Institutiones geometricae in usum adolescentium adornatae auctore Raynerio Bonaventura Martini pisano in patria academia publico theoreticae medicinae professore

61쪽

menium eῖreuli ea pax dati anguli iacto angulo SNL qui datum adaequ i , & super NL erecta normali NM , mox super NS facto angulo NSC α SNM , ex puncto C . in quo SC secat ipsam NM, tanquam centro intervallo CN de. scribatur circulus NSM , erit namque segmentum N S M su. pra datam NS constructum sapax dati anguli SN L. xt . Si recta EM cireulum tangat in. 24. quilibet

vero areus EB minor duabus tertiis totius circumserentiae

Mecetur in L , iuncta EL , productaque in N poterit angulus ad N geometrice tristrari ; Ducta namque E Leum sit angulus BEL m Em α LEH. angulus vero EL Nduplus sit anguli BEL vel EBL , erit 3ngulus LN M tri. plus anguli LEN , vel EBL ; facto autem supra BL tri. angulo aequi latero LCB quoniam angulus L BC est tertia pars duorum rectorum , ita erit EBC α - EN L, & EBL α -οῦ BNMu

112. Methodum secandi angulum quemlibet in partes

4, 8, 16 , 3 . ec. supra tradidimus. Sed per geome triam elementarem angulus in tres. partes aequales secare

nemo hactenus docuit, atque haee est anguli tri sectio a Geo. metris ope circini, & regulae. ut aiunt, scilicet per eon. stinctionem circuli & lineae rectae tantopere, sed frustra quaesita. Demonstrant enim Analystae problema illud adaequationem tertii gradus adsurgere, quae per solum circulum construi non potest. Ob eandem rationem angulus dividi non potest in partes s , 6, et, s eta per sola geo metriae xlementa , quippe huiusmodi divisio pro vario paris Ilum aequalium numero pertinet ad altiores gradus aequationum. Curiur l. 1. geome pract. prop. as. anguli tri secti Diuiti eo by GOoste

62쪽

ctionem perficit ope conchoideos, per hyperbolam Panus I. 4, prop. 3 et . . quod quidem & nos praestabimus in conteis. Si angulus tri secandus fuerit rectus ut ACB t n. rs. il- Iius, tri sectio geometrica Deile. obtinetur si super latere BC

triangulum aequi laterum construatur. Cum enim angulus

BCG aequalis sit duabus tertiis unius recti , erit angulus ΑCG tertia pars unius recti. In ceteris autem casibus trio sectionem anguli mechanice expediemus hoe modo. Sit ita. que trifariam secandus angulus rectilineus ABC. Ex puncto A demittatur AC ipsi BC perpendicularis, & ab eodem puncto A ducta AE ipsi BC paralleIa agatur ex puncto Brecta BDE, euius portio DE inter rectas AC, AE inter .cepta sit aequalis duplae ΑΒ , quod qua ratione praestari possit ubi dictus angulus sit semirectus ostendemus in fine Cap. I. sed . a. 'quomodo vero id ipsum perficiatur , ubi idem ille angulus non sit semirectus ostendemus in Alge. bra Finitorum. Deinde bifariam seeetur in F recta DE , eritque punctum F centrum semicireuli qui describitur, supra diametrum DE, & per verticem.transit anguli recti A.

Erit igitur AF aequalis semissi ipsus DE, scilicet en coa. structione ipsi AB, proindeque angulus AFB M ABF. Sed angulus APD duplus est anguli AEF, ergo angulus ABF duplus est anguli AEF. scilicet alterni DBC , qui proinde est tertia pars dati anguli ABC.

Caramu/I in sua mathesi nova universalem hanc metho. deum adfert pro omnibus angulis , vel arcubus trifariam secandis: Esto angulus DFH , sive arcus DGH trifariam se. candus; iungatur DΗ. & ex centro F ducatur recta Fotali artificio ut sit ΗΚ αα HO , erit arcus Ηo tertia pars totius DoH. Cum enim triangula H FO, & ΗΚo sint iso-scelia , & angulum o communem habeant, erunt aequales anguli Hxo, FHO , unde etiam reliqui ΟΗΚ, OFuerunt aequalesi quare cum angulus ΗFo sit in centio, aequalis angulus

63쪽

Ηn insistet areuἰ OD qui duplas sit arcus ΟΗ, prooindeque ΟΗ est tertia pars areus DOΗ . Sed . eum artis.cium illud laetendi rectas ΗΚ , ΗΟ aequales non docuerit Caramuel, hinc est ut ille uondum actum non egerit . PROPOSITIO XXVI. at . Angulus B AC aequalis est semissi anguli BHC plus dimidio anguli DHE n. 26, i , et 8 iEst enim angulus B AC ra BDC - , DBE . At angm Ius BDC α - BHC , & DBE α - DHE , ergo angu Ius BAC BHC - - DHE.

