장음표시 사용
91쪽
Ipse . erit quadratus ipsus b. Et ipse s. quadratis is sus c. 1 tem e parte altera longior, sue supplementum in quadrato ipsius b c Adhuc ipse g. erit cubus ipsius b. ipse autem l cubus ipsus c. Ipsi quoque harmedis proportionales, supplementa in cubo ipsius b c Denique ipse m.quadratus secundus ipsus b. hoc est quadratus ipsus d.Ipse autem'. quadratus secundus ipsus c. hoc eit quadratus ipsius f. Ipsique nil medi proportionales ad integrandum, ut patebit quadratum secundum ipsius Me hoc est, quadratu eius quadrati, quem constituunt quadratiras cum duplo insus e. Haec omnia constant ex dimnitionibus ipsorum quae dia torum, cuborum,ola supplementorum, sed qtiadrata primum secundum, cubus ipsus b c demonstrabuntur.
Post unitatem duo numeria c. sunt termini proporti ni superparticularis. Tamque tres numeri de f. sequentis ordinis, quam quatuor ili Et penultimi: quamq; quinquem n o p q. postremi, sunt continue proportionales in dicta dudum proportione. Quoniam scilicet b. multiplicans singulos b c facit singulos d e. Ideo per secundam praemissaria, erit sicut b. ad c sic d ad e. Item quoniam c. multiplicans singulos Uc. facit singulos e fide, eade, scuti ad c sic αhd f.Quare d e f. sunt cotinue proportionales in proportionesoriami c. Similiter ter eandem, ostendemus, quod tam ginta quam ipsi mi o p q. sunt in eadem proportione Plorum b c continue proportio hales .Quod est propositum.
Item scut ipsi a b d h. sunt continue protortionales: ita&ipsi celin. nec non ipsi h o. Atque ipsi ii sunt in eadem proportione continua proportionales Adhuc, sicut ipsi ac si q. sunt continue proportionales cita tam ipsib, hi quam ipsi din o. quamq; g n. sunt in eadem contianua proportione proportionales. Haec omnia patent perprucedentem M per permutatam proportionalitatem.
Ite a eo. sunt in proportione continua scuti h. caeteri ad aequid istantiam descendentes. Similiter assunt in proportione continua, sic gQ caeteri condcscendentes. Domum ipsi lud sunt in proportione continua, in quasba
92쪽
sb. caeterique correlativi. Constat ex compositione aequa. hum proportionum, ex quibus patet conditio imprietas huiusce descriptionis numeroria, non a ad necessitate demostrationum , si ad pleniorem suppositionis intelligentiam . PRO Post Tici o . Sicut et nitas es disserentia duorum sequentium b c numerorum; ita ipse duo b c sunt disserentia trium sequentium defEt hi tres differentia quatuor sequentium gh hi e sique bidemum quatuor disserentiae quinque nop q. postremum peπαrdinem sumpta. Patet hoc totum per tertiam praemii sarum, quoties opus est, adductam.
Omnis impar praecedenti quadrato appositus, o stituit sequentem quadratum Pater na in proposita descriptione,ipsoru b c semper unus est impar, reliquus par sibi collateralis. 1 3 Quare totus b c impar erit.Sed per praecedentem, b c sunt differentia psorum les igitur b c impar adiectis ipsi L '
numero disserentibus; na cum duplo Uius e medi proportionatis,constant quadratum ex toto b cfactM. Haec in i 6'. non per numeros, in secundi Elementorum per lineas demon Ch dstratur Demonstrabitur hic hoc modo Ipse b in c. e e singulos, per ' praemillarum, acit ipsos dis. lingulos.Item Cti e ipse c. in c. singulos ficit ipsos e frangulos: Igitur, per pri s smam prae miliarum, totus b c in totum b c ficiet aggrega Igitis tum ex d et f. hoc est, quadratum,quod ex b c.aequabit congeriem ipsoru is duplique ipsius e.Quod sui demostra tu b d L e P Ropos I Ti, Duo quadrati proximi cum media parte altera logiore coniuncti, conficiunt numerum exagonum aequiangulum . Haec est xi primi horum Arithmeticorum. COROLLARIVM. Hinc sesitur pulcherrimu corollariu, videlicet, Hexagonuaeqangulii cu parte altera longiore collaterahisiiunctu, consumat quadratum imparis collateratis: a per antepraemis. sam,totu d e f. qd per pr:emillam est hexagonu quiangulu)cum ipse e. quiest parte altera longior constat quadratum totius: c. imparis colla teratis. Quod sequitur supponendo, ipsorum b c differentiam esse unitatem.
