장음표시 사용
71쪽
Post unitatem notabo radices proximas secundi aerii loci, scilicet 1. 3. qui,per sextam huius coniuncti faciunt
tertium imparem mox duco 1 in se, αἱ nee non 3 in se,&hent 4. 6 9 continue proportionales in xatione imsoru . 3. Rursum, ex quatuor multiplicationibus
scilicet ex ductu a. in .&in6.4 ex ductu .in 6. in λ. fiant quatuor numeris militer proportionales . a. 18.27.
Et adhuc ex quinque multiplicationibus , scilicet ca in
singulos dictos . 8 ia i 8. 17.& 3. ina . fiant quininique numeri 6. 24. 36. t , s.cin eadem ratione continuat
proportionales Atque his constitutis,demonstrandum erit, quod aggregatum ex a. 4. scilicet s. tertius impar, multia,
plicatum in aggregatum ec . 9. hoc est, in m. quod pero S , est tertius quadratus centralis,producit differentiam ipsorum 6. I i. hoc est, gnomonem ex his,quales diximus tertium. Nam per Σ - septimi Elementorum Euclid quom niam ex ductu ipsorum . 3 primi ordinis, nauruntur mu meri trium reliquorum ordinum, idcirco singuli orculae seruant continuam proportionem primi &quoniam ex multiplicante in d;Terentiam multiplicatorum, producitur dis serentia productorum: idcirco,duo numeri primi ordinis, scilicet 1. a. sunt di se renti et numerorum sequentis ordianis,scilicet ipsorum . 6. i. similiter hi tres sunt dissi rendiet numerorum quarti ordinis, qui sequitur, scilicet ipsorum 8. 2. S. 27. Nec secus hi quinque sunt disserentiae Pro quarto ocst quinque numerorum sequentium, scilicet 6. q. 6. ψ.81. quo fit, ut cumulus ipsorum 8. 11. 8 27 sit differentiar ipsorum 16. I. extremorum. Vnde demonstrandum erit,3 quod ex multiplicatione aggregati ipsorum 2. s. in conge-9- λ riem ipsorum . i. hoc est ex ducti s in is terti; scilia
z7 cet imparis in tertium quadratum centralem, producitur si .ro8.1 4-i92. xj cumulus ipsorum 8. I 2 is 27 .hoc modo. Quoniam ς λ.
R in .sit S.&ex : .in . fit et .per 3Φ septimi Euclidis quo- Σ35 niam .ad .sicut .ad 60 propterea ex in aggrega turn Psorum 1.3. fit aggregatum ipsorum .ia. per primam secundi Elementorum, per eadem rationem, quonia ex r. in mst 18.4 ex . ni fit r. propterea exs in aggregatum miserum 1. s. fit aggregatum ipscrum 8. 27.Rursum ergo exprima secundi Euclidis sequitur, ut ex aggregato ipsorum 2.3- in aggregatum ipserum . 9 fiat cumulus quaruor nummer crum 8. Ia. I 8. 17. Quod fuit demon uandum.
