장음표시 사용
261쪽
riglinurit emis,utroque segmento uni solidi,virique segmento alterius congruente,ipsa segmentorum,& superficierum squ ita quemadmodum proponitur demon
Data solidi conoidis portione platio super axem recto abscissa, siue data sphaeroidis portione, quae dithsme maior, quam dimidium exbi stati possibile est ipsi figur*m quamdam inscribi, & alibi .
.circumscribi ex cylindris aequalis altitudinis consectam, ita ut circumscripta ligura excedat inscrip
tam excessu, qui lit quocumque dato
Esto selidi Conoidis, siue para dici, ME hyperbiaiei,siue sphaeroidistion maioris dimidio portio: quam describit laetio conica, siue parabole, siue hyperbole. siue ellipsis dimidia non maior circa axem B D: item completo quadrilatero rectan-gido ABC, quod extra sectionem cadit, atque circa eundem' axim reuoluto, cyl in crupeonstruatur A B C,cuius axis BD secetur in partes aequales: & in totidem cylindros ; aequales enim sunt cylindri portionesper r3. ori .)donee una portionum cylindri sit minor dato solido; quae portio habeat axem D E: inde per puncta diuisi nuti axis BD agantur plana a quidistantia ipsi basi cylindricae A C. hoe est recta adaxEm B D; quae plana Blidum conoides secantia facienteirculos per decimam septia mamprae sitis Dbri. itaque circulo AC st aequalis circulus quidam in plano aequit distanti per E; qui duo cireulierunt ba- Isesi portionis cylindricae praedictae cuius axis ED; ctrculo autemqupremo, qui per Fesqualis sit circulus quidam in plano fu- Premo per B, qui duo circuli erunt bases
cylindri, cuius axis BF: itaque cylindrus cuius axis D E erit maximus, cylindrus vero cuius axis BF minimus cylindrota componentium figuram circumscriptam solido conoidi: caeteri autem cylindrica figuram componentes fient ascribendo ni cuique caculorum in conoide solido per plana caetera factorum circulu aequalem in plano superiori, de exteriorem Histitio: porro si circulis medijs suppona tur circuli aequales singuli si ulla in planis inferioribus, & intra solidum cade tes constituentur ex binis cylindri singuli componentes figuram inscriptam solido,qui cylindri erunt uno pauetores es in-dris componentibus figuram circumscriptam. denique cum cylindrus inscriptus circa axem D E sit aequalis cylindro circumscripto circa axem E G & inscriptus circia axem EG aequalis circumscripto circum axem G Κι di inlati plus circum axem GK sit aequalis circumscripto circa axem K H . & inscriptus circum axem K H aequalis circumscripto circa axem Hs. ac demum inscriptus circum axem H F aequalisci cumscripto circa axem FB. iam manifestum est figuram ex cylindris circumscriptis It , co
262쪽
compolitam, hoc cit fisuram cireumscriptam solido conoidi, maiorem esse figm ex cylindris inlcriptis composit* ; hoc est ipsi Muraeidem solido inscripta in cylindro, cuius axis DE, basis. vcio circu us radio DA descriptus; sed talis cylindrvs minor fuit dato solido. itaque rast ido con*οi ABC cireumscripta supererat figuram eidem solido inscriptani excessu cylindri A E C, qui dato solido minor est.& hoc
Data solidi conoidis portione plano ad axem obliquo abscissa; item data sphaeroidis portione, quae minime maior, quam dimidia existat ἱ illud idem fieri pessibile est.