64쪽

113. 3ἰ Deans OT transeat per cireuli tentrum. 8e pro ducatur AU ia T. erit angulus COA α CvZ. Nam anstuli triangulorum CVO, AVO aequantur quatuor rectis . & an. suli OCV. OA v sunt duobus rectis aeqiales. ergo CoA.& CUA aequantur duobus rectis. Sed Cuz. & CUA a quantur itidem duobus rectis, ergo adgulus COA aequalis est antulo CVZ . RO Diuitigod by Cooste

65쪽

4, PROPOSITIO XXX.

ret . In quolibet triangulo; AFB ductis ex A & B in opposita lasera FB , FA normalibus ΑΕ , ΒΗ convenienti bus in G , iuncta FG , & producta usque ad basim in C, ei it FC eidem bas perpendicularis tu. x s. Et timuero ob rectos. angulos ΑΕΒ , BHA , super dia. metro AB descripto circulo AHEB per haee puncta trans unte, & ob angulos rectos FHG , FEG descripto super di metro FG circulo ad eadem pu cta E, H conveniente, iunctaque ΕΗ erit in eirculo FHGE angulus EFG α EHG, &in semieirculo AHEB angulus ΕΗG , vel EHB α EAB si VeGAC, erit ergo angulus EFG die GAC,& angulus FGE AG C, ergo reliquus angulus FEG α Acm , at ille rectus est, ergo & hie est rectus, & per consequens FC est rectae ΑΒ perpendicularis.

CAPUT IV.

De Proportionibus geometricis linearum

rectarum. DEFINITIO I. ras. dieitur habitudo vel relatio illa , quam

A inter se habent duae quaevis propositae main gnitudines relate ad quantitatem; scilicet est modus ille . quo magnitudo magnitudinem continet . vel huius partes . sive etiam est relatio duarum magnitudinum eiasdem geri veris juxta certum numerum partium aequalium, in quas magni . Diqitigod by Cooste

66쪽

gnitudo antecedens, quae nempe refertur ad aliam, vel ad ipsam habet relationem , relatuitur, & quarum magnitudo eonsequens ad quam scilicet antecedens relationem habet .

eertum quendam numerum continet: ex. gr. sunto duae magnitudines eiusdem generis Α,& B, & reso Ivatur antece. dens A in partes aequales, quarum quaelibet dicatur κ. earumque numerus ponatur zz m, patet magnitudinem eou. seqnentem B certum numerum n earundem partium contine. te, ita ut existente Α α mae , sit B nae . Stat igitur relationem antecedentis A ad consequentem B secundum eo nistinentiam aequalium partium in utraque magnitudine eertia numeris, quicumque illi fuerint, definitam nuncupari ratio. nem . Quo vero haec rationis idea , vel definitio extendi possit ad magnitudines ineommensurabiles, quas scilicet nulla metitur mensura communis , salis est ponere in commensura. biles numeros m , & n, vel ponere variabilem x ultra quosatumque limites deerescentem; hoe si quidem casu residuum incoui mensurationis erit comparative nullum, ut constat.

COROLLARIUM. avs. Patet autem quod ratio quaelibet semper debeat Ist.

ercedere inter magni lud nes eiusdem generis ex. gr. inter sonum & sonum , tempus & tempus, molum, & m tum re. quae proinde magnitudines adpellantur homogeneae . Η ne adisposite EueIidos definit magnitudines homogeneas esse imas ,

quae si augeantur , vel multiplicentur se se invicem suis perare possunt .

DEFINITIO II.

H r SI ratio duas Inter magnitudines interce ens, sit ea. 4em, aequalis, vel similis rationi inter duas alias magni- tudiis Dissili od by Cooste

67쪽

tudines intereedenti, nempe si prima magnitudo seeundam vel

ejus partes respiciat contineatue eodem plane modo, quo teratia respieit, vel eontinet quartam, eiusdem ve partes similes, quae lettieet aeque vel aequali modo eontinentur in suis te. tis, hujusmodi rationum identitas similitudo , veI aequalitas dicitur proportis; se ilicet proportio est aequalitas rationum meo tonsistens. quod resolui s magnitudinibus antecedentibus in eundem partium aequalium numerum, magnitudine1 conse quentes aequalium rationum eundem dictarum partium numea Tum tontineant. Ex. gr. rario ipsius A ad B dieitur aequia Iis rationi ipsius C ad D, quod resolutis antecedentibus A, ee C in eundem numerum m partium aequalium , quarum quaelibet magnitudinem A eontii tuens dicaturae, quaelibet vero magnitudinem C componens uocetur ν, utraque magnitudo con sequens B. & D eundem numerum n dictarum partium cen

tineat , ita ut existente Α mx, B α - , C α Ο, siletiam D α I. DE FINITIO III. s18. Magnitudines inter quas intercedit proportio dkun.

tur proportionales , & homotogae vocantur prima , & tertia, stilicet anteeedentes, nee non secunda, & quarta nempoeonsequenRI.

