장음표시 사용
251쪽
DE CONOIDIBUS, ET 'SPHAEROIDIBUS FIG. 1 rPROPOSITIO XXL
Cum his pariter demonstrandum est quod facta hyperbole F S I ii primo casu similis est ipsi A B C, S in secundo casu) eamdem
habebit transuersam diametrum cum hyperbole LF M:
. diuersas tamen rectas diametros.
IN primo easu fiat Z F ad F V sicut X B ad BI. Dico F U esse rectam diametrum hy
perboles FS R. & hyperbole FSR, atque ABC inter se similes esse; ita roc. tum Z KF ad qua tum K S, est sicut X B ad B l ut in praecedenti propositione ostensum est seu ut ZF ad F U; quare ex 2 r. lib. pram. conic. Apolion. F v erit recta diameter hyperboles F S R: & sunt trasuersae X B, Z F perpendae ularcs ad ordinatas D C, Κ S, & proportionales rectis diametris. BI, & F V. ergo hyperbola: A B C, F S li sunt inter se similes. At in secundo casu utriusque dictarum hyperbolarum transuersa erit Z Y F. Cum enim per 3 o. primi celement: ZY F sit transuersa diameter hyperboles LFM,
sit eiusdem hyperboles recta diameter FT per eamdem o. prιmicoυιcor. ad inuantata:
itaque L G poterit rec tum G RFΤ excedens specie Z FT;& N K pulcrit roe Glum KF, FTexcedens eadem specie. Ponatur sicut qua tum L Gad qua tum G R, sic F T ad F Va eritque F V recta diameter hyperboles PS R. QIO i sic ostendo. Per prima ext. sicut FT ad FV sic rec tum G F. FT ad ree -lum GP, FV: itemAsicut species Z F T ad speciem Z F V. igitur per i 3. iam. Euclid. sicut FTad F V, sic rec-lum GF, FT cum excessu speciei Z FT ad D c -lam GF, FV cum*xcessu speciei Z F V; sed FT, ad F V suit sicut quais tum L Gad qua tum G R: ergo licut qua thim LGad qua tum G R, sic ree lum GF, F T excedens Uecie L FT adrec tum G F, F V excedens specie Z F V. aequale aurem fuit qua tum L G ipsi ree io G F, F T excedenti specie Z FTi di aequale igitur erit qua tum G R ipii rec- lo G F, F V excedenti specie ZF U. Similiter oste item is quos qua tunΚS aequale erit ipsi rec loK F,F V excedenti specie dicta Z F V: & hoc ide n osten letur de quacumque ordinata ad diametrum F G in sectione F S R: itaq; ipsius F S R hyperboles transuersa est Z Y F, recta vero diameter, ad quam possunt ordinatae, ipsa F U. quod fuit demonstrandum. Notandum quod praesens propositio adiecta est, sicut & 19. praecedentis vero ro. exequutio ab Archimede omissa fuit,ta nquam facilis: Sed facilis quidem erat authori, non lectori.
Si conoides ellipticum plano secetur ad aequid istantiam axis ducto ; sectio ellipsis erit ei, quae circumlata solidum describit similis.