I Dem processus: eademque demonstratio huic inseruit,quae praecedenti. hoc tamen excepto,quod plana per puncta diuisionum diametri BD in praemissa erecta sunt audiamctrum: in irae v Noue, bliqua; in praemissa BD linea est axis sectionis A BCiectus ad A C. eiusque parallelos ; in hac vero B Dest diameter ex generatione oblia quus ad A C, & eius aequidi stan tes . nam si parabolast AB C. diameter B D aequidi- stabit axi praecipuo secaas ips m A C, &singulas illi aequi distantes bii, iam primi conu. elcment. si aurem hype bolcsit An vel ellipsis: tunc diameter BD dise
nic. dc Pu .n praeced cnti pla- i Da aequi sistantia per puncta dimitionum axis A, D ducta quoniam rceta sitnt ad axe, facili' secando se,lidu ABC
circulos per i 7. 'racedent s. in hac vero plana dicta .quO- --. I
trum BD secantia solidum. faciut ellipses similes per 23. P - . J . . quidem praecedentu tibem, iii
ABC fit parabole ι per a . autem si A B C sit hyperbole; per as. ωεν. eiustem, si ABC sit ellipsis portio describentis solidum luper axcm Inai cm; pera7.dminum seque τtem, si super axem minorem: hoc est si sit A BC portio sphaeroidis oblongi hic vero compressi, quamobrem, sicut in praecedenti omnes cylinfri componentes figuram solido tam inscriptam, quam circumscriptam: sunt super tales circulares: ita in hae sunt super ellipses similes; hoc est sunt cylindri elliptiei habentes axem BD perpendiculare super minores diametrosellipsum ipsarum; qui tamen cylindri sunt frusta cylindiorum bases circulares habentium, sicut ru i 3. praeratimis bisui , oste sum est.& quoniaim tales cylindri sequuntur proportionem axium ut in i .is i proeedentis, suit demonstratum . propterea conclude ut hic sicut in praecedenim, quod figura solido conoidi A B Ccircumscripta ex talibus cylindris composta superabit figuram eidem sol ido interiptam ex suis blindris uno paucioribus similiter composita in cylindi o A EC,qui dato solido iam sicut in praemiisa, minor factus erat,quod&in hac possibile scire praedictum cst.
263쪽
EX quam minimum est, quod dictae solidi tUrtioni siue planquo ad axem, ut dictum est, abscissae potest figura,qualis dicta est tum inseribi, taeircumserihi ι out pomo laudi addat hi per inscriptam minus quocumque dato soli. do: de tvem a circumscripta minusnesti quocumque dato lido.
omnis portio parabolici solidi, plano stiper a q* rino abscissale
. quialtera probatur esse coni basim,&axem eumdem'
Esto podi emoidis parabolici ABC. euius axis BD: quod sectum plano pe
axem faciat parabolem ABC per i . cuiussarii eum plόno portionε abicindente eommunis sectio sit recta/Ca erit μν ε .mmisi, sectio inlalidost is per planum abscindens,circulus euius diameter A C, super quem circulum conus c6stituatur habens verticem Raxemque BD. demonstrandia est itaque, qubd portioeonoidis solida parabolici ABC sesquialtera est coni ABC: exponanir conus Z seia quialter eoni ABC. item cylindrus basim habens circulum AC, axem autem B in qui cylindrus cum iitnra 3.mni triplus coni ABC; iam ad conum Z duplus erit.
