장음표시 사용
241쪽
DE CONOIDIAN, ET SPHAEROIDIBUS FIG.
dratum A F ; fuit autem sicut M ad N, si qua . tum A K ad qua tum A F. eamdem igitustrationem habent duoqua ta ΑΚ,&GHadid equa tum A F; quare ipsa qua ta ΑΚ, GH aequalia: & ideo ipsae lineae A Κ, G H aequales; Verum per hypothesim lineae BG, DF aequa-Ies, ergo rec tum B G, G H aequale est re lo D F. A Κ, sed rec tum BG, G H aequale est trian lo C B H, & re tum D F, A K aequale est trian lo A D E. igitur trian tum A D Eaequale est trian- loC B H; unaquaeque autem portio parabole ad trian tum eamdem basim, eumdemque verticem habens sexquitertia est, mi in LibeIis de Quadratura Parabolae,Ostensum:& spatia sesquitertia aequalium spatiorum sunt inter se equalia. igitur portio A B E aequalis est portioni C B H, quod supererat demonstrandum.
Duae portiones parabolae, quarum diametri aequales; sunt inter se aequales. 3NAM unaquaeque talium portionum aequalis est portioni eius
dem parabolae ad axem aequalem diametro per ordinatam ad rectos axi receptiae: dc ideo tales portiones sunt inter se aequalet.
Ellipsis ad circulum super maiorem suam diametrunt descriptum est sicut minor diameter
ad maiorem. ιELlipsis esto ABCD super cuius maiaiorem diametrum A C. descriptus sit circulus E F. Dico iam quod area ellipsis B D ad aream circuli E F est sicut B D minor ellipsis diameter ad E F cireuli diametrum . Sit enim sicut lima B D ad lineam EF, sic circulus Gad circulum EF erit circnius G aequalis eIlipsi B D. secus enim sit circulus G maior, quam ellipsis B D. Brinscribatur circulo G multiangula figura 'maior illipsi BD; diei similis inscribatur circulo E F. &ductis aequidistantibus ipsi E F, ductisque inter eas chordis in B D ellipsi figura totidem laterum describatur eritque figura BD ad figuram E F sicut
242쪽
mpetia finiuntur basibus superis, & inseris proportionalibus et & perinde lubenti mearum correlativarum proportionem ;ddideo cuncta traperia ad cuncta trapezia, hoc est figura ad siguram, sicut tota linea ad totam lurcam: igitur sicut figura BD ad figuram Es , sic circulus G ad circulum
E F, & sicut figura G ad figuram EF; ergo sicut figura G ad figuram EF, sic figulae BD ad figuram EF: itaque aequalis ea figura G figurae B D ; & ideo figura G est minor ellipii Bla ; sint autem maior, quod est absurdum. Non est ergo circulus G maiorellipsi B D. Sit deinde minor circulus G. quam ellipsis BD: & inscribatur ellipsi BD multiangula figura BD mainr eimculo G:& inter easdem aequid istantes figura totidem laterum inscribatur circulo E R&ci similis circulo C; eritque rursum figura E F ad figuram B D. sicat linea E F ad lineam Bla: sed sic suit iam priuet circulus EF ad circulum G atque sic est ipsa figura . E P ad figuram G. igitur figura E F ad fiet, ram G ult sicut figura E F ad figuram B D. quare figura G aequalis figurae BD,&per iii iesigura BD minor circulo G, fuitque maior, quod est absurdum. Non est igitur mitior Crculus G ellipsi B D, sed nee maior sui te super est ergo, ut sit aequalis: sicut fuerat demonstrandum
PROPOS 1ΥIO UIII, Ellipsis ad circulum est sicut rectangulum sub ellipsis diametris
contentum ad quadratum, quod ex diametro circuli. ELlipssesto A BC D, cuius maior diameter AC.
