장음표시 사용
121쪽
2or. Quoniam vero arcus fimi Ies sunt ut integrae circumferentiae , hae quoque erunt in ratione radiorum suo.
xor. Praeterea cum et rculi spectari possint ut polygona similia ex lateribus rectis numero infinitis , & infinite parvis eonstituta , peripheriae quoque polygonorum erunt inter se ut radii circulorum , quibus inscribuntur , velut normales a centro ad latera ductae.
a 3. Animadvertatur hie velim quod eum dicimus ei culum adsumi ut polygonum ex Iateribus numero infinitis, R infinite parvis constitutum , scilicet peripheriam circuli componi ex lineolis rectis numero infinitis , & infinite parvis , hoc intelligendum sit non quidem absoluto , sed figurato quodam sensu . Secus enim cum latera numero realiter infinita certis quibusdam Iimitibus , iisque peranis xuilis circumscribantur , admittenda forent in sinite minima realia , quae concipI quidem a nobis poetant , realiter vero existere non possunt. SCHOLION II. 94. Nune vero , ut anguli se in recti trisectio suis numeris absolvi possit , demonstrandum nobis est quomodo dato quadrato BADC tio 1. inclinanda st ex puncto B recta BGE , ut si GE aequalis datae ΒΗ ἔ. quod me facturum in scholio pro p. 14. Cap. 3. r. Sect. OO PQ adcr/in. Ponatur itaque CF αα CH , & si per BF fiat semi Diqitigod by Cooste
122쪽
regulariam in circulo. PROPOSITIO CX.Lys. T Aiae euilibet figurae regulari . aequilateraesti licet , & aequiangulae circulum circumisseribere , ut nempe sngulos angulorum vertices tanoat.
Dividantur bifariam aequa Ies anguli figurae per re.ctas CA . CB , CD , CE , CF , CG , &c. secabunt se mutuo rectae illae in puncto C, eruntque inter se aequales. Cum enim rectae AC , GC conveniant in puncto aliquo C , essicient triangulum ACG , eademque ratione rectae GC , FC aliud triangulum GCF constituent . Sed triangula illa aequantur inter se ; Nam cum anguli figurae regularis sint inter se aequales , & secti sint bisariam . ut quales erunt anguli C AG , CGA, nec non anguli CGF CFG ; aequantur praeterea inter se latera AG , GF , qua
123쪽
AC α FC α cG , & ob eommune latus CG pulictum In. ters ctionis C rectarum AC . GC cadet in puncto interis sectionis C rectarum GC , FG ; idem eodem plane modo osten litur de aliis rectis EC, DC &e. unde punctum C est centrum circuli quaesitum.
COROLLARIA.2ς6. Unde constat radi s a tentro figurae regularis ad vertices angulorum ductis figuram dividi in tot trian. gula i stelia , & aequalia , quot sunt figurae latera , &laius quodlibet figurae esse chordam arcus, qui aequatur quo. to ex 36 o. gradibus per numerum laterum divisis. Ita latus trianguli aequi lateri est chorda arcus iso. grad. Quadrati Iatus est chorda arcus 9 o. grad. Latus pentagoni est chorda arcus 7 h. grad. Latus hexagoni est chorda arcus Go. grad. Et si e de ceteris. 297. Hinc patet latus hexagoni reguIar Is eireu Io Inis scripti aequari radio circuli. Si enim ex centro C ducaniatur rectie ad singulos hexagoni angulos , dividetur in sex triangula aequilatera , ob radios CA , CG aequales , &angulum ACG α 6 o. grad.; ergo reliqui anguli aequan. tur ino. grad. Est autem angulus C AG CGA . quare
x s. Πῖe vero ut nonnulla dicamus de mensura anguis lorum in s guris segularibus , aio quod si proposita fuerit figura regularis , angulus ejusdem aequatur differentiae inter duos rectos , & angulum ad centrum. Cum enim in triangulis iso stelibus aequalibus GCF . FCE aequentur
124쪽
summae angulorum CFF , CFE triangulι CEP . Quoniam vero anguli omnes trianguli sunt duobus rectis aequales, angulus GFE figurae aequalis erit disserenitae inter duos re clos , & angulum ECF ad centrum . Hinc si is exis primat numerum Iaterum figurae regularis, exprimet
angulum ad centrum eiusdem figurae, & 18o - ΦΓ, sive
ipsi aequale igo 2.- exprimet angulum figurae,
adeoque a Nomina Latera Ang. ad centrum Ang. Figura Triangulum s
xyst. Cuilibet dat e figurae regulari circulum inscribere qui nempe singula tangat polygoni latera. Cum latera figurae regularis eirculo inscriptae toti dem sint chordae aequales , chordae illae a centro aequa. liter distabunt. Hinc si ex centro C demittantur norma. les CI . CII , huiusmodi normales bifariam secabunt choris das AG , GF , ervoque inter se aequales , ac proinde Per Disiligod by Cooste
125쪽
per omnia normalium extrema e Ireuyus destribἰ poterit , qui singula figurae latera tanget in puncto medio. PROPOSITIO CXII. 3 n. Figuram regularem dato circulo circumscribere. Dividantur 36 o. gradus per duplum numerum laterum figurae, sumtoque a cu ΚΗ , qui sit quoto aequalis , per extrema Κ , H ducantur radii CR , c Η , & producatur indefinite recta CX , deinde ex puncto H agatur recta FH G ipsi CH perpendicularis , quae occurrat indele mi. natae CG in puncto G , & fiat H F α HG , erit GF latus figurae quaesitae . Eadem prorsus ratione invenia tur alia figurae latera.