Dico ergo, quod portio eo- - -
noidis ABC aequalis erit cono Z; secus enim erit aut maior, aut minore sit primum maior portio concidis ABC cono Z aliquo exces
selibi portioni ABC figura quaedam ex cylindris comis posita , itavi portio ABC addat super figuram inscriptam minus dicto excessu, deperinde laseripta fiMra sit maior cono Z. inscribatur. sitque maximus esindrora componentium talem figura inscriptam cylindris FG cuius basis diameter F E G. axisq; ED, minimus autem cylindrus Κ GH, cuius base, semidianirier ΚΗ axisq; Η Ο item sit A BCtruusum per axem in cono A B C. & producantur plana distinguentia esindros figure inscriptae, donec secent cylin m magnum A BC in cylindros aequales. parieν autem axis B D reo ae a vertice B ad singulas eylindrorum bases vocentur Utheti, quora maximM B D,minim vero B H, lineae autem aequidistantes inter axem B D,rectamque AB -eGurbas quarum maxima A D, minima vero HM: item lineae receptae U-Y si peripheriam parab*ae A R B vocetur ordinat quarum maxima A D,
264쪽
mini ina vero Ad demum lineae receptae ab axi B D au latus usque cylindri AB C, quae sunt aequales ipsi A Πν Mur pMaipli qmbustac tis sic argue . quoniam cylindri eiusdem altitudinis sunt sicut bases, & bases sicut quadrata semidiametror uri a sex. V nati mustasin qu secatur xylindrus A B ad quinque cylindro surae con di parabolico is riptae, sunt tam in quad- ta A D ad quinque quad-πreliquarum ordinata In E F, .R quippe quae sunt semidiametri basium quinque cylindrorum, sex au tem q9 Ao-quinque quad ga reliquarum ordinataru sunt pis Io. ρνim. conis. eum . sicut sexcuplu axis B D, seu Κatheti ad aggregatum reliquorum Katneyorψmissio decem l propter similitudinc triangulorum sicut sexcuplum balis A D ad aggregatum reliquarum basium E N,I P, H in
que cylindror figurae inti a parabolicum eondi te instrinae: hoc est ad totam figura inscriptam. verum per primam basis A D plus est quam duplum aggregati reliquarum quinque basium E N, I P, H M, & cet. ergo cylindrus .: ga ; et hi esto' i o 3 ni
ut portio excedMariniuriminus, qua Axceditur no Z: de perinde circulcri ti figura. sit minor conbra sique maximus cylinci ucomponetium diciam fisu- ram A E C, cuius basis diameter A C, axisque E P, minim mem cylindrus Κ B H, cuius basis diameter Κ H, axisque B Hr & riiriussi syllogismo utere ad confutandum congruo,sere ut prius; nam sex cylindri aequales,in quos secatiar cylindrus ABC ad totidem cylindros figurae circumscriptae e oldi sunt sicut sex quad la A D ad quad-ta sex ordinatarum, quae sunt semidiametri sex cylindrorum figuram icomponentiumr sex autem quad la A D ad quad la sex Ordilutarum sunt m et o primi conic: sicut sexduplum axis BD, seu Katheti ad aggregatum exNathetorum.& propter similitudinem triangulorum, sicut sexcuplum basis A D ad aggregatum sextiasium. hicatiatem adducit ascandapraemissi libelli. vel a 3. igitur sicut lex plumbasis A D ad a gregarum lex basium, sic sex cylindri aem a radide est totus cylindrus ABC ad fguram circumscri* am. verum perprimm ramo elii, sexcuplumba -ssA D iiii ius est,quam do plum aggregati omniu sex basium: ergo cylindrus ABC minor est quam duplus figurae circumscriptae i figura auremcircumscripta minor fuit cono Z. ijitur eo magis cyriadrus A BC minor erit quam duplus ad conum Z; quod est cotura hypothesim . non ea ergo minor portio conoidis ABC cono Z;.sed me
265쪽
DE CONOID. ET SPHAEROID. FIG. INUENT. 13 s
maior fuit. aequalis ergo erit portio solidi ABC cono Z. & perinde sexquialtera coni A B C. quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XI. Quod si portio parabolici solidi plano ad axem obliquo abscindatur,si
militer sexqui altera esse probatur coni basim, & axem eumdem cum portione habentis; qui tamen conus,quoniam pro basi ellipsim habet, probatur tamen per I I. praemissi, alicuius coni frustum esse. EAdem descriptio, idemq; processus argumentandi usu veniet huic, quae praemisissae. hoc excepto,quod cum hic plana solidum secantia obliqua sint ad .ixem, poristio ipsa solidi habebit pro basiellipsim, quam & cylindrus totalis . item de cylindripartiales constituentes figuram, tam inscriptam,quam circumscriptam portioni, probasibus habebunt similes ellipses, per a 3. pracriten: raus uecorollari item conus A BC habebit. & basim ellipticam, quam portio solidi conOidis,& cylindrus totalis. verum per it., i 3. Hamissi Mem tales cylindri sunt segmenta cylindrorum bis es circulares habentium; dc talis conus segmentum alicuius coni circularem basim habentis: cumque per I .cts F. pracedentιν,quidquid demonstratur de conis,& cylindris super circulos constitutis,idem demonstrari possit de conis, & cylindris ellipticas bases habentibus, quo ad portionem basium,& soliditatum; iam iisdem med ijs, eodemq; syllogismo,quo in praecedenti, Per cylindros,conosque circulares bases habentibus deis monstrabimus, & hie qσω portio solidi parabolici A B C plano ad axem obliquo abscissa aequalis est eono Z qui sexqui alter ponitur ad conum ABC, dimidius autem cylindri ABC. desideo quod portio AB C sexquialtera est coni ABC. quod proponitur demonstrandum.
