장음표시 사용
81쪽
QuPnia 3. producitur ex radice tertis loci. s. 3 in s parteat
tera longiore eiusdem loci: perinde productus duplus est ad quadratu eiusdem loci scilicet ad p. qtio tu plus est parte
altera longior ipsius radicis. Producitur itaque in hoc loco supplementuus. ex .in 6. Et perinde duo talia supplemetas I.&63. coniun t 1 cum 9. quadrato ipsi iis imparis, faciut gnomonem 7 s. Qui coniunctas cum quadrato ipsius s. ccum 84. quadrato secundo precedetis loci. s. tertij, copon ut quadratum secundum sequentem .s a scollateralem, hoc
est, huius quarti loci sim, per ' secundi Euclid.duo qu dratain duo stipplementa et lateribas quadratorum prodacta p.rriter accepta, conciunt quadratum totilem cuius latus est aggregatum ex lateribus tri iratorum partialium. Cumque unxi horum laterum fueritiam quadratus numerus, scilicet p. 'reliquum imp1 num reus sequens. s. r. iam aggregatum ex ipsis, totalis scilic t quadrati latus erit, per I t hiluis, erit quadratus sequens, sciliceri 6. latus, scilicet totalis quadrati. Unde totalis quid ritus erit' iadratus secundus, cilicet iris qui fit ex is in se Lubet in qui
to loco demum propositum demonstrare. In quo quidem impar estu quid piam trian ut saepe dicti, .seacuplum pyramidis 6 ideo duplain trianguli 1. triplura pyra
est i .siipplementum: qc fit ex impare huius loci, stilicet '. in latus secundi quid titi priscedentis, scilicet in i 6. Quod si potest concludi Narniet 8 o. huius columniiniadrata centralis praecedentis loci, scilicet ioci cum duplo quadrati primi eiusdem loci, scilicet cum si refficit triplu pyramidisse suae eiusde loci,quae fuit hoc est iuri cui numero addo
ipsum a parte altera longiorum, confici cumque I loo columna praedicti fiat ex radice eiusdern loci, scilicet 4 in quadratum centralem collateralem, scilicet in 13. atq; ipse 2 c. constet ex duobus quadratis primis, scilicet collat rati 'taecedenti, hoc est ex i 6.ως iam ipse oo fieteri . - in id.&ex .ini' ipse in . parte altera longior fit ex . in . Ergo 36. qui fit ex . in p. coniunctus cuὲ 11 scilicet totus 8. fiete. . in a. quod it aggregatum ex s. sic habemus tria productari scilicet ζ1. est r. in is quod sitit
82쪽
16 dcircnstra nclum restat quc d ici de micilicet 48 con Itin ea iercio ut stilicet totus Io, cm rchedat ncules Io. iuctarim pari in huius loci, scilicet s.quod si ut limus,si ili' osunditur. Quonirna F. piceu iiii ci adice quali lac , , unde scilicet .init. parte altera lens crim civ d m' i Exul ο' unc es scies. , . circo piodectus est triplus ad quod tum collatc alcm,s Eo qua ei :licet ad 6 quotuplus est parte altera longior issus radi. eis. Producitur itaquc in hoc loco suppLmςn Vmo ΑΑ dii. hi, nex s. ix o 6. adeo duo talia suppicn enta , scilicet tu, πις ς - . coniuncta cum Mi supdraim psi ubi pari s fa Vp su Ah dii, S λς ' si romonem 3 p. sui ci iuncius 'i diato ap tu 16. cilicet cum 116. quadra i secundo praecerinii inci, us H, in scilicet quarti, componat sequitatim quiadiarum s cuniluum,4 scilicet sac. huius quinti loci. Nam per quartam secvndi si id, Euclidis,duo quadrata S duo suppleniata ex lateribus quadratorum producta pariter accepta, coniiciunt quadratum
cet 6 L 3. qui fite a 3. uadrato huriis quinii loci in se mul- ' tiplicato. Similiter in toto, septimo, octavo, ω eteris deinceps locos in infinitum continuabituri pydemcnstratio ii Namque in sexto loco argues tria producta integrantia supplementum, continere praecedentem quadratum undecies. II 39
temoecies, indecimo vndcvigesies.&sic deincςp pςx impatum res sequentcsci ut hic in margine no-ux, qu wn tax V Cubu, positum cedentis loci.