Circulo dato figuram regillarem inscribere. Numerus 3 so. grad. dividatur pcr numerum Iaterum figurae quaesitae , & in dato circulo adstumiar arcus huic quoto aequalis , erit chorda hujusce arcus figurae quaestae latus . quare si chorda illa per totam circumserenistiam transferatur, habebitur figura quaesita.
. PROPOSITIO CXIU.3ox. Super data recta GF quodlibet polygonum regu lare desct iberet n. ro. Intelligatur polygonum regulare circu 'o inscriptum quod simile sit polygono quaesto , & ex centro circuli C ducantur radii CO , γ ad angulos polygoni inscripti, in 'κ super data GF construatur triangulum aequi rure GCF simile triangulo aequicruri OV ; M iacto centro in C radiis Distrigod by Cooste
126쪽
3o3. Εωelider elementorum suorum lib. 4. figuras regulares circulo inscribere , & circurn scribere docet , at nonnullas tantum attingit . Nemo enim figuras laterum P . 9 , II , Sc. geometrice describere hactenus docuit. Cum vero earundem descriptio pro Architectura militari tantum necessaria videatur , ad quam descriptio figurarum practica , sive mechanica longe utilior , quam geometrica, hine factum est ut parum utile daXerim universam eiusdem libri doctrinam operosius demonstrare. Illud vero hoc loco minime praetermittendum est Cl. Rinaldinum regulam pro posuisse cujus ope quaelibet figura regularis dato circulo inscribi possit. Sed quando , ut est hominum conditio , Vir doeliis mus in hac regula stabilienda lapsus est , non abs re erit eandem hic breviter ad examen revocare. Regilla est eiusmodi . Super diametro AD dati eiretili D. ro facto triangula aequilatero ALD , sectaque AD in quot Iιbet parter juxta datum quemlibet numerum n , quarum parotum duae reliquantur in DN imus AD , si docta LII pr
duratur usque ad cireumferentiam occurret areni in f , Defit pars. eirea ereuriae a numero re denominata , recta
vero subtensa u latus figurae ab n designatae. Sit itaque DC α - , seu 2 AD, erit, iuncta LCG, DG quadrans ei
tuli. si DΗ sint 2 aut ' Α D, erit re per ipsam LM
127쪽
determinata latus hexagonis , aut trigoni aequi lateri . Et quidem quoad primum secetur diameter AD in partes aequales initia sumto a puricto D , palet in recta DG duas ex iisdem partibus contineri ; producatur deinde re.cta LC donee oecurrat p ripheriae in puncto G , mani senum est rectam GD esse latus quadrati inscripti , quippe singula latera trianguli LCA aequantur singulis lateriis bus trianguli LCD ergo eadem triangula sunt aequi angula . unde angulus ACL LCD , ac proinde uterque rectus ; Rectae igitur AD , LG rectum angulum in centro constitu'ntes , circulum in 4 partes aequales secabunt, proindeque si puncta interscctionis earundem cum periph ria et rculi rectis lineis connectantur , constituent quadrais tum AGDU. Quoad secundum dividatur diameter AD in sex paristes aequales ita ut DII sint duae divisionis partes . & expuncto L per H ducatur recta LΗ . quae producta oecuristat peripheriae circuli in f, si iungatur so . erit haeelatus hexagoni , sue circuli radius . Et quidem ponatur in vere essie latus hexagoni , & duea ur recta n diame. trum secans in puncto H , patet DΗ debere esse tertiam diametri partem . Id autem verum esse sic probatur; Iun. gat ut Cf. Et quoniam triangulum DCf est aeuu laterum, erit & aequiangulum . quare angulus Η - ΗAL , hine
triangula LAH, fOΗ sunt similia, unde AL r fm α ΑΗ RD . Sed AL est dupla ipsius fD . ergo & ΑΗ est duapla ipsius Ho , proindeque AD tripla ipsus Ho.
