장음표시 사용
121쪽
L .est quantitas, quae proiicnit ex diuisione ipsius a. in ipsam Me ' Nam cum gli diuidatur in f proueniata l. iam, per distin .dia uisionis , crit, sicut a. dips: in L . diuisa scilicet ad quotlcntem, sic filividon ad positam. Et permutatim sicut h.ad ipsam s. sic&al. ad postam . crum sui ili ad ipsam s. convcrsim sicut a. ad ipsam bi. Ergo dia .ad ipsam b c sicut El. ad rositam. Et permutatim a inuisa ad ipsis mil. scuti c. diuidcns adpositam. Quare, pcrdiffla diuisionis, hi quantitas est, qua prcu ni ex diuisionc ipsus a in ipsam c. quae vcstiganda pioponebatur . Quod si diuisor sci trium nominum soporael sc minari multiplicationem, ut productum tandcm prco iat unius nominis cladiuidendam percundem multiplicatorem in Nitiplicati deinde productum per Productum diuidencluna. P Ropos ITI aes
Si quantitas qualibet in duo segmenta diuidatur; id quod fit exmtrolibet assumptos mento in quadratum totius, uum erit his die a b usis illaei, quae fiunt ex utraque sectionum re quadratum reliquae, et quod sit ex qua ut risumpti segmenti in totam . Si quantitasee secundi 1M upet, Vtcunque in duo diuisa scilicet in a. ' Dico, qudd
id, quod fit ex a in quadratum ab a quum erit his, scilicet ei, quod ni ex a in quadratum b. ei, quod fit ex b in quadratum a. cique, quod fit ex quadrato a in totam a b. Quod sic osten-
, b dam. Per Tartam secundi Euclidis, quadratum a b est aequalecta a cib, scincet quadrato b. , quod sicca in b. eique quod t
ex a in i Erco rropter quam utrobique multiplicaiionem, o odit ex .in quadratum a b aequale erit his, scilicet ei, quod fit ex a. In quadratum b. cuni eo quod si ex . in productum exa in b. atque cum o, quod fit exa. in productum exa in totam. b. Sed io, quod fit c n. in productum ex a in b. aequum est ei, ν - quod fit ex quadrato a. in b. Illud autem,quod sicca in pro-
Euchim ex .an Iotam ah aquum citet, quod ni ex quacira solidum. A to P .m totain a D. Sunt enim ad insolida , quandoquidem: ' sub ilibus ijsd in lateribus. Igitur Mid, quod fit cva in quadrava vi , a b tum a b a quum erit hic, scilicet ei, quod fit ex a.in quadratum
si ei, quod fit ex quadrato a. in b. cique quod fit ex quadrato a.in totam a b. Quod fuit demonstrandum. Quod est,ppositu PROPOSITIO O .
Si qucntitas qualibct in duo segmenta fccctur: Cubris, qui ex tota; atquid crithis scilicet duobus ubi Icctionum, O triplo eius uod
122쪽
O ex quadrato utriusque in reliquam . Sit a b quantitas, trunq; in duo diuisa, scilicet in a. in b. Dico, quod cubus totius a b iaequalis erit his, scilicet ab ipsius a. cubo ipsus .in triplo I.ab .a. .b. a b eius, quod fit ex quadrato a. in b. necnon triplo eius, quod laso fit ex quaedrato bono. Quod sic ostendam. Per quartam secui me 'at aa. Elenun rorum, quadratus totius a b est aequum his, scilicet qua risu π b. b b. drato ipsius a quadrato ipsius . Huplo eius, quod fit ex a in subl64. b. Eriro, propter aequam utrobique multiplicationein, cubus a b L iuii'ab Δ.b aequalis erit his scilicet ei, quod ex ab in quadratum ipsius . &ei quod ex a b in quadratum ipsius b. duplo eius , quod ex a b.in productum ex a. in b. Sed per primam secundi Elemento pς
rum, quod fit ex quadrato ipsius a in a b aequum est his, cilic u.