Conoides solidum, seu sphaeroides esto descriptum ab ellipsi A BCD super axem
A C circumlata descriptum; sitque altera ellipsis diametros is D, centrumquGE, in quo per medium sese vicissim secant diametri: ducatur & ipsi AC axi aequi distans FG, per quam ducatur planum erectum super planum ellipsis A BC ε& secans solidum. Aio quod sectio facta ellipsis erit ellipsi A BCssimilis; nam FG per medium secatur a diametro BD, secetur in puncto I; assumatur &quod uis aliud punctum in diametro FG, quod sit Κ, per quod ducatur M ΚNaequi distans ipsi BD, dc secans ipsam A C apud b, & per B D, M N agantur plana erecta super axem A C secantia solidum: eruqtque sectiones factae per tr. huius, circuli, quorum diametri BD, MN,&. Illi quo
252쪽
quorum centra E, O. sintque talium circulorum cum plano ducto per F G eommunes sectiones lineae I P, Κ in itaque sectio per tale planum in solido facta ibit per puncta F. Q, P, G; & circuli dicti per ipsa P, Q puncta transibunt. ducantur, & ellipsim ABC tangentes apud
A, B puncta lineae A. L, B L, quae per conuersam IT. prim/ conIc. eument. Ordinatae erunt ad axes A C. B D. a quorum extremis educuntur. rectangulum igitur erit quadrilateru AEBL, ergo propter aequid istantiam linearum,iam per I7. terιν conιe. fiet sicut
qua tum A L ad qua tum L B, hoc est scut qua tum B E ad qua tum E A, sic iam re tum D IB. hoc est qua tum P I, ad qua tum I G. ecce igitur diametri ellipsis ABCD proportionales sunt diametris ellipsis F P G, hoc est sicut B E ad E Α, sic iam PI ad I G , item sicut qua-tum A L ad qua tum LB, sic rec tum M ΚN hoc est qua tum QR ad xee tum G K F ι & perinde sicut qua tum P I ad qua tum I G: & similiter quod ostensum est de ordinata RQ ad diametrum FG, ostendetur idem de quavis alia insectione F PGad diametrsi FGordi nata. ellipsis igitur est FPG,& ipsi ABCellipsi similis. quod erat demonstrandum. Cuius quidem diametri F G, PI, centrumque l. Et praesentis quoque demonstrationio exequutio tamquam facilis ab Archimedeis
H Inc ergo manifesti im est. quod si conoides ellipticum secetur duobus planis parallelis ad aequidistantiam axis, factae sectiones erunt ellipses ei, quae circuml ta solidum describit, de sibi inuicem similes.
Si conoides parabolicum plano secetur obliquo ad axem,& circum quaque coincidente curuat solidi superficiei; facta sectio ellipsiis erit; cuius maior diameter erit linea quae communis sectio est plani secantis, cum parabola describente solidum, super quam secans planum erectum stat. Elo solidum Conoides descriptum a parabola A B C super axem B D cireumIata:
in qua linea deducatur G Κ oblique secans a xem; & super G K. erigatur planum erectum super planum A B C, & solidum ipsum secans. Aio quod facta in solido sectio erit ellipsis, cuius maior diameter est ipsa G K: ducatur enim ipsi GK aequi distans FE tangens parabolam in puncto F,& axi occurrens apud E, cui tangenti coincidat item B H tangens parabolam apud B verticem. Secetur G Κ per medium apud L, & in eadem G x punctum utcumque relictum O; & ducantur ad rectos axi Al. C. M o N lineae, super quas plana ad axem erecta solidum secente eruntque per 37. βο- ius, factae sectiones circuli. quorum diametri A C, M N, quorum circulorum communes sectiones cum plano per GK ducto sint lineae L P, O : itaque peripheria factae secti Disilired by COOSI
253쪽
sectionis ibit per puncta G, P, Q, K; & circuli dicti per ipsa P, Q puncta. quibus peractis, facile astruitur propositum . nam per I 7.ισιν conιc. element. sicut est qua tum
B H ad qua tum H F. hoc est sicut qua tum B Had qua tum E H nam Aer 33. ρram. e te. ipsa BD, EB,& perinde ipsae H F, E Hsunt aequales se est iam rec-lum ALC, hoc est qua tum P Lad qua tum K L, item sic rec- tum M O N, hoc est qua- tum PQ ad rec-lum GOR . itaque si ponatur ellipsis maior diameter G Κ,minor autem semidiameter P L, iam ipsa O. Q erit ordinata i peripheria talis ellipsis ad diametrum G K. & simi. liter ostendemus, quod sicut qua tum O drec tum G OK seruat proportionem qua---ti P L ad qua tum KL, sic omnis alia ad diametruG Κ ordinata seruabit potentialiter ad contentum sub factis diametri portionibus eamdem rationc.
eli ipsis igitur est G P QK facta sectio in solido corioide parabolico, cuius diametri G Κ, P L, & hoc fuit demonstrandum.
