장음표시 사용
61쪽
6 ARITHMETICORUM PROLOGOMENA.' a principio decrevimus, ingeniose Lector nhisice nostris numerari' sseculationibus t non solum ob re ab alijs trudita secillus demon-
Araremus,sed etiam omissaseuppleremus quid igitur,
quod adfirma numerorum,stertinet, deo deraretur,sicut pyramidibus oe columnis numeraria Agura non nius
generis,sicut splanis rectilineis, hactenus adsignauimus; ita, quinque da geometrica selida, quae Vulgo regularus nuncupantur, adaptatis singula numeriis imitabimur e structurum quidem primo des mentes , ἔν inde proprietatem singulorum, atque colligantias, per demonHruriones f Ἀ-xemplo exponentes. Sed, cum quinque sint apud egregios
Geometra regularia ista, mirum in modum a Plitone celebrata corpora, ramis uel Netrahedrum, Octahedrum, Cu-bus, Icosehedrum, atque Doricuhedrum e quibus sicut Dramidem tetraherium; ita secubum hexahedrum quoq; a basium numero locari nemo prohibet. Exitis duae iam innumeris nosUris tractata sentformae,nramis stilicet in ordine primaru Pramidum: ω cubus inter eiusdem ordinis columnas. Sequitur nunc octahedrum, quod per ex duabus proximis quadratis Pramidibus non aliter , quam quadratis ex duobus proximi triangulis coalesiit. Supersunt duo reliqua, quae per numeros non nisi centralia intelligi s, construi poterunt quemadmodum in planis formae secundi ordinis Hruebantur. Etsicut in planis septa ubi, octanguli numeri non,nis ercentrum s ambitum, conflari commode possunt; ita fit in huiusmodi duobi postremis fibris. De fiunt triangulos quadratos pentagono be-
62쪽
LIBER PUMVs, PARS II. Txagonos non filum primi generis,sed etiam cetraliter esser- mauimus ad implendum secundum formarum ordinemsitat ubi licebit reliqua tria priora lida,Uramidem, octabe-drum, culum centraliter,sicut postrema duo per numeros consigurare. Cum itaq; tam styramides triangulamquam
cubi primae specieistis iam superiis constructi , expositi sint eorum proprietates declaratae nunc , o taberii numeri eiusdem specie sic quidem sciliter construentur,si ab et itate exordium cupientes, mi diximus duas quasq; proximasprimigeneris quadratus Iramides coniugamus: sicutis tin ipse continuo geomotricos octabedroselido. 6um itaque Piramides quadratae primae huiusimodi se in ordine
habeant, visuperius deseribebatur, iro . Laberii numeri
primaes ecie singuli , coilateratiust praecedenti Iramide coluctis haud di cibissub θsdem exarabui. Hoc inpacto.
Et eadem aggregatione in infinitum fiet processus, g si nouactu, potentia tamen, quae nunquam theorico intePec uine
gatur. Agendum nunc de selidis regularibus centralibus, in quibus semper initas in centro ponitur sicut , in planis numeris centralibus. Sed opereprectum H intestigere imprimis quo pacto disponendae sint caeterae initates , f qmbus in locii, ade formanda,etu decet, tubastida numeralia. Nec dubium, quin insingulis,posita initate cetri tum
persingulos selidos angulos, quam per singula basium cen
trasingulasint nitates disponendae. Jtaque cum Drumis habeat quatuor angulos c, totidem bases, habebit cum centrati Vmtate Muem uitates seum autem octahedrum habeat
63쪽
brat sex angulos , octo basis si centrum habebit initates quindecim. totidem initates ubin quandoquidem babent angulos octia , basis nouem , centrum.Unde sicutsecundus ab inrtute, Iahedris,secundo adequatur cubes ita οὐ tertius iretisse εν quartus quarto: e
quentes,quentibus, singuli singulis in infinitum semper
aequales existunt talpinea demonarabimus. Deinde cutisubedrum habeat 1 a. angulos dos, basis autem ao. centrum conuituetur ex uitatibus 33 f, ex totidem et nitatibu L lecabedri. Ut pote qui habet anguloscio.