Notandum,quod sicut axis B D secatur in sex partes aequales,& cylindrus ABC
in totidem cylindros Muales.sic cum secatur in plures partes, vicumque ad demonstrationem opus fuerit; agendum erit tunc in demonstratione per ipsum par tium numerum. Manifestum est ergo, quod eylindrus continens portionem solidi parabolici,hoc est eundem axem cu portione habens,duplus est ad ipsam portionem.
Si ab extremo diametri maioris, ellipsis in conoide solido parabolico facts, perpendicularis ducatur ad lineam, quae per centrum ellipsit saxi solidi aequidistans incedit; ducta perpendicularis aequam . Iis erit semidiametro minori ellipsis praedictae. E Sto solidum eonoides a parabola ABC, cuiris axis B G deseriptum; in quo quidem ducto plano ad axem obliquo per a 3. Hamis sectio fiat ellipsis,cuius diameter A ta in quo centrum ellipsis sit punctum Fi ductaque D F ad aequidistantiam, axis BG. productaque excipiat perpendicularem A K. Demonstrandum est , quod A K est aequalis semidiametro mi aori ellipsis A E. ducatur enim per punctum F pla
266쪽
num rectum super axem B G faciens Aer i 7. Wamis, insolido circulum, euius diameter C G F H,& cuius cum ellipsi communis sectio sit linea F P ; itaque tam circuli C Η quam cili pik A E peripheria incedet per punctum P teritque F P minor semidiam ter elliptis APE per a 3. praece emis. Demonstraiadum est itaq; quod A R aequalis est ipsi P F; hoe modo . ducatur per punctum Dipsi AE aequidia stans D M occurrens axi GB producto apud M: nam cum DF sit diameter ipsius A E ordinatae, ordinata erit DM, & ideo per 3 a/rami emise-men. tangens erit sectione apua D; occurrat ipsi tangenti D M. ipsa BN ad rectos axi: quae timiliter parabolam tanget apud B; eique a quid istas sit D O. unde pern primi conte. M Ba qualis erit ipsi B O, & ideo M N aequalis N D: cum autem
B N, N D tangentes aequi distet ipsis C F H. A F Ese vicissim apud Ficcates lamper II. urt. conicer.
Git sicut quad tum D N ad quad- tum N B, Qquad tum A F adrect tum CFH, hoe est sicut quad - tum M N ad quad- tum N B, sic quad tu A F ad quad - tum P F. cum ergo proportionalia sint quae ta lineatum; & ipsae lineae proportionales erunt: hoc est sicut MN ad N B, sie A F ad PF; simile autem est triangulum F A Κ, triangulo MN B quandoquidem eorum latera singula unius singulis alterius aequidistant:) itaque proportionalia sunt eorum latera respondentia: quare sicut M N ad N B, sic FA ad AK. eamdem igitur habet rationem linea A F ad lineam F P, & ad lineam A Κ: aequalis ergo est linea Α Κ ipsi P F .Et hoc erat demonstrandum.