ET manifestum est praeterea quod si solidum parabolicum duabus aeqti distant: bus
planis modo praedicto secetur: Distet lectiones eruo elbples inter u limiteS. Namque talium ellipsium diametri minores ad maiores potentialitcr sequentur proportionem lineae B H, aci lineam H F, de perinde proportionales eruat, dc idco iectiones ipsae similes.
Sic onoides hyperbolicum plano secetur obliquo ad axem ,& circum- quaque coincidente curuar solidi superficiei ; laeta sectio ellipsis 'erit; cuius maior diameter erit linea, quae communis sectio est plani secantis cum hyperbola describente solidum ipsum.
Esto solidum conoides descriptum ab hyperbola ABC super axem BD circumuoluta: in qua linea ducatur GK oblique secans axem,& super GK erigatur planum erectum super planum A B C, & solidum ipsum secans. Aio quod facta in solido sectio erit ellipsis, cuius maior diam ter est ipsa G K. ducatur enim linea F E ipsi G Κ aequi distans, & in puncto F tangens
hyperbolem,axique occurrens apud E: cui coincidat item B H tangens hyperbolem apud B verticem. secetur GK per aequalia apud L, & in eadem G Κ punictum utcumque capiaturo, dc ducantur ad rectos axi ALC, MON lineae, super quas plana ad axem creeta solidum secent; eruntque peri . huius, factae sectiones circuli; quorum diametri AC, MN. circulorum autem cum
plano per G K ducto communes sectiones sint lineae L P, O Q: itaque peripheria ita Hii a inae
254쪽
ctae laetionis ibit per puncta G, P, Q, R ;&circuli per ipsa P, uncta: quibus eom. pleris , licut in praemissa praecepimus: quia per i 7. rerι. conic. element. sicut est qua tum B H ad qua- tum H F, sic est iam rec-lum ALC, hoc est qua tum P L ad qua- tum K Lr item & sic rec- tum M O N, hoc est qua ta O Q ad rec-lum G O X;& est minor L P quam Κ L quoniam minor B H, quam H F: quandoquidem per 36.prami conic. BD maior, quam BE, &ob id F FI maior quam H E & H E maior quam B Hi itaque si ponatur ellipsis maior diameter G Κ, minor autem Iemidiameter P L: iam ipsa O Q erit ordinata a peripheri .i talis ellipsis ad uiamettum G Κ, & limi liter ostendemus quod si ut qua- tui . Ua adrec tum G OK seruat proportio. nem qua ti P L ad qua tum Κ L, sic & omnis alia a peripheria factae sectionis ad diametrum G Κ ordinata seruabit potentialiter ad contentum sub factis diametri portionibus eamdem rationem. ellipsis ergo est G P QK facta sectio in solido eonoidGhyperbolico, cuius diametri G Κ, P L. Quod suit demonstrandum.
VNde ,&hic similiter constat, quod si solidum hyperboles duobus parallelis planta modo praedicto secetur. Dictae sectiones erunt ellipses inter se similes. Earum enim diametri maiores minoribus proportionales erunt , quandoquidem linearum tangentium, qnibus aequid istant, propoportionem sequentur, per IJ. teri.
Notandum tam in hae, quam in praecedenti descriptione, si per G punctum agatur linea aequidistans ipsi B H, quae sit G R per punctum vero Κ aequi distans ipsi B F. quae sit Κ R apud R concurrentes: tunc G Rerit minor diameter ellipsis G K. Namque triangulum Κ G R simile erit trian lo F H B propter aequi distantiam laterum correlativorum, & ideo fiet sicut ΚG ad G R sie FH ad HB: Sed ostensum est, quod sicut F H ad H B, sic Κ L ad L P, & tota diameter Κ G ad duplum L P. totam scilicet diametrum minorem. igitur, sicut Κ Gad diametrum minorem, sic ΚG ad G R: quare GR aequalis diametro minori; quod est propositum.