72쪽
eum gi . coponi triliadraria I a16.32o. oo Joo 6 s. ostendemus, q, quintus impar. . luctus in quin tu quadrλ1. tu cetrale. s. I. producit 369 gnomone quin tu ac 236. '
costituit is si quadratus cst, quadrati sic in in ' A I
Unusquisque dictorumgnomonum aequalis es aggregato tria gulorum centralium ab unitate per ordinem sumpto Πιm,' toti quot sunt unitates imparis conteratis. Exempli gratia. II. Pomo post unitatem aequalis est aggregatae trium triangulorui
centralium .s. I. . Io.quoniam ternarius est impar collatera
lis ipsius gnomonis secundi. At 6 s. gnomo sequens aequalis est aggregato quinque triangulorum, scilicet . . Io.l6.3 ὼ quoniam s. est impar collateralis dicto gnomoni. sici deinceps in infinitum. Et quoniam tria talia triangula Te diffinitionem componunt pyramidem triangulari centralqterti loci, inuinque talia praedicta triangula constituunt pyramidem triangulam quinta loci, sic deinceps per impares locos in infinitu' propterea propositio psis hoc dicit. COROLLARI M. Quod tales gnomones sunt pyramides trianguis e trales per ἰmpares locos disposita in infinitum. Cuius propositionis & corollarii demonstratio haec est Aio,i 6 s gno- motam loci,est pyramis triangu Quo sic patet. Ducatur . in i radix. s. quinta in trianguluin I. quin tu qui basis est pyramidis ipsius quintae, producuturas .coluna.striagula quinta huic addo quadratum quinta primi species.s.1 1. triangulum quintu. si in coni tutis .qd, per 9 huius, tripli est puramidis suae miniae, pro ductu aut ex s. in hi .cum dictis quadrato 4riagulo,sum'ptu,est aequale producto ex s. in ,.quoniam aeso constat I3-61 exol. 1. de 3 hoc est, triangulo quinto ..impare tectio. α radice tertia id ex tali radice initatem imparem , hoc c39-issest,
73쪽
est ex s. in s fit dictus triangulus quintus tu sui ex regula progressionis ficile constat Qu fit,ut productu exu in 3 s. aequale sit producto ex I in s l. in . cina hoc est, proinducto ex s. in LI.cum quadrato quinarii trianoulo qui to, hoc est, cum dc Imras. Et, quoniam I tria u- Ius, sicilicet quin rus centralis cum ipso quinario, ternario, quoniam quinarius est tertius impar, conficiunt semper triplum terti quadrati centralium , qui nunc est. O&gnomo 61.nt ex s. in ipsum sq. per premissam. Iam iccirco productum ipsum ex irinos scilicet ius triplum erit gnomonis c. fuit autem triplum pyramidis triangulae quintae Igitur gnomo tertius tyramis centralis quinta sunt aequales. Qu9d erat demonstrandum. Sed restat ostendere quod triangulus imparis Ioci cum ipso impare cum radice collaterat ad imparem faciunt simul triplum quadrati centralis , qui collateralis est ipsi radici. Hoc est
assumpto exemplo, quod M. cum . de 3 ficiunt triplum ipsius 13. quod sic ostendetur: Disponantur quatuor series numerorum, singulae ab unitate initium capientes in ciu rum prima sint trianguli centralis locorum impatium
scilicet r. o D .&in secunda i. s. s. . Pe eri 2
pares per ordinem. In tertia radice naturalis pro rest xI. . . f&c. In ostrema I. as cla caeteri quadrati centralis. In quibus id quod volumus facile constabitriam cum in exordio tro unitates sint
triplum quartae.et trium sebsequetium tres ad primas unitates augmenta super ipse unitates faciant duodena Dum qua numerus triplus est ad augumentum, quo in quarta Ierie sequens. unitatem excedit ipsam unitatem ciam eo necellia eri ut aggregatim trium corollarium incilicet Io. 3. . si triplum ait huc sequentem, scilicet e. Item Quoniam augumenta trium in tertio loco sequentium supra
tres Praecedentes conflant et . Et augmentum reliqui in
74쪽
elo arta serie supra suum prancedentem est 3. Idcirco ast ' i. regatum trium illorum , scilicet set .sy, erit4 triplum di q. cti reliqui scilicet m. Et lic deinceps in infinitum, propter 'lo. augmenta illic per duodenarium , hic per quaternatium crescentia semper emonstrabimus. Quod demum in di, si ictis quatuor seriebus numeri secundum talia procedant cre o. amenta, facillimum est ostendere in triangulis quidem si '6 .
augebuntur. At in serie imparium quis nescit crementu fieri r 36. per binarium . in serie radicum per unitatem deniq; in I 66.