93쪽
Hengenus aequiangulus tum praecedcxti cubo iunctis, eum tactv bt cc Pateratim . . Hoc cst ps gregari mox is sis Me f. quod , per pia cedcntcm, cst hexarcnus a manrulus Gniunctus cui .Cub coflat ipsi I. curii: qicd ostensum suit in s 'primi horum Arithmeticcium. Cfic de ture hic, hoc, cdo.Per ii praecedent m,ips des numeri sunt tres c isti tinti insciuilia' fit ergo virorum 4 f. comunctucii ipso g. cudo ccnsciat ipsum .cubu qd sui dcmonstradu Pno Posi Ti, ' Tuo ubi partis ci triplis mediorum proporticnalium ceniuncti conficiunt tib tim totius. Hoc cst, ipsolum b c siue unitate,sue quocunq; numero differentiu cubi, qui sunt ipsi l. cu triplis ipsoru gh medioru proportic natis coniuncti. pei fici ut cubu totius i. quod incia secundi horu arithia meticor uit ostensum: hic in sicilius oste letur, sic: Pero natat missaru, ipseM. in singulos b c facit singulos .Item duplum ipsus e. in singulos b c facit hin atque hi hoe est, duplum ipsorum Irh. Adhuc f. in lingulos bc facit ipsos a singulos Igitur, per prima pi miliarum, ipse ναduinis in aggegatu ecd s. duploq; ipsus e. qd per i 2 p missaru ,est quadratu ipsust e. Hoc est b c radix ducta insu quadratu producet aggregat ex ipsis l. triploq ipsus bo ad Es nrin 'xxjplo ipsi uch radix aut in quadratum producit suum J J E cubu Ergo tale aggregatum os l. triploque ipsorum lil.est
i cubus pilus' c. numeli. Quod stiit demonstrandum.
inplum ipsius e. cum et itate, incit aggregatis ipsorum L hoc est, plumis emi parte altera lonioris, cum et nitate conses stat aggregatum costateratis precedentis quadratorum.. P xς , quoniam sedi flerentia inseruirer αδ ipsorum e f.D. sent aequales, tunc duplus ipsius e effeta qualis rarmato
maior, quam distercntia ipsorum se illa, scilicet c. xlixesb. her, huius, idcirco fit ut aggregatum ipsorum d finitate luperci duplum ipsus e sicut proponitur.
Aggregatum ipsorum b c est excessus,quo artregatum ipsorum It maius es aggregato ipsorum4 Pate silc Si dit Terentia ipsorum g h. esset aequalis di flercntiae ipsorum: l. Tunc aggregatum ipsoru l. ellet aequale aggregato ipsorum h. Sed
94쪽
quoniam disserentia ipsorum Et hoc est f. superat dit Tereus ipsoru gli ho t. iplam es in aggre Iito ipsorum' ci quos per io praemii Iaram .e t id, quo f. superat ipsum d id citia gregatum ipsorum l. maius est aggregato ipsorum i k in aggregato ipse rumi c. Qu2dfuit demo altrandum.
Ex aggregato ipsorum λαin ipsum'.prosicitur ax Uatum ipsoru b . Patet inam peris premissirum, b. t e. cit'. Ite-queb in s. Acit E SM per D sicut b. ad c sice ad sagiturpe ipse c. in e ficiet h. Q ore per primam, totum b c ine sacit totum lia. Qu9d est propositum.
Ex aggregato ipsorum b c. in aggregatum psiorum a e pro ucitur aggregatum ipsorum xl. Nam cum, per praecedentem, ex aggregato Psorum bi.in ipsum e fiat aggregatum ipsorumhI. Iam ex b c in a e. qui ipsum e unitate excedit produ- cetur aggregatum exin h. 4 c. Sed tale aggregatum , per ante praemiuam, est aequale aggregato ipsorum it igiturin obc in ae pro lucetur totum g l. Q Dd est propositum.
Ex aggregato ipsorum bis in aggregatum ipsoru,ipsorum d producitur aggregatum ipsorum Ibhl. Nam cum per ante pne missam ex b c in e fiat hi. per praecedentein, exi c. in De fiat, Uam, per primam praemissarum, ex b c. in aggregatum ex duplo ipsius e. ex a producetur totum gi El. Sed per I 6. duplum ipsius e cum a. unitate, conflat aggregarum ipsorum f. igitur ex b c in dri producetur totum g h El. Quod suit ostendendum.