Qiis tangit ellipsim apud extremum diametri minoris linea maior est tangente, quae sibi coincidit: quae vero apud extremum diametri maioris minor. ELlipsis esto A B C D. euius diameter minor A C,
maior vero B D se vicissim secantes apud E centrum, sintque duae tangentes A F, F G; & puncta contactuum sint A , G. Item duae tangentes B H, H Κ, de
255쪽
DA CONOIDIBUS, ET SPHAEROIDIBUS PIG. 1 s
puncta contactuum B, Κ. Ostendendum est, quod A F, quae apud A extremum uiammtri minoris tangit, maior est ipsa FG tangente sibi contermina: itemque B H, quae apud B extremum diametri maioris tangit sectionem, minor est ipsa H Κ tangenteis sibi contermina: sie ducatur L M E diameter ipsi F G aequi distans: & quoniam B D ipsi AF aequid istat rideoper r7. ter cinis. eumenn erit sicut qua tum BE ad qua tum EL, lic qua- tum AF ad qua- tum FG, &lineae ad lineas; sed maior Bia qua EL ,erso est maior AF, quam FG. fimiliter si LEM diameter intelligatur aequi linans ipsi HK: ostendemus , quod erit C E ad EL, sleut B Had ΗΚ, cumque CE sit minor quam E L ; erit & B H minor, quam H K. quod est propositum.
Si sphaeroides ob longum plano secetur obliquo ad axem, facta
sectio ellipsis erit, cuius maior diameter erit communi S
sectio plani secantis cum ellipsi descriptice solidi, super quam planum secans stat erectum.
SIt sphaeroides oblongum ab ellipsi A B C super axem B X maiorem circumlatata,
descriptum; quod & solidum ellipticum dicitur, in qua ducatur linea G Κ Ob: μqua ad axem B X, super quam ducatur planum erectum super ellipsim ABC,&lecans solidum. Aio quod facta in solido lectio erit ellipsis; cutus maioroiameter GK. Ducatur enim linea FE ipsi GKmquid illans, &in puncto F tangens ellipsim; axi quo
Producto coincidens apud E; cui occurrat apud Bverticem tangens ellipsim linea BH; secetur di GK per medium apud L;&m eadem punctum utcumq; capiatur O: deducantur ad rectos axi A LC. MONI ineae super quas plana ad axem erecta lolidum lacent: eruntqueper i 7. huius. factae lectiones circuli; quorum diametri A C, M N: circulorum autem cum plano per GK ducto communes si istiones sint rectae
L P, O in itaque peripheria factae sectionis ibit per puncta G, RQ, Κ:& circuli per ipsa P, QSunet . quibus peractis non aliter quam in a 3. dc a . huius, ostendimus, quod qua- tum P L ad qua tum L Κest sicut qua tum B H ad qua tum H F: cumque per praecedentem, B H sit minor quam H F, erit de P L minor, quam L Κ: de quod sicut qua- tum P L ad qua tum L Κ, sic qua tum o Q ad rectangulum G O K. id c mq; osten d imus de omni aIia ordinata in facta sectione ad diametrum G Κr quare constabit similiter laetam sectionem in solido a plano per G Κ ducto ellipsime se eiusquα. maiorem diametrum esse GK. minorem vero semidiametrum P L, quod est d monstrandum.
NEc secus quam in et 3, dc a manisestum est, quod si sphaeroides ob Iongum dum
bus parallelis planis modo praedicto secetur, factae sectiones erunt simiIes ellipses cum earum diametri proportionem tangentium, quibus aequidistant,sequantur.
256쪽
ARCHIM. EX MAVROLICO PROPOSITIO XXVII.
2qs Si sphaeroides compressum plano secetur obliquo ad axem; facta sectio ellipsis erit, cuius minor diameter erit communis sectio plani secantis cum ellipsi describente solidum, super quam planum secans stat erectum. HVius propositionis descriptio, &deis
monstratio usque quaque similis est praecedenti hoc excepto, quod ellipsis ABC solidum sphaeroides describens ci cumferatur super axem minorem Bia quodque cum tangens B Hsit maior tangente H F, iam& semidiameter P L maior erit semidiametro L Κ. unde GK erit minor diameter ellipsis GPQ Κ: in solido talia plano per GK productos ctae. quemadmodum infert propositio.