serie postrema quadratarum centralium , quoniam singuli constant ex binis proximis quadratis prima specici, quo fi P rum differentiae crescunt per binarium , quia videlicet con g
Η .itur per adcutionem contimiam imparium, ideo dit seren- tias sortIuntur per quaternarium cret centes. Sic nihil restat, a
quod ad demonstandum propositum faciet. E
PROPos ITI Ostr. 8Tres quadrat centrales cum quatuor unitatibus sumpti, sunt squales quatuor triangulis centralibus cum tribus unitatibus simul acceptis in eodem loco. Nam triangulus centralis con stat ex unitate tribus triangulis prim speciei precedentis loci. Quadratus vero centralis constat ex quatuor tot ingulis primς specie praecedentis loci, ex unitate. Quina ob rem , quatuor trianguli centrales constabunt ex L a. triangulis primae, cla ex quatuor unitatibus res vero quadrati centralis constabunt ex ici. triangulis primae, ex tribus unitatibus igitur, si apponantur hic quatuor illic tres unitates, constabit veritas propositi.
Tres pyramides quadratae centrales cum quatuor axibus sum. piae,sunt aequales quatuor pyramidibus triangulis centralibus curribus axibus in eodem loco simul acceptis. Haec constat ex praecedenti quoniam pyramides constant ex balibus, illae quadratis, hae triangulis,ac axes constant ex totidem unitatibus lingulae. Quare cum ex aggregatione aequalium coaceruentur aequalia, constat propositum. Tres
75쪽
. Tres Tentag mi centrale m quinque et nitatibus sim ut finrptistin aquales quinque triangulis centralibus, ni siue bus et dati
mul accepitis in eodcm loco. Quonia mi ulus cim Ialis constat ex unitate&ex tribus relangulis priniis saeceden tibus Pentagonus autem centralis constat ca quanqustria-gulis primis praecedentibus ex natate: quan Db rein quinque trianguli centrales consabunt exta s. triangulis primiac ex s. unitatibus. Tres vero pentagoni constabu it et uix ex L . triangulis i imis, ex tribus viali .Hibus: Igitur si apponantur hac, .illic tres unitates, constat prop*iuuna.
a Tres pentagonae 3ramides centrales cum quinque axibus t squales quinq; pyramidibus triangulis centralibus cum tu ιμs axibus eiu cm loci pariter acceptis. Naec sequitur ex prae se missia: quo hia pyramides constant explanis, illae pelagonis, hae rei agulis, Maxes constant ex totidem nitatibi mitifulae. Igitur cu ex aggregatione aequalium coaceruuetur quasa, Verum est id, quod ostendendum proponitur.
Vnitas Omnis rubus centralis aequalis es octahedro centra Isibi colla cubii, stivid, Merali. Nam talis cubus, per dissinitionem construitur ex 2 hia. unita triquod est centrum: ex octo semidiametriS, ex 2. trian 6.pγr sulis primis quoniam tot sunt latera linearia solidi Se sex pyramidibus quadratis centralibus quot, scilicet sunt bases solidi Octahedrus autem conflatur ex unitate cntrali, ex senis semidiametris ex Ia triangulis primis inuoniam Vnitas tot sunt eius solidi latera, ex octo pyramidibus triangulis Octahe Uio. scin id χ centralibus, propter totidem bases. Sed cum iressa pinii drus lia. Δ'' sam, tres pyramides quadratae cum quatuor axibus, qui sunt 8. Pyr. Δ'' aequales semidiametris sngulae singulis , sint aequales quatuor pyramidibus triangulis cum tribus axibus: Iam sex plaramides quadratae cum octo semidiametris erunt aequales octo pyramidibus triangulis cum sex semidiam ctris. At uniras Mir. trianguli adcm utrubique summa ingerunt. Ergo totus solidus numerusi pti solido nil mero, scilicet cubus Octatu dici adaequabitur quemadmodum proponitur.
