장음표시 사용
141쪽
quas quaerimus, quantitatum. Et quoniam horum medius habet cubam radicem , sciliceti iam media quantitas erit radix quadrata b. Item , quoniam huius medi collaterales sunt quadrati numeri, quorum radices quadratae sunt i a.&is idcircori mediae quantitatis collaterales, erunt radices cubar numerorum ii 48. Sed haec omnia non solum ex elementis Euclidis demostratur, veru metiam in triuialibus ludis practico cuilibet sunt notissima. Quatenus tamen problematis qualitasin locus exigebat, haec a nobis indum sunt.
Ex quibus quidem manifestum, quod in quantitatibus
continue pro ortionalibus , si prima&secunda fuerint rationales, tunc sequentes in eadem proportione continuatae semper in infinitum rationales eruia . Si autem prima rertia tantum rationales suerint tun quinta septima singulis semuer intermissis, sequentes rationales erunt in termissae vero omnes potentia latum expresse. Si vero prima&quarta rationales duntaxat esse contigerit tunc septima, et decima , et tredecima, et binis semper intermissas caeterae sequentes rationalies erunt, intermistae autem cubo tantum cognitae. Adhuc, si prima et quinta solum rationales supponantur: tunc nona, tredecima, septemdecima, et ternis semper intermissis , singulae rationales erunt trium vero ubiacunque intena tisiarum media quadrato latum cognita, dux caetere: mediates, hoc est, persecundum quadratum pronunciatae. Denique si prima er Ieptima tantum supponantur rationales: tunc necesse erit tredecimam, undevicesimam, vigesimam quintam, et quinis semper intermissis singulas squentes esse rationales. Quinque vero in quovis loco in te missarum mediam potentia tantum esse rationalem duas autem huic collaterales cubo tantum pronunciabiles duasque extremas rationalibus proximas qiradrato cubi tantum cognitas. tiar cor llaria ex ipsi proportione, ductuque quis titiarum satis constat Consyderata numerorum
multattuli nes, quae siue quadratis , siue cubis, siue secundis quadratis siue quadratis cubicis proportionaliter intercis
dit. ipsorum quadratorum, seu cuborum productis.
142쪽
cies succurrunt quaedam speculationestam ad magnitudinum Symmetriam, quam adpraxis os rationum pDmore notitiam Jectantes, olim a nobis explicatae qua quoniam huicsecundo libelgo congruae ridebantur, hic sibiunximus. AEuare, ut apertius intestigatur, exordium capiemus a diffinitionibus Narum irrationalium magnitudinum meinde no per linea si rareas, quemadmodum Euclides e αν terminis co-
mensurabilium , ' incommensurabilium quantit
tum,earum condictiones, proprietates sidi costigantiaiproponem ιν acpernomas posita demonstra
bimus. Nec facile qui 'iam fuisse putet, elementibui modi a lineis oe areis ad quantitatem in genere semptum transferre, , numerariam simulprax hinc derivatum ouendere. quippe quaesiculpassim intriuialibu cholis triti,ita necubistisfuerat demorirata Ordior itaque nouum demoniandi genus, tantoq; in hacparrepraestantius Euclideo , quanto generalis quantita digniora purior sprimariae mathematicae, quam linea specialis es conuenientior. Simulper Diam hanc, quam in demonstrando assumimus, multa notescent, quae in decimo Elemen
143쪽
Commensurabiles magnitudinea dicuntur quas communis mensura metitur. In commensurabiles vero, quarum impossibile est inu niri communem mensuram. Commensurabiles potentia quantitates sunt,quarum potentiae,hoc est quadrata, sunt commensurabilia. In commensurabiles vero porentia, quarum quadrata in. commensurabilia. Commensurabiles in secunda potentia quantitates sunt, quarum secunda quadrata sunt commensurabilia. Incommensurabiles similiter,quarum incomensurabilia. Commensurabiles cubo quantitatcssunt, quarum cubi commensurabiles. In commensurabiles ver cubo, quarum cubi incommensurabiles. Quibus ita se habentibus, si proponatur quantitas quapiam perunt infinitae quantitatis illi commensurabiles, quantitate, potentia,Spotentia secunda, cubo. Vocetur itaque tuoposita quam iras Rationalis inde&quadratum plius, secundum quadratu, cubus, qua cunque dignitates ab ea propaga terrationalcs erunt. Et quantitas propositae, siue magnitudine, siue potentia
commensurabiles, rationalis vocetur. Incommensurabilis verb, irrationalis.