Vare & illud hie, quod in praemissa infertur, quod si sphaeroides depressumo geminis predicto modo ductis parallelis planis, secetur, factae lactiones erunt elinii ples fimiles, praedicta ratione.
Si sphaeroides compressum pIano secetur ad aequid istantiam axis ducto, sectio ellipsis erit ei, quae circum axem reuoluta solidum describit similis.
HVius propositionis descriptio,&demonstratio est eadem, quae 22. huius hoc excepto, quod ibi agitur de quocumque sphaeroide, siue oblongo, siue compresso: hic de compresso tantum.
Porro ea quorum demonstrationem omisit Archimedes, non sine labore nos de monstrauimus ipse autem demonstrare neglexit, non tam quia facilis erat demonstratio cum saepe multo seciliora, atque concessibilia etiam principia demonstret: quae quia minus necessaria erant ad solidorum propositiones demonstrandas, ad quod author praecipue incedit, & quo tamquam ad scopum, arcum dirigit. AR Diqitiged by t Ool
257쪽
DE CONDIDIBUS, ET SPHAEROIDIBVS
FIGURIS INVENTORUM.L I S E SECUNDUS.
PROPOSITIO I. . Si In superficie cuiuslibet solidi Conoidis duo puncta, utcumque signentur; linea recta, quae puncta conuectit, intra solidi superficiem cadit. Esto solidum Ccnoides ABC, ineuius superficie signentur duo puncta, ut puta
A. B. Aio duce A B, recta cadit intra superficiem lolidi: Ducatur enim planum per A, B puncta secans solidum ; & si facta sectio sit aliqua ex conicis sectionibus ut ostensum filii in praemisso libello tum tune recta linea A B, fler decin amprιμι conuor. element. cadet intra peripheriam sectionis,& perinde intra superficiem solidi, sint autem & puncta D, E, quae non sint in aliqua peripheria sectionis conicae; & ducatur D E tecta. Aio quod etiam D Erecta intra superficiem solidi cadet. ducantur enim j Per D. Epuncta plana aequid istantia adaxim solidi ferecta:eruntqueper i 7.yramis,factae sectiones eir- euli qui sint A E F; B D C. secetur & solidum plano per axem, eritque 'r i s. praemisi, facta sectio ipsa, quae solidum describit. Esto ABC. 3c ducatur re- cta AB: quae ut ostenIum est intra sectionem cadita -t ...titique in circulatione sectionis ABC, describen . . . n. tes solidum recta A B, circulata conicam superficiem quae intra solidi superficiem eii, describit. veriarn recta linea DE. per a. primi conicorum elemens. cadit intra talem superficiem conicam: dc multo magis intra superficiem solidi cadet. Quod erat d monstrandum.
PROPOSITIO II. Si planum tangat quodlibet sol idum Conoides, non secans:
In uno solum puncto tanget. TAngat enim si possibile est in duobus punctis, ut puta A, B, dc coniungatur recta
AB, cum itaque puncta A, B situ in superficie solidi . lam per praecedentem , recta A B. cadet intra superficiem solidi. itaque cum talis recta sit in plano pars plani cadet intra superficiem solidi. igitur planu secat, non tangit solidum. Quoacst contra bypothesim. Ia uno ergo tantum puncto fit contactus.
