장음표시 사용
271쪽
O Portet autem ut B D hyperboles ABC diameter semper transeat per E ee
trum sectionis, quo secet diametros cylindrorum basis singulas per aequalia per 'primi eonte.ut in s.huius traditum est in formatione figure tam inscriptae, quam circumscriptae.
Notandum etiam , quod sicut in duabus praemissis axis B D secatur in quinque partes aequales,& cylindrus ABC in totidem cylindros aequales: sic cum secandus erit tam axis,quam cylindrus in plures partes, ut eumq; ad demonstrationem opus fuerit, agendum erit in demonstratione per numerum partium assumptum; ut scilicet totidem sint,&cylindri constituentes figuram circumlariptam; qui vero com ponunt figuram inscriptam sint semper unitate pauciores.
Dimidium sphaeroidis plano ad axem recto secti, duplum est coni eamdem basim, eumdemque axem habentis. E Sio sphaeroides solidum A B C D. cuius centrum E, de quo abscindatur portio
ABC plano per centrum E ad axem recto ducto; quae portio per 7.bvius eritia inlidium sphaeroidis; sitque ABCDellipsis insolido facta a plano per axem Aerio. pram si cuius plani cum plano ad axem recto communis disectio sit AC; quae diameter est circuli insolido facti per. 1 7.pramis: Dico itaque, quod portio A B C quae dimidiam Diuiti by Corale
272쪽
mi diuiti est solidi dupla est coni super circulum A C,&axem BE constituti. Pona tur cum cono ABC eamdem basim eumdemque axim habens cylindrus A B C; qui per i s. praemιbi,triplus est ad conum; ponatur, conus Z duplus coni ABC. ItaquGdemonstranuum erit, quod portio sphaeroidis ABC aequalis erit cono Z; erit en iniaconus Z duae tertiae cylindri ABC: si ergo portio ABC aequalis non erit cono Z ; sit primum eo maior aliquo excessu; sectaque BE in partes aequales in punctis F, G, H, diuisoque cylindro ABC m totidem cylindros aequales per 8. huius, ct nona coroll. fiat figura inlcripta portioni; ita ut portio addat super figuram inscriptam minus dicto excelli: eritque maior figura inscripta,quam conus Z: post haec exponantur in lon gum continuatae lineae tot,quot sunt partes ipsius B E, & lingulae ipsi B E aequales, is per quas constituamur quadrata singula Κ, IM,N O, Pinua quibus, primo excepto, auseramur qua ta per ordinem M, Q, quae sat per ordinem a lineis EF, EG,EH: diuitis videlicet singulis quad
rum magnorum lateribus in partes aequales magnitudinG, re numero partibus ipsis lineae B E. unde ficiter .secundi Euis etiri vi gnomones relicti I,N,Psint per ordine aequales rect
lis B F D, B G D, B H D singuli
singulis r utque quad tum Κsit ipsum rect -lum BED. Uerum per a l. primi conte. Eumenrdicta redh la B ED, BFD. B G D. B H D, sunt proportio. nalia quad iis linearum Aricaeterarumq; a punctis F, G,H, ad peripheriam ellipsis ordinatarum qua ta vero proportionalia circulis, quorum ordinatae sunt semidiametri; circuli vero quoniam bases sunt cylindrorum aequos axes habentium proportionales cylindrifrigitur,decilindri quatuor ut liniae, cuius basis semidiameter est A E; & emeri, quorum basium semidiametri sunt caeterae tres ordinatae sunt proportionales quad to Κ,& tribus gnominibus I,N, P, unde sequit tur ex 2. praemisi, ut quadruplum cylindri AH C hoc est totalis cylindrus ABC ad aggregatum trium cylindrorum e m- ponentium figuram inscriptam portioni ABC, sit sicut quadruplum quad ii K ad aggregatum trium gnomonum I,N.Pi sed per 8. libelli aggregatum quadrum Κ,M,O,Q est plusquam tertia pars quadrupli quad- ti x; atque ideo relictui de quadruplo hoc est aggregatum gnomonum I,N, P minus quam duae tertiae dicti quadrupli. igitur,& figura inscripta portioni minor erit quam duae tertiae cylindri ABC; & perinde minor cono Z. fuerat vero maior, quia est absurdum. non est ergo maior portio A B C cono Z.