Quibus ita dissinitis subiungemus singulas irrationalium
Quantitas rationalis sit, que: posite rationali commensurabilis est.
Rationalis potentia tantum erit, cuius quadratum duntaxat rationale est. Similiter re rationalis cubo tantum c ius cubus tantum rationalis est. Medialis autem , cuius secundum quadratum untaxat rationale est. Ex quibus dissinitionibus sequitur, ut quantitas rationalis sit etiam' potentia, iubo, potentia secunda rationalis non a uicine contrario. Item ut quantitas potentia rationalis sit etiam potentia secunda ratiCnalis, non autem e contrario. Nunc dissesemus quantitates irrationales bimembres.
Binomni constat ex duabus quantitatibus rationalibus ac potentia tantum commensurabilibus. Quarum excessus Apotomo
144쪽
Aporome,vel Residum dicitur. Et necesse est, ut earum qu drata co sciant rationale: euum vero productum mediate. Bimediale prim im constat ex duabus quantitatibus medialibus potentia tantum commensurabilibus, rationale comprehendentibus et quarum quadrata conficiunt me diale. Harum excessus. Residuum mediale primum di
Bi mediate secundum constat ex duabus quantitatibus medialibus potentia tantia in commensurabilibus4 media te comprehendentibusa quarum quadrata conficiunt mediale, quod est mediati praedicto in commensurabile. Harum excelsus Resi tuum mediate secundum dicitur. Maior constat ex duabus quantitatibus potentia incommensurabilibusci quarum quadrata conflant rationales: quod sub ipsis mediate. Haru vero excelsus dicitur Minor. Potens rationale ac mediate constat ex duabus quantitatibus potentia in commensurabilibus,quarum quadrata conant mediale, quod sub ipsis rationale. Harum excellus dicitur cum rationali mediale totum potens. Potens duo medialia constat ex duabus quantitatibus potentia in commensurabilibus , quarum quadrata conflant
mediate. quod sub ipsis mediate praedicto incommensurabile . Harum excelsus dicitur cum mediali mediale totum potens. In quibus sex disinitionibus mediate intelligitur quantitas potentia tantium rationalis. Namque omnis area, siue omne productum potentia tantum rationale solet ab Euclide mediate vocari. Et linea potens talem aream, sblet ab eodem linea mediatis dici. Quod tamen
non interturbabit propositum nostrum. Nos enim quantitatem in genere iustilla linea sit, siae area, pq tentia tan-rum rationalem vocamus , cuius quadratum rationale.
Medialem verb, cuius quadratum secundum tantam rati nate est Sed in diffinitionibus dictarum se irrationalium sequemur Euclidem. Praeterea tam binomium, quam residuum habet sex species sic distinctas. Quando maior portio Binom ij, seu residui, est potentior breuiore in quadrato quantitatis sibi commensurabilis ipsum est primae secundae, vel tertiae speciei.
Quando vero maior portio breuiorem potentialitc excedit in quadrato quantitatis sibi in commensurabilis, ipsum cst quartae, quintae vel sextae speciei. Deinde si maior por-
145쪽
tionum suerit rationalis quantitate binomium seu Res duum erit primae, vel quartae speciei. Si minor portio uerit rationalis: eriti cundae, vel quintae. Si neutra portionum fuerit rationalis, erit tertiae, vel sexta speciei.
Notandum quὸd καὶ titat:ιm alia eri ration ilis Actia irrationalis. Et irrationaliam, alia plex, hoc es, is nominis alia bimen. ἱ M. I ursum,simplicium alia pol ν rialiter tant in rationalisci alia cubo tantiis , alia quadrata secundo tam tim rationa D: quae Medialis vocatur Limembiit in a item duae I isti Jecies. Prima species, cuius membra sint potentialiter tanti m commensi stabit . Secunda , cuius portisses sunt etiam potentialiter incommen tirui. o. Prima pecies est triplex . toti plex secun ada. II enim continet Tinomium p rion, salinem paratum. R iduum per excessum . Item Pimedia, primum, cum suo resta media i primo. Item Timeaia a secundum , cum suo residuo medialiscundo IIam ver Jecies continetia An m , cum inmori, item Pa tentem rationale, O Alediati, futim ue Residuum, scilicet cum rationali medialeporemtem Item Poenum si media iaci suumque Huum cum intriali med ale patentote .