258쪽
PROPOSITIO III. Plano quopiam solidum Conoides tangente,si planum aliud
per axem sol rdi, perque punchim contactus ducatur, id rectum erit super tangente plano. Solidum Conoides ABC. euius axis BD: tangatura plano quopiam, fiet autem
contactus in puncto per praecedentem punctum sit C ; Ducatur per axem BD, perque punctum C planum AB C. Aio quod planum Ru C rectum est ad ipsum tangens planum. Sit enim plani A A C, quod per axem, planique tangentis apud Ccommunis laetio recta linea E CF. Item per punctum contactus C ducatur planum rectum a1 lixem B D, eritque per II. pramisi, facta sectio, circulus A C, cuius diameter AC, sit autem huius plani cum plano tangente communis sectio recta CG,quae utique eum sit in plano tangente cadet.extra superficiem solidi, &perinde extra circulum AC in tali superficie existe tem. Igitur CGrectata ngit circulum AC apud Ce tremum diametrum; perpendicularis est igitur GClinea super A C lineam . Sed A C linea communisectio est circuli cum plano ABC: ergo G C perpendicularis csesuper planum A BC: quare planum tangens E G F in quo ipsa G C per i 8. υndecimi Euclidis, rectum erit plaho ABC per axim B D, tactumque C ducto. Q md erat Demonstrandum.
Quod si per axem planum ducatur rectum quidem stiper tangenti plano ductum, ibit per punctum contactus.
N TAmque in eadem descriptione, siplanum per axem, & erectum super tangenti plano minime incedat per punctum contactus; ducatur per axem aliud planum, perque ipsum contactus punctum: ecce igitur planum per praecedentem, erit rectum super tangenti plano. duo igitur plana se inuicem secantia super axem erecta erunt eidem plano tangenti quod est impossibile , oportet enim per I9. undecimi Euclidis, ipsam BD communem planorum sectionem esse perpendicularem tangenti plano; quod est impossibile, quandoquidem punctum contactus est aliud quam B, vertex solitis; omnino igitur planum per axem, & rectum super tangenti plano, it per punctum contactus, quod est propositum.
ando autem punctum contactus est ipsae B vertex solidi; tune axis B D rectus
qui ad tangens planum: namque omnes lincae,qliae sunt communes sectiones . - plani tangentis, cum quotlibet ex planis per axem eunt per punctum Badrectos ipsi BD; tangunt enim sectionem ABC, & alias factas a planis per axem. itaque quando puuctum contactus est B vertex, tunc omne planum pcr axem necessario it per punctum contactus, & est rectum super planum tangens; & ideo in tali casu non
259쪽
vsu nimi hae dine proposi iones, quippτ quae suPPOmuit ipsum coaractra punctuat extra axem licet itaqueinserte corollinia laec.
MAni sedum enita fit ex his, quod phino selidu Conoides tangente in extremo
axis, hoc est apud verticem omne planum, quod per axem ducitur rectum est plano tangenti.
ITem axis solidi Conoidis nulli planorum tangentium solidum rectra est,nisi soli Mipso extremo axis, hoc est apud vinacein tangenti. V
PROPOSITIO RIisdem suppositis, si per lineam, quae tangit sectionem factam a planci
per axem ducatur planum rectum plano per axem: ductum planum tanget solidum in eo puncto,in quo prindicta linea tangit sectionem.
IN eadem enim deseriptione, facta sectio a plano per axem solidi ducto, est ipsaIA BC, linea tangens eam sectionem est E C F, quandoquidem in plano tangenti apud C, constituta extra solidi superficiem, & perinde extra sectionem ABC cadit. punctum quoq; contactus C. dico itaque, quod planum ductum per E C F rectum super plano ABC ta git solidum in ipso C puncto ; secusenim sit aliud μ num rangens solidum apud C punctum: itaq: planum
ABC per axem per tertiam pracedemem rectum erit plano tangenti; sed &adem per hypollissi rectum est plano per ECF. itu er decinam .st m . m. munis lectio plani tangentis.& plant per ECFμπει dicularis erit super planum A B ta erit ergo talis communis sectio linea GC, quippe quae pre C commvn punctum planis incedit, A super ABC planum perpendicularis est. igitur tangens planum ducitur per GC lineam;& perinde secat ipsum ABC planum,de communis sectio ibit per C pactum: quare per 33. prim3 ωπα cadet intra sectionem AB C. eum linea E C F tangat sectionem; & ideo planumquod tangere supponebatur, secabit sectionem quod est absurdum; nullum igitur planum ductum per E C F lineam nisi recta plano A BC tangit in ipso C puncto solidum. quod Midemonstrandum.