eis quod fit ex quadrato ipsius a in a. cilicet cubo ipsius a dc ei q - qubd fit ex qtiadrato ipsius a. in b. illud autem, quod fit ex qua Item irato ipsius b. in totam ab aequum est his, scilicet ei, quos fit Cub b.ω sol sui. b. a. ex quadrato ipsius'. in b. scilicet cubo ipsius b. dc ei, quod fit ex qWδ b- uuadrato ipsus'. in a. Item per primam secundi Elς ζn Q um s ita a Mi Laeuitu est quod fit ex producto ipsarum ait in toti a b c quu est his cili t solidis a a. b. at i b. b.aei quod fit ex producto ipsa alcin a.d ei, quod fit ex eodem producto in b. Sed quod fit ex produci si piarum a b in a.aequii dupla illi', qua lupi ho .elbe , quod fit ex quadrato ipsius a. in b. illud autem, quod fit ex producto ipserum a b in b. aequum est ei, quod fit ex quadrato ipsius b in a. Ergo quod fit ex producto ipsarum ab in tota . ab aequum erit his, scilicet ei, quoiu fit ex quadrato ipsius a in b. a & ei, quod fit ex quadrato ipsius b. in a. Quare dc duplum eius, quod ni ex pro luto piarum a b in totam ab aequum erit his, icilicet duplo eius, quod fit ex quadrato ipsius ' in b. duplo eius quod fit ex quadrato ipsius b.iri a. Ergo commutatis ςqualibus cubus totius a b. qualis erit his, scilicet cubo ipsius a cubo ipsius b. triplo eius quod fit ex quadrato ipsius a.in b. Miripta eius, quod tit ex quadrato ipsius b. in a. Quod suit demonstra lia..
Si quantitas quaetare in duo segmenta di*satur, cubus totius l, qualis cratis , scilicet duobus cubir segmentorum , ct triplo soli l
di, sub tota singulis segmentis contenti. Esto, ut prius, quan per praemissam..titas a b utcunque sicci in a. 4 seirmenta: Dico, quod cubus totius a b. qualis est his , scilicet cito ipsius a. Cub ipsius b.. triplo solidi, cuius latera sunt tota b. de b. und si osten cistis dam .ic praecedenteira, cubus totius a b aequalis est his, scilicet
cubo ipsius a. cubo ipsius b.4 triplo eius, quod cx a drato ipsi'
123쪽
a. .essi eri a b.Hlia sunt mam secudi Euclidis,quadratum ipsius a. cti in eo quod ex a in b. u. tuli sumpta .ab. svnube qualia sunt ei quod ex assi in a. Et per eand-m , quo ito quadrato ipsius a in b. uni cum eo, quod fit x a b. in b. aequale Igitur est ei, quod ex producto totius a b Ma .ini hoc est, solido trium solidum iacia pilis Q, , laterra b. a. b. Ataue, quod ex prodii to totius a b in b.a quale equitia sunt solido ab a b est ei, quod ex quadrato ipsius b. in a. hoc est , blido trium laterum a b b. Igitur, quod exin ira irato ipsius a. ab una cum eoI
'U' quod ex quadrato ipsius b. ina aequalia sunt ei, quod ex prod niminor stlia triplo hui'. cto ipse, a b. 4 in b. hoe est sol ido tr uni laterum a b. a.