minor aulcm BD , circulus vero quilibet EF calus diameter E F. Dico quod area ellipsis BD ad circulum E Fest sicut rec lum AC, B D ad qua tum E F. descibatur enim circulus super maiorem diametrum A C; eritque per ρνacedexum, ellipsis B D ad circulum A C, sicut linea B D ad lineam A C, sed circulus A C; ad circulum E F, sicut qua tum AC ad qua--tum E F: igitur ratio ellipsis BD ad circulum EF coponetur ex ratione ipsius BD ad AC, & ex dupla ra- . tione AC ad E F; quare componetur ex ratione BD ad ERila ex ratione AC ad EF:Sed ratiore li AC, BD ad qua tum E F componitur ex iisdem. ergo ra- c tio ellipsis BD ad circulum EF est sicut ratio recton-
243쪽
Nde si eireuli diameter sit inter ellipsis diametrosmedia proportionalis; et rculus aequalis est ellipsi.
Ellipsum areae sunt ad inuicem, sicut rectangula, quae sub earum diametris compraehenduntur. SVoto duae quaelibet ellipses A,&B; sub ipsius A diametris contentum re tui sit C D. & sub ipsus B idiametris sit E F. Dico iam quod area ellipsis A ad ream ellipsis B est sicut rec--lum CD adrec Ium EF. exponatur enim circulus quic sique G, ex cuius di metro qua- tum sit Hia eritque ρer pracedentem , ellipsis A ad circulum G sicut rec tum C D ad qua tum H K: itemque circulus
G ad ellipsim B sicut qua tum HK adree-lum EF. Igilii, ta aequali erit iam ellipsis A ad ellipsim di sicut rec-lum CD ad rec tum E F. quod erat demonstrandum.
Anifestum est ergo, quod similes ellipses sunt ad inuicem sicut re o num
ELlipses autem, quarum diametri fuerint in proportione reciprora erunt ad inviceaequales. quandoquidem huiusviodi ellipsium rec--la sub singularum diametris comprenensa aequalia sunt.
ΙTem ellipses, quarum una diametet unius via diametro alterius fueris minalis sunt ad inuicem sicut reliquae diametri: quoniam,& iisdem proportue D suiu in lipsium re Mi atque de ellipsi,&eirculo dicendum.
244쪽
as Proposita ellipsi, ac ex eius centro super diametrum maiorem perpendiculari excitata: conus aliquis erit verticem habens terminum excitatae, & ellipsim talem in superficie conica suscipiens.
ELlipsis esto cuius minor diameter A B, centrum C, excitata perpendiculariter ad N O diametrum maiore sit C D: Aio iam quod conos aliquis est habens verticem puta tum D .dc suspiciens in eo-nica superficie ellipsim A B.co- iungantur enim A D, D B, & . t .. producta B A ponatur diametro maiori aequat s B E: Item producatur in indefinitum .
DAG.&ipsi DB aequid istasA Fi Demum super centro B ad spatium B E circuli peripheria cle scribatur , quae iam secabit ipsas AF, AG unde possibilo erit ducure lineam a puncto Bita secans productis in punctis GF. G, peripheriam vero in puncto PI, ut ipsa B FI hoc est ipsc BE diametros seeunda ellipsis sit media proportionalis inter ipsas AF, BG: ducatur ergo B G, super qua diametro ctrculus Intelligatur eui rectum instet triangulum B D G, &conus basim habens talem circulum,& verticem punctum D. talis ergo conus per 3 . sexta eo cr/am ιι adaltu, plano propositae ellipsi recto,scilicet ad triangulum BD G. existente communi lectione linea A B ellipsim facti in conica superficie, cuius prima diametros A B, secunda vero diametros aequalis lineae AH; siue BE. hoc cit ipsam
eamdem ellipsim propost ais, quoa possibile esse praediximus.
Quod sit excitata si super diametrum minorem perpendictitaris; idem postibile esse demonstrabitur.