basis a. , centrum, boc e B sicundis D abedrus secundo D decabedro aequalis est. Et inter deinde tertius tertio: f, quartus quarto sesequentes sequentibus singuli singuia coibedri Dodecaberiis in infinitumsemper adaequabuntur propter eandem, quae in Octabedro in cubo, reciprocam angulorum , basium numerorum aequalitatem: tunsuo loco in propositionibus ostendemus. Sed quo pacto sequentes solidi numeriura est,siquentium locorumsermenor, audi Nec te eisicacissime lector, taedeat ea perperire, quae ad bui nodi numerariasformas, ab alijs omssa,
a 'eculationis Arithmeticae perfectιone maxime pectat. . Cognses enim proprietates earum notatu dignissimas,nec
nisi curiosis ingeni, patulas. Imaginoritaqs in his quinque singulis regularibus uaes, a centro ad angulos educi singula semidiametros suae quidem in nramide erunt quatuor innaabedro 6. in cubo δ. in Icosithedra 1 a. In ride- Obedrocio quo cilicet tuendi angulis. Dertices seli-Hrωχ. D inde in iisdem inteligo linearia latera quae mer- tires ibo coniungunt murum: silicet laterus , Ju
64쪽
LIBRIT PRIMt, PARS 1 Il. 9octabeso a. In cubo totidem. In cosabed obo lases deca hedro totidem Q ι quidem , cum simidiametris latera singula bin s totidem triangulos continentis; suu latera. Hss suppositis, iam nulti obseurum erit inter trina quidem quaeubet uiu ad trιangula 'ramides iu-tercipi , que rot sunt quot ipsius selidi basis, in tetraherio . Pramides quatuor triangulas , in octabedro octo triangulas . in ic abedro Plini siis iter triingulas M in cubo inter quaterna triangula , Pramides sex quadratas Ju doricabeis inter quina triangula I
rumides a pentagonas aeuibus considerat is , am consabit numquodque horum selidorum construi debere ex initate centrali , ex initatibus per semidiametros dissositis , ex numeris triangulis , ex ue numeris pyramidibus . Hoc modo. Iramidem , siue tetra- hedrum , ex centro , ex quatuor semidiametri , ex sinis triangulis ex quatuor lyramidibus triangulis. OOZabedrum ex centro , ex sinis semidiametris , ex duodecim triangulis se, ex . Vramidibus triangulis νω-bum excentro , ex . simidiametris , ex Ia triangulas,stu ex finis Drumidibus quadratiis. Jc abedrum ex crutro , ex duodecim semidiametris , ex triginta Gangulis,ex'ao. Iramidibus triangulas . t decabelum excentra , excio. semidiametris , ex triginta triangulis, ex Ia Dramidibus pentagonis. Fosiquam itaque πιπιοι praebet singulis Aid is inusinoae , nomen isippe quanusiam non numeri 'etiem sumpit iam insecundo loca
65쪽
seu piunt. λιο quidem in loca semidiametri fiunt ipse an