Trate ea tam Pincmium, quam Residuum est sex pecierum. singula iamdudum dis
finita sunt. Sed attendenium, quὸ quantitas duorum σα ilium siu bimembris eri, quae constat ex dilabus portionibus ira ad invicem adfectis , ut ad num nomen redigi ne
queant. Secus enim non erit dinominis quantitas.ut autem pωrtiane tales ad cmus quam
ritatis bimembris sint iis affectae, ut ad num nomen redigi nequeant, pris erit duabus conditionibus, scilicet ut portiones set inuicem incommensi rasiles nam portλ commensurabiles coniuncta conficiunt utilitare nius nomini o eius speciei,c:ιius sum partes, et roBendemtu POper et congeries quadratorum inartim in ioniam si incommensi rabilis producto earundem si enim fel, vi talis congerie, cum duplo talis producti Podes qi-dratum propositae bimembris ιν quartam secund o minime faciat quantitatem nius na- minis. 2 amsi Secta congeries dicto producta canimen ιrabilis esseι tunc congeries cum duplo dicto, hoc eri,dictum quadratum esset Nantitas unius nominis , O perinde quantitas ipsa esset nius ii omisis: quia videlicet radix ni minis quadrati qu conditiones expria mun:ur in nrdiaris irrationalium dimisionibuι moniam igitur nec se eri, in vini exquibiu bimembris quantitas, siue per compositisnem, ii eme ais is em procediς, esse iunicem incommensurabile. O insuper congeriem quadrat num earundem portionum esse in commensurabilem pro tacto ipsarum idcirco sex trinq te irra:lanariam quantita:um species propagari oportet. Si enim portione fuerint in commensurabiles in magnitudo uesanium, hoc est,porent: soli commen jurabiles sim tres becies irrationalium, Da et prima se unda . , tertias. Si autem portiones fuerin incommensurabile euiam potemtialiter fenit ei reliquit' ecies scilice qt arta , quinta, ct sexta. Deinde si congerier quadratorism strum portionum pserit rationacis , O md ..ttim earum ni diale, et prima, vel quarta ecies. Si autem cingeries me talis, o prolictram miri nati, et secunda, vel quinta Sa ver tam congeries, quam productum mediale alter trum mcommensisabile , fiat tertia, velis ta species , tam s. Et e re cauaravi imita mi iam,
quam per excessu in moris fetia minorem .
146쪽
Rauerulis. Minplevi in licet roruus
oicet mediata. momium vel residuum, hiandos
-Maior vel minor quando partium qu dratorum ὀ iratiotiati Icitoductum inediale. Poteritialiter etia1n ua sutabilib
sterarum i tena nationale ae mediate.vel eum rationali mesiale potenuliando partium quadratot uni SStesaturia mediates productration ale. Potens duo mediatia vel eum mediali mediale poteri . 1 uti partium cniadiat si an resalsi nediale, ta noducta nudiale uiuitaui in auraei inuab.M.
mn res duae quantitates inuicem commensurabiles, funt scut num rus adnumeram. Et duae quantitates, quae sunt scut remerus ad n merum,sunt inaicem comiscnsurabiles. Sunto a.&l.qualitates inuicecomqnsurabiles Aio, V sunt sicut numer adnumeria. Cu enim co- mensurabiles sint in uice a b. erit disti . comensurabiliu quatitatu, coicearii mensura, quae sit c itaq; a.diuidetur in aliquot partes singulas aequales ipsi c. Item 1 l. diuidetur in aliquo partes singulas aequales ipsi c. Quare a. S l. erunt ad inuices in unam i partita. Et haec est prima pars p p siti. Contra, sit .quantitas ad b. inaritatu sicut numerus ad numer i. aio,' a b comensurabiles in uice sunt. Se tur cria a b. singula in tot partes qu.as, quot unitates lintringuli numeri.stq; . una partiti quantitatis a.d .irq, c. ad a. sicut unitas ad numeriai.iritu a. Sed per hypote in o. a io sicut numer pam. tiu a. ad nun tia partium. Erit igitur ex aequali c. di sicut unitas ad numerum parti tun b. Quare quot Asinarias omitat immerum
147쪽
partium b.toties c. quantitates mensurat ipsam b. Sed cimetitur ipsam .igitur per dis . commensi, rabilium quantitatum , ipsa a b qua hiitates inuicem commenlulabiles.
Quod fuit residuum propositi. COROLLARIUM.
Vnde manis stum est, quEd duae quantitatis inui m commensi ira bilc non si in adinvicem sicut numeriis aliquis ad numerii in aliquem. Itemque, quod duae mas nitudines, quae non sunt ad inuiccm sicut numerus quispiam ad numerum qiaempiam , sunt inuicem in comensura bilcs. sequuntur haec x praemissi adestructione contrariorum.