273쪽
Sit autem post liaec minor: & tunc per eadem , quae prius fiat figura eircumscripta portioni A B C; itaui figura minus excedat portionem,quam conus Z: & proinde coinnus Z sit maior, quam figura circumscripta. tunc autem rursus per eadem sequetur vi quadruplum cylindri A H C, hoc est totus cylindrus A B C ad aggregatum quatuor cylindrorum componentium figuram circumscriptam sit sicut quadruplum: quad ii K ad aggregatum ex quad-tO Κ,& tribus gnomonibus I, N, P. sed per 8.libem de pisaltari aggregatum quad-rum M, O, Q, est minus, quam tertia pars quadrupli quad ii K ; atque ideo rel.ctum de quadruplo scilicet Κ, I,N, P,plus erit,quam duae tertiae dicti quadrupli. igitur & figura circumscripta portioni plus erit, quas . duae tertiae eylindri A B C; & perinde maior cono Z: fuerat vero minor. quod est absurdu . non est ergo minor portio ABC cono Z , sed nec maior fuit . erit ergo aequariis; sicut proponitur demonstrandum.
Quod si sphaeroides plano per centrum ad axem obliquo secetur ; sim, liter ipsum figurae dimidium duplum esse probatur coni super
. t eamdem basim,eumdemque axem constituti. Non alium hic expectes, quam in praemisissa, processum ac demonstrationem; hoe excepto quod plana sphaeroides figuram secantia hic obliqua supponuntur ad axem, δε-ciuntque per a s. se a I pracedentis, solidum secando similes ellipses: quare conus A B C. cylindrus ABC cum caeteris partialibus cylin-idris habebunt probasibus ellipses similes. sunt tamen per I l.o I 3. pramsi conorum,& cyli drorum circulares bases habentium segmenta. cumque per aq. ct i s. talia coni, &cylindrorum segmenta seruent basium proportionem, ut pute aequales axeS habentia: quare per eademedia,quibus in praemissa, usi sumus, posito cono Z duplo ad conum ABC demonstrabimus portionem AB Cnec maiorem, nec minorem esse cono Z; & perinde aequalem.
OPortet autem ut BED diameter ellipsis semper incedat per centrum utqueia Α E C,caeterςque aequidistantes sint ordinatae ad talem diametrum,ab ea Videlicet per medium singulae secandae per r. primi conis: elemenin quod di in s. huius cautum est in formatione figurae tam inscriptae,quam circumscriptae.
N Otandum etiam,quod sicut in duabus praecedetibus semidiameter E B in quinque partes,& cylindrus Α Β C in totidem cylindros aequales secatur, sic cum . tam semidiameter,quam cylindrus secandus erit in plures partes,utcumq; ad demo
274쪽
si rationem opus fuerit ; agendum erit in demonstratione per numerum assumptum rvt scilicet fiat cylindri constituentes figuram circumscriptam: cylindri vero componentes figuram inscriptam semper si ut unitate pauciores.
Omnis portio minor, quam dimidia sphaeroidis figurae plano ad axem recto sectae ad conum eiusdem basis, axisque, est sicut linea, quae eonstat ex dimidio axis sphaeroidis,& ex axe maioris portionis ad ipsum axem maioris portionis.
Esto sphaeroides solidum ABCD, euius centrum E, de quo abscindatur portio A BC minor dimidia, plano ad axem recto per punctum G ducto;sitq; ABCDellipsis insolido facta plano per axem,perr6. praemis; cuius plani cum plano ad axe recto communis laetio sit A G C, quae diameter est circuli insolido facti, per i 7. ρ .emis; producto autem axe B D ponatur ipsi E D aequalis D F. Dico itaque quod portio solida sphaeroidis ABC ad conum, cuius basis circulus AC, axisque B G est sicut linea FG ad lineam G D: ponatur sicut F G ad G D,sic conus Z ad conum ABC. Et
demonstrandum erit, quod cOnus Zaequauis est portioni sphaeroidis ABC, secus enim, por
tio erit aut maior , aut minor,
cono Z. sit primum maior aliquo excessu,o per 8. coram tum inicribatur figura portioni A B C; ita ut portio adiadat super figura minus dicto exiscessu: & proinde figura inscripta erit maior cono Z. posthaee sit B M tertia pars ipsius BG; cumisque B E sit tertia pars ipsius B F. sequitur ut E M relicta sit, & tertia pars ipsius G F relictae: quare sicut G F, ad E M, sic cylindrus A B C ad eo num A B C: fuit autem sicut D G ad G F, sie iam coisnus A B C ad conum Z. ergo per