metras bene multos, ut explieent in quo pcitissimum iii fit proportio confugere ad aeque multiplicia , quae scili x suas partes aeque veI aequali modo eontinent; eontendψη nempe Geometrae illi tune quatuor magnitudines eand miniςr is rationem habere , cum secundum quamlibet v '

68쪽

p Ieationem auctἰs antecedentibus ma nitudinibus , auctisque itidem secundum quamlibet aliam , at eandem multiplicatio. nem eonsequentibus illud contingit , ut si multipleκ primae magnitudini sit maius multipliei seeundae , & multiplex tertiae sit maius mult pliei quartae ; si multiplex primae sit aequa Ie multiplici secundae , fit & multiplex tertiae aequale multiplici quartae ; si denique multiplex primae sit minus multipliei secundae sit pariter multiplex tertiae mirinus multiplici quartae. At vero praeterquamquod huiusmo. di doctrina longior est & implexior . haberi nullo modo mis est ut prima proportionum proprietas , sed ab ipsarum rationum similitudine profluit . ut proinde consultius vide tur expositae superius definitioni proportionis inhaerere.

a36. Proportio dieitur eontinua eum e sequens magnio ludo primae rationis est antecedens seeundae. Uoeatur auistem distincta cum magnitudines antecedentes diversae sunt

COROLLARIUM.

et 3 r. In eontinua igitur proportione magnitudines omnes esse debent homogeneae, in distincta esse possunt heterogeis ne ae , seu diversi generis, modo bivae sint homogeneae.

nem non uero diseretam ut eam vocant Geometrae , ut huisiusmodi definitione magnitudines eontinuas potissimum eom. plecterer , quae sunt obiectum geometriae , von enim discreta pertinet ad numero .

DEFL

69쪽

DEFINITIO U.

133. Ratio inversa , seu reriproca ea est quam habet ma. gnitudo consequens ad stiam antecedentem . Ita ratio in.

versa ipsius 1 ad 4 est ratio dupla , illa nempe quam .a. bet 4 ad a. DEFINITIO VI. 134. si fuerint tres quaelibet magnitudines A . B , cxatio extremarum . scilieet A ad C dicitur eomposia ex rationibus intermediis , sive ex rationibus A ad B . & ad C et Et qu dem cum ratio A ad B in ei piat ab A , di in B terminetur , ratio autom B ad C incipiat a B , Sterminetur in C , patet huiusmodi continuas rationes adsis mi posse tamquam partes integram rationem A ad C eon

stituentes . ut proinde ratio A ad C componatur ex ratio

nibus intermediis A ad B . & B ad C a Quod quidem dς qualibet serie magnitudinum vel crescente , vel decrescea te intelligendum est . COROLLARIUM.t 31. Ηἰne propositis quatuor m gnitudinibus A , B, C, D, quarum prima Α ad secundam B m 16. quamlibet h-beat rationem , tertia vero C ad quartam D quam libitaliam habeat rationem , ne Ie erit huiusmodi rationes com ponere, si nempe adsumatur quaelibet magnitudo E, ac d inde talis magnitudo G inveniatur. ut inter E, & G gnitudine F interposita ratio primae E ad F smitis, Vς aequalis deprehendatur rationi A ad B, rat o vero F ad G smilis inveniatur talioni ipsius C ad D , ratio qη p Pe

70쪽

pe ipsius E ad G composita erit ex rationibus ipsius A

Hic non abs re erit animadvertere Etielidem eius. que interpretes statuere rationem ex pluribus componi, cum rationum denominatores in se inuicem ducti rationem alio quam exhibent ; scilicet eum factum ex denominatoribusarum rationum a quatur denominatori rationis, quae di- Hur composita. Ita ex. gr. denominator rationis A. ad 2. i. s invenitur enim denominator dividendo magnitu. n. m. antecedentem per consequentem , denominator vero rationi s. ad 3. eum sit 3 , si ducatur x. in 3, habebitur qui Iuκra nostram methodum compositionis rationum denominator est rationis ipsius E ad G. Alii vero rationem eκ pluribus compositam eam esse contendunt , quam habet productum antecedentium magnitudinum ad productum conis sequentium. Et quidem si 4. dueatur in f, & a. in ahabebitur ratio 36. ad s. nempe denominator rationis

G. Verum si quid recte iudico huiusmodi definitiones

vim non habent definitionis , quin potius existimem easdemcuas eue compositarum rationum affectiones , ae duo pro. nde theoremata , quae licet verissima sint , demonstratio. ne tamen videantur indigere.

DEFINITIO UII.

137. Ratio ex duabus rationibus aequalibus eomposita dicitur duplieata ; ita ratio ipsius A A ad B B est duplieata rationis A ad B . quae dicitur illius subduplicata . vel diis miriasa. Ratio ipsius AA A ad B8B eli triplicata rationis ipsius A ad B , Se hare illius subtriplicata , alque it 3 porro. Hiae si datae fuerint tres magnitudines continue proporotiona