iit,o a Uare triplom illius, aequale riplo huius. Ergo cubus totius,is, is b. aeli ius crit his, scilicet cubo ipsius a. cubo ipsius b. triplo ' 'μ' solidi cuius latera sunt a b. a. b. Quoil erat demonitiandum. QR9d est positum. o 23 . Si fuerint duo numeri in proportione cuborum numerorum, qui feta d ex uno eorum in quadratures qui, cubus erit. Sumto duo solidi nu----- meri similes a d tales enim, in octavo Elementorum ostensum, - est, habent ad inuicem rationem , quam cubus numerus ad cubum numerum. Sitque ipsus a quadratus numerus e dc ex .in Isas si d. fiat g. Aio, quod cubus numerus est. Nam per decimam octauam octaui Elementorum, ipsis a d. intersunt duo nui si meri medi proportior iles, qui sint b c Sit itaque ipsius b. qu h drattis ipse f& exi. in s fiat h.qui cubus erit ipsius b. Ostendim iratur, quod g. aequalis est ipsi h hoc modo Ratio ipsus e. ad ip- sum ς per undecimam octaui, est sicut ratio ipsius a. ad ipsum b. duplicates quoniam scilicet e f. sunt ipsorum a b quadrati. Sed ratio b adH. est rationis a. ad b. duplicuae igitur, licui bi ad . sese ad s. Quare, per vicesimam septimi, qui fit ex d. in e hoc est, ipse g. aequalis est ei, qui fit exi in f hoc est ipsi h Cubus autem fuit h. ipsius b. ergo&ictibus idem erit. a iod est propositan
Propositis duabus quantitatibus culo totum cogn t s. eas coniumn ς cv l7 tere: istinorem amaror subtrahere L. Sunt proposita mis ' ' -- gnitudines a b quari quadrara ab. quarum cubi e f. volo eas coniungere per cubos, hoc est comperire cubum totius a b
is plum sith. Item diacob in proueniat'. cuius tri phim sit Mox aggregatum ipsoru em l sit m Qui, percii praecedentem, at in cub totia a b qui quaerebatur. Vnde radix cubica ipsius inruent
124쪽
erit, Vel tutu propositarum magnitiatrium ib. Et notari nod si uu et ii co: iit luppotui a turi sciti et os turrint impropo ' tione tu rinninum rorum it in per corollirium re huitri δε- sae nimitudines a b erunt ad aulaein continensurabiles. Unde it incitam, quam E erunt rationatas quantitates et Quoniam eorum curiit in cubi numeri, per prae dentem inuandoqaidQm
exist litium , multiplicatis vicissim nipsos numeros L im obrem cum gla tunc sint rationiles eorum.tripli sci et Ita rionil cerant : cumque es per hypothesiim sint rationalim, quia cubi cogniti,erit aggregatum ex fili l. hoc est,inse in cubus tius aenu erus rationalis: quire tota quintitas a b erit cubo sacognita, inius nam inici, sicut corollarium ui concludit. Contra de tota magnitudine ab cognita percubum eius m. Volo subtrahere.magiritudinem a cuia, cubus e idque per cubos,hoc - , sa reperire cubum relicte, qui eiff. Sit itaque n. qui fite a b omta in a. Q lod autem fit ex mani sit o..cuiu triplum iuri. - ni. - δεα qiic pei ante qmissam m. aequalis aggregato ipsorum es r. Itaque exi in totam a b. fiat r& ex m. in a fiat' Vnde pecpes .imi secundi Euclid. p. aequalis eri raggregato ipsarum q. A, IAser igitur 'sun in ab ipso p. iuipererit o. cuius triplum ci i msum ae Mam gatum minus ob ipso .m in supereris ca bus scilicet ipuu quaesitu*, quae p0st ipsius a. a tota abolii tractionem relinquitur Uicii arsum nora, qtiod sicubi, qui co
gniti supponuntur, scilicerin-cue surririt ad inuicem sicut cubi Leub.719 e eam
numeri: tunc per Droxarium Adar riuius, ipsi imagnitudines a b tota dca erunt ad inuicem commensurabiles Unde tua ne se excubo ipsarum p q. magnitudinum, elle cubo u- Σαμ, de perinde.ipsa pra et tu rationabri ynta sequitur ut ea eum dis remia scilicet α' sit ration lis,eiusque cubus, numurus cubiis Quoi costana potest. Cum m. Me intia inuicem, sicut cubj numeri interer Ut pns, per declinam ναfuam octaui duo in edi proportionales, qui int- CS autς ipsiu in qu i dratus .Lipsius e quadrat , fia sis ex mi ire in i murus n. lui . W -
