P.F. Fortunati a Brixia Ord. min. ref. prov. Brixiae ... Elementa mathematica in quatuor tomos digesta. .. Tomus primus algebrae synopsim, generalem proportionum doctrinam, ac utriusque progressionis theoriam, & praxim continens

211쪽

THEO REM A XXIII.

Si quatuor magnitudines proportionales per eandam quanti. ratem maltiplicentur, Producta erunt proportionalia.

Is6 Esto A. a 'B. ι, omnesque termini per eandem quantitatem d multiplicentur, productaque fiant Ad, ad M, M. Dico, esse M. ad ' M. M.

Demonstratio.

tur si quatuor magnitudines occ. quod erat ostendendum. COROLLAR UM. Si plures magnitudines continuo proportionales per eandem quantitatem mitiplicentur, pro isa erint itidem continis ister se proportionalia. is7 Videlicet si fuerit H a. b. c. d, erit etiam ax . bx. cx. dx. Etenim Ob hypothesim erit a. b 'b. e ' e .d cg . Ergo erit ax. M a M. ex Tm. b s ac proi

212쪽

Si prima ,σ secunda quatuor magnitudinum prest mnasium per unam quantitatem multiplicentur, per aliam vero tertia, o quaria, producta erunt proportionalia.

168 Esto A. a zzB. b. Duae autem magnitudines Α, a multiplicentur per x, & duae B, b per 3'. Dico, esse Ax. μ' η'. M.

Enimvero, eum sit Ax. o 'Α. a ta ,& per hypoth . sim A. a ta B. b, erit quoque M. M a B . b cbὶ . Est autem P. M IB. b e . Ergo erit etiam Ax. ax z R. ω d . Itaque si prima Sc. quod erat ostendendum.

COROLLARIUM. Si prima, ct terris quatuor magnitudinum proportionalium Per unam quantitatem multiplιcentur, per aliam vero secunda, σ quarta , producta erunt propretionalia.

19 Si nimirum fuerit A. a et B. b, erit etiam Ax. ο' M. M. Quandoquidem si ponatur L. a 'B . b, erit quoque Α . B' a. b leθ; ac proinde Αx. ab . is f). igitur erit etiam M. O TM. g .

THEO REM A XXV.

Si quatuor magnitudines proportionales per eandem quantitatem dividantur, quotientes erunt geometrice proportionales.

Iω Sit A. a a B . , Omnesque termini per eandem B b quam

213쪽

- ας. Dico, esse m. n tap. q. d

e cfὶ; adeoque Em. n. p. q. THEO REM A XXVI. .

t prima , O secunda quatuor minitudinum proportionalium per unam quantitatem disidantur, per aliam vero tertia ,σ quarta, quotientes erum inter se proportionales.

x II q. Dico, esse m. nta p. q.

214쪽

Liber LDemonstratio

Est enim reri. n A. a a . Cumque sit per hypothesim A. a z B. b, eat etiam m. B. bcb . Constat autem,. esse p. q B. b c . Ergo erit quoque m. n tap. q dὶ .. Itaque si prima M. quod erat ostendendum. c O R O L L A R I U M

A prima, tertia quatuor magnitudinum Proportinalium ' per unam Pantitatem diυidantur per aliam vero secunda, σ qμarta, quotientes erint proportionales. 163 Si nempe suerit a B- b. Ponatur autem

Fractiones eundem denominatorem basentes , sunt direm in ter se, ut numerascires, ct qaa habent eundem numeratorem, sunt inter se, ut denomoatores reciproce. .

215쪽

Demonstratio. a b

sint modo duae fractiones - , - eundem numerat . I x rem habentes. Dico, eas esse, ut denominaicu es reciproce ,

videlicet esse - . - π X. I. I ad

Reductis fractionibus ipsis ad idem nomen ceὶ , ςrst

216쪽

Liber L

Si anteeedentes plurium rationum termini , sicuti etiam ipserim confePentes inter se mutuo respective multiplicentur , pro ducta , qua inde funi, erunt inter se in ratione eom, ν ita ex illis omnitas rationibus datis.