Rursum ellipsis esto, cuius diameter maior A R; minor autem DF Ei linea FC.
perpendicii laris ad DF E. non autem ad AB. Aio rursum quod conus aliquis eii liabens verticem C, atque suscipiens insuperficie conica ellipsim A D BE. producantur , fiantque aequales lineae C AG, C Bi&coniuncta. BG sit ei perpendicularisCH.de erecta suer planum G Κ B cui plano occurrant producte CD L, CE Κ, CF M. coltitutae iam in uno plano dc coniuneatur puncta L, M, Κ, qtiae sunt in una recta; dc sicut est rec-lum B M Gadre tum B HG sic sit qua tum M K ad qua tum H cui aequalis annecitatur Hor&circa diametros BG NHO deducatur circulus quidem, si ipsae BG, NHOsint aequales: ellipsis vero si inaequales qui circulus siue ellipsis omnino ibit per puncta Κ. l. propter dictam rec Orum proportionem. Itemqu si circulus sit G Κ B ecce iam conus, cuius basis circulus G K B vertex vero punctum
245쪽
conica talis coni. Si autem 't. l. t. s. .
quoniam videlicet,&in eius . .. coni superficie consistunt ex- . . trema diametroru A B, D E. N ti i& hoc ipsum possibile iam is : Κ i Niare proposuimus.
Proposita ellipsi, ac ex eius centro super diametrum maiorem perpendiculari excitata, cylindrus aliquis erit habens pro axi excitatam, S ellipsim ipsam in superficie cylindrica suseipiens.
SIt ellipsis, cuius minor diameter A B, centrum C, excitata C D Κ, perpendicularis ad maiorem diametrum LM. cui aequalis ponatur BE. Aio iam quod cylindrus aliquis est axem habens C D, & suscipiens in cylindricam superficiem propositam ellipsim ALBM. ducatur enim ipsi uti in C D Κ atquidistans F A G eui apud F occurrat circuli peri- u L .pheria EF super centrum Bad spatium B Edescripta, dico ipleatur parallelogrammum B FGN:&super diametrum BF lire circulus intelligatur; eique aequidistans,& aequalis circulus super centrum D, ac semidiametrum D quibus quidem eirculis erectum instet parallelogrammum B F G N. Demum eΡlindrus fabricetur habens pro basibus huiusmodi circulos, axemque C DK lineam per ipsa circulorum centra euntem: Nam talis cylindrus sectus plano propofita ellipsis A L B M recto ad parallelogrammum B FG N,existente communi secti ne linea A B ellipsim laetet in cylindrica superfici eper i 3. I iapram. Serent; cuius prima diametros A B, secunda vero diam ter L M aequalis cylindricae basis diametro sibi aequi distanti HI, hoc est B E, seu ipsam eamdem ellipsimpropositam quod possibile futurum diximus.
246쪽
ARCHIM. EX MAUROLICO PROPOSITIO XIII.
Quod si excitata sit super diametrum minorem perpendiculuris nihilominus idem possibile te ostendetur.
RVrsu in sitellipsis cuius diameter maior A B. minor C B p, sele in Ecentro secantes , excitata aute E D, perpendicularis sit ad C E F, non aurem ad AB. Aio rur- luna quod cyli mirus aliquis est habens axem ED, atque lalaipiens in superficie cylindrica cllipsim A II; producatur cnim E D, & per puncta A, B, C, h, ipsi E D aequi distantes, donee , compleamus duo rec-la A M. I K N s inuicem in rectum secantia i Dexiit inte communi lectione linea DEH erecta super A G, ' :L K; e circa diametros A G, Κ L si aequales sunt circulus de- scribatur A Κ G, si inaequales ellipsis A Κ G; si enim ci resiliis sit AK t , tu e cylindrus halxen pro basibus circulum AKG, eique aequalem, & aequi distantem super centro D descriptu:& axem OH luscipit in superficie cylindrica ellipsim AB proposita in : quandoquidem extrema diametrorum AB, C F talis ellipseos sunt in cylindrica superficie. Si vero AKGnon circulus sit, sed ellipsis dape cum H IT excitata petpendicularis sit super diametrum maiorem ellipsis AKG. iam per cylindrus aliquis erit habpos axim. HO, atquGsuscipiens in iusterficiecylindrica et libam K c; & is igitur id lindrus luscjpiet e L politam A R : quialasi 'idelicet iti' ii eadem eylindrica superficie contili di in 'bpolitam in iantur lineae per psinthi, A. B C F ductae.&aii aequid istantes: de perinde in eadem supzi fi te coiiiii: uuiatur extrema diametrorum propositae ellipsis.
