Institutiones geometricae in usum adolescentium adornatae auctore Raynerio Bonaventura Martini pisano in patria academia publico theoreticae medicinae professore

41쪽

ηDescribatur eentro B radio BA eireulus A GF , tum cen. tro C radio CD circulus DG EG , patet duos hosce circu.los se mutuo steare in punctis G. Nim duo ipsorum radii sunt maiores BC, et BC -- CD BA, scilicet ipsa BF , ut et BC - BA CD sive CE. Ex puncto G ducantur rectae G B, GC, sicque construetur triangulum quaesitum BGC. Nam est latus BG BA , latus GC α CD, latus vero BC est latus propos lum.

COROLLARIUM. N

s x. Si tres lineae propositae fuerint aequales , triangu- Ium BGC habebit omnia latera aequalia , & huiusmodi triangulum vocabitur aequitateνum. Si duae tantum BA, CD sint aequales inter se , profluet triangulum . quod duo latera aequalia BG , GC habebit , hoc vero triangulum dicetur Uostelion , sive aequierure. Quod si propositae linea afuerint omnes inaequales , triangulum inde emergens habebit omnia latera inaequalia, & scalenum adpellabitur . PROPOSITIO VII. 33. In quolibet triangulo ABC producto latere AC angu

lus externus B CH aequatur duobus internis oppositis , Stres simul anguli sunt duobus rectis aequales t A. 6, Ducta namque ex puncto C recta CG ipsi ΑΒ parallela , erit angulus GCH α BAC , & ABC m BCG , qu 're angulus BCH α BAC ABC . Quod si adponatur com munis angulus ACB , erit I CB -- ACB α BAC -- Α5GACB. Sed anguli H CB, ACB aequantur duobus recti '

42쪽

COROLLARIA.s . Exinde eonstat in quovis triangulo duos angu 'os in. ternos diibbus recis minores esse , & angulum eXlernum , qui major est quolibet interno opposito , duplum esse alterius inisternorum, si interni ips fuerint inter se aequales,3 3. Constat praeterea tris angulos euiuilibet trianguli rectilinei aequari tribus anssulis cujuslibet alterius trianguli simul. sumtis; Unde si duo anguli alicuius trianguli aequentur duo. bus angulis alterius trianguli vel conjunctim , vel seorsim, tertius primi trianguli aequabitur tertio alto ius trianguli. 16. Si triangulum fuerit rectangulum , reliqui duo erunt acuti, et simul sumti uni recto aequabuntur . 37. Si fuerit angulus B AC, & a terminis B, C ducantur

intra angulum ipsum rectae Bo , Co se iungentes in punctoo, erit angulus BOC aequalis angulis internis OBA , BAC. ACO simul sumtis. Nam producta Bo in Z est angulus BOGα OCZ - - OZC; sed OZC α OBA -- BAZ, ergo B Cm OCZ -- OB OBA BAT. 18. Praeterea in qualibet figura rectilinea ABCDEF n. r. omnes simul anguli conficiunt bis tot rectos, dem. tis qualuor , quot sunt latera figurae. Sumto enim quovis puncto G intra figuram , ab eoque ductis ad omnes figurae angulos rectis G Α , CB. GC, GD, GE, GF, patet figuram in tot triangula resolvi , quot sunt eiusdem latera, et numerum angulorum rectorum hujusmodi triangulorum duplum esse laterum figurae , ex quibus si quatuor recti auferantur. scilicet anguli omnes circa punctum G, reliqui anguli qui figurae angulos constituunt, conficient bis tot rectos demtis quatuor , quot sunt latera figurae. s. Productis vero lateribus omnibus euiuslibet figurae

omnes simul externi anguli LFE, MED, NDC, Ηc B, USA, C a LA F

43쪽

ΚAF quatuor rectos conse ent. Nam huiusmodi externi adispuli eum internis figurae ipsius bis tot rectos constituunt, quot sunt latera figurae. Sed interni simul omnes eum qua is tuor rectis conficiunt bis tot rectos quot sunt latera figurae; ergo externi anguli, & quatuor recti sunt inter se aequales.

