungulae sint unius specie binomia in perinde commensurabiles: wnc carum tam congeries, quam ditiarentia erit eiusdem specie binomium t Et similiter dereliquis irrationalium speciebus dicendum : Quae omnia cin decimo Elementorum demonstrantur, calculo practico comprobantur. Sed regul in hac propos cone assignatae quantitatibus potentia rationalibna tan-lum tu veniunt: non iis, qualum cubi tantum , aut quarum secunda quadrata tantum cognita iseiuntur. Scit pro uniuersis quantitatibus , tam potentia tantum rixiam cubo tantum , quamque secundo quadiato vel quotacunque potene furea regula. . tia tantum cognitis, dabinis hic unicam cia auream rcgulam quam hic simul trademus, dc monstrabimus. Sit a magnitudo posita, quae de non inatur ab unitate. bc duae magnitune datae. Sit d. quadratum ipsius . de . quadratum ipsus c.Ite cubus exi .ck g. cubus exi. Et tunc si secetur c in b. proueniat h. Item e.in .dk proiicniath.Item ni id proueniat'. erutiam sicut a b d. 6 sicut ipl ac epitaci ipse a h l. per diffinitionem quadratorum, cuborum in per distinitionem diuis vis continiic prosortionalcs. Quare per dissinitionc resti radixi. quadratum
114쪽
quadratum 4. cubus talis radicerunt. Quibus c5sideratis, si volim aggregare quantitates b c. per earum quadrata Ae vel per earum cuboc g. ponam' .aequalem aggregatum ipserum a n. MAciam n. quacliatu ipsius m. &eius senum. cubum o Mox ducam ct in n. proueniat p. Item duca s. in o. proueniat'. Aio tue, quod p. erit quadratum totius b c quodq; q. erit cubus eiu sem e totius. Et sic habeo in per quadratos M percubos aggregatu ipsarum c. Hoc est, habeo ta quadratu, si cubu talis agurriath qnaliter in notitia non venit. Atq; ita deinceps fiet per ecunda de quotaciinq; quadrata Qu9d sic osteditur.Cu, per disti. diuisiovis sit sicut ad b. lic h. ad a.etit coniunctum totum l. ad ipsum b. sicut totum a. ad ipsum a. hoc est, ct ad ipsum b. sicut m ad a. Quare per Is sexti Euclid.qd fit ex a. in c. hoc est, ipsum aggregat ab .aequale erit ei, quod fit ex b. in m. Itaq; cara b. .m nocest, ex radice in radicem producatur tot ut C. ia, per corollari pure decimae huius, ex d.in, hoc est, ex quadrato in quadratu produc tur quadratu totius bi.qd sint, & ex fino. hoc est, ex cubo in cubum, produceriucubus totius b c.qm fuit q. quod erat demonstrandum. Et similiter per ea de omnino, id ipsum ostedetur de se bcundis quadratis, caeterisq; dignitatibus magnitudinum . Quod si velim subtrahere quantitatem K de tota b c per quadrata ea lrum . ' tunc diuida quadrata ipsius b c scilicet ipsam p. per dquadratu ipsius b. scilicet per ipsam d. Et proueniet excia demon. stratis, ipsa n. Cuius radix quadrata estis A qua subtraho a. unitatem clupererit'. cuius quadrat si scilicet ipsar h. luco inta. quadratu, scilicet ipsius: subtrahendar:&proueniet e quot ex quadratu ipsius c. quae superest post subtractione ipsius b. a tota b c. sic per quadrata subtractaeri eius, qua siet subtractio, habeo quadratum relictae Eadem quom subtractio fiet per cubos quantitatum stilicet per s&'. sic tantida cubu ipsius b c scilicet mi cubum ipsius .scilicet f. proueniet ex demonstraris ipsa o cuius radix eubica est m. De qua minuo a. unitate, relinqtretur h. cuius ciliabum l. duco in f cubu ipsius b. subtrahendae:& proueniet g. cubus ipsius c. relictae post dictam ac propositam subtractionem Et per eandem idipsum in secundis quadrati Caeterisque deinceps eu niet. Que quidem regula, quoniam communis est uniuersis in infinitum quantitatum dignitatibus, nemine hactenus animaduersia dc demonstrata, merita aurea sui tappellanda.