Notandum quod praemissae quatuor propositiones,quae ab Archymede obscuriis.
mor ac difficili prooelia tradunt ui , hie thulto apertius demonstrantur; atque Idalix illo conicorum, ac Ithdricorum eleinencorum, quae ab Apollonio, & Sereno post Archimedem. coplonus tradita sunt.
COnoruin ratio componitur ex basi uni inter se, & altitudinum inter rationibus, unde coni eiusde in altitudinis sunt ad inuicem, sicut bases: & coni quotum bases aequales, sunt ad inuicem, sicut altitudines; item coni quorum altitudines sunt basibus reciprocae, sunt inter se aequale S.
x i' bb. o. Element. Evetita. demonstrata sunt, non sunt hie repetenda. immo eadcin vera sunt de conis super ellipticas bases constitutis. nam de huiuimodiconis eodem penitus modo demonstrantur, quandoquidem tales conixo. 9 I I. praecedentes, sunt segmenta conorum circularcs bases habentium. pRO-
247쪽
DE CONOIDIBUS, ET SPHAERCUDIBUS FIG. Lar PROPOSITIO XV.
Cylindrus triplus est coni basim eamdem,& idem fastigium habentis.
ID enim duodec. Eumeniarum ab Euclide, ostensum est, & eadem via ostenditur de cylindris, conisque super pilipses coestitutis, cum per Ira. o II. 8racedentes, testes coni sim frusta conorum circulares bases habent um:&tales cylindri pem. 9 13. pramos, sint cylindrorum circulares bases habenti uin frustar quamquam ellipticos nos, dc cylinuros esse frustra, siue abscissiones conorum. & cylindrorum circularium demonstrare n*n erat necessarium ad huius et s.& t . demonstrationes, nisi vel hoc ipsum dumtaxat, ut sciret lector, huiusmodi ellipticos conos, & cylindros non esse iam noua solida, quod quispiam sibi persuadere potuillat, ac certa demonstrati ne monitus intelligeret, ea esse membra conorum & cylindrorum super circulares bases constitutorum, & ab Apollonio, & Sereno diffinitorum.
Si solidum conoides, siue illud sit parabolicum, siue hy perbolicum, siue cilipticum, plano per axem ducto secetur ; sectio facta erit ipsa adem plana figura, hoc est ipsa conica, parabole scilicet, hyperbole, siue ellipsis, quae axe stante , circumlata solidum ipsum describit. E sto solidum conoides siue a parabola, siue hyperbola, siue ellipsi A BC, circum axem BD immotum semes cuicumacta descriptum ; quod secetur pland altero per axem B D ducto; sitq; facta lectio E BRAio quod sectio EBF citi piamet, hoc est aequalis, &sinitis ipsi ABC lectioni solidum ipsum describenti. parabole. scilicet hyperbole, vel e Ilipsi: patet. nam cum tam B E F, quam ABC sectio existat in superficie solidi eumdemque axem B D habeat, iam inreu lutione huiusmodi lectionum altera congruit, & cou-nstur alteri, ita ut una eademque fiant.
