Institutiones geometricae in usum adolescentium adornatae auctore Raynerio Bonaventura Martini pisano in patria academia publico theoreticae medicinae professore

31쪽

1rum, simplexque divaricatio , non autem extensio, vel quanistitas , utpote nulles habens partes, dici non potest duplus ,

triplus &e. alterius anguli , cum revera hoc ipsum de quam litate eum alia homogenea comparata tantummodo adfirmari possit . Quoniam Vero mutua linearum positio ex angulo. rum notione proficiscitur, hine.

DEFINITIO X. a 3. Recta linea AB n. a. dieitur esse alteri perpen

dieulatria veI normalis , cum in ipsam incidens facit anguinios , qui deinceps sunt, nempe ABC, AID aequales, Mhujusmodi anguli vocantur recti. Quod si recta EB inaequa Ies angulos constituat eum recta CD, & angulus L BC sit maior angulo FBD , recta EB uocatur obliqva in rectam CD, angulus vero ma)or EBC obtusur, minor autem ABD acutua adpellatur.

4. Animadvertendum hie est non solum aequales esse inter se rectos angulos , qui sunt deinceps ad unam eandemque Iineam alteri perpendicularem, sed etiam quemlibet rectum angulum aequari alteri recto super aliam rectam eonstituto . Si enim rectae CD cui normalis est ipsa BA superponaturrecta RS , eui normalis est recta QO, posito puncto a suis pra punctum B , patet normalem BA congruere ipsi QO .s enim recta . eaderet extra rectam BA, ex. gr. in Be angulus RQΟ minor esset angulo CBA, & anguIus Ous major angulo ABD , quare eum sint aequales anguli CBA ,& ABD, non aequarentur anguli R., OQS, eum iIIeminor sit priore, hie vero major posteriore, qui aequ)lis erat PDori, necesse est igitur, ut normales . , BA cor

32쪽

gruant inter se, proindeque rectus angulus CBA sit aequa. Iis alteri R O , & rectus ABD sit aequalis ipsi Oas, scili-eet rectus recto aequalis ; P0nimus enim tanquam notum ipso naturae lumine ea aequalia esse, quae persectissime congruisunt inter se .

de scribatur, ductaque diametro AB ipsi ex centro C intelligatur erecta normalis MN , recti erunt anguli A CN, N B &recti pariter oppositi ACM, MCB ac proinde omnes inter se aequales ; quare cum binae illae diametri totam circuli peti pheriam in quatuor aequales partes dividant, quae proinde erunt mensurae eorundem angulorum rectorum, hinc quarta pars eiusdem peripheriae , quae 90. gradus continet , erit me nissura anguli recti .

DEFINITIO II.

x s. aeqviainanter, seu parallel. V lineas vocamus , quae . cum in eodem sint plano eandem semper ad invitem disianistiam servant , & quarum proinde nulla est inelinatio mutua ; hine in infinitum etiam productae nunquam concuria ent , nee proinde angulum. constituent .

α . Si eommunem Geometrarum morem sequi foret anῖ. mus, plurima hie postulata & aκiomata essent adiicienda. in quibus geometriae fundamenta consistere arbitrantur pleiarique Geometrae. At vero non abs re futurum putavi , si utraaue hic omitterentur . Quis enim postulata quod atti-B net

33쪽

net primo statim intuitu non videt rectam lineam a puncto ad punctum duci , lineam rectam produci , circulum dato quolibet intervallo describi posse Quid autem quaeso opus

est axiomatis circa totussi , eiusque partem , ut portionem rectae lineae tota linea , & portionem anguli toto angulo minoiem esse demonstres Praeterea quis revocare in dubium poterit , quod si ex. gr. duae rectae lineae aequentur uni icrtiae , eae quoque aequales sint inter se, quod si aequalibus rectis lineis addantur , vel subducantur aequales lineae illine aggregata , hine vero res dua sint pariter aequaria λ Unum dumtaxat ex tanto axiomalum numero , quae geometricis de inon strationibus praemitti solent , mihi telinendum , atque in hisce institutionibus ustirpandum principium, seu axioma iudicavi, quo statuitur ea esse inter se sequalia quae perscctissime eongruunt , si sibi mutuo superponi intelligantur. Licet autem hoc uno principio cum angulorum