83쪽
Vnitatem sinomone praedicti sicut dictum est inuenti, Cub sunt T. imp. . d. semul. Dahedri centrales. Nam cum unusqui', talium gnomonuch bis c8. Δ'' constet ex duobus supplemetis ex quadrato imparis,atq; per praemissem talia supplemeta cossens ex quadruplo tertis Lib. retrorsum sumpti trianguli prirnes, ela ex sex cupio pyramidis auo Abb qu dr xα centrali praecedetis: Itemque, cum, per ante praeis inlisam,quadratus dicti imparis constet ex aggregatiotie vul
tatis, quatuor diametrorum, siue octo semidiametrorum,
,hs ii in stuplfh M trianguli; idcirco sequitur, ut talis gnomos recces construature aggregatione nitatis,octo semidiametroru, Cubus centra. duodecim tali u trianguloru, cli sex pyramidu dictarum. - u, Vm,pςx irinitione cuo centralis, ipse cubus ex aliis qua- P tuor numeroru cumulo copaginatur, ex quib' talis nomo. Igitur gnomo existet cubo aequalis Perdis vero p mista ν, cubus octa hedro qualis este constitit igitur octahedrus gnomon aequalis erit, sicut demonstrandum proponitur.
Et quoniam per po corollatium ollesum suit, quod gnomones praetati sunt pyramides triangulae ccntrales impari locorum, idcirco sequitur; ut gnomones, cubi, octahedri cetrales, pyramides triangulς centrales imparium locorum ordinatim collati, sint ijdem numeri.
PROLOGOMEN A. RE Jat adhuc nobis ostendendum, quὐd sicut contingit cubos
promi generis fieri ex congerie unius, quorum,trium Q inceps imparium per ordincm ab unitate Iuccedentium singulos ab initate continuatos in infinitum; ita cubi centralibus similem dignitatem esse a natura tributam: ut scillaetipsi cubicentrales ab unitate feriatim dispositi singuli constituantur ex aggregat unius, trium, quinque, septem , et deinceps imparium successive sumptorum ab unitate imparium numerorum, sempe rq; Iub multitudine paritim per ordinem accepto. Temonstrabimus autem boc, praemissis aliquod necessaris p -
Si fuerint tres, quinque septem, velsub alterius cuiuslibet imparis multitudine sumpti numeri aequali excessu successi crescentes eorum a regatum aequum erit inumero, qui ea ductu medi in multitudinem multiplicati procreabitur Exempli
84쪽
Exempli gratia sint tres numeri . s. . Aio, quis s. qui 3 est medius ductus in ternarium quandoquidem tres sunt 3-s numeri essicit aggregatum ipsorum . . . Ad socientur 7-3 enim ipsis 3. s.7 per Dinarium crescentibus totidem . I. s. i & ijdem, sed ordine praepostero, decrescentes: Sic fiet, ut de is scrementum unius ordinis resarciatur pari cremento alteri':&duo medij scilicet s. s. sint inuicem quales; simul
II seiuncti sint quales aggregato reliquarum combinationum Quo fit, ut congeries amforum ordinum sit planus numerus siue superficialis tetragonus, qui fit ex ductu ei nari j in aggregatum ipsorum .d. . seu quorumlibet binorum: Igitur&congeries unius ordinis quae dimidia est totalis ciu- muli fiet ex due u quinari in tertiarium: sicut proponitur. 1 Lσι Similiter, si summant quinq; numeri Vtpotes. I l. l . I S.II. 3Ieadcm accessione crescentes. Aio similiter,quod medius eorum, scilicet L .in quinarium quoniam quinque sunt numeri multiplicatus producit talium quinque numerorum aggregatum. Nam si talibus numeris compares ela sub ordine praepostero applicentur, similiter,& in quovis alio casu, contavit propolitum.
SLex radicibus ab unitate, sectatim unitatis accessum erescensibus quotlibet se regentur nitas ct deinde exsequentibus tres, Inde quiκque, ct deinceps per multitudinem boarium Gquentium per ordinem; iam unitas ertius triu,quintus sequetiuquinque. deinceps po Hremus semper reliquarum multudinum
quadratus numerus est. Quod enim unitas quadratus sit, patet. Quod autem tertius sequentium sit quadratus, concluditur, quoniam addit tres unitates, hoc est, sequentem imparem unitati: perindo,per i t huius,aggregatum , hoc est, ipse tertius dictus est sequens ab unitate quadratus. Item quinque sequentes per unitatem singulae crescentes faciunt, ut quintus eorum excedat supradictum tertium quinque unitatibus, hoc est, ipso s. impati tertio unde per i . huius, aggregatum, hoc est,ipse quintus praedictus erit tertius quadratus. Adhuc septem succedentes numeri cum totidem Vnitates, hoc est, .quartum imparem addant, iam similiter aggregatum, hoc est, septimus huius multitudinis, erutquadratus quartus per dictam 3 4 sic in infinitum, sicut demonstrandum proponitur.