Notandum, quod haec propositio addita suit ad demonstrationem sequentis
si duae portiones dc Conoide paraboles,altera plano recto, altera obliquo ad axem abscindantur, fuerintque earum axeS aequaleS; &ipsas portiones aequales esse necesse est. item & cono S, qui easdem cum portionibus bases, eosdemq;
habent axes inter se aequales esse. --- od quinta praecedentis libelli de planis sectionibus, triangulisque demonstra- iuit in parabola: haec de solidis eo noidis parabolici portionibus, conisque de- i . moniteat. Assumemus igitur quintae praedictae descriptionem,in qua sit co-noides solidum a parabola ABC circa axem B G circumlata descriptum; Ductoqire Plano recto ad axem .ac secando faeiente circulum per i 7. praemisi, cuius diameter sit C G H,cenmimque G portio solida abscindatur C B H; conusque intelligatur supex eumdem circulum, eumdemque axem, qui sit C B H. item ducto plano obliquo actaxem,ac secando faciente ellipsim per a mamis euius diameter sit A F tacentrumq;F; portio item solida abscindatur ADE; uaut eius axis DF aequidistans ipsi BG, sit eidem
267쪽
eidem B G aequalis: conus irem intelligatur super eamde ellipsim A E , & circa eumdem axem DF. Demonstrandum est igitur, quodpqrtiones duae conoides CBH, A D E sunt aequales, quodque coni C B H, A DEiunt inter se aequales. ducatur enim D L perpendicularis ad A Ei de A K perpendicularis ad D F productam; eritque per praecedentem AK aequalis minori s midiametro ellipsis Α E, de per s. pracedem sis aequalis ipsi G H semidiametro circuli C H: quare per 3. carinariam nonapramis quando ellipsis A E minor diametee est aequalis diametro circuli CGH erit el- Iipsis A E ad eirculum CH sicut diameter A E ad diametrum C Hi & sicut semidiameter A F ad semidiametrum G H; hoc est sicut F A ad AK de propter similitudinem
aequales per hypothesim: itaque conorum A D E, C B H bases sunt altitudinibus reciprocaei aequales ergo sunt coni A D E C B H-r iraecedentis tibiari verumper io. Mias portio eonoidis C B H sexquial tera est ad conum CBH: &ρerri. huius portio eonoidis ADE sexqui altera est ad conum A DEι quandoquidem portiones eamdem singulae basim,eumdemq; axim cum conis sortiuntur: igitur, & portiones A D TC B H ex solido concide paraboli co abscissae sunt aequales: sicut iam proponitur demonstrandum. .
Duae portiones de conoide paraboles,quarum axes aequales,Vtcumque planis abscissae, sunt inter se aequaleS. N Am per praecedentem. tales portiones singulae sunt aequales portioni ex eodem
solido parabolico axem eumdem habenti, perque planum axi rectum abscisso. quare per communem conceptionem, & ipsae portiones uini ad inuicem aequales. quod erat demonstrandum.
Portiones de conoide paraboles v cumq; planis abscissae, sunt adinuicem sicut axium quadrata. Esto conoides solidu a parabola ABC
circum axem BD circumlata descri tum, de quo abscindantur planis utcumque ductis duae portiones,quaru axes Κ, L. Aio quod porti cuius axis K ad portionem cuius axis L est sicut quad-tsi Κ ad quad- taL: capiantur enim de axe solidi ipsa quidε
BD ipsi K aequalis i ipsa vero B G ipsi Laequalis duoesq; per puncta D, G planis ad Kk axem Disiligod by GOoste
268쪽
axem rectis duae de solido portiones abscindantur A B C, E B F : eritqueper an ν misiam, portio cuius axis K aequalis portioni A BC, quando aequales axes habent portio quoque,cuius axis L aequalis portioni EB F,quando aequales etiam sortiuntur
axes . itaque demo strandum est, quod por- . .