gulorum initates e trianguli nulli raramides ver se- ω nitates , quae Funt basium centra . uare hic tam semidiametri, quam Pramides exordium sumunt. IntelB-ge autem per es prim 'ecieis pyramides mer)scundae quoniam oportet eas esse centrales in tertio mox loco cresunt singulae semidiametri perinitatem trianguli autem exordium capiunt fiuntque Unitates pyramides Per sunt , quae multatem seq-ntur triangula quinariumsi uti s quadrata senarium e ac pentagonae septenarium habentes In quo quidem loco tyramis constat ex . ex quatuor semidiametris , siilicet 8 ex sex triangulis, silicet .st, ex quatuor hyramidibussilicet o. quae conmciunt 3s Octahedrus consul ex s. ex se semidiametris , scilicet a. ex duodecim triangulis ilicet Ia v ex . D- ramidibin triangulis, silicet o quae constant s. ω aN- tundem sciunt initas octo semidiametris, scilicetis . ac Ia. triangulisilicet Ia cum si pyramidibus quadratis G3stro cubo consTruendo nam octahedrus, cubussempersunt aequales. Jc hedrus sit ex I. ex a. semidiametris, Ailicetis .exeso triangulis sincet o ex ao .pyramidι-bus triangulis , ilicet Oo. inde complectitur is Et tantundem susipit huius loci odecahedrus A am Vnitas et o semidiametri, Filicet o trianguli O .Filicet Io. pentagonivramidis ascincet 8 simul confiant dictu numerumscilicet Iss. In quarto locosemidiametri singulae habent s. trianguli singuli 3.ρyramides,triangulaesingulae f. quadrati s . pentagoni a. ubi Pramis cum connet ex
66쪽
nitate ex quatuor simidiametris silicet ra ex sex triangulis,scilicet I 8.ex quatuor Pramidibus,siilicet σο.hubebit, I.Octahedrus autem ex initate semidiametris scilicet I8.ex Ia.triangulisFilicet 36. 0' ex octon midibus triagulis f. Iao .constans, habebitis. tantundecubusona Unitas, octosemidiametrisiilicet a . duodecim
triangulisilicet 3j sse Dramides silicet II . eundem
te, ex Iasemidiametrissilicet 36. exbo.triangulis, Filicet so .ssymao Dramidibus triangulis Filicet goo com hendet ar tantundem Doricaberius A am nitas migistisemidiametri,siilicet σο. triginta trianguli,siilicet ρο duodecim nramides pentagonae, scilicet a7σ eundem numerum 27. contatuunt. D quinto loco semidiametri
Ainguia habentia trianguli singuli . pyramides trianguia singuia 3 . quadratae pentagonae 1 . Unde aggregatis nitate semidiametris, triangulis inramidibus praedicto sub numero sumptis , conibunt selida quinti loci Drumis py octaberiuae ac cubus 3σs Jco-fahedrino Doricahedrus pop. pro to loco semidiameter habent, triangulus Io.8yramis triangula' s. quadrata s. pentagona Ios. Unde aggregatio repetita sciet
midiameter habentis triangulus Is Dramis trianguia VI. quadrata I s. pentagona 8 I. sic ex consueto cumulo
67쪽
summis,Drumis eritiss. Octahedrus, cubus Isos. icosa hedrm,s, doricaberius ars. Pro nono loco,semidiameter fortitur'. triangulus 3 lyramis triangula asso quadrata 3- . pentagona 28. ω peracta more consueto congerie, perueniet Dramis a I. Octahedrus scubus a. 61.icosa- herim g dodecaberius σ13 . Pro decimo domi m loco/midiameter habet . triangulus Iog ramis triangula 3σy. quadrat. 86 pentagona σορ. ex quorum positione conm-but summaenramidis quide I ap. Octaberii cubi I Ip. Icosahedriit dodecaberii δsop. deinceps,seruato sem perprscepto,in infinitum inuenietur cubus octaberio, sis dodecuhedrus cosa hedro aequales. suo sic esse, demonstratione postea roborabimus, praemissis necessari, praeambulis.