PROP SITIO VIII. so.. Si quodlibet latus trianguli ABC sit aequale respoudenti lateri alterius trianguli abe, nempe BC α be, ΒΑ mba, AC m ae, triangulum ABC erit aequale triangulo abe,& pariter aequastes anguli aequalibus lateribus oppositit n. s.

Ex punctis b, e tanquam centris describantur arcusoa L, IaN, qui se invicem secabunt in puncto a , et triangulum BAC ita imponatur triangulo ι . ut punctum B conveniat cum puncto b , punctum C cadet etiam in e , ponitur enim BC α be, et eum sit ΒΑ α ba, recta BAterminabitur in aliquo puncto arcus Oa L . Irem eum si CAm ea, recta C A terminabitur in aliquo puncto arcus L N. At vero rectae BA, C A se mutuo iungunt in puncto A, ergo utraque terminabitur in puncto, quod sit binis arcubus commune, nempe in puncto intersectionis a . proindequeBA conveniet cum ba, C A cum ea, totumque triangulum BCA cum triangulo bea, unde erunt anguli aequalibus lateribus opposili inter se aequales.

COROLLARIA. I. Exinde vero ostendi potest quod in triangulo aequi crure BAC anguli ad basim ABC . ACB sunt inter se aequales. Secta enim bifariam basi in puncto R , & juso AR erunt Iasera omnia trianguli AR B aeqaalia lateribu

44쪽

omnibus trianguli ARC . proindeque illius anguli sunt huius angulis aequales.s x. Unde constat angulos omnes trianguli aequi lateri esse inter se aequales. 63. Ostendi etiam potest , quod si dato angulo rectili. neo MAH sumantur portiones laterum aequales AB, AC, &duim BC bisatiam dividatur in puncto R , & iungatur ΑR. seeabit haee bifariam datum angulum rectilineum M ΑΗ , oblatera trianguli AR B aequalia lateribus trianguli AR C.

σε. observandum hie est Cl. Auctarem Eueliris resormali ut datum angulum rectilineum bifariam secet: triangulum aequi laterum BOC eonstruere ad plagam dati anguli, quod quidem bene eedit tantummodo , ubi da ius angulus si minor iso. gradibus . At si datus angulus 6o. gradus comprehendat, trian. gulum aequilaterum BOC convenit cum triangulo BAC , quo quidem ea su nulla anguli divitio haberi potest. Si vero major sit 6 o. gradibus , triangulum BOC cadit ultra triangulum BAC; quare ut datus angulus rectilineus BAC bifariam diis vi datur, triangulum isocelion, vel aequi laterum ad plagam dato angulo oppostam construendum est, nempe BUC, ac deinde ducenda est recta AV , quae datum angulum histri abit .

ε s. Si duo triangula ABC, Me eirca aequales anguis Ios A , a habuerint latus AB αet ab , et AC ae, habebunt et basim BC be, angulum ABCα abe, angulum ACBα aeb , eritque triangulum ABC m. abe. Posito namque triangulo ABC supra triangulum abe ,ri puncto B supra punctum b, punctuni A cadet supra pun-stum

45쪽

ctum a , ob aequalia latera AB , ab , ut et ob aequales

a gulos Α , et a latus AC eoRgruet lateri aeqinti ae . unis de punctum C cadet supra punctum ν, quare recta BC conis gruet ipsi be , triangulum vero ABC triangulo abe, angulus ABC angulo abr. et angulus ACB angulo acb, eritque proinde triangulum ABC zet abe

. COROLLARIA.