Cmnis Dodecabectui merus aequalis is co hedro numero, bicollaterali. Sicut praemissa,per nonagcsima secundam ita
76쪽
4ta pias propositio per' demonstrabitur Naque per sur
hedrus autem numerus formabatur item ex unitate centra
siue semidiametris sunt aequales quinq; pyramidibus tria gulis cum tribus axibus , sue semidiametric iam m. Pentagona Pyramides cum o semidiametris simul, a quales erunt 2o pyramidibus triangulis cum in semidiametris. Atque unitas uliginta trianguli tantundent v- trobique accumulant. Igitur ex totus cos hedrus toti do- decahedro aequalis erit, licut in propositione concluditur.
Vnitas quatitor diumctri, hoc est , par numerκs, γε voco diametrum, quadruplicatus cum octi plo trianguli primi et viretro intermisto accepti, componunt quadratum imparis collateralis. Disponantur quatuor numero tum series ab unitate, scilicet trianguli primi, pares, impares cim paraum quadrati per ordinem Et in ordine patium capiatur quilibet par, Viputat ex triangulis autem capiatur, uno interm ill praecedens , scilicet 6.octu plicatus, hoc etsi 8. Aio igitur, quod unitas, quadruplum ipsius 8. scilicet 2 simul cum f. conficiunt quadratu collatera lis imparis, scilicet 8 i. Nam per re huius unitas cum 8. quod est octuplum trianguli 6.facit quadratum imparis sequentis, scilicet 9 qui quadratus est ipsius 7 per co vero huius, ipse numerus parra qua druplicatus, scilicet 34. coniunctus cum quadrato imparis praecedentis , scilicet cum ' estici quadratum collateralis imparis, scilicet 8 i. Igitur unitas cum 8 conflant quadratum collareralis ire paris praclicti, similit crincaeteris horum quatuor ordinum numeris per eadem p nitus argumentando procedens , sicut demonstrandum proponitur.
77쪽
Quadruplum dicti trianguli, uno intermisso praecedentis in parem, cum sexcuplo Tramidis quadratae centralis immedius dictum imparem praecedentis coniunctum, conficit duo suppi menta, quae singula fiunt ex ductu ipsius imparis in latus δε- eundi quadrati praecedentis, coniuncta cum quadrato ipsiusi paris constituunt gnomonem qui coniunctus cum secundo quadrato praedicto, construitsecundum quadratum sequentem, hoc
es, ipsius imparis collateralem , Intelligo secundos quadratos eos, qui exprimis in seductis fiunt: ut 6.est secundus quadrat binari 81.secudus quadratus ternari, cla sic deinceps. Itaque exponam primum , dein ostendam Propositionem. Exponatur ab unitate sex numeroiu series, cilicet, radices, Impares Trianguli primi, Pyramides quadratae cetrales, quadrati pii mi, Egnomones secundorum quadratorum, penordinem continuati. Quibus exaratis , iam in secundo loco, impar est 3. hic autem quadruplum tria guli nullum est. Nam retro interm illa unitate, nullus est triangulus. pyramis hunc locum prς cedes,est unitas eius, sexcuplusest seciarius equi solus facit hic duo supplementa 3 3 quaesingula filii
ex impare huius loci, scilicet exes in latus secundi quadrati praecedentis, scilicet unitatis, hoc est, in unitatem. Et coniuncta cum quadrato dicti imparis, scilicet cum nouem, conficiunt i s. gnomonem, scilicet ei utilem loci qui applicatus secundo quadrato praedicto, scilicet unitati, costruitiana secundum quadratum sequentem , scilicet in In tertio autem loco , impari sis quadruplum trianguli uno retro intermisso, sumpti, scilicet unitatis, est quatuor Pyramis praecedens est . cuius sex cupium 36 qd cum A ficit o quae sunt duo supplementa, scilicet io. io quae singula fiunt ex impare dicto, scilicet s. in . latus secundi quadrati praecedentis, qui est 6.de coniuncta cum quadrato dicti impari , scilicet cum a s.faciunt. 6ς gnomonem tertium qui colunctiis c u secundo quadrato praedicto, scilicet 6. conflat iam secudum quadratum sequetema cilicet 34. In quarto deindo