dox, has quasdam admiratu dignas proprIetates executuri, sicut projundaι, ita maioribus nostris nunquam hactenus animaduersas , quae quid idcirco praelibata sunt a nobiis ingenis Lector, t ei, quae demenstraturi
semur, magis tibi peruia sint,sido olida ipsosque ad
E etiam tertiaculorumpecies, quos mixtos Vperire libuit: eo quo singuli fiant ex mixtione conteraltis cubitri- mutntru sis cubi praecedentis, non alit ri quam quadrati
68쪽
s yrasti mixtione quadrati coPateralis praecedentis primi generis. Sedmagis admiraberis ingeniose Lecto huiusmodi cubo mixtos esse singulos
squalessingulis costateralibus tetrahedris centralibus iamdudum expositis, sicut in e demonstrabia
us. Hi ergo praemgsis, ad Eserum solidorum dif
finitione V Πωmus DIFFINITIONES. Pyramis triangula siue tetrahedrus primigeneris, quae
figura, propter basium conformitatem, inter numerarias,
gulares solidas reponi metetur, conluti in distinitionibus primis Octahedrus primi generis compaginatur e duabus quadrari pyrarni bus primi generis. 1 colla terati, ou praec densi queadmodum quadratus primus inflabatur ex duobus primi. generi Strongulis, collaterasti scilicet praecedenti Cubus mixtus componitur ex duobus cubis primigen ris, scilicet collaterati j cedenti, non allicreantea quadratus centralis conflabatur ex duobus primi generis quadratis.s.collateras j cedenti. Nunc autem diuiniendae sunt solidorum regularium centralium, siue secundi generis structurae sic: Omnis radix propositi loci cum unitate, tria-gulo praecedite primigeneris,pyramideque centrali colla terati, constituere potest numerum solidum, regularem sequentis loci ita scilicet, tradix in numerum solidorum angulorum multiplicetur triangulus in numerum latorum linearum,Pyramis in numerum basium,Tetrahedrum igitur, sue pyrami tam construet unitas centralis, radix quadruplicata, triangulus cxcuplicatus pyramis triangula quadruplicata. Octahedrum autem constituet viii ta centralis, radicis secuplum , trianguli duodecuplum, Pyramidis triangulae octiiplum Hesahedrum siue cu-buni conficiet hitas centralis. radicis octuplum , tririanguli duodecuplum, pyramidis quadrator sex cu plum Icosahedrum conflabit , unitas centrali , radicis dilodecuplum , trianguli trige plum , de pyramidis triangula vige plum . Dodecahedrum tandem con
flabit , unitas radicis vigecuplum , trianguli Trigecuplum , irramidis pentagona duodecuplum Pyramides V 3 enim
69쪽
enim pro cubo quadratae pro dodec. in citro puniagCnare pro caeteris triangulae capienda sunt, quo scilicet ni co poris ipsius basibus consorines.
omnis octahedrus primi generis qualis est Dramidi Itur-drat centra sibi , collaterali. Exempli gratia coctaheEtus quintus , primi generis est. Aio, quod is idem numerus cst. de pyramis quadrata ccntralis quinta Nam per cD 3 μ' i' huius, puram is quadrata quinta conficitur ex dira bus Pyramidibus quadratis primi generis , scilicet quinta de traria, cla per dissinitionem ipsius, de quo loquimur, Gelahedri, talis octahedros quintus componitur ex ijsdem dictis duabus quadratis pyramidibus. Igitur octa hedrus quintus est pyramidi quadrate quintae qualisa 4militer in quo vis alio
C pyx C cmm, tubis, primi generis aequesis est aggregato ex octob p dro primigeneris collaterali, duplo . triangulae pyramidis prae 'CPI 'O uti cedentis Exempli gratia: cubus quintus, scilicet It .a qira rue PI li, est octahedro primi generis quinto. 83.Vna Cum duplo. .i H δ'' pyramidis quartae primi generis, scilicet cum t. Quod scdii. si pyr. . ' ostenditur, per 3 i huius, cubus quintuscqiralis est pyrami- ' λ Go di hexagonat aequiangulae quintae per i aute pyramisi ii xagona quinta ῖquiangula valet aggregatum ex pyramide pyx.Δ pentagona quinta, ex duabus pyramidibus quarti loci.LU dio quadrata ariangula primi generis.Sed, per 3 6 huius, pyra mis pentagona 'aequi ualet aggregato pyramidum' dra-