Omnes duae magniud nesim commensiurabiles seunt inuicem com ensurabiles. Duae quantitates sint ab qua singulae sint ipsi c. commensurabiles. Aio, quod . ipse a b sunt ad
inuicem com mcnsurabiles . Nam cum a sint commensurabilcs erunt, per praecedentina, sicut numerias ad num rum: imiliter, quoniam est, commensurabiles erunt, desciit numerus ad numerunt. Sumantur igitur per quartam octaui Luci tres numeri d es continuantes duas rationes scilicet, viscutesta ad c. sic sit numerus .ad numerum α sicuti adi sessit numerus e ad numerum fri tunc xenuali erit, sicut numerus d. ad numerum f. sic quantitas Maa quantitatem b. Igitur per secundam partem praeceden iis , quantitas ara sunt ad inuicem com mcnturabiles.
Omnes duae quantitates,quarum una commensurabin est alia cui tertiae,reliqua πὸ eidem incommpsurabilis, sunt adinvicem incommensurobiles . Excmpli gratia, magnitudinum a b. nascilicet a sit commensurabilis ipsi c. reliqua et oi inci mensurabilis ei lcm c. Aio tunc, quod ipsa a b inui m incommcnsura bilcs sunt. Secus enim erunt a b comm cnsu
missam erunti c. inuicem commensurabiles quod est supposito contrarium No igitur sunt a b inuicem commenturabiles ergo in commensura bilcs quod est propositum. Pno post Tio 6'. Omnium duarum quantitatum invicem incommensurabili
congcries er excusas si xt inter se edi ipsis inuicem incommens rabiles. Eis congcries et i eorum sit incommonsurabilis, erit reliqua
148쪽
reliquae eo inmensurabilis. ωipta inter se commensurabiles . Hae conclusones sicile constant ex hac communi sententiaci quoniam quantitas, quae metitur partes, metitur&to tu. Et,quae metitur totum ablatum, metiturin relictu. PRO Posi et i s'. Omnium duarum quantitatum inuicem incommensurabilium
conteriesis excessusJunt inter seis ipsis inuicem incommensurabiles Etsi congeries et i earum it incommensurabilis, erit c relisua incommensurabiliis. Et ipse inter se incommens rabiles.
Nam si secus esset, tunc per praecedentem sequeretur contractu suppositi.Omnino igitur vera sunt quz proponuntur. PRO Possis io 8'. cmnes duae fiantitates proportionales duabus quantitatibus quoquo modo commensurabilibus, funt eodem modo commensurabiles. Et proportionales duabus aliquo modo incommenis surabilibu=, sunt eodem modo incommensurabiles . Exempli gratia snt quantitates ab ipsis d. quantitatibus inter se commensurabilibus proportionales: hoc est ut a. ad b. scutc. ad d. Aio,quod ab.crunt inuicem commensurabiles.Nam si Q. sunt commensurabiles, erunt per 3 huius, sicut numerus ad unicis m. I itur erit a. ad b. sicut numerus ad numerum: quare per secundam partem dictae 3 al. sunt inter se commensurabiles. Qui diae d. sint commensurabiles, aio, quod, a b inter se in commensurabiles erunt. Nam tunc, per corollar. huius, od non eritia licii numerus ad numerum in ideo neque a. adi erit sicut numerus adnumerum:& perinde per secundam partem dicti corollarij b. tunc in tamen sura olles inter se eriliat icut proponitur. Item si cla ponantur aut potentia tantam aut cubo tantu, aut quadrato secundo tantum commenturabilisci eodem penitus modo&ipsae a b commensurabiles erunt. Si aurem c d aliquo diciorum modorum ponantur in commensurabiles eodem similiter modo Gipse: a b.in commensurabiles erunt: Quoniam scilicet quantitatum proportionalium proportionales sunt laquadrata, quam cubi, quam secunda quadrata. Et idcirco sequitur corum commensurabilitas , vel in commensurabilita sci quippe qua comitatur proportionem adducta i' lius coronario,
Omnis quantitas rationalis multiplicans aliquam quantitatem, producit quantitatem multiplicata cognominc. com-E mensurabilem.