78쪽
Ioen, impar est . quadruplum trianguli uno retro interinis , sumpti, scilicet ternarii, e8 in Pyramis praecedens estio cuius sexcuplum I . quod cum in facit cis quae sunt duo supplemeta, scilicet 6 p. 6 s. que singula fi ut ex impare dicto . iiii latus, scilicet secundi quid rati praecedentis , qui fuit 8 I. coniuncta cum quadrato dicte imparis, scilicet se faciant 7s gnomonem quartum , qui coniunctas secundo quadratoine dicto, scilicet 8 i. Ω-cit 1 16 secundum quadratum sequentem. Adhuc in quinto loco, impar numerus estis quadruplum trianguli non immediate necedentis , scilicet 6 est 2 . pyramis praecedens cuius sexcuplum 6 . quod cum essici 188. quae sunt duo supplementa,scilicet. i . I .quae singula fiunt ex Impare dicto, scilicet . in i 6. latus scilicet, quadrati secundi praemissi, qui sui Σ36. coniuncta cum quadrato diisti imparis, scili escam 8 i. faciunt 3 69. gnomonem iungendum secundo quadrato praedicto, scilicet cf. Voc flet 61 s. quadratum secundum quinari qui sequitur, positus in praesenti loco. Sic pro sexto, septimo, sequentibus locis in infinitum fit similiter seriatim procreando , secundos radicum quadratos. Sed demonstrandum, quo pacto in lingulis locis quadruplum trianguli , ex tertia retroi sum loco sumpti, cum sexcupio pyramidis quadrata prvicedentis coniunctum, facit dicata duo sup lementa , ine quod idem est quod duplum talis trianguli cum triplo talis puramidis coniunctium, facit unum tale supplementum , quod ut dictum est fit ex impare ipsius loci in latus secundi quadrati praecedentis in proinde duo talia supplementa coniuncta cum quadrato dicti imi aris, componunt gnomone, qui iunctus cu secundo quadrato praedicto conticit si quadratum sequentem , impariq; collaterale.
79쪽
Verum in primo post unitatem loco, qui secundus appellatur, in quo ut dixi quadrais in triangulis nullum est, liquet quod triplum pyramidis praecedentis, scilicet 3. facit tale supplementum, quod scilicet hi ex impare huius loci,
qui ternarius est, in latus secundi quadrati praecedentis, scis licet in unitatem: idcirco per quartam secundi Euclidis, duo huiusmodi supplementa coniuncta cui quadrato diset imparis , scilicet v. conficiunt i e gnomonem , scilicet
eiusdem loci : qui appotitus secundo quadrato praedicto,
scilicet unitati, cori struit secundum madratum sequentem,
scilicet s.collateralem ipsius imparisci cuius quidem latus est quadratus ipse primus, scilicet quoniam tale latus ex aggregatione constit unitatis sequentis imparis, per i 1 huius libri in tertio loco id ipsi in Pio lar olendemus cinqii impar est . quadruplum trianguli .&pyramidis sex-cuplum 6.&ideo trianguli duplum a. p ramidis triplum 18 nare hic ostendendum erit quod .cum is faciunt rosupplementum quod fit ex impare huius loci scilicet s. in latus secundi quadrati praecedentis, hoc est in quod sic patet: Nam columna qua irata centralis praecedentis loci, scilicet c. cum duplo quadrati primi eiusdem loci, scilicet cu8. per o huius, efficit triplum pyramidis eiusdem loci, queti Q quae fuit 6. hoc est i 8. Cui numero addo 1. parte altera longiorem eiusdem loci & fiunt 1 o. Cumque io columna dicta fiat ex radice eiusdem loci, scilicet r. in quadrarum ce tralem collateralem, scilicet in .atq; 'se .constet ex qui-drato primo collatera li&praecedenti, hoc eli, ex . i. iam