66. Hi ne patet quod ad extremum a datae ractae G eonis struetur angulus rae aequalis dato angulo rectilineo RAC, si sumto in recta AR quovis puncto R eugatur ipsi AR normalis RC. quae secet alte tum latus AC in quolibet puncto C, deinde sumto in recta aν puncto ν ut sit ar - AR , eri

gatur normal .s re ' RC , et iungatur ac, erit enim angulus rae ' RAC, ob latera trianguli AR C aequalia lateribus trianguli are. Idem etiam praestari potest , s ducta quo. quomodo infra datum angulum recta RC ex tribus rectis AR , R C , C A efformetur triangulum are, ut patet. ε . Ex majore pariter angulo BAC abscindi poterit anguis Ius minori rae aequalis, si in eodem puncto vel vertice Aanguli majoris fiat angulus RAC aequalis dato rap

. g. Si duo trianguIa ABC, ais habuerint anguIum ABCm abo et angulum ACB aιb latus vero BC be, et it latus ΒΑ α ba, AC ra ae , et triangulum ABC - abest enim superponatur latus BC lateri be, anguli ABC. ACB congruent angulis abe , aι b. proindeque latera ΑΒ. AC eongruent lateribus ab , ae , et punctum A cadet in a , angu lus B AC congruet angulo bae, triangulum vero ABC toli triangulo abe. co Diuiti sed by C

46쪽

COROLLARIA.

Quo 3 si fuerit latus BC α be, angulus ABC α abc,

et angulus BAC α bae , quoniam erit angulus ACB atb , ita et in hoc casu totum triansulum ABC aequabitur toti triangulo abe. Eodem modo conferri possunt inter se duo latera BA , ba aequalibus angulis respondentia, unde generatim duo triangula aequantur inter se , si anguli unius sint fingulis alterius aequales, et praeterea latus unum habeant aequale alterius lateri respondenti. o. Exinde vero constat quod si triangulum BAC ha. huerit angillos supra basim B. et C inter se aequales, aequalia erunt et latera iisdem opposita AC, AB. Dinsta enim ex puncto A recta AR normali in basim BC, patet angu los trianguli ABR aequari respectivis angulis trianguli AC R. Est autem latus AR utrique triangulo commune, unde latus

AB α AC rt. Ostendi etiam potest in quolibet paralIelogrammo Ia.

tera, et angulus oppositos aequari inter se, et parallelo. grammum a diametro bifariari. Nam in triangulis AC D. ADB R. 8. in praeter basim communem AD est angulus DBΑ α DAC, angulus BAD m CDA, unde reliquus reia liquo aequalis est, et omnia latera, et triangula ipsa sunt inter se aequalia .

L. Praeterea demonstrari potest in quolibet parallelogrammo diametros se invicem bisariam secare n. 61. Cum enim sit AB αα DC. et angulus BAE DCE , angulus vero ABE π CD E erit triangulum AEB aequi laterum trian.

47쪽

PROPOSITIO XI. 3. Si duo triangula inaequalia aequa Ies haint angulos,

et angulorum unus supra alterum aequalem ponatur ilem. que respondentia latera, et aequalem in utroque triangulo angulum comprehendentia sibi mutuo imponantur, erit tertium latus tertio lateri parallelum sit. 6. Ponatur enim angulus a supra angulum aequalem Astatus ac supra respondens latus ΑΗ, et latus ab supra latus itidem respondens AM , erit latus CB , vel eb lateri MIs parallelum . Cum enim angulus CBA sit aequalis angulo HMΑ , erit recta CB rectae H M parallela. Si angulus cpnnatur supra angulum aequalem H eodem planh modo de. monstratur rectam ab esse rectae AM parallelam . Idem O. stenditur de rectis ea, HA.