115쪽
uJd ali Proportionalia erunt & dein us .a ntia.Vnde sicut N m in Tuscide numerum: hue actu n. numerus ad . nume- rum,' c est icut quadrata singularum quan ira talia x. ad qua- dratos singulos numerorum a baiceritqViadraram aggregati quatitatam it x. ad quadratum plius nec non lic erit quadratum diis realiae quantitatuni it x. ad quadratum fias do idemque ist
itates X.. notae sunt per quadrata in n. tantum tunc icut est m. qidie, ii iiij numerus ad quadrataria ipsius atem ii sit z. nu merus ad quadratum ipsius d. Nam ex iam demonstraris γ numerus erit quadratum aggregati ipsirum et x. de et numerus eritiqhiadratum dissurentiaei'saxuluit x Sicnotescit per quadrata tanu congeries, quam occiliis propositaruan quantitatum Quum sit autem quantitates lx cubo tantum sunt rationales tunc limitire quieretur carranulam congeries , qu in excelsis ne cubos Si demum quadrato secundo tantiam rationalec; tunc talis con-gvu S,&. cessus se tecumla quadrata notificabitur.
116쪽
Ex quibus manis tum est,inurusmodi duarum quantitatumram aggregatum, quam differentia,semper est quantitas unius no minis Multique ipsarum commensuranilis.
Ῥαrrum' antitatum plurium nominum aggregatum , aut dis rentiam Gigare . Quando nomina quantitatum sunt ad inviacem in comensurabiliaci tunc congregatio haud aliter fieri potet quam aggregatis membris per adverbium Plus: nec etiam dra aliter proferri, quam per adverbium in us licit ostendit Euclides indecimo, tam dehinomiis,quam de residuis. Vbi vero fuerint duo
nomina inuicem comensurabilia tunc ea, per praecedentem, coniuncta conflant unam quantitatem, Mideo redigenda sunt ad ununomen in additione. Qu9d si minor a maiori subtrahatur, superest quantitas unius nominis, in subtraction Semper igitur dudnomina, qtiae in additione, vel subtractione ad unum redigi pol- sunt, redigenda sunt, ut quam paucissimis nominibus siue aggregatum, lime differentiam proferamus. Et in additione hoc semper attedendu quod nomina per Plus geminata Plus conficiunt:
Per Minus vero notata. Minus tantum, inquam, Plus, seu tantum Minus, quantia coniuncti conflant. Quod ii nominum alterii per plus, alteruter min notetur, tunc eoru excessus adij ciendus,aut
iubtrahendus erit summae: adiiciendus quide,qn nomen per plus notatu, maius est; subtrahendus vero, cum maius est reliquum nomen. Vnde si nomina contrari js titulis insignita, fuerint aequalia, tunc nihil conflant: nam quod inde ad ij citur , hinc subtrahitur, ita summa intacti permittetur In subtractione vero, si nominum Vtrunque per plus notetur, supererit differentia nomina
per plus dinotanda, cum illud nomen 1 quo fit subtractio mai
est: per Minus vero inscribenda, cum subtrahendu nomen maius est. Quando aut nomina aequalia, nil restat. Qu2d si ambo nomina per minus notata sint, similiter supererit excelsus nominum;
erum per Plus notandus, cum maius nominum erat subtrahendum: per minus aute inscribendus, quando reliquum nomen maius fuerit Nam aequalitas eorum rursum nihil residuat. Demum, si nominum alterum per Plus , alterum per Minus inscribatur :ruc eorum aggregarum pro relicto subtractionis subscribendu est mina adverbio pius, vel Minus, cum quo scilicet notabatur nome, a quo fit subtractio. Quae praecepta ita sunt in triuialibus scholis Irita, ter conceptum animi cogniti, ut demonstratione non egeant. Igitur ad reliqua transeundum.
117쪽
PRO 'o si Tio. 4 6 Quantitatem unius no nis in quantitatem di orum aut plurilava nominiιm melltiplicare . Quantitas unius nominis sta binomi-
nis autem quantitas b c sub duobus nominibus. b. t. prolata. Oportet multiplicarea.in c. Multiplico se undecimam huius,
. itantitat rara a in nomen b. sat d. Item multiplices, pereandem a in nomen ta fiat .Dico igitur,quod quantitas conflara ex nominibus. de.est productum quod fit ex multiplicatione ipsi 'a in ipsami ci. Nam , per secundi Elcmentorum primam, quae fui ex ductu unius quantitatis in parte proposit. P quantitatis pariter accepta conficiunt illud quod fit ex dicta quantitate in totam propositam. Itaque 4 productum est ex multiplicatione iesus a.in ipsimi c. facturru quod quaerebatur..