ipse o. fit ex x. in .&ex 2. Fia r. coniunctus cum . parte al
ter longiore, hoc est totus: fiet ex 2. in a. quod est aggregatum ex i. 4 Sic habemus tria producta, scilicet s. ex . in . quod sat duplum quadrati cum columna coniun
ctum. Item 8.&ec . in .L.atque .ex 2. in a. integritiam totum numerum O. cum queo toto numero vo ipse octona
rius contineat bis in rursum S iis . demonstrandum est quod reliquum , scilicet . contineat semel ipsam . via tus Zo contineat quinquies, scilicet Iecundum numerum imoarem huius locum , ipsum quatuor. Quod iam ratione comprobatur quoniam scilicet fit ex radice secundi loci, hoc est, ex 2. in parte altera longiore eiusdem loci, scilicet in a. Et perinde factus adequata quadrato colla terati, scili t sicut &radix aequalis est ipsi parte altera longiori Pi odia
80쪽
citur itaque in hoc locorio supplementum ex s. ii A. scperinde duo talia supplementa , scilicet et o Mio. coniuncta cum a s quod est quadratum ipsius . imparis, faciunt gnomonem 1 qui coniunctus cum quadrato ipsius . scilicet cum i6. quadrato secundo praecedentis loci, scilicet secundi, constituit sequentem quadratum secundum coli, teralem, scilicet huic loco tertio, qui est ι. Nam petu secundi Euclidis, supplementa duo ex lateribusqlia dratorum duorum producta, una cum ipsis quadratis componunt quadratum , cuius latus constat ex lateribus quadratorum componentium. Sed Vnu in laterum talium fuit quadratus numerus, scilicet. alterii sui sequens impar, scilicet s. Ergo compositus ex illis, per is huius libri, erit quadratus sequens, scilicet 9. latus scilicet totalisci uadrati: desperinde totalis quadratus erit quadratus secundus terna iij scilicet Di qui ex . in se fit. In quarto etiam loco nunc demonstrationem repetemus: in quo impar est . quadruplutrianguli est 4. sexcuplum pyramidis ira &ide triangulio triplum pyramidis 37. Quare hic ostendendum est,quod
6.cum 37.ersicit 63. supplementum,quod fit ex impare huius loci, scilicet .in latus secundi quadratii cedetis, hoc est in s. quod sic patet. Nam columna quadrata centralis praecedetis loci, scilicet 30. cum duplo ouadrati primi elusidem loci, scilicet cum i8.el scit, peraci huius triplum pyramidis eiusdem loci, hoc est 37.Citi numero ad ij cio. par te altera longiorem eiusdem loci: sunt 63. Cumque 39- columna dicia et ex radice eiusdem loci, scilicet .ua quadratuni centralem collateralem, scilicet in i 3.atque ipse i s.constet ex duobus quadratis primis, scilicet, colla terati, cprecedenti, hqc est, ex s. 4. iamrpse et ex3. . . ex . in . At ipse, parte altera longior fit ex .. in . 3
Ergo in qui fit exes in coniunctus cum 6 parte altera longiore, scilicet i8. fiet ex s. in 6.qu est aggregatum ex 4 d a. Sic habemus tria producta, scilicet 8 ex . in s. quod suit duplum quadrati cum columna coniunctum. 2Item 17. ex s.cinis. Atque i 8.ex . in . integrantia. t tum 63. Cumque ex toto numero 63 ipse Is contineat
bis, Mipse 17. contineat tres demonstrandum est, juod residuum scilicet 8 continet bis s. ut videlicet totus 63. concludatur continere septies ipsum, .secundu imparem. chuius loci,qui septenaria est. Q d de ratione confirmatur.