85쪽
Manifestum est ergo, quδd in eadem dispositione num
rorum, primus, quartus, nonus, sedecimus,& caerieri segregatarum multitudinum secundum impares numeros, postr
mi sunt ipsi radicu ab unitate sumptarui ordine quadrati.
Si ex numeris ab unitate continuatim dispositis impariabus in infinitum, segregetur unitas δε ex sequentibus tres, Minde quinque, deinceps aliae multitudines semper se icundum impares successive numeros tunc si unitas, diche sequetes multitudines singillatim coaceruentuta. Unitas aggregata ipsa sngula erunt quadrati quadratorum a radicisus per ordinem ab unitate dispositis in se multiplice-.tis factorum. Hos quadratos quadratorum nuper quadraros secundos appellauimus.Quod igitur unitas primus imparium sit quadratus quadrati unitatis, constat per se: quandoquidem unitas in se ducta lemel atque iterum semper unitatem producit. Quod autem tres sequentes cum unitate coniuncti conficiunt quadrattim , constat per Le huius:& quoniam unitas& tres sequentes impares perquatuor aegregationes coficiunt totidem quadratos: iam idcirco vltima eorum congeries erit quartus quadratus, hoc est, quadratus quartae radicis. Sed per praecedentem eiusque corollarium, quarta radix numerus quadratus est:igitur talis congeries est quadratus quadrati quarti hoc est, quadratus si cundus binarij. Similiter ostendemus, qu bd quinque sequetes impares ad talem quadratum secundum appositi,cfficiet quadratum non et radicisci sed non radix, per praemissam de suum corollarium , tertius quadratus erat igitur talis cur mulus erit quadratus secundus sequens, hoc est, quadratus novenarij, scilicet quadratus secundus ternari j. Non aliter, si tali quadrato secundo applicentur septe impares sequendites, conflabunt quadratum edecimae radicis per i 3 .Cumq; radix sedecima, per praemissam suum corollarium sit quadratus quartus. Iam tale constatum erit quadratus secundus sequens, hoc est, quartae radicii, siue quadratus quarti quadrati, hoc est, sedenaris Adhuc si huic quadrato secundo accumulentur nouem impares sequentes, constituetur quadratus secundus sequens, hoc est quintae radicis , siue quadratus ex s. in se multiplicato factus de sic in infinitum. Quod demonstrandum piopbnitur.
86쪽
Iisdem suppositis demonstrandum est quod unitas, Peregata trium sequentium imparium, quinque sequentium imparium Litemque septem, nouem, S caeterarum sub in paribus per ordinem equentium multitudinum , singulaiunt gnomones , ex quorum continua ad monadem adiectione constituuntur seriatim ipsi, de quibus loquimur, quadrati quadratorum Nam, cum per praecedentem, huius m
di aggregata monadi successive adiecta conficiant per ordinem .sio quadratos quadratorum sequitur, ut ipsa singu-Ia aggregata sint gnomones, qui ad monadem continuatim adiecti constituunt tales quadratorum quadratas, sicut propositio concludit.
Iisdem adhuc suppositis demonstrandum est,quod talibus a directatis singulis,ipsius imparium multitudinis me- dij sunt per ordinem ab unitate sumpti quadrati centrales. Nam tales medi post unitatem impares sunt s. s. s. i.&c teri Dico igitur, , hi sunt quadrati centrales. Nam per propositionem 1 oo praemiiIam , ex ternario prim mutilitudinis in medium imparem , scilicet I fit aggregatum numerorum ipsius multitudinis . sed per praecedentem tale aggregatum est gnomon. Similiter in quinario secunda multitudinis . in I s. facit aggregatum totius multiatudinis, per ioo' per praemissam, tale aggregatum est gnomon sequens. Item in septenario sequentis multitudinis .inci . medium producit aggregatum ipsi multitudinis per Ioo hoc est gnomonem sequentem per praemissam. Adhuc in novenariolequentis multitudinis 9.in i medium producit congeriem plius multitudinis per ioo'. hoc est, gn monem qui sequitur, per praemiisam:& sic deinceps in infinitum.Verum, per 89 huius, tales impares per ordine multiplicati in quadratos centrales sibi collaterales producunt gnomones eosdem,qui scilicet quadratos quadratorum, stituunt. Necesse est ergo, ut tales medii multitudinum lusegularum impares sint quadrati centralec quemadmodum
Qui quidem Gnomones sunt cubi Hostahedri centrales sipyramides triangulae centrales locorum imparium, ut in 99 eiusque Corollario fuit conclusum.