125쪽
numerus erit: clim autem m. multiplicas se ipsum, ficiat tile mutitiplicans ipsum n. faciate erit, per primam sexti Elementorum, sicut m ad e. sic r. ad a. ore per vigesimam septimi, qui fit ex m. in n. scilicet ipse, aequalis erit ei, qui ex e. int qui cubus suit. Igiatur p. cubus, cuius radix r. Similiter cum e. multiplurans se ipsum faciat x.& multiplicans ipsum m. faciat, Etit sicut e ad m. sic x. adn. Quare, qui fit ex e loen scilicet ipse'. aequalis erit et , qui ex m. in . qui cubus fuit Iriturin cubus erit, cuius radix s. Tam igitur p. quamin cisus num rius est. Qu9d fueratra
Unde manifestum est, quod si duo numeri serii antes rationem cuborum , singuli multiplicent suum productiim , qui ex inde fient, cubi mimeri erunt. Quod corollarium , cum praeceden ri propositione quIm decenti illine locari poterat in arithmeticis Elementis ut sicut ibi ostensum est, ex ductu similium planoruni generati quadratos, ita constet et ira, qua ratione, quoque ducta ex cubis numeris, cubi quoque numeri nascatur. Sed haec ideo adducta sunt, ut regula additionis, de subtractionis radicum cuia biorum peculiarisci de respondem regulae in decima tertia huius de quadratis radicibus tradit e melius notesceret. QuamquInvvlterius illa speculari, quae ab Euclide neglecta sunt, nimis curio
Proposita cuiuspiam quantitatis radi em quadratam extraber M. Si numerus repnesentans propositam quantitatem sit numerux
quadratus , tunc radix eius numeri eri numerus repraesentanuradicem quantitatis Propositae , per secundam huius libelli. Si autem propolita quintitas contineat partem , vel partes positae quantitatis, tunc sitelirs numerato a. denominatoCb. qui supponantur vel quadrati, vel in ratione quadratorum numerorum csi quadrati, sic capiantur si in ratione quadra- . . ET .... mrum numerorum, redigantur ad minimos eiusdem rationis per trigesima nonam septimi qui sint ipsi a , eruntque per corollarium secundet octaui a b numeri quadrati Sit ergo ipsius a. radix ipsae c. numerus es ipsius . radix ipse is numerus. Aio Uisi quod quantitas cd. cui numerator est . Se denominator Lerit radix quadrata propositae quantitatis ab Quod sic constit.
126쪽
duyniam mi merus c. est radix numeri a. cla numerus d. radix uis meri b.palam est, quod numerus c. in se ductus producit num tum a. numerus d. in s ductus pio loci numerum . Quare per regulam multiplicationis in octaua huius traditam,ex quantitate V. in se ipsam multiplicata producitur quantitas a b S ideo per dissin quantitas cta radix quadrata est ipsus a b. propositae quanti ratis quod erat demonstrandum . Quando
utem ninneri repulantes pro sitam quantitatem non fuerint quadrati mina eri tunc talis quantitati radix quadrata non potest num e totali est enim blum potentia hoc est quadrato rationalis, per numerum pro postum, tanquam quae litae radicis quadratum istum modo praesertur Exempli gratia : Radix s. vel Radix s. Poterimos anu innumero magis ac mavis vicino ipsam radicem non quadrati numerassignificare. Exempli gratia: iit quantitas proposita ipso a. numero non quadrato sigilincata: cu-i ius volo radicem quadratum prope crum inuenire Capio numerum quadratum'. proxime maiorem ipso a. numero cuius radix sit c.oruae iam erit prima radix propinqua quaeste, sed, ut propinquiore in ut nia, suo trahata ab ipso b. residuum sit d. quod partior per duplu ipsius cper nona huius: proueniat qualitase.qua subtraho ab ipsa c. supers f. quod multiplicatum in se facit .Dico itaq; , quod fest radix ipsus a. ppior, quam c. ipse g. quadratus vicinior ipsi a quam quadratus ipse b. Quod sic patet.Cum c. ccetur in e & ferit, per quartam secundi elementorum, b ipsius .quadratus aequalis his, stilicet quadrato qui exi.