inordinatam proportionem aquainti aris, sicut est D G ad E M, se cylindrus A BC ad conuZ: sint . autem partes axis B G iuxta diuisionem cylindri ABC tactae quatuor G L,L K, K M, HB; totidemque lineae exponantur singulae ipsi BG aequales:& super eas singui quad-ta N,OP,QR,ST. & a tribus postremis austrantur per ordinem quad-t P, R,T, quae sunt quad-ta linearum B H,BΚ BL pei ordinem: relictis gnomonibus t quad-tiso P, Q R,SΤ,i: ngulis spatia ipsi' partes I, X,seiunctς accedant quaci iis P,R,Τ; relicta vero gnomonibus Ο, β, az- crescant. unde spatium N V, & gnomones O, , Sisiciam adaucti aequales erunt
275쪽
his re Iis, uidelicet spatium N V rect--lo B G D, gnomon o rect-lo B L D, en mon incct Io BKD, gnomon S rect-lo BHD; quando quidem ipse lineae BFI, B Κ, B L sunt latiuidines gnomonum s, ; sicut eaedem lineae cotratio ordine sumptae fuerunt latera qua rum TR, Pr verum ipsa rect-la BGD, BLD, ΒΚ D. BH D per ordinem lunt proportionalia quad- -tis lin rura A, G,& reliquarum triua pun is L, Κ, G, ad peripheriam ellipsis ordinatarum t. primi estnie. eomentiqua ta autem dueiarum ordinatarum sunt circulis, quorum ipsae sunt diametri proportionalia circuli quoque ipsi cylindris, quorum sunt bases proportionales; quandoquidem aequales sunt cylindrorum axes. igitur & quatuor cylindri, quorum bases
dioi circuli ordinatas pro semidiametris habentes erunt proportionales spatio N V, fmmonibusque o, unde sequitur,ut quadi uplum cylindit A L C, hoc est tot is cylindrus ABC ad cylindros constituentes figuram portioni inscriptam iit sicut quadruplum spatij N V ad aggregatum gnomon'm O, S; cum autem G Esits missis crementi gnomonum in ipatiorum descripti oriet B Maute sit tertia pars ipsius BG, quod est latus quad--ti N maximi in ordine quad--rum P, T, N. iam ter a. -- minstrem rationein habebit quadruplum spatii N V ad a3gregatum spatiotu N V.T Xat Y,P I, quam linea D G ad linoam composita ex G E, d M. quare di eue super s. in furatio es. maior erit ratio qu drupli spatij N V ad aggregatum Smomonum Ο, Q, S, quam lineae D G ad lineam E M suit autem dustum quadruplum ad dictum aggregatum, sicut cylindrus A BC ad figuram inscriptam; sicut autem linea D G ad lineam E M, sie erat cylindrus R B C ad eonum T. ergo maior erit ratio cylindri A B C ad figuram inscriptam, quam eiusdem cylindri A B C ad conum
Z. itaque maior est conus Z, quam figura inscripta . suerat vero minor, quod est a surduivi non est igitur maior portio ABC cono Z. natur deinde minor;& tune per eadem, quae prius quadruplum cylindri ALCtotus inquam cylindrus ABC d aggregatum quatuor cylindorum constituentium figuram circumscriptam portioni min6rem cono Z; per c adem,quae prius fabricatam,
, J cerimu is ui ratio Quadrupli spatij NV ad aggregatum spatiorum T X, R TPI, maior est,quam h DG ad linem compositam ex GE, AM igitur eversim per s. additorum in quiato rata minor erit ratio quadrupli spatij N V ad aggregatum N V, O, Q, S gnomonum, quam lineae D, G ad lineam E Μi fuit autem dictum qua-dtoplum ad dictuin Us egatum, sicut cylindrus A B C ad figuram circumscript in. sicut autem linea D G ad lineam E M, sic cylindrus A B C ad conum Z. ergo minor erit ratio cylindri ABC ad figuram circvinscriptam, quam eiusdem cylindri ABC
ad consim t; itaque minor erit conus Zi quam figura circumscripta e fuerat vero maior, quod est absurdum. non est ergo minor portio ABC cono Z, sed nec maior ego potuit i aequalis ergo erit, quod suit demonstradqm.
c uod si sphaeroidas plano ad axem obliquo secetur, portio abscissa minor dimidio figurae ad eonum eiusdam basis. axis γε di rum
quoque rationitin habere probatur.
V re hic descriptione, α argumentatione praecedentis; plana tamen figuram sphaeroidem secantia hic obliqua simi ad axem unde per 7.'Medentis solidum secando similes ellipses efficiet, quare conus,& cylindri habebunt pro base s ellipses similes, cqni tamen, & cylindrorum circularium sunt frustraper ar .ct i 3.