mensura per arcus circulares coniuncto plurimae propositi nes ad Mementarem linearum geometriam pertinentes demo nostrari possint , ut re ipsa praestiterunt nonnulli , qui Geometrae , & Philosophi longe Clarimini Alembertii vestigiis in .ssilerunt , tamen cum, operationes geometricae per angulo. rum mensuras ex arcubus circularibus desumtas Mechanismum quoddam redolere videantur, neque omnes linearum rectarum

rum se invicem in circulo, tum se cum illius circumstremtia secantium proprietates per duo illa tantum principia rigidiore methodo demonstrari possint , aliam mihi viam tum in constructionibus conte cendis tum in absolvendis demons rationibus ineundam ex illima vi , ut ante considerationem linearum rectarum respectu ad variam cireuli positionem lineas rectas eonsiderem, quae angulos constituunt , ae proinde spatium , vel figuram aliquam comprehendunt , qud Iinearum rectarum respectu eirculi cons de ratio rigidioribus d

monstrationiblia superstruatur; neque enim satis est , ut qui

34쪽

geometric 's discipi n s primum navadt op ram veritatem eius quoquomodo . percipunt, quod Ouia solvendum aut demio. i iandum proponitur, sed ita ei iam percipi aut, ut rigidioribus demonstrationibus paulati tu adsuescant , atque adeo naturalem ratiocinandi facultatem perficiant.

. . .

,8. Si recta BE incidat ' quoquo modo in rectam CD, an. euli CBE', DBE duobus rectis aequales erunt i 9. 1. si BE si normalis ipsi CD, res patet. Secus intelliga. tur ducta BA perpendicularis ipsi CD; Et quoniam maior angulus CBE rectum angulum CBA excedit angulo ABE. quo deficit minor angulus DBE a recto D BA, patet sum. mam angulotam CBE, DBE aequari summae duorum rect

COROLLARIA.

xy. Ηἰ ne patet, quod dato uno angulorum , qui sunt

deinceps, aIter itidem detur, est enim complementum 'prio. iis ad duos rectos; iuvenitur autem si datus angulus subtrahatur a igo. gradibus, nempe a duobus rectis, residuum nam. que erit reliquus angulus.

3o. Patet etiam quod si plures lineae AB . EB occurrant in eodem puncto B rectae CD, erit summa omnium angulorum C ΒΑ, ΑΒ E, EBD ad eandem plagam rectae' CD eon. stitutorum aequalis duobus rectis, sunt enim duo recti in olures partes secti . ' - - . Praeterea si ad idem punctum B rectae lineae AB duae rectae CB. BD non ad eandem partem positae saeiant an gulos ABC, ABD duobus rect S aequales , rectae BC, BD erunt in directum positae stilicet rectam lineam constimenta B Ue

35쪽

Demonstrari et Iam se potest ; nisi recta BD lineam rectam constituat cum ipsa BC , erit alia quaevis BE in directum cum ipsa BC , erunt igitur anguli CBA . ABE ducibus rictis aequales. quare anguli CBΑ , A BE aequabuntur angulis CBA , R BD, ablato communi CBA , patet fore angulum ABE α ΑBD, quod est absurdum . 31. Si duae rectae se inuicem secent in aliquo puncto. anguli circa punctum illud 'onstituli sunt quatuor rectis ae

quales .. .

3 3. Quod si in eodem puncto se mutuo seeent plures Ilianeae, anguli omnes ei rea punctum illud consti tuti erunt pa .riter aeq tales quatuor rectis , Sunt enim quatuor recti in plures partes secti. 34. Ab eodem puncto B rectae CD duae rectae perpendiis Culares non erigentur ad eandem partem; si enim ipsae BE, BA forent ambae eidem CD perpendiculares , essent anguli CBE , CBΑ ambo recti , ac proinde ac quales , quod est absurdum.