quadrato qui ex . scilicet g. duplo eius, quod fit ex e. in . Et idem quoque b. est aequale ipsi a. namim . Sedra est duplum eius, quod fit in c. hoc est, ex toto e f. in e igiuar'. aequalis ii ipsi a. duplo eius, quod fit ex s. in . Sed duplum eius, qiuui si ex sin, est aequale duobus quadratis ipsius e. o duplo eius, quod fit exae in s. per tertiam secundi Euclid bis allii mptam. Ergo b aequalis erit ipsi a. eL duobus quadratis ipsius e. duplo eius , quod fit ex e in s. fuerat autem dc . aequalis quadrato , quod ex . ips .m duplo eius , quod ex e in f Igitur quadratum , quod ex e. cip- sum: ce duplum eius , quod ex e in f sunt aequalis his, scilice ipsi a o duobias quadratis ex in duplo eius, quod ex e in s. Quare , cmptis trinque quadrato e. iduplo
eius, quc exe. In frictimiuentur inde quidem ipsum g hincvcro a. una cum quadrato ipsus e. inuicem aequalia. Ita que . exceditiis iam a in quadrato ipsus e. Et opera tutab
127쪽
ab ipso b quandoquidem stuperatur a b ra lix scilicet a radice Atque id cos crit vicinior radici ipsus a quam fuerat c. adhuc tamen maior ea: quandoquidem s. maius ipso a quadratum quadrato Sirruliter autem siciit per ipse b. 4. quadrarum e radicem inuenimus f. radicem quaesi te viciniorem quon fuerat co. Ita rursum per g. quadratum cradicem inueniemus radi cem qu .is Ilae propinquiorem, quam est f. Et similiter, iterum at quelicrum vicin forem , semper tamen aliquanto maiorem , dori nec excessus redigatur ad fractiunculam atomo equalem,ac qua- ouis minorem iii infinitum,nunquam tamen ipsi aequalem: quoniam quesita irrationalis est, ii terminos numerarios non a c-- h Ioocul. quae omnia exercitio prata ici exempli calculando facile era
il ao operieris bioteris&alia via propinquare radici ignotae sita sita.
-2. i. - numerus non quadratus, citius volo prope verum vestigare radicem: assumo ingentem numerum quadratum, ut puta celenari qui sit b cuius latus c. Multiplico a in b. produco d. Quo fit, vos a.propositus sit exempli gratia 8 ipsed proueniata . cui e radix quidem maior quam 28 minor quam O.quae sit .Et quoniam quadrata sunt in dupla ratione radicum, cum d. numerus sit centuplus ad ipsum a. quadratum, scilicet ad quadratum iam e. radix ipsius d. erit decupla ad radicem ipsius a. Hoc est, cum . ad a. sit sicut b. centenarius ad unitatem serit m ad s. sicut b. ad c. ve sic ic ad unitatem , hoc est, decuplus igitur f. erit decima. rars ipsus e. hoc est, maius quam A. minus vero, quam eta delice eicipsius a radix quaesita. Quod si e centenario alium psit se
quadratum numerum maiorem, Vescentim centum, per minutio
res parte magis vero appropinquassc m. magisque si ad calculum missionem quadratum apphcassciri.Itaq; deinceps in infinia
vroposita cui iam quansitariis radis civisam exires freta . Si numerus reptaesentans propositam quantitatem, si numerus cubus, tunc radix cubica eius numera erit numerus repraesentas propositae quantitatis radicem, per secudam huiusdibelli. Si autem proposita uantitas signetur per duos numeros tunc sit eius numerator c. denominato f. qui supponatur vel cubi numeri dis Velinotione cuborum, uinuorum. Sicubi, sic capiantur: si autem in ratione iniborum , redigantur ad minimos cius rationis,
per 39 septino,qui sint ipsi et eruntque per corollariu secim laeo octaui
128쪽