87쪽
PRO Post Tio ros . Omnis cubus, ue octabedrus centralis cum impari conter I coniunctus, aequivalet duplo tetrahebi centralis. Cum enim numerus basium octahedri ad numerunt basum tetrahedrii sit duplus Ditemque numerus laterum illius ad numerum laterum huius duplus iam impar appositus facit, ut unitas centralis cum semidiametris octahedris sint Ladditione facta duplum unitatis centralis .semidiametrorum tetra , hedri. Sunt enim semidiametri octahedri sex,& semidiameistri tetrahedri quatuor. Et idcirco oportet adij cere ad sui mam octahedri duas lemidiametros, hoc est,parem collat ratem, initatem , ad duplicandam unitatem centralem equae cum pari facit imparem collateralem . Constat igitur
Exaggregato duarum prox arum radicum in aggregatum quadratorum ex eis multiplicato,producitu numerus qui cum ip so radicum aggregato coniunctus racit duplum aggregati cuborum earundem. Exempli gratia 2. s.sunt duae proximae radices, quarum congerie 1.quadrati autem A.&9 inibi, ro 8 27.quadratorum cumulus L .cuborum vero 3 1. Dicor igitur,quod id, quod fit ex s. in I 3. scilicet 6 1. coniunctum . 3 cum . facit duplum ipsius I. Exponatur unitas cum dicibus a.&3 quadrati . 9 cum medio proportionat . 11. 18. 1 li 6. Itemque cubi octo 47. cum duobus mediis proportionalibus Iri. dc I 8 in quibus propter proportionem numerorum,quoniam ex .in .fita. ex s. in . fit in. idcirco ex aggregatori. α . in . fit aggregatum ipsorum 8.ex Ia. Non aliter ostendam quod ex dicto 2. o. aggregato in s. - fit ipsorum 8. 47 aggregatum, sicut ina ιγ' demonstraui. . a i mus. Vnde ex aggregat ipsorum 2. o. in aggregato p
rum quatuCr numerorum 8. 2. 8. 27 Demonstra
dum est igitur, quod aggregatum talium quatuor numero- I xum cum aggregato radicum, scilicet cum s. sicit duplum
aggregati ipsirum s. 27.hoc est, quod os .c s. est dupla
88쪽
maior est quam in aggregato ipsorum a de 3. hoc est, in . ergo aggregatum 18. a 2 superatur ab aggregato ipsorum 8 dc 27 .in s. Quare aggregatum ipsorum 8 clari cum f. coniunctum, at aequale aggregato ipsorum 8. deci . Qu9dsuit ostendendum. Similiter pro duabus quibuslibet proximis radicibus argumentando procedam. Sicut proponitur.
Omnis cubus centralis cum impari collaterali coniunctus, conficit duplum aggregati cuborum primi generis conteralis oepraecedentis. Nam numerus, qui fit ex aggregato radicum duarum, scilicet propositi loci, praecedentis, hoc est, ex impari collaterali in aggregatum quadratorum collateralis, deprecedentis, hoc est, in quadratum centralem collateralem, est pera huius, gnomon collateralis in quadratis quadratorum. Et perio huius, talis nomon est cubus centralis. Verum talis numerus cum aggregato radicum collateralis& praecedentis, hoc est, cum impari collaterali coniunctus. efficit peri missam, duplum aggregati cuborum collat ratis iraecedentis, hoc est, cuborum ipsarum radicum.Igitur cubus centralis cum impari collaterali coniunctiis, facit ipsum tale cuborum duplum quod est propositum.