PROPOSITIO II. 33. Si duae rectae CD , ΕΚ se invicem secent in puncto

aliquo B , erunt auguli ad verticem oppositi CBE , DBΚ inter se aequales , itemque aequales anguli oppositi CBS .EBD. Cum enim anguli CBE, EBD utpote aequales duobus reclis aequentur angulis EBD . DBΚ , qui pariter sunt duobus rectis aequales, patet quod si auseratur eommunis EBD, suis Pererit angulus CBE aequalis ipsi DBΚ . Eodem modo ostenditur aequalitas angulorum CBT, EA D.

distent

36쪽

ctis Α, & B, duo vero ruicta Iineae reciae positionem determinent, Omnia eiusdem rectae puncta aeque distabunt ab iisdem punctus A , & B , ac propterea aequalis erit utrinque Inclinatio rectae CN ad rect m AB , unde anguli A CN, BCN

aequabuntur inter se, & recta NC erit ipsi AB perpendicularis.

37. Ex quolibet puncta C rectae AB duci potest huie pera

pendicularis CN, si resectis in ipsa AB rect s aequalibus CE, CF, ex punctis E, & F dato quolibet intervallo describantur arcus circuli se mutuo secantes in G. quippe recta CG per puncta C. & G traducta eli quaesita normalis, ob aequales distantias EG, FG , nee non CE, CF. Quod si punctum C vfuerit extremum rectae lineae AC , haec producenda erit versus B , & operatio instituenda ut supra. 38. Pariter ex puncto G extra lineam indefinitam AB dato duci potest huic perpendicularis GC. Sumantur enim eκ puniacto G aequales utrinque distantiae GE , GF , ac deinde eN. punct s E , F tanquam centris eodem intervallo describantur arcus circuli se mutuo secantes in puncto Η, ducta GH erit datae rectae ΑΒ perpendicularis ob aequales distantias GE, Gr. nec non HE , I F. 3'. Non absimili modo bifariam dioiditur recta quaev sEF. Ex punctis enim E, & F tanquam centris, & eodemiatervallo describantur arcus circuli se mutuo secantes in . G, ac Disiligod by Cooste

37쪽

O , le dein te ex iisdem punctis alio quolibet , sed eonstanti

intervallo describantur arcus se invicem secantes in II , rimGH per puncta G, & Η traducta ipsam EF aequaliter diis videt in puncto C; quippe puncta singula lἰneae GH aequa. liter distant a punctis E , 6t F unde EC m CF . Eodem plane modo dividitur quaelibet EF, in 4, 8, I 6. &e. partes aequales, si semisses ipsius EF, & harum temissium semis. . ses, atque ita porro ι bifariam dividantur.

PROPOSITIO IV.

4o. Not malis est brevissima dinearum omnium rectarum quae ex dato punctin ad datam rectam duci possunt. Esto NC dicta normalis ι quae producatur in M, ut sit NC CM, ducantur autem ex puncto N aliae rectae Iineae NA, N B, erit NC NA, vel NB. Ductis enim reis ctis A M. BM erit NA α AM , & NB M BU ; nam cum sit AB normalis .ipsi NM , punctu in C, quod est duabus hisce rectis commune, non posset aequaliter distare, ut reis

vera aequaliter distat , a punctis N , M, nisi alia puncta ut Λ . B non distarent aequaliter ab iisdem punctis N. M. Est ergo NA et: A M. & NB m BV ; Atqui recta NC Mminor est duabus rectis NAM , quare NC semissis ipsius NH minor est ipsa AN, quae dimidium est duarum NA, AM , & se de ceteris.

COROLLARIUM.4r. Hine patet normalem recte adsumi pro mensura diastantiae a dato puncto ad datam lineam , & vieissim. Si quidem in inveniendis distantiis quaeritur linea omnium brevissitna, quae ex dato puncto ad datam lineam duci pos

sunt. Diuili od by Cooste

38쪽

1 s. sunt . Atqui normalis est huiusmodi linea brevissima, ergo patet propositum.

. . . .