octaui es numeri cubi: si ergo ipsius e. cubica radixe.num rus, ipsus s. cubica radix ipse d. numerus. Aio igitur,qubdquantitas c d . cuius numerator c.denominator aut d. erit radix cubica propositae quanritatis es. Quod sic constat. D catur c.in se,& fiat a. Item d. in sed fiat b. Eritque per di fn.quantitas a b.quadratum ipsius bd. Cumque ex radicis ducis in suum quadratum proueniat cubus ipsius radicis:
iam ex ductu quantitatis c d in quantitatem a b. proueniet cubus ipsius cd. Sed ex tui ductu quantitatum proueniet quantitas es per regulam multiplicationis in octaua huius traditam,quoniam scilicet ex ductic a. num cratorum fit numerator, ex ductu d b.denominatorussit f. denomina- rota. igitur, squalitas est cubus ipsius Ed.quantitatis, pe
inde bd.radix cubica ipsius e f. proposita quantitatis quartata , Quando autem numeri repraesentantes propositam quantitatem, non fuerint cubi numeri tunc, sicut in prima Propositione dictum est, talis quantitatis cubica radix non erit rationalis,&in numerarios terminos non cadit,nec nisi per cubum pios rtur sit radix cubica a N. cubicis. poterimus tamen per numeros magis ac magis ipsi ropinquare, sicut in praecedenti pro radice quadrata vestiganda secimus. Sit enim,exemel gratia, .quantitas propolita non quidem cubo numero significata , cuius cubicam radictim vestigare iubear,quam non nisi prope propiusq; tentim accedendo, coni, cete pin sum licut in numero non quadrato de quadrata radice faciebam. Siti tacue ipso numero a proxime supe- rior.bArtibus: cuius radix cubica sit c. Deinde subtraho a. ab
ipso b. residuum sit L Quod partior per triplum quadrati,quod ex α& proueniati. Hoc subitano ab ipso c. retaduum sit f cuius cubus esto g. Dico itaque, quod L est propinquior radici cuba ipsius .quam erat c. Atque quod .cubiis est vicinior ipsi a. quam erat b.Nam, per vigesimam pri--am huius , cum c quantitas secetur in ipsas e. a. erit
cubus ipsius c. scilicet ipse b. aequalis his, scilicet cubo irsus s. qui est g. cubo ipsius c. triplo eius quod ex quadrato ipsius α in s. necnon triplo eius quod ex quadrato ipsius f. in Cumque idem b. sit aequalis ipsis a d simul, atq; d. stae qualis triplo eius', quod sit ex quadrato ipsius c. in .in ideo triplo eius, quod fit ex quadrato ipsius efinis. propterea b.aequalis erit his, scilicet ipsi a.& triplo eius, quod fit ex quadrato ipsius es in e Sed ne vigesimam ud huius,
129쪽
huius,quod fit ex quadrato ipsuHesinerequalecst hic, s licet ei quod ex quadrato ipsus f. in e. ei, quod ex quadra
iripio eius quod ex quadrato ipsus e.in s. atque triplo eius, Quod ex quadrato ipsius e in e f. Quamobrem ipsa b. erit etiam aequalis his. ipsi a.& triplo eius,quod ex quadrato ipsius si e Miriso eius, quod ex ipsius e.quadrato in L. tq ' triplo eius,quod ex quadrato ipsius e.in ei Verum,Per I huius,idem b. cubus aequalis est his, scilicet ipsi z. qui cubus est ipsius s&cubo ipsus e.& triplo eius,quod ii V quadra- to ipsius e.in striploque eius,quod ex quadrato ipsitus Lime. Quoniam scilicet e. T. constituunt ipsam Cradicem phius b. Ergo' c, scilicet ipsa a triplum eius , quod ex quadrato ipsius fi e.& triplum eius, quod ex quadrato ipsitus'. in L. cu triplo eius , quod ex quadrato ipsius e in ei simul erunt
aedualia his simul, scilicet ipsi . cubo ipsi s. cubo ipsius α