Verum in multiplicationibus binomiorum ac residuorum, hoe est praenotandum , quod si nomina multiplicanda inscribantur per Plus aut per Minus utraque tunc productum ex eorum mul-b tiplicatione factum inlcribendum erit per plusci ii vero alterum nominum per Plus,alterum per Minus notetur, productum per minus notandum erit. Quod ita este, breui demonstratione a gitemus. Sunto dua residua, nunt a b b c Alterum d e e ccum enim residua ipsa sint quantitates a c. Is quei restant pera scisionem minorum nominum a maioribus, illud sic pronunti
fertur. . e. minus d f. hocust quod relinquitur , dempta quantitate es aquantitate 'e. illud inquam, residuum est quantitas a c. f. M inus'. c. sicut dictum est, relicta. Hoc autem residuum quantitas T. per similem abscisionem remanens. Quae cum aliter, quam perbi e L. Min nominiim , ex quorum abscisi an generantur, hoc est, quorum excellus sunt, proterri nequeand iam sit alterum in alterum multiplic indum eriti talis multiplicatio non nisi per nominumbe. de Min i multiplicationem neri potetici. Si igitur residuum a b b c multiplicandum est in residuum te es non aliter multiplicatio fis
5 es Min'-ri potest, quam multiplicando haec nomina singula in illa singula. unde se quadruplex multiplicatio, prima sciliciet a b in
118쪽
. e. Sec da a b in T. Tertia dis in c. Quarta b c in e f. Haetum prima, per primam secundi Elementorum Euclidis , con clinet quatuor, uni plicationcs se ipsam integrantes scilicet acies in T. a c. in f in xl f. i. in f Secunda continet duas multiplicationes se ipsam perficientcs, scilicet a c. in es des c. in f crtia itc duas, ex quibus cmi nitur, sciliceti c. in d f. c. in f Quoniam, scilicet pioducta partium integrant productum integrorum. Quarta vero unica st, scilicet Uc ine s. quoniam si ex norin inibos indiuisis cum praedictis octo posita facit notiem multis licationes Productum autem quaesitum est, quod fit ex moltiplicatione a c. in .ls. Quod haberi non rotcst, nisi paractri dictis quatuor multiplicationibus,quae continent nouem ductus. Ex quibus consuendum sit solum illud quod fit ex a c. in id neccile est cxicra cto producta esse ab ij-cienda quod fieri non potest nisi dimidium crum notetur per plus ac rcliquum dimidium per minus atqueata alterum ait ro repensante, summa questa , quae fit ex a c. in iis seruentur intacta. Sed ex diciis caeteris octo productis, tria prima multiplicationis , scilicetque sunt ex a c. in es cxl c. in iis ix Ne ine s. inscribi do bent per adverbium Plus, quoniam sunt membra primae multiplicationis , quaest ex nominibus a b d e. petidem adverbium notatis. Duo utcm produc a secudae multipliacationis,ex a c. in es rem c. in f notanda per adverbium Minus: quoniam sunt membra secundae multiplicatis inibus quis ex nominibus a b e f. quorum alterum per ducibium Minus inscribitur. Duo quoque producta tertiae multiplicationis, ex bc inius i b c in es similiterper adverbium Minus notata intelliguntur, quoniam tertia multiplicatio quorum membra sunt
constat ex nominibus, 4. bc quorum alterum per minus notatur. Octautim igitur productum , quod fit ex b c in e f. nomimibus inscriptis per mutus necesse cit, ut inscribatur per Plus: atque ita fiant quatuor producta inscripta per Plus, totidem producta patia insciipta per Minus S perinde tantum his minuentibus, quantum illa supcraddunt, Summa quaesita, quae fit exac. in f intacta permaneat. Constat igitur quod ex ductu
noni in una per aduerbrum, Minus, notatorum pro lucitur quantitas per adverbium , plus, notanda. Sed illud exemplum satis elle hebet, ouod plus in plus multiplicatum , sue minus in minus, omnino producit plus qucmadmodum aflirmatio assi mationis assismar, 3 negatio negationis affirmat similiter. Item scut assirmatio negationis, siue negatio affirmationis negat: ta
119쪽
sue Plus inminus, sue Minus in Plus multiplicatum promicit
Minus . Poto exemplificare regulam comprobare dc monstrationcm per numeros raticia alcs, ut sosngula noti m multiplicationes rivinctae appareant: Tacilius omnia intelligantur.