276쪽
ramissi eumque per i .cF is.' - , tali coni, cylindrorum frustra seruent regiularium codorum, cylindrorum proportionem: iam per eadem medici tui busta praemula demonstrabimus, iisdem omnibus suppositis conum L aequalem esse portioni ABC. id quoa demonstrandum PrUPPultur.
OPortet autem νt BED ellipsis diameter seinpedeat per centrum utque AG C, ceteraeqM atq*bo .uaiues Ordinatae sint ad talem diam exruin ab ea singula per medium secent ter T. 1mι conIc. vcr horum disposui a pertinet vis 8.c s. huiuου, o lue co-royarium ; ad quas pertinet resula Lbricandi tigurasini riptasi & circinuscriptas portionibus conoidalibus.
sub dicta conditione : Runcrgo erat hic repeton aqua, quod illic traditetri
Ninandam etiam, quod sicut hic, dc in praemissa secatur axis B G in quatitor par
tes,& cylindrux A B C in totidem cylindros aequales sic tam axis, quamcylm-uius pluries erit secandus, iuxta necessitatem, demonstrantis; agendum erit in demondrando per numerum assumptum, ut totidem sint cylindri componentesngur mcircumscalptana, componetrica vero inscriptam unitate Pauciores
Sphaeroides figura dupla est ad eorum, qui eumdem cum figura axem, ac basim circulum , siue ellipsim per solidi centrum adaxim ordinatam babet. ESto sphaeroides solidum , cuius per axem facta elliesis A B C in centrum E, axis
BD, planum quoddam per centrum rectum ad cuipiim ABC secet figuram sphaeroidem irae rediit in ad axem, siue obliquum cuius plani cum plano per axem communis scelso sit linea AEC, recta quidem axi B D, vel Obliqua. utrobiq; tamen ordinata ad ipse in axem. Unde in primo cψsu BD erit axis praecipua ellipsis, a qua super ipsum axim circumlata forinmatur solidum. In secundo vero casu B D erit dia- metvr ex generatione, ad quam ordinatur A C secuiv δε dudiametros, eiusque aequidistantes. Itaque A Cinis . primo casu erit diameter cliculi a plano per centrum 1acti per i .praemisit: in secundo autem casu AC erit diameter factae a dicto per centrum pl. mo ellipseos, ras. ja7.ρν.emss. Dico igitur quod lphaeroides
solidum A BCia duplum est coni habentis axem B D, ba que circulum , siue lactionem A C. Nam dimi, dium
277쪽
dium sphaeroidis A BC duplum est coni habentis axim BE, basimque cireulum AC re 1 . hisint hasiin vero ellipsim A C per 39. huius, ergo totum spharroides quadruplum diciti conii cumq; dictus conus sit dimidium coni liabentis axem B D. basimque eirculum, siue sectionem A C ; eritiana spliaeroides duplum coni habentis axem B l ,
basimqtie A C. quod est propositum.
NUne agendum est de comparatione sphaerae, ac spiraeroidum inter se solidorirm, qui locus ab Archimede omissus est. deinde facilius ad id, ouod deinc piis.m-ἀum superest , veniemus
sphaera. & sphaeroides, siue duae sphaeroides figurae communem axem habentes, sunt quadratis reliquarum dia metrorum proportionatos
S It circulus A BCD, siue ellipsis, cuius centrum E; sit item circa cum te maxima centrumque alia ellipsis DF BG. ac manente immoto axi B D circuli quidelia reuolutione sphaera tellipsium veris circumlatione sphaeroides sicurae describantur 'fintque secundae diametri ad rectosaxi ipsae AC, FG. Dico itaque, quod si haera, siue sphaeroides ABC, ad sphaeroidem figuram FB Gest sicut quad tum AC ad ipsum F G quad- tum. nam por aismo Data dos bara, ct e Iinaiso, atque per νracedonum , sphaera , siue sphaeroides A BC dupla est ad conum , cuius axis B D , basiisque eirculus A C, rectus avi B Di sphaeroides qRoque FB G duplum est ad conum, cuius axis BD, basisque circulus FGauit ei M. igitur sphaera A B C, siue sphaeroides ad sphaeroidem F B G est sicut conus, cuius basis A C ad co-nu,cuius basis FG, quorum altitudo c5munis BD Sed conus ille ad hunc fler i premi ,
est sicui basis ad basim; & ideo sicut qua t uA C ad ipsum quad tum F G quandoquidem circuli sunt quad- tis diamentrorum proportionales. igitur & sicut qua-tusa AC ad quad-- tum FG, sic sphaera suo sphaeroides A B C ad sph*roidem figuram F B G. quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XXI R. Sphaerae, M sphaeroidis, sue duarum sphaeroidum figularum
ratio componitur ex rationibus axium, & quadratorum, quae ex secundis diametris. NAmque spliaera, & spla aeroides, siae duae sphaeroides sunt eonis suis praedicto mo
278쪽
ςή diametris basiuini ergo, & suhaerae, & sphaeroidis, siue duarum sphaeroidum ratio Coinpotritur ex ijsdem: com munes enim sunt tam axes, quam basiunt diametri conis. atque lariS.