I67 Rationum- , - , - antecedentes terminiΑ, Ba b d quemadmodum etiam earundem consi uentes a, b, d, multiplicentur respective inter is mutuo, & fiant producta AB abd Dico, productum ABD esse ad productum ald in ru

tione composita ex rationibu S - , .

217쪽

ABD a b d rationis 3 - -ta . Ergo ratio producti ABD ad productum. abd

g en composita ex rationibus - , - , - b . Itaque si I o a b d antecedentes M. quod. erat ostendendum. O O R. o L L A R I II M RSi fuerint quatuor naagnitudines , productum ex ductu prima in tertiam est ad productum ex ductu secunda in quar.

tam in ratione composita ex ratione prima ad. secundidam. O ex ratione tertia ad quart- .im Positis nempe quatuor magnitudinis Α, a , B, b ,. productum AB erit ad productum ab in ratione composi' A B. ta ex rationibus - . Est enim M productum ex ante-

cedentibus, & ML est productum ex consequentibus ipsarum rationum terminis.c O R O L L M II: p fuerint quatuor magnitudines ., productum ex ductu prima is,

secandam eris ad priauctum ex iactu. tertia. in quartam inerat-e cmposta ex ratisne prima ad tertiam, oe ex rusime fecunda ad quartam.

169 Vadelicet positis magnitudinibus Α, a, B, bierit in

218쪽

Liber I

S c Π o L I o et o Ut igitur determinetur ex mens rationis ex pluribus rationibus datis compositae, multiplicandi sunt inter se mutuo ipsarum antecedentes termini ex una, & earumdem consequentes ex altera Parte . Fraciis enim ex hisce productis iacta rationem quisitam determinabit. Ut si de-

finire Morteat rationem compositam ex rationibus

multiplicatione antecedentium 2, 4, 3 , sicuti etiam inquentium 3, 7, 9, cum sit Σκ κs ta o,&3κ7κ9

- 63 . δο9, ratio, quae exprimitur per tactionem --, erit ratio quaesita. a D

. Si quatuor magnitudines proportionales per totidem proportiona las seorsim multiplicentur,producta erist proportioηalia.

- , sive . . M a Dd. Ff c . itaque si quatuor magnitudines &c. quod erat ostendendum.

219쪽

Elementorum

c OROLLARIUM. Si plures magnitudines eontinita proportionatis per totidem cret nvo itidem proportionales seorsim multiplicentur , producta erunt continuo inter se pro rtionalia. i71 Si nimirum fuerit se A. B. D. F, & τῆ a. b. d.Lerit similiter Bb. m. H. Est enim Α . B VB . D et D. F, sicuti etiam a. b zzb. d T d. f . Igitur erit M. MVr Bb. Dd Dd. Ff bὶ, seu ora. Bb. Dd. V Q. cc MOLIO . . Ua73 Hinc ostenditur artificium multiplicandi fractiones inter se mutuo, quod alibi tradidimus id , videlicet in eo illud consistere, ut ipsarum numeratores, atque denomina tores inter st mutuo respectris multiplicentur & ex productis, quae inde fiunt, tactio constituatur. Sit enim fi actio

- mltiplicanda per fractionem - Quoniam ergo denomi,

nator cujusvis fractionis unitatem ad luat se ; omnisque fractio se habet ad unitatem, ut ipsius numerator ad suum

bd igὶ , seu -zz - hin. Fractio autem - exprimit valorem 1 M Iproducti ex valoribus m,n inter se multiplicatis; cum sit

i . Ergo fractio quoque - valorem designabit pro-I bdducti,

220쪽

Liber L .

Si quatuor magnitudines proportionales per totidem proportionales seorsim dividantur , quotientes erunt quoque inter se proportionales .

Demonstratio.

a. bta d. f. Ergo erit - d). Constat porro, esse

t), atque adeo m. nza p. go . Itaque si quatuor magnitudines occ. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM. Si plures magnitudines continuo proportionales per totidem continuo seorsim proportionales dividantur , quo-rientes erunt semiliter continuo proportionales.Aa PF Si nempe fuerit ε.R. D. F,&-- a. b. d, nec non '