149쪽
mensurabilem. Exempli gratia, rationalis quantitas a. militiplicet quantitatem . potentia tantum rationalem,& faciat c. Aio,qubd c. potentia tantiim rationalis est, ims b.multiplicatae commensurabilis. Sit enim ipsius a. qu dratum d .es ipsius'. quadratum e. ex d. in .nat s. Eritque per coroll. Vnderim linius, squadratum ipsius c. Cumque ex diffinitionibus,quantitatum a b ipse d. st numerus quadratus ipse autem e numerus non quadratus Liam eorum productiim 'sper coroll. secunda noni Eucl. non erit numerus quadratus . Igitur G qua radix est ipsius sper distin .erit potentia tantum rationalis. Cumque per dissin multiplicationis,c. prCductu ad b. multiplicatam, sit sicut a multiplicans ad positam' sitque a. posita commensurabilis, quia rationalis iam, per praeciaciatem ipIac ipsi b. commensurabilis erit : sicut proponi rur. Similiter autem, si b. cubo tan-rum raticinalis supponatur, ostendetur&ipsa c. cubo tantum rationalis, ii sim commensurabilis δε si b.quadrato secundo tantum rationalis ponatur, ipsa c. quadrato secundo tantum rationalis, ripsi b. commensurabitura monstrabitur Sicutyropobitur. PROPOsr Tro c .
Si producti fuerit commensurabile multiplicatae quot tu tunc multiplicans est rationalis. Vt si a multiplicans b. f cia c. ipsi . commensurabilem aio, quod a rationalis est Nam per distin multiplicationis, erit, sicut c. adi sic a. ad positam. Cumque per hypo c. si coia mensurabilis ipsib. erit per antepram illam a. commensui abilis positae, quare per dimn .a.rationalis quod est propositum.
Omnis quantitas diu a per quantitatem fbi commensvirilia
Iem,exhibet in quotiente quantitat m rationalem , Sint a b. quantitares commensurabiles inter se, diuidaturi per ipsam a. prouenia c. Aio , quod c quantitas rationalis est. Nam , pcrdistin diuisonis, erit, sciit a diuidens ad n stam, sic b. diuisa ad c prouenientem. Et permutatim, sicuta.ad. b. scposta ad c Sed a Per hypo t. commensurabilis est
ipsis ergo per praemisiam δε posita comm cnsurabilis ipsi c. Ergo c. rationalis: quod est piosos tum Hoc idem
150쪽
PRo post Tio G Σ' Omnium duarum quantitatum inuicem commensurabilium quadrata sunt adinvicem sicut quadrati numcri secubi,adinvi-eem, sicut rubi numerii secunda quiadrata sicut bis quadrati qnumeri Vt si sint a b quantitates inuicem commenturabi dies, quaru quadrat L sint c d cubi aut es secunda aut equa fdrata 1 h. Aio,quod cd. erunt sicut quadrati numeri adinui cem deses sicut cubi mimeri de ili sicut bis quadrati nil umeri Nam, per 3 'huius, a b.quantitates erunt ac Linuicem, sicut numerus ad numeri in sed tam in quatitatibus,quam in numeris quadrata sunt in duples cubi in triplaci secunda quadrata in qtradrupla ratione radicu Igitur cvi. sunt ae portionales quaci ratis talium numerorum. Et e f. proportionales cubis talium numerorum:& h. proportionales bis quadratis talium numerorum. Et hoc st propositum. PROPOSITIO s
Omnes duae quantitates,quarum quadrata sunt adinvicem sicut quadrati numeri; veIquarum cubi sunt adinvicem sit ut cubinumeri vel quam secunda quadrata sunt adinvicem sicut bis quadrati numeri, sunt inter se commensurabi .es Exempli gratia, sint duae quantitates a b quarum quadrata es i.& quaru bcubi essi quarum lacunda quadrata h. Aio, quod, si od. Asuerint adinvicem, sicut quadrati numeri veri ei fuerint sadii ruicem, sicut cubi numeri; vel f νl,suerint adinvicem
sicut bis quadrati numeri Hunc in omni tali casu , ipsae a b quantitates erunt adiruticem commensurabiles. Nam
si id sint inter se, sicut quadrati numeri cum talibus nu- incris intersit unus medius numerus proportionalis , in rem erit ipsis c Luna media luantitas proportionalis, quaesit h. Ierunque ch d. quantitates talibus tribus numeris propor US. 4. 36. Irionales cum Que quadrata sint in dupla ratione radicum: erit sicut c. ad h. sicut a. ad . Sed c. ad h. sicut numerus ad numerum Liuitur a. a. i. sicut numerus ad numerum: quare per secundam partem .. huius, a. b. inuicem commensurabilcs quod est propositum. Si autem es tanti rex se sicut cubi numeri tunc, quia talibus numeris intersito duo numeri medii proportionales , mererunt lysis e f. duae media quantitate pri portionales, quae sin L