& triplo eius,quod ex quadrato e .i f. triplo ea quod ex ouadrato ipsius sine Demptis igitur utrinque his, scilicet triplo eius, quod ex quadrato ipsi' e. in finiri plo eius quod fit ex quadrato ipsius finis. supererunt . . cubus ipsus'. simul eqitalia ipsi a. triplo eius,quod ex quadrato ipsius'. in s. Itaque g. tanto morest ipso a. quanto triplum eius Muod ex quadrato ipsius e .in es sine is c. maius est cubo p-sus e. Maius est enim id, quod ex Ruadrato ipsius e ins f. uuam cubus ps e.qui ex quadrato ipsius e.in ipsum'. producitur.Multo magis ergo trisum eius quod ex quadrato ipsus e.in e f. seu in c.maius erit cubo ipsius e. Cum igituro si maior ipso a.minor autem ipso quandoquidem f. minor fuit ipsa c. radix radice erit s. propinquior cubi radici ipsius .quam fuerat Adhuc tam es maior est ipsa quaesta radice cubica ipsius a.ouandoquide .cubus maior, ' a. similitet autem, sicut per b. xc inuenimus f. radicem Nic
niorem radici ipsius a. quam uerax c.ix rursu i get Iueniemus radicem propiorem radici ipsius a quam fuit .&s militer itersi,atq; iter u propinquiore, tauqua in m infinitu
Iocio punctuale veru, numeratio termino atringetes. Quinctia Icl
a rooz psum, sicut in quadiata secim aliter arietabimus sic: ita.
- . numerus no cubus, cuius velim coniectare cubam radicem. ausum cubum numerum magnu, tputa millenarium, qua
130쪽
sith cuius radix cubi caesi licet denarius sit e Multiplico ipsum a. in b. dc produco d. Quo fit, ut si a propositus numerus sit . iam ipsum productu d. sit Oom Cuius radix cubica quide paulo maior est, quam I9. quae sit e &quoniam cubi lunt ad inuice in tripla ratione radicum propterea cud.numerus sit millecupl' ad ipsum a cub scilicet ad cubuii, radix ipsius d. decupla erit ad radicem ipsius .igitur ra cdix ipsius a. quae sit ferit pars decima ipsius e. hoc est, paulo maior,quam et. Quod ii pro millenario assumpsissem cu abum maiorem,utputa millione, vicinior vero suissem.Itaq; deinceps: nam aior numerus distinctus partes exprimit.quiis numerosior: neq; aliter geometrico putio accedere licer propter incommensurabilitatem qu sitae radicis, in nullum numerum cadentis. Haec de radicum quadratarum, cubicatu extractione satis. Nunc ad progressione; veniamus. Nam quemadmodu data quatitatis quadrata vel cubica radix via nometrica extrahatur in libello Dator Theonis docuimus.
Illius regulam Euclides in ultima secundie Huius ver,praeceptum Philo Byzantius, Apollonius, Archytas Pappus,
Eratosthenes, Menaechmus Mali tradideres: ut Eutotius. Ascalonita in commentarijs Archimedis scripsit. P Rosos ITI, 47
Cum fuerint quotcunque quantitates per idem crementum se ιrlatιm crescentes , ex dimidio numeri ipsarum in congeriem exprima ultima multiplicato producitur aggregatum ipsarum omiuium Exempli gratia sint quinque magnitudines, Ia b c d e seriatim eodem accessiu crescentes: sitq;.a mini oma civero maxima. Dico, quod si dimidium quinarisdisca Litur in congeriem ipsarum ae producetur aggregatum ipsarum a b c d e Ponatur enim totidem magnitudines Insulae singulis ipsis a b c d e atquales filii l. sed ordine praepostero dispositae sic enim fiet, ut, cremento unius ordinis
decrementum alietius repensante, binarum quarum uis Vna
sit congeries: Vnde utriusque ordinis aggregatum planus
numerus erit sub duobus lateribus contentus:qtiorum nuerit numerus combinationum, scilicet quinarius, alter vero
congeries ipsi binarum Talis autem congeries constat ex minima cla maxima. Igitur quinarius in talem congeriem ductus,produxet aggregatum utriusq; ordinis. Quetre&dimidium quinari in eandem congeriem multiplicatum producet aggregatum unius orditus. Quod sui demonstranda.