Quod vero spectat ad tertium . sive ad id seriptionem trianguli regularis , dividatur diameter AD in tres aeoua. Ies partes ita ut A Q sit tertia pars diametri . & QDduas comprehendat divisionis partes ἰ ducatur deinde Lin,& producatur donee peripheriae circuit oecurrat in o ,
juacia OD erit talus trianguli aequiliteri circulo inseri pii.
128쪽
pti. Et quἰdem esto GD latus huiusmodi trianguli , Ω s
per AD construatur triangulum aequi laterum ADL , &dueatur OL diametrum secans in Q , demonstrandum est Ain esse tertiam partem ipsius AD , vel CQ tertiam partem radii ; Quoniam enim angulus ΑCo est 6o. grad. erit angulus ADO ' 3o. grad. sed angulus ADL est σο.grad. ergo angulus L DO erit sto. grad. nempe rectus: Iam vero ducta recta ΟM erit diameter circuli ; quippe an eulus ODM eum fit rectus, est in semicirculo , ae prora. de recta ori transit per circuli centrum C. Ducantur ita que NM , & LC. Et quoniam recta o D subtendit aris cum trientis , & OM dimidium circumferentiae eirculi . ipsa D M subtendet arcum sextantis , nempe aequalis erit radio , adeoque & NM. Quoniam igitur ΑD dupla est
ipsus NM , adeoque & LC ipsus LS, erit ob similia tri angula LSR , LCQ . QC dupla ipsius RS , & ob trian. gula itidem similia OQC , ORM , erit eadem QC semin sis ipsius RM ; aequantur ergo dupla ipsius RS , & dimidia ipsius RM , vel ipsa RH est quadrupla ipsius Rs et Itaque s M est tripla ipsius RS ; Est autem LM : QC ms M i RS , eum i Ilae sint harum duplae , ergo LM , vel radius est triplus ipsius QC.
129쪽
to , cui etiam aequatur rectangulum AED , quocirca AEM E 9 α CI H ED; unde ΑΕ m Gl. Iam vero duo simul quadrata AE , & Eo dupla sunt ium quadrati AC, tum quadrati CΗ t quod z: L AC , unde ejus duplum
adhue semel ipsum AC adaequat hoc est aequantur trLplo quadrati AC . sive uni quadrato CL perpendicularis ad basim trianguli aequi lateri , ergo sola AE . vel huie aequalis C I minor erit ipsa CL , di ficii enim quadratum illius ab hujus quadrato per quadratum D E , itaque punctum I est insta L. Ergo regula Rina Mini locum habet
tantummodo in triangulo aequi latero , in quadrato , & in hexagono . ac proinde non est universalis. Et quidem non desunt rationis , quae plane evincant fieri nullo mo
do posse ut huiusmodi regula generalis inveniatur; Regu laris enim figurae descriptio non est problema unius eiusdemque gradus pro figuris omnibus . sed diversi pio varietate figurar Lm. Et quidem constructio trianguli , te tragoni , pentagoni hix goni , octogoni , &e. est problema planum, quod ope circini , & regulae construi potest. At vero eptagoni constructio est altioris gradus . perfi- eique non potest nisi sectonum conicarum praesidio . At si .era foret regula Rinaldiui constructio eptagoni aliarum. que figurarum esset problema planum; patet enim quod iuxta hane regulam eonstructio ipsa semper haberi posset per et Meinum , & regulam ; quare non alienum est rationi exi stimare successum elegantem in nonnullis se ut is simplici bus sontem suisse erroris in quem lapsus est Rinaldinuo
ubi hanc tegulam stabilivit . Exinde autem conligi poterit
130쪽
in mathematieῖs disciplinis haud fidendum exemplis & imis persectae inductioni , ut saepe fieri solet.
PRO Pos ITIO C XU.3o4. Q Uperficies parallelogrammi reelanguli aequat s esto producto ex basi in altitudinem c n. g.
Esto parallelogrammum rectangulum ABDC , cujus al. It udo AC eertum numerum pedum contineat , ex gr. 3, ha sis vero AB s pedes habeat. Patet divisum concipi pos se paralIelogrammum in tres superficies aequales ut CE, quarum unaquaeque s. minores superficies quadratas eon tineat , si ve s. pedes quadratos ut vocant. Habebitur ita. que area totius parallelogrammi si tres pedes quadrati qui in prima super fiete eontisentur toties adsumantur , quot sunt aequales superficies ut CE ; quare tota super.
eies , vel area parallelogrammi erit m 3 H s zet is peiadibus quadratis a Quod si quilibet alter partium numerus fingatur , erit eadem demonstratio etiamsi altitudo , de ba. sis parallelogrammi ponantur incommensurabiles. - COROLLARIA. 3o s. Quoniam vero triangulum semissis est parallelo. grammi , habebitur superficies trianguli rectanguli . si . dimidium productum ex aestitudine in basim accipiatur. 1 O a suo. Quia Di iligod by Corale