Si sphaeroidem figuram duo plana aequid istantia tangant; linea, quae
contactuum puncta coniungit,per centrum sphaeroidis incedit. SPhaeroidem figuram, hoc est sphaeroides solidum ABC tangant duo plana aequia
distantia inmactis A, C i &eoniungatur linea recta AC. Aio, quod A Clinea per centrum sphaeroulas incedit. ponatur enim primo unum punctora contactuum,
260쪽
ut pura B in extremo axis foliis,' tunc perscan is coroliaraummaeiae uis, aetis perpendicularis erit plano tangenti apud R iud planum istud aequiuisiit planoram ti apud O. ergoper Hermam quartam II. Eucl. axis perpendiculari S erit,& plano tangenti apud O; sed per dictum σε in ax dis nulli tan-
gentium planorum perpendicularis est, nisi plano apud rextremum axistagenti. igit planum tangens apud l .. . - apud extremum axis tangit. extremum axis coniuncta . . '
axis est ,& ideo per centrum solidi incedit ; quod est ipropositum. sed ponatur Α sonta s non in eumn axis :& tunc ducatur per axem solidi, di per eontactum perdecim. sex. raeeae hiatu. I sfacta sectio ellipsis, quaesit An planumque ductum . l. i. a: per 3. huius, rectum erit plano tangenti apud A: quare, i&Tectum erit plano tangenti apud C. quoniam tali I Dgentia plana supponuntur aequidistare &ideo' /IMus istut per .ipsum Ccontactuspunctum; item plaoi I K ii
ducti, cum N nis tangentibus communes sectiones sint. lineae DCE, F A G, quae per I r. H. aequi- ' i Edistantes erum . di quoniam eonstinata sunt In planis O ..ui :. .. ytangentibus, ideo extra superficiem solidi ; & pGnde γextra ellipsim ABC cadent, ipsam ABCellipsim in punctis A, C tangent. igiturA C linea cuntactus iungens et . eome. element. ibit per centrum ellipsis ABC, boc est per mediu axis in ea ellipsi existentis, per ipsum videlicet solidi ABC
centrum sic Proponebatur demonstra adum. l. . t .
. . S C H o L I V M. ἴ i : 't . . PLana,quae tangunt figuram sphaeroidem hinc,&iade inextremis lineae per solidi
centrum ductae sunt aequidastantia. . . . . . . 'ci Ii I.
in ea item cui in deseriptione, si linea per ectitrvin inlicli ctavit axis ipse solidiltus cper a. oriatia equar. huius, perpendicularis est; uxis utrique tangentium plan rum: quare p- l . viare. Euc aequidistantia sitire tangentia plana. si autem linea per centrum solidi duista sit alia, quam axis.a tmc quoniaminio dum axis, de puncta contactuum sunt in codem planor ideoWr 3. huius, tale planum rectum erit strique tangentium planorum: quamobrem neceGest plana ipla tan gentia esse aequissis antia. Quoderat demoastrandum. I A
m . PROPOSITIO. VII. . Si sphaeroides solidum plano per centrum Gcto secetur e factorum segmentorum tam solida,quam supe scies luis 3 dinuicem aequales.
NAm siue secans planum incedat per axethii re ax sit rectum, utiq; figura sphaeroides secatur in duo solida sibi inuicem similia,&aequalia; ita ut alterum alteri coaptatum toti tam in soliditate, quam insta per icth congruat: unde quoniam quae congruunt sunt per communem conceptum aequalia, iam ut soliditates huiusmodi.& superficies aeqtrales erum ; sed id idem sequitur lubcumq; modo sphari oHes plano scindatur,modo planum per lolidi centrum incedat . fient enim duo segmenta inter se similia, &aequalia, ita ut coaptata congruanti veI quemadmodum facit Archimedes altera figura sphaeroides similis,& aequalis propositae figurae similiter plano producto secetur ; ita ut fac ta segmenta in hoc sint aequalia.& sim ilia factis in illo segmentis, utrumque utrique; unde per geminam solidorum coaptationem commutatis axium Duiligod Dy Oste