Ex aggregato radicum et nitate distantiu in aggrexatum quadratorum ipsarum radicum, producitur differentia secundorum quadratorum: Haec est, 89 primi horum arithmeticorum: tamen liuic breuius demonstratur. Nam cum b c sint radices, nitate distantes, quae semper faciunt impare colla terat ero ipsius f. quadrati, quem proximo praecedit d. quadratus constat', hic id ipsum pro nitue demonstradu, in dicta 89'. Itaq; cu per i o praemissaru aggregat si ipsorum ili '. si diffrentia ipsorum irari qui Hirit secundi tui ad rati dictarum radicum, hoc est, quadrati ipsorum d s. quadrator uin atquesci praecedefitem ex toto b c.in totum d s. producatu
95쪽
Talis autem secandorum Quadratorum differentia dicitur Gnoma secundorum quadratorum de idem est Octa hedrus centralis , Idem cubus centralis Ide quoq; Pyramis triagula centralis locorum impartu, ut catis ostesum est in primo horum arithmeticoru. PRO Posi Ti, 41'
e gregatum ex s. ex quadruplo ipsorum, p. ex ipsius o sexcupio, es fecundus quadratus totius b c Haec est conclu- sim claru ppositiona, in qua possim nobis laude tota venn n. ooo dicare, I necubi hacten neq apud Graecos, neq; apud Lati-
III roti huius repastinationis gloria consistit. Sive igitur ipsorub c dea sit unitas, siue alius quicunq; numerus, haecdemsistratio locu habet. Itaq; adductis p uel praemillari liquetv exi c. toto in ipsum'. fit tot mis. Iteri, exi c. toto in h. fit totum . Ite ex b c. toto in c. fit totii o p. Ite ex b c. toto in l. fit tot pri. Hinc sequitur, ut, v a dictu est, cxl c. toto ing fiat mi. N exb c in triplu pisis h. fiat triplu ipso he n o. ecb c. in triplu plius L. fiat triplu ipso. p. ex b c in l. fiat tot uiri. Igitur per praemissa tu ex ipso b c in aggregatum ex it triploq; ipsoa huc quod aggregatum per 3 praemissaν est cub'iplius c. producet aggregat ex ri. quadruplo ipsoru l. atq; sex cupio ipsius o. Sed ex b c in surcubii producis secund qtiadratus ipsius b c Ergo talis 1 quadratus ipsi' b c. erit cogeries exori. ex quadruplo Psoru ni atq, sexcupio ipsius o sicut demonstrandum est.
96쪽
Adhuc dico quod o est quadratum ipsus e Paret: nam
per nonam a Co iunt continue propcrtionales. Cumque a. sit nitas, erit per octauam noni Elementorum, o quadratus per diffii eius radice quod est propos tum Vel sciquoniam per septimam ipsi d es sunt continue proporti natesci cuper octauam ipsi b eh. sunt continue proportionale iam per vigesimam septimii in h. faciet quadratum ipsius e sicut d in f Sed per quintam harum b.in h. facit o. igitur o est quadratum ipsus e. Quod est propositum.
Item dico,quod tam . in .suam h in Eproducit cubum ipsus e Patet sic ex e in o fiat, eritque r. cubus ipsius e per diffii moniam fer praemisiam O. est . ipsus e. Sed, per octauam harum, sicut e ad h. sica ad O atque per io septimi, quod fit x e mi idcm exi in h. igitur ex li .in h. si et r. Cumqueser eandem, quod exi in h. idem fiat ex ni l. quoniam scilicet per septimam harum . ad h. sicut h. ad i. Iam Me g. in i ne idem r. cubus ipsius e sicut proponitur demo nitrandum.
Item dico, quὁd ex secundo quadrato in secundum quadratum producitur, secundus Per sex ram praemissarum m q. sunt secundi quadrati ipsorum4 c. Ostendendum est igitur, quod ex m. in' producitur secundus quadratus, sic per septimam harum maequam proportionalitatem ipsim ori sunt continue proportionales: quare per o septimi, quod fit ex m. in'. est id, quod fit ex o in se. Sed, per ant pr mittam, o quadratus est ergo quod fit ex o in se, est secundus quadratus quare quadratus ecundus est, qui fit ex m. in q/ hoc erat demonstrandum.
COROLLARIUM. Manifestum est igitur, qudd sicut ex ductu ipsarum bc. Bl radicum
97쪽
ruet. --3---- radicum propositarum siue unitate siue quo vis nume T. 4-y-36uo distantium producitur . ita ex ductu ipsorum MLCΡ8-a7-au quadratorum fit ipse, quadratus ipsius e atque ex uia 'Si ἡ-8 las)ctu gl cuborum, fit ipse r. cubus ipsius e. Et similitet ex ductu, q. duorum quadratorum, fit secundus quadratus Ussius e qui videlicet fit ex o in se, qui sit s. Quod etiam constitit per corollarium undecima secundi horum Acithis meticorum. Caetera relinquimus curiosioribus.
Ompletus Messans in freto Siculo in aedibus ipsitu
Muthors iuxta aenobium Carmentano rum, ad horam noctisse cundum diei Dominici,
qui fuit Aprilis decimus octauus crsnctissimum Faschae sinum.