44. Si in rectas parallelas CE, FH inei dat recta EA.

erit r. angulus BGF qui vocatur externus aequalis angulo BD C. qui dicitur imernus, & oppositus - 2. aequales erunt

anguli CD G, DGΗ , qui vocantur averni; s. anguli in-rerni & ad eandem plagam constituti FGO , CDG aequales erunt duobus rectis. t fg. 4. m Cum lineae parallelae eodem a se invicem ubique dia flent intervallo, notum est ipso naturae limine eandem esse utriusque parauelae FH, CE ine linationem ad rectam AB, proindeque angulum BGF aequari angulo BDC. Praeterea cum angulus DG Η sit aequalis ad verticem opposto angulo FGB , aequabuntur inter se pariter anguli CDG . GDHqui sunt alterni. Denique cum anguli BGF , D GF sint duobus rectis aequales , duobus itidem .rectis aequales erunt

anguli CD G, FG D. COROLLARIA.

43. Ηἰne si fuerit angulus BGF aequalis interno oppa . sito GDC , vel si aequales suerint anguli alterni CDG. DGΗ , vel demuni si interni ad eandem partem positi an guli CDG , FGD aequentur duobus rectis , erunt rectae Pri , CE inter se parallelae . Sit enim primo angulus BGF aequalis interno GDC , patet ipso traturae lumine eandem esse rectarum CE , FH inelinationem ad rectam AB, ae proinde illas et se inter se parallelas . a. Cum aequa. les sint anguli alterni CDG , ΗGD , ae 3. eum simul aviquentur duobus rectis anguli interni ad eandem partcm po

39쪽

sit CDG , FGD , semper erit angulus externus BGF ae. qualis i merno opposito GDC , ac proinde reciae CE, FRerunt inter se parallelae. 44. Si duae . rectae CE , Κ xl fuerint eidem rectae FAparallelae , erunt & inter se parallelae. Cum enim recta. rum CE , Κ M inclinatio ad rectam ΑΒ eadem sit ae . inclinatio rectae FH ad eandem AB , eadem qntique erit utriusque CE , Κ M inclinatio ad ipsam ΑΗ , unde illae sunt inter se parallelae. 4s. Ex dato puncto L duci poterit linea KLM ipsi pΗ paralleIa , si ex puncto dato L demittatur recta Lo no malis ipsi FH , ac deinde ex eodem puncto L erigatur LΚ ipsi LO pe pendicularis , quae producatur versus M , . erit namque recta KLM ipsi FH parallela ob angulos alis ternos aequales KLO , LOII utpote rectos. 4 s. i Per idem punctum L eidem rectae FH parallela nonnisi lintea duci potest . Secus emm esset angulus GL MI me OLN, utpote uterque aequalis alterno , quod est absurdum .

CAPUT H.

De lineis renis angulos eo restituentibus sipae uin octaudentibus , scilicet de proprietatibus figura,

rum rem linearum . DEFINITIO Ι. 47. Igura plana rectilinea , vel simplὶc ter Figura recti x tinea est superficies plana rectis lineis terminata i . DEFINITIO II. Α . Triangulum rectilinemn est Figura tribus rectis ii neis

40쪽

neis terminata, quarum duae si rectum anguIum eonstituant triangulum vocatur rectangulum, si obtusum angulum eo inis prehendant dicitur obtusangulum, si vero tres rectae constituant angulos acutos omnes , triangulum adpellatur acutan. aurum .

ρ. Parallelagrammum est Figura quatuor lineis, vel Iateribus rectis terminata , quorum opposita sunt parallela; si praeter opposita latera parallela anguli omnes sint recti, dicitur rectangulum a s praeter angulos rectos sint latera omnia inter se aequalia, vocatur quadratum. Quod si singula Iatera sint inter se aequalia, anguili vero non sint recti , dicitur ν bombur I rhomboider vero nuncupatur, si op. posita tantummodo latera, & anguli se Invicem adaequent. Denique trapetiam dicitur spatium illud quodcumque sit, quod quatuor Ialeribus comprehenditur, sed non est paralis telogrammum aDEFINITIO IV.

so. Diameter , vel Diagonium euiuslibet quadrilateri di. citur recta illa , quae per oppositos illius angulos ducitur , PROPOSITIO VI.st. Ex datis tribus rectis AB , BC , CD , quarum duae quomodolibet sumtae sint tertia maiores triangulum BGC construere n. s. Oportet autem ut binae quoquomodo sumtae sint tertia maiores ; nam duo latera eujus vis trianguli quomodocumque accipiantur sunt tertio maritora, ut patet ex desinitione lineae rectae r