per disti . Cp V tae quintae, triangulis quarti. Igitur pyramis hς agon si Oct hς ta siue cubus ipsi aequalis valebit aggregatum ex duabus Py3I pyx O- ' ramidibus quadratis quinta quarta in ex duplo pyrami
i dis triangulta quartar.Cumq per dissinitioncm dira praedictae pyramides ouadratae conciant octa hedrum primi gen iis quintu: iam , talis octahedrus quintus cum duplo pFramidis triangula quarta sumptus, adaequabit cubum quin tum qucd erat demonst1anctum in pei inde sicut in quinto, ita in quovis alio loco constabit propositum. PRO Post Tio I9. iomnis impar in quadratum secundae s citet, hoc est, terer i sibi collaterulem multiplicatus,producit gnomoncm collat ratem ex ordine gnomonum ab et t. te cotinuatortim, atq; quadratos ex quadratis primis insedActis n. res per additionem
70쪽
Dece tu. constituentium . Praemilla unitate , quae omnem numeri speciem repraesentat secundus impar est 3 secundus autem quadratus centralis est .ex horum ducto fit I .gnomo secundus quippe quicum unitate facit 16.quadratu scili Deo secundo loco. cet quaternarij.Quod sic ostendo:post unitatem notabo primum duos in tres, in quatuor, in quinque numeros ab uni Ita te per duplam proportionem notatos. Hoc pacto duo pri mi numeri, scilicet t. a. per sextam huius simul conficiunt I. - 4 imparem secundi loci scilicet 3 Extremi autem sequentis . . . ordinis scilicet i. a. .sunt ta& . proximi scilicet quadrati, I. . . . squorum congeries,per 68 huius,est quadratus centralis Geundi loci scilicet s. Itaque demonstrandum est,quod aggre igatum ex uno, a multiplicatum in congeriem ex I. 4. producit gnomonem secundi loci, hoc est differetiam ipsorum L. I 6 qui sunt quadrati quadratorum, primus unitaris,&alter quaternari l. lis enim nomo,scilicet I .appositus unitati, constituit is quadratum quadrati secundie Nam in hisce quatuor numerorum ordinibus, duo primi, scilicet I. a. sunt ditterenti. triani sequentau, scilice l. 2. 4.& rursus hi tres sunt ditterentia quatuor sequentium,scilicet r. 2. . 8.&adhuc hi quatuor sunt differentiae quinque postremorum, scilicet I. 2. 4 8. 6. quandoquidem in numeris continue proportionalibus diuerentiae sunt continue proportionales, irimae disterentiae sint iam unitates, sicut primi ordinum singulorum numeri. Hic est autem procesi sus demonstrationis aggregatum ex uno Q.primi ordinis ductum in unitatem, facit cogeriem c. 2.in tertio ordine. Item aggregatum ex i.&4.primi ordinis ductum in .producit . 8.in tertio ordine, hoc est, I 2. Igitur tale aggregatum ex r. a hoc est 3 ductum in congeriem ex L.& . hoc Pro tertio hea.
est, in s. producet cumulum quatuor numerorum, scilicet I. 2. . 8 Uerum talis cumulus facit comulum disserentia tru quarti ordinis, scilicet ipsoru I. 2 4 8. 16. perinde a. 3facit differentiam extremorum, scilicet r.&I6. hoc cst, . G. Is gnomonem secundi loci praedictum.Quod fuit demon 8. 2.18.17 strandum. Item dico quod tertius impar, scilicet s. ductus i 14.36.s .st.
in tertium quadiatum centralem. f.I3. Producet terti igno-
monem ex praedictis, scilicet G c. qui .s.cum Is coniunctus in cf. facit quadratu nouenatis, qui tertius quadratus est, facit in oqua 81 quadratum ex quadrato tertio in se dicto genitum.