98쪽
Arithm eii cortina . Liber Secundus
PROLOGOMENA . UONIAM Arithmetica infumentum est omnis Iupputationis . numeri sint termini, quibus quaelibet magisiaturi fgnificatur, non dubium est , qui per numeros seri post omnis magnitudinis caLeuius bum et er Geometria comprehendat omnium quantitatum pectes , indelicet lineas , superficie , solida er tera continua, que ad haec redigi possunt ii tempora, inpondera duplicem Utique praxim habebit; muam, quae fit ineundo , alteram , quae seu putando suarum haec abida tauquam sente derivatur: θ' usia beorte innititur. Sicut enim tam theoremata, quam problemata per beoria demonarantur fluuuturis ita max siue per lineationem siue per calculum ad praxim red untur. 5 Um-
tePectu praemeditata lineamus i lineata esculamus.
Et quamuis hineator deseriptionem oculo repraesentet smentali speculatione punctumgeometricum consequatur, tamen calcutitor numeris etiam disum consequitur
sedis paucis characteribi minutiores partes diiunguit: a quo
99쪽
8 ARITHMETICORUM quod lineator non nisi in pacis immense , mel magno ininumentor quodnulgi μcile ectypraesarepoteH. Quaed inctio quidem necessaria ea , cum per numeros irrationalis , aut ignotae magnitudinis terminum seu limitem magis ac magispropinquantes' estigamus . Sicuticum, exempli tralia , proposita circuli diametro , latus trianguli aequilateri, aut quadrati in eo deseripti, metiri per e dem partes in quibus diameter supponitur , aut cum planetae cuiuspiam diurnum motum metir iubemur. Itaque licet de theoria numerorum , magnitudinum plerique graues
Muthone adfatim siribant, , numerariam praxim quam plurimi ludorum magistri passim doceant , liter se mundent, nemo tamen hactenus regula i et practicas elementorum , additionis subtractionis , multiplicationis diuisionis , radicum extractionis , progressionum , positionum dimensionum stis demouHrauit. Haud enim cuiuis peruium ei, ante oculos ponere quemadmodum praxis quaelibet talis albeoria deducatur , nonnulli
id sum ausi, rem obseuriorem fecere , sicut is, qui algorif-m demonHratum edidit. Nos itaque, quatenus sis
ires noctrae extendunt , aut quantum cassam dictabit
ingenium, tentabimus aliquid super hoc negocio proserre, dum otiumst statur. Itaque, Ut ratio sit id sinitionibus praemissis , rem aggrediemur friatim singula δε-
100쪽
Posita ergo quantitas est, que, ad libitum ponitur ad communem eiuslem generis quantit tum nenti ira: uarab unitate denominatur. Sicut unitas est communis hum rorum dimensio. Quando igitur multiplex est ad positam,sgnificabitur eo numero, secundum quem ipsa multiplex ea ipsius positae.Quando vero quantitas cotinet partem vel partes positae, significabitur duobus numeris,scilicet denominatores numeratore partis vel partium Vndidi quatiti- .las significum aduo sitam nabo eam rationem, quam nurrae rus denominator, ad numeratorem. Quare, si tales numeri
fuerunt aequales, quantitas significata erit tuc aequalis posi
tara minor aut, cum maior fucrit denominator maior vero,
cum in inor. Erit utique significata quantitas ad positam, aut aequalis,aut multiplex, aut superparticularis, aut superpa tiens, aut multifex super particularis, aut denique multiplex superpartiens, quando maior fuerit significata, quam posita. Quod si pis sita sit maior tunc talis erit posita ad s.
gnificatam. Duae quoque quantitates, quarum denominato in res eandem proportionem habebunt ad numeratores,crunt ad inuicem e ales: quoniam scilicet eandem rationem habent ad postam. Cuius vero denominator maiorem ratibalem habebit ad numeratorem, maior erit. Quantitas cum quantitate coniungi dicitur, cum sui nitur earum aggregatum. Quantitas a quantitate subtrahi dicitur, cum sumitur malaris super minorem excessus. Quantitas quantitatem multiplicare dicitur, cum sumitur quantitas, qui ead mul-.tiplicatam eam habet rationem, quam multiplicans ad positam: Et sumpta sic quantitas, productum vocatur VK le, quando multiplicans maior fuerit quam posta ζωpro cluctum maius erit nultiplicantet quando rhi r mianus : quando aequalis, quale Quantitas in quatilitateri partihi dicitur cum sumitur quantitas, ad quam diuilaeamnabet rationem, quam diuidens ad positam. Et sumpta sciquantitas Vocatur proueniens , sue quotiens. Vnde si diuidens maior fuerit, quam posita, diuisa maior erit quotiente in si minor, minor si aequalis, equalis. Qua dr aum alicuius quantitatis est productiam eius in se ripiam. multiplicatae ipsa tunc radix vocatur Cubus autem estis, qui fit ex multiplicatione radaeis in quadratum. Et