Duas propositas quantitates, singulas duorum, aut plurium nomianum nuicem moltiplicare . Proponatur binomium a b ex duobus nominibus a. a. multiplicandum in binomium c d ex duobus nominibus c.&d compositum siue illa sint residuasngula binis nominibus expressa sue alierum Binomium, alterum residuum. Multiplicetor, per undecimam, per praecedentem insula unius quantitatis nomina in singula alterius nomiana, hoc s.c. in a. face.Item c. in b. sia f. Item d. in a. fiat g. It cm d. in . sat h. seruatis tamen regulis circa inscriptiones ad uel biotum, Plus, aut Minus, in praecedenti propositione traditis. Nam quantitas compacta ex quatuor nominibus cfgh. seruatis adverbiorum terminis, erit, per primam secundi Elementorum , productum ex multiplicatione totius a b in totam M. quantitatem, proueniens Illud quoque notando ii nomina huiusmodi possunt ad minorem multitudinem rcdigi, redigantur, per i huius: quod fieri potest inter quaesibet bina inuicem co- mensurabilia Nam per corollarium dicte talium binorum
nominum tam aggregatum, quam increntia facit quant talem unius nominis. Non aliter trinomia,aut quadrinomia multiplicabuntur, singula unius quatitatis nomina in singula alterius, per
undecimam huius, multiplicandori deinde binaque ad unum nomen redigi pollunt, redigedo. Quς omnia poteris tractico exerto expertii .Quod nos in qu stionib Arithmeticis ab udesecim'. PRO post Tio I 8' Tropc tam quantitat duortim aut plurisim nominum, in datam iuincminis quantitatem partiri. Esto Dinomium quoddam siue Residuum a b .ex nominibus duobus a. i. conficium: quod diuidendum sit per quantitalcm c. Diuidatur per duodecima hu
in . sat a. cx multiplicatione ipsus c. in .consurget . Nam diuisor in quotiςtem multiplicatus producit diuisum. Igitur, purprimam
120쪽
primam secundi Elementorum, ex ductic in totam te fit tota ab Et quoniam productum diuisum in multiplicantem, exibet multiplicatam idcirco tota a b quod est productum , diuisa in ipsam . multiplicantem, exhibebit ipsam de multiplicatam.Itaque Le. est quantitas quotiens o diuisione proposita proueniens. Similiter satiendum est, si diui lenda quantitas sit trinomium,auti Iurium nominum. Sed memento, sicut in antepraemissa permultiplicatione fecimus, ita Mindiuisione animaduertere nominum inscriptiones mam nomen inscriptu per adverbium Plus, si diuidatur per nomen similiter inscriptum quotiens diuisionis similiter inscribetur. Si autem diuidatur per nomen aduerbio Minus inlcriptum, quotiens diuisionis,per Minus inscribe tur. Quoniam scilicet, tam Plus multiplicatum in Plus quam Minus multiplicatum in Minus, producit Plus, ut in ante pra misi ostendimus. Nomen autem inscriptum per adverbium, Minus, si diuidatur per nomen similiter notatum, quotiens diuisionis per Plus inscribetur. quod non usu venit, quia diuiservnius nominis semper per plus notatur. Si autem diuidatur per
nomen notatum per Plus,quotiens inscribetur per Minus Quoniam scilicet in multiplicationibus tam Plus in minus,' iram Minus in Plus multiplicatum, producit Minus Sicut enim diuisionis demonstratio hi per multiplicationis demonstrationem: ita de diuisionis regulae de cautiones ex praeceptis multiplicationis deri-uantur.Quae sunt etiam triuialibus Magistris notistarnae, in queistionibus nostris Arithmeticis affitim per exempla traditae.
Propositam duorum aut plurium nominum quantitatem, is datam duorum minum quantitalcm diuider . Esto quantitas a duorum, aut plurium nominum hanc partiti iubemur per bin nra una b c cuius nomina sunt bc Capiatur di Residuum e rundem nominum,cx quibus coponitur bi hoc est, ut d. nomen, ipsi . nominici is nomen ipsi c.nomini aequale sit. Si autem c. liuilo luetit Residuum duorum Dominum tunc capiarurdi.binoriatum corudem nominum Deinde,pcr 7 praecedente, multiplicetur quatitas: c. in quantitatem d. proueniat qualitas squa crit qualitas virius nominis, per II. vel per ii 7 decimi Eucl. N a binomium in suum rei,duu multiplicatu producit qualitate rationale. Ite per ιτ prann illam multiplicetur a. in .se.
pio ueniat h. Erat i per primas cxti Euclid. sicuti c. ad ipsam
a. sic quantitas f. ad insana m. Dividatur itaque, per praecedente,