e si sphaera, ct sphaeroides, siue duae sphaeroides Durae habeant secundas
diametros aequales, erunt ad inuicem, sicut arces.
Vod si qua ' i a secundarum diametrorum sint axibus reciproca ; figurae ipse solidae ad inuicem aequales erunt.
Si sphata, δἰ sphaeroides, siue duae sphaeroides figurae communem haben.
tcs axem plano secentur ad axem lecto; portiones unius erunt pollionibus alterius figurae proportionales. Sit sphaera δε B C D, siue sphaeroides; sit enim altera sphaeroides F B G D, quarum
a1 is communis BD, centrumque Ela circillo &ellipsi,siue ab ellipsibus e:uidem circa dictum axem descriptae; quae secentur plano ad axem rector cuius cum cli ipsibus per axcm communis scctio sit linea H ML NK: ita ut factorum in solidis peν i . praemissi, circulorum diametri sint ΗΚ, MN in cadcin linea. Demonstrandum eli, quod abscissae solidolum portiones ΗΒΚ, H DK sunt portionibus MDN, MD Nproportionales hoc modo. Sint circuli,de ellipsis siue duarum ellipsium solidas figuras describentium secundae diametri AC, FGrintelligantur de coni H ΒΚ, M BN eo minunc in axem LL, basesque circulos sortiti, quorum diametri H Κ, M N cum itaquepercoroldpr. 3 i. libri δε tara, G cylindro, o riper a C. hu:- , portito HBKr itemque portio M B N ad conum M B N st, sicut linea coΩ polita ex E D , D L, ad lineam D L; quae est a x s rebetae maioris portionis in utroques
sido; erit permutatim portio I IBK ad portionem M B N sicut conus H RIc ad conum M B Ni sed conus H B Κ ad conum M B N sicut basis ad basim, & ideo sicut quali tum H L ad quad- tum M L; proindequePer a I. primi conιeorum, sicut quad-tum A E ad quail tum FE hoc est sicut quad tum A C ad quad tum FG. quarepeν sie solidum ABCD ad solidum FB GD. i itur sicut solidum ABCD ad solidum F BGD totum ad totum, sicut portio HBR ad portionem M BN abscissa ad abscissam: Ergo per i 9. qMnti Eucl. erit & portio I DK ad porti onem V D N, reliqua ad reliqtiam, sicut solidum A n CD totum ad solidum F BGD totum ;& sicut portio H BK ad portionem MD N abscissa ad abscissam. & permutatim portio HBK ad portioneni H D K sicut portio M B N ad portionem M D N, quod est propositum. PRO-
279쪽
pmnis portio sphaeroidis maior, quam dimidia plano quidem ad axem recto abscissa ad conum eiusdem basis, axisque est sicut linea, quae eonstat ex dimidio axis sphaeroidis, & ex axe minoria porttionis ad ipsum axim minoris portionis. IN deseriptione praecedentis, ostendendum est, quod portio spli arroidis M D N adeonum M D N, cuius axis D L, qui, & portionis, di basis circulus, cuius diameter ΜN; est scut linea composita ex E B,& BL ad lineam BL , quae axis est portionis M B N. namque terroreε r. 3I. despbara ,σ0 dro portio si ,haerica H D K ad c num M D K est sicut linea composita ex E B.& B L ad lineam BLiconus aute H D K ad conum MDN sicut quad tum H Lad quae- una MLr dc ideo perar. Imrco a icorum, seut quad tum AE ad quae tum FE,laoc est sicut quad tum AC ad quaῆ-um FG. qua reperaῖ. huius, scut sparra A BCD ad sphaeroid in Flue GD
di ideirco per pomissem, sicut portio sphaerica H D K ad portioue sphaeroidis M D N. igitur permutatim, portio sphaerica H D Κ iid conum H D Κ sicut portio sphaeroidis M D N ad conum M D N suit autem portici spl)aerica H D Κ ad conum H D Κ, sic ut linea EB. BL ad lineam BLr ergo &sicut linea E B, BL ad lineain B L, lic portio sphaeroidis Μ D N ad eonum M D N. quod fuit ostendendum.