tio A B C ad portionem E B P, est iicut quadratum g D, ad quad tum BG; hoc mois do. plana per D, G ducta, quoniam recta . sunt ad axem, faciunt insolido circulospeν I T. praemo, quorum diametri A C, E R intelligantur ergo super tales circulos coni, communes axes B D, B G; eumdem se verticem B cum portionibus habentes. qui conus A B C ad conum EBF proportione composita in habet ex ratione basis circularis A C ad basim EF, seu quail ti A D ad quad tum EG, & ex ratione altitudinis D B ad altitudinem G B ; sed ex zouib. prima nis. quad tum AD ad quad tu EGest sicut D B ad G B: ergo conus A B C ad .conum E BFuuplam proportionem habet altitudinis D Bad altitudinem G B, heu ea- de qua habet quad-tum DB ad quae tu GB: tum vino, ro. μι poritones conoidales sexqui alterae tranorum comprehensorum . itur stoooidis portio A RC ad portionem E B F est lia quati tum D G ad quad- tum G B. quod erat demonstrandum.
.PROPOSITIO XUI. Omnis portio conoidis hyperbolici solidi plano ad axem recto ab se ita
ad conum eamdem basim, cumdemq; axem cum portione haben- t Sm,3c sicut linea, quae constat ex axe portionis,& ex triplai axi adiectar ad lineam, quae constat ex eodem axe, i& ex dupla eiusdem adiectar. E Sto portio conoidis solidi byperbolici ABC, euius axis B D,quod sectum plano per axem faciat hyperbolen AB C per i 6.pracedentis. cuius plani cum pinno ad axem recto, & portionem abscindente communis sectio sit recta A C ; eritque per. i 7. praemis se ectio insolido per planum abscindens facta circulus,cuius diameter A C; super quem circulum conus constituatur habens verticem B, axemque B D: ite B Ein hyperbole sit linea axi adiecta,eique aequales singulae sumo E F, F G. erit autem Ecentrum hyperboles,&BF eius transuersa diameter. Dem5strandum est igitur, quo a
portio conoides ABC ad conum ABC est ficut linea G D ad lineam DF. ponatur conus Z ad conum ABC sicut linea G D ad lineam D Fr & ostendendum erit, quo a portio A B C aequalis est cono Z. sit B H tertia pars ipsius B D: & linea G D erit tripla ipsius ΕΗ : ponatur cylindrus super circulum A C, axemque B D, quod sit A B C qiii peris. praecedentis triplus erit coni A BC;&ideo cylindrus ABCauconiam A ΙIC, sicut linea GD ad lineam Eld; cumque eotius ABC ad eonum Z sit sicut DF adit neam G D; erit iam exaequali perturbataque proportione cylindrus A BC ad cona , sicut linea DF ad lineam EH: itaque si portio AB Cnon sit aequalis cono Z. cito
269쪽
DE CO NOID. ET SPHAEROID. FIG. INVENT. a s st
ossibile est,porti o maior cono, aliquo excessu: fiatquemr 8. huius, or coraliarium s. figura inscripta p ortioni, ita ut portio addat super figuram inscriptam minus dicto excellu: idque fiat se cto axe B D. cylindroque A B C, quot in partes opus iuerit, ut puta in quinque BI , I Κ, Κ L, L M, M D. exponantur totidem rectangula sub eadem
altitudine lineae FB basibus vero BD,B M,B L.B K, B I; quae rectangula sint N,Ο, P. Q,R, quibus applicentur singulis qua ta ex singulis dictis basibus facta S,T,U,X,Munde spatium N S erit ipsum rect tum FDB, spatium OT ipsum re lum FMB. spatium P V ipsum re lum F L B.spatium QX ipsum rei h -lum F Κ B, spatium R Vipsum rech lum FI B. Itaque cum linea D F sit altitudo maximi spatij N s,atque linea EHeonstet ex BH,quae est tertia pars ipsius BD, quod est latus quad-ti S,& ex EB. quae est semissis ipsius F B,quae est altitudo spatij N: ideo per 3. precedentis, quintupla spatij N S ad aggregatum quatuor spatiorum o T, P v, X, R Y maiorem rationem habet,quam linea D F ad lineam E H: & ideo maiorem quam cylindrus R B C ad c num Z: quoniam vero quinque cylindri in quos secatur cylindrus ABC, quoruma basium semidiameter est D A: item quatuor cylinihi componentes figuram portioni