Omnis cubus primi generis, cum praecedenti cubo coniunctus, eonficit collateralem tetrahedrum centralem. Nam, per os pciemissam, cubus centralis cum impari collaterali coniunctiis, conflat duplum tetrahedri centralis. Et per praecedentem, idem cubus centralis cum impari collaterali coniunctus, essicit duplum aggregatum cuborum collateralis de prei cedentis. Igitur tale cuborum duplum, equum est duplo tetrahedri. Et perinde cuborum aggregatum aequale erit ipsi tetrahedro centrali: quod est propositum. P o scio I lo 9' Omnis tetrahedrus centralis potest esse cubus centralis tertii generis, hoc est cubus mixtus, compositus scilicet ex cubis primi generis conterati praecedenti. Vocamus autem huiusmodi cubum mixtum e quoniam ex mixtura duorum cuborum primi generis compaginatarci sicut, quadratus centralis conficitur ex combinatione duorum primi genetis quadratorum , scilicet collateralis iraecedentis. Cum igitur, per praemissam , tetrahedrus constet ex collaterali
praecedenti primi generis, cubis in ex eisdem cubis constet
89쪽
cubus mixtus collateralis . per suam diffinitionem iam satis
constat propositum. PROPOSITI IIo. .
omnis icoohedrus eum quadruplo imparis cotiterulis e miunctus, conficit quincuplum conteras pyramidis centralis. Et hoc quoniam numerus basium icosahedri ad numerum basium pyramidis centralis, scilicet 1 o. ad . quincuplus est. Item numerus laterum linearium illius ad numerum laterum linearium huius scilicet o .ad 6. quincuplus est, ideo aggregatum pyramidum triangularium componentiuicosahedrum ad aggregatum pyramidum triangularium coponentium tetrahedrum centralem quincuplum est, quippe quae sequuntur numerum basium. Et similiter aggregatum triangulorum ad aggregatum triangulorum quincupliim , t qui sequuntur numerum laterum. Addatur igiatur unitati cetrali ipsius icosa hedri quaternarius:&sic quinarius erit quincuplus ad unitatem centralem pyramidis, seu tetrahedri centralis. Cumque semidiametri cosa hedrisint 1. semidiametri tetrahedri sint . iuxta numerum scilicet angulorum solidorum atque semidiametrici et . sint totidem radices collaterales inportebit 1. radicibus addere . radices collaterales, ierinde quadruplum paris numeri collatera lic quando scilicet, radix duplicata conficit parem ut aggregatum semidiametrorum in icosahedro existat quincuplum aggregati semidiametrorum tetrahedri: Sed quadruplum paris numeri collateralisci quoniam scilicet par cum unitate facit imparem collateralem. Igitur quadruplum imparis collateralis appositus cosahedro, tacit omnia, quae concurrunt ad structuram ipsius cosahedri qui cupla eorum, quae componunt tetrahedrum, singula singu-Iorum in perinde totum numerum totius quincuplum
90쪽
Vo fit ex quo uis numero in quotlibet numeros, aequale est ei, quod fit ex illo in aggregatum ex his Ostendit ut in decima sexta, noni Elementorum . quo ad numeros s& in prima secundi quo ad lineas
Si aliquis numerus duos singulos multiplicet producta erunt multiplicatis proportionalia. Ostenditur in is 'septiane quo ad numeros, cini sexti, quo ad lineas.
Si numeros duos unitate distantes aliquis multiplicet: multiplicans erit differentia productorum. Vt si ipsos bc. quorum c. VnItate maior, multiplicet ipse d. numerus Jaciat, ipsos m. hoc est, . multiplicans . facit . at d. multiplicans Iaciat h. tunc dico, quod h. excedit ipsum g in ipso d. Patet, quoniam ex dit se. multiplicationis g. continet ipsum d totiens, quot unitates sunt in b. atque h. ipsum d. toties, quot unitates sunt in c. igitur'. continebit ipse in . semel pluries, quam g.continet eundem hoc est,' excedet ipsum . in ipso d. Quod est propositum. PRO Posi TI '. Existentibus quatuor numeris proportionalibus 'uod fit ex primo in ultimum, equale erit ei, quod fit ex reliquis. Ostenditur in io septimi, quo ad numerosa in i 1 sextu quo ad lineas.
His praelibatis, ponatur Unitas a. quilibet autem num rus b. ipse autem c. v nitare maior quam b. Dein leb in se faciat d. b. t c, faciat e. i. in se faciat Post haec'. in . . faciat g. Item . in . faciat h. Adhuc b. ni faciat h. Demum c. in s. faciat l. tandem'. in . faciatis. Item'. in h. faciati Necnon b. ni faciat o. Sic b in i faciat p. enique cicini ficiat', Quibus dispositis.