Si solidum conoides, quodcumque sit ex tribus m aedictis, plano secetur
super axem erecto; sectio circulus erit centrum habens in axe. E sto solidum, conoides, quod libet ex tribus mem
ratis ABC, cuius axis BD, quod secetur planori Q C, cui perpendicularis sit B D, sitque facta sectio AEC. Aio quod AEC sectio circulus est. Nam cum . solidum A B C describatur per des ait onem, a figura ABC super axem BD fixum circumlata; iam in tali reis uolutione, linea D C termino D stante, circumferetur, mensurabitque lineas omnes a puncto D in plano seca-
248쪽
te ad superficiem vique solidi eductas: omnes ergo lineae a pu iacto D in plano dicto ad periphcciam A EC deductae, ut puta D A, D E aequales erunt ipsi DC: itaque per de Donem, si gura A EC circulus erit.
Si conoides parabolicum plano secetur ad aequi distantiam' ' axis ducto; sectio facta parabole est.
Solidum Conoides esto deseriptum a parab*la ABC circum axem BDeitcuindueta; iitque axi I B E recta aequidistans F G, super quamerigatur planum erectum super planum parabole ABC, &secans solidum. Aio quod facta sectio parabolo
eri , ciuus axis F G. ducatur enim F E tangens parabolam ABC apud F; ductaequia occurrat Bri tausens parabolam apud B verticem; sumantur, dc in linea F G, ut eum' que relicta puneta G , Κ, per quae ducantur ipsi FE tangenti aequi distantes LGM. NKO, eruntque per 6. primi cole. element. ipsae LGM, NKO ordinat ad diametrum FG, quae per aeqhialtasecabuntur apud G, punct/: eritque sicut GF apud F K. sic qua - tum L G ad qua tum N Κ: ducantur itaque per puncta G, K plana secan- ir' i lib. i it tia solivum, erectaque super B D axemia, Equoruni communes sectiones cum para- hola ABC sint lineae AC, ΡQ; eruntque per stramssam, talium planorum sectiones , Xan ι pio solido circuli, quoru diametri AC, i λP conamunes autem sectiones eorum dem planorum cum plano erecto ad linei i :F G sint Iineae G R, Κ S; itaque sectio facta in lolido per planum erectum ad linea FG ibit per puncta F, S, R:& circuli quo- .rum diametri A C, PQ ibunt per puncta . S,R ; Demonstrandum igitur est quod
F S R peripheria est parabolae, hoc pacto. Cum AC, P equid iste iri ipsi BH tangenti, & L M,N O aequid istent ipsi F E tan
cui qua tu B H, ad qua tum H F. sic rec lum P G, G dioe est qua tum G R ad Qua tum LG;&sic etiam rec-lum AK, KC, hoc est qua tum K Sadoua tum N K; & permutatim sicut qua. -tum G R ad qua tum K b sic quatum L G ad qua uN Κ; fuit autem sicut qua tum L G ad quatum N Κ, sie lain G F ad F K. ergo & licui GF ad FK. sic qua tum G R ad qua tum KS; quare parabole est FS R. soli enim parabolae inest ea conditio; eiusque axis est F G. propterea quod plana cono idem 'cantia per Κ s,& G R ducta perpendicularia sunt ad planum A B C , & ide' Κ b, ta recreeta sunt ad tuem planum A B C, & ideo ad diametrum F Κ G existente in eodem
plano, quod erat demonstrandum. .
249쪽
DE CONOIDIBUS, ET SPHAEROIDIBVs FIG. 1; PROPOSITIO XIX.
Quibus demonstciatis ostendendum est,quod recta diameter, ad qua possunt ordinatae in parabola R S F ad diametrum F G,est & ipsa recta diameter ad quam possimi ordinatae ad axem B D; hoc modo.
Sit linea T ad quam possunt ordinatae ad axem B D recta diametros; item recta dia iametros ad quam possunt R G,S K ordinatae ad diametrum F G sic linea Us denui mrecta diametros ad qua possunt LG, NK ordinatae ad diametrum FG. sit linea X iam ostendendum est quod T, V lineae sunt aequales. Sic , LGporcst recta lum FG X- item R G potest rem tum FG, R igitur er sicut qua tum L Gad qua tum R G uc X ad U; Sed ostensum est in quod si ut qua tum L c, ad qua tum R G, sic qua tum H F ad Rua tum B H, hoe est sicut qua tum E H ad qua tum B H ipse E B, B D ae uales,& ideo ipsae E H, H Fae ades, de ex quarta huius libelli, elicitur, quod sicut qua tum E H ad qua tum H B sie est & eadem X ad T. igitur sicut X ad T sic est& eadem X ad Ur quare iplae T, v, lineae luat aequales, quod fuit demonstrandum.