Nota quod praesentis propositionis demonstratio posita suit ab Archimede adeo perplexa.&obscura, ut perspicacissinis etiam ingenijs multo plus asserat fastidi; , quam delectationis. uos autem usi medio libelli de sphaera, & cylindro, multo miliori via idipsum demonstramus.
Si circulus, & ellipsis, siue duae ellipses positae sint inter lineas aequiuislantes: erunt ad inuleem sicut earum diametri, quae lineis dictis aequidistane. SIt circulus, siue ellipss
item ellipsis F G Η Κ, c ius centrum Lr positae inter lineas aequi distantes BG, D K, quae tangant ellipses in iras B, G, D, ic, pumstis; quo fit ut lineae E D, G K, quae
tactuum puncta coniungunt eant νer sectionum centra E, ex ε. o a .secundi e
nis. Apollo viqi A E C, F L Hiisgentibus squidi states sint te
280쪽
ter 7.cr r ad diametros BD, GK;&perinde secundae diametri . I earum paralleli ordinate ad easdem diametros B D , G Κ. Itaque demonstrandum est, quod sectio ABCD ad sectionem FGH Κ est sicut diameter AC ad diametrum FH; sit en .m sicut linea AC ad lineam FH , sic sectio Ad CD ad Gre tum M. Itaque ostendendum est, quod circulus Maequalis erit sectioni FGHK; secus enim sit circulus M maior ellipsi F G Η Κ ; dc inscribatur circulo M multiangiala figura maior ellipsi FGHK, & totidem laterum fi ura inscribatur tam sectioni ABC D, qtam fecitioni FGH Κ, ductis atquidistantibus. quae secent diametros BD, G Κ, sicut a quidistantes ab angulo ad angulum secant diametrum circuli Me critque figura A B C D ad figuram F G H Κ sicut linea A C ad Iineam F H. quoniam se ilicet trapetia finiuntur basibus superis, & inseris proportionalibus; eρ a s. rimi b&ideo sunt lineis correlativis proportionales , unde trapetia adlucta ad trapetia, hac est figura ad figuram est sicut linea ad sibi corresatium lineam. igitur sicut figura A BCD adfiguram FGH Κ, sic erit sectio ABCD ad circulum ra; sed scinio ABCD ad circulum M, est sicut figura A B C D ad figuram in 'ο -
sto primu , quod sectio A BC D sit circulus. ergo sicut Io C
M, sic figura ABCD ad si guram FGHK. aequalis est ergo figura FGHΚ figurae M. quare figura M minor e rit ellipsi F G H Κ ; fuerat vero maior, quod est absurdu. Non est igitur circulus Mmaior Ellipsi F G H Κ. Sit deinde minor;& tuc inscribatur ellipsi FGHΚ multiangula figura FG HK maior circulo M &inter easdemmiuidistantes figura totidem laterum inscribatur lectioni A B C quae primum circulus supponatur ese & ei similis inscribatur circulo M. eritque rursus figura ABC D ad figuram FGH Κ, sicut line
A C ad lineam F PI, sed se dudum fuerat sectio A a C D ad circulum M. atque sic e stfigura A B C D ad figuram M. igitur figura A B C D ad figuram Μ, sicut figura A BCD ad figuram FGH Κοῦ aequalis ergo est figura FGHΚ fipurae M. quare circulus Μ maior quam ellipsis F G H; fuerat autem minor: quod est absurium non est itaq; cireulus minor ellipsi F G H Κ ; sed nec maior fuit. arvalla ergo erit quod fuit d
Supponatur nune elli messe ABCDi&id idem demonstrabinu. ponatur en inter cauem aequidistantes circulus R S dc eodem modo demonstrabimus, quod eblipsis A BCD ad circulum RS erit sicut linea AC ad diametrum RS, quodqud cit culus R S ad ellipfim F G H Κ erit sicut diameter R S ad lineam F H unde ex aequali ordinata concludemus, ellipsim ABCD ad ellipsim FG ΗΚ esse sicut linea AC ad lineam FH. quod est propositum,