inscriptam, Quorum basium semibdiametri sunt reliquae quatuor oris dinatae a punctis L,M, K,l, ad peripheria hyperboles receptae;sing
ii inquam hi quatuor,&AMCeylindri sunt eiusdε altitudinis, quς est
quinta pars lineae BD radeo per I S. ramisi tales cylindri sat basibus
decimi EucIo sunt qua tis semidi metrorum D A,lequatuor reliquarum ordinatarum proportionalest quad la verb huiusmodi per a I. primi conis: H meniti sunt spatijs N SOL P U,inta Y proportionalia. unde ex a. praemissi sequi M. ut quintuplum cylindri A MC, hoc est totalis enindrus ABC ad aggregatum qu tuor cylindrorum componentium figuram poni sit inseriptam sit sicut quintuplum spatij N S ad aggregatum quatuor spatiorum o T,P V,Q X,R Y: sed quintuplum dicti spatij ad aggregatum dictorum quatuor spatiorum maiorem rationem habuit,qua cylindrus A B C ad eonum Z. ergo & cylindri A B C ad figuram inscripta ratio maior erit,quam eiusdem cylindri ABC ad conum Z; quare figura inscripta minor erit cono Z: fuerat vero maioriquod est absurdum. Non est ergo portio ABC maior cono Z. sit autem post haec minori de tune per eade, quae praus, fiat figura circumscrip tλ portioni ABC ; it aut excessus, quo superatur portio a figura circumscripta sit minorieo quo portio superatur a cono Z ; & perinde conus Z sit maior figura circularip-r o tunc autem rursusper 3.namus quintuplum spatij NS ad aggresatum omnium
270쪽
quinque spatiorum N S,O T,P V,QX, R Yminorem rationem habebit, quam linea D F ad lineam E H,hoc est quam cylindrus A B C ad conum Z. per eadem,q uae prius quintuplum cylindri A B C, hoc eit totus cylindrus Α Β C ad aggregatum uulnuue,eylindrorum coponentium figura circumscripta, erit sicut quintuplum
habuit, quam cylindrus ABC ad conum Z . ergo& ratio cylindri
circumscriptam minor erat, quam ratio eiusdem cy-lyndri A B C ad
conum quare figura circumscripta maior erit cono Zr suerat autem minor, quod est absurduin. Non est ergo portio A BC minor cono L: sed nec maior potuit esse :aequalis ergo erit portio ABC cono Z. quod fuit de monstrandum.
PROPOSITIO XVII. Quod si portio hyperbolici solidi plano ad axem obliquo abscindati ir;
similiter ad conum eiusdem basis, axisq; dictarum quoq; linearum rationem habere probatur: qui tamen conus, quoniam pro basi ellipsi habet, segmentum esse alicuius coni circularem basim habentis ostensum est. EAdem huic descripti nidemque processus inseruiet . qui praecedenti: hoc tamen
excepto,quod hic plana solidum secantia obliqua sunt ad axem; atque ideo per 2 . pramis portio ipsa solidi, cylindrusa alis, conusque ellipses probasibus habebunt ἔαρereoroll. ρυι ιcta reliqui cylindri pro basibus ellipses praedi star similes habebunt: verum Aera t. seperi 3. praecedemis tales cylindri sunt frusta cylindrorum . circulares bases habentiunx: de talis conus frustum eis alicuius coni circularem basem habentis; cumq; per i . ia. praecedentis, talia cylindrorum frusta sint basibus proportionalia propter aequales axes,& cylindrus talis ad conum eiusdem basis,& axis sit triplus. iam ij idem med ijs,quibus in praemissa demonstrabimus, de in hae,quod portio ABC non maior umniinor sed aequalis est cono Z, qui ad conum A BC ponitur sicut linea GD ad lineam DF; quod iam, & in praemissa, & hic proponitur demon