Notandum, quod presens propositio addita suit ad persectiorem intelligentia ac
praecedentis; item ipsa praecedentis demonstratio, adeo facilis visa fuit Arch medi, ut ab eo lit omissa: quemadmodum ab eodem. & d uarum sequentium demonstrationes omissae sunt. verum multa, quae illi facilia videbantur, poterant esse lectoribus inextricabilia; nedum dissicilia demonstratu. Nobis autem visum est non solum haec, sed ne r7. quidem, ac t8. praemissarum exequutionem quamquam .llae procul dubio facillimae sint praetermittere, quo nihil a curioso Lectore desideraretur.
Si conoides hyperbolicum pIano seceturaxi parallelo, vel per centrum hype boles soliduni describentis ducto: facta sectio erit hyperbole Esto solidum Comides descriptum ab hyperbola ABC; cuius axis BD, in quo extra producto, centrum sit Y quod quidem centrum ab Amchymede vertex coni eo rehendentis solidum dicitur ; qui conus describitur a non tangentibus Iroximis h yperbolo transuersa diameter hyperbo-e sit x B . quae dicitur praecipua; diameter ex gen ratione sit Z F, parallela ipsi B X in primo casu, inter lacti oties oppositas AB, & XZinterceptae,& in secundo casu singulae per medium secenturia centro v productaque in vir que casu diametro Z FG secante hyperbolem apud Ferigatur super eam planum erectum super planum byperboles A B C,& secans solidum. Aio quodlaetio in solido α facta
250쪽
facta hyperbole erit,cuius axis Z F G; ducatur enim in secundo casu γ linea FE tangens hyperbolem apud F, &ductae occurrat B H tangens iactionea apud B vertice. item per relicta plieta G, K in diametro FG ducantur tangenti FE lineae aequidistantes L G M, N Κ O, quae per q7. primi conte. e timent. Ordinatae erunt ad diametru F G, & per medium sectae apud G, K puncta. ducantur in utroque calu per ipsa G, K punira plana aequidistantia, & ad axem B D erecta; quorum communes sectiones cum hyperbola ABC sint lineae AC, Pineruntque per I . huius,talium planorum sectiones in solido circu. Ii quorum diametri A C, P communes autem sectiones eorumdem planorum cum plano erecto per
lineam F G sint lineae G R, Κ S; igitur sectio facta insolido per planum ductussi per lineam FG ibit per puncta F, S, R , & circuli praedicti per puncta S, R. Demonstrandum est itaque uod peripheria FSRest hyperbole hoc modo. In primo casu ducta BI recta diametro ipsius transuersae B X, quia reta. lik ter νAulion. ta rec-lum Z G F ad re lum P G Q, seu ad qua tum G R, quam rec-lum Z Κ F ad rec-lum A K C, seu ad
qua tum Κ S,eamdem rationem habent , quam transuersa diameia ter X B ad rectam BI. ergo permutando re tum Z G F ad rec- .lum ΖΚ Fest sicut qua tum G R ad qua tum ΚS. In secundo vero casu cum 'A C.
P Q cquid istent ipsi B H tangentii de L M,N O squidistet ipsi F H ta-
genti: ideo per I7. xert. conicor. element. sicut qua tum B H ad
qua tum H F,sic ree lsi P G Q. hoc est qua tum GR ad qua tu LG; & sie etiam rec Ium AK, KC , hoc est qua tum K S ad qua tum N K; & permutatim sicut qua tum G R ad qua tum E S, sic qua tum L G ad qua