Quod si per quodvis punctum C in latere ΑΗ trian. guli adsumtum ducatur recta CB rectae IIM parallela , aequales erunt anguli ΑΗM , ACB , & ABC , AMΗ. PROPOSITIO XII. In omni triangulo ACD major angulus A CD majori lateri AD opponitur R. 9- Fiat ΑΟ α AC , ductaque OC , erit angulus AOC

ACO. Sed est angulus ROC ADC, quare angulus Acomajor est angulo ADC , ac proinde angulus AC D est multo major eodem angulo ADC.

s. Hi ne in omni triangulo majori angulo ACD op ' tur maius latus AD. Non enim est latus AD AG νιuas ςnim triangulum esset isoscelion , & aequales ς istyx

anguin

48쪽

anstuli ADC , AC D: sed nee latus AD est V AC ; nam foret anguliu ACD Λ DC , quare est AD AC. PROPOSITIO XIII. 16. Si duo triangula ABC , ABD habuerint duo latera

aequalia duobus lateribus , & angulus ad verticem suerit major angulo respondente , erit basis major basi . Posito enim Iatere ΑΒ supra respondens aequa e Iatus alterius trianguli Iatus BD cadet extra latus BC , est et i nangulus ABD ABC. Igitur saeto centro B, & tadio Bodeseripto cireulo transibit hic per punctum C, ob BD et: BC ι ducta CD erit B. D triangvium isosceliou , quare an. gulus BCD α BDC, ergo angulus ACD BDC, ae proinde multo maior angulo ADC, unde latus AD oppositum maioriangulo est maius latere AC , qaod minori angulo opes.

o ROLLARIUM. τι Iline iisdem positis si basis fuerit maior basi, erit

angulus maior angulo. Si enim anguli ponantur aequales , aequa Ies erunt & bases , quod est contra hypothesim . Si angulus oppositus minori basi foret maior , eundem angulum

major basis subtenderet contra hypothesim.

49쪽

CAPUT III.

De Lineis rectis se inmieem in ei euti seram ibur , ejusque circumferentiae occurrennis .

PROPOSITIO XIV. I 8. I recta AE ducta per eentrum circuli bifariam se.

O eet in E quamlibet rectam BD non per centrum ductam , & ad circumferentiam utrinque terminatam , quae recta dicitur eborda , eam perpendiculariter secabit , & si secet perpendiculariter , eandem bifariam secat in. ro. r. Cum enim recta C E ehordam DB bifariam secet . punctam E aequaliter distat ab extremis D , B. Quoniam vero recta C E per eentrum transit , punctum C distat etiam aequaliter ab iisdem extremis D, B , proindeqite puncta C, E aequaliter distant a punctis D, B , unde recta GE normalis est ad rectam DB. Aliter. Ductis CD , CB , eum triangulum DEC sit aequilaterum triangulo BEC, ut patet, erit angulus D ECBEC , ergo sunt ambo recti . a. Cum recta CE dueatur a eentro, punctum C aequa. liter distat ab extremis chordae D , B. Cum autem recta CE sit ad chordam perpendicularis, singula alia puncta ejundem rectae CE aequaliter quoque distant ab iisdem extre S . Hi ne punctum E distat etiam aequaliter ab iisdem extremis D , B , unde DE α EB . Aliter. In triangulis DEC , BEC cum sint anguli ad E inter se aequales , & aequales item anguli D , & B , latus vero CE utrique triangulo commune , erit proptere Ialus DE α EB. cos Disiligod by Cooste

50쪽

COROLLARIA.

νι,. Nine si recta CE normals sit ad thordam , eam. λque bifariam secet , ricta illa per centrum transit . Cum enim chordam secet bifariam , punctum E aeque distat ab extremis B , D. Quoniam vero eadem CB est chordae perispendicularis , singula quaeque it Ilus puncta aequaliter etiam distant ab iisdem exiremis B , D , unde erit centrum C punctum aliquod huiusce perpendicularis. So. Facile ergo erit dati circuli aut arcus cuiuslibet cenistrum reperire. Ductis squidem utcumque chordis DB , BF. ae diu sis bifariam in punctis Ei Ο , erectisque normabbus EA , OG punctum C , in quo se invicem secant norma. Ies illae, erit centrum circuli quaesitum . Cum enim cen. trum illud reperiri debeat in utraque perpendiculari , in veniatur oportet in puncto , quod sit uirique commune , scilicet in puncto intersectiouis C , unde tota circumserenatia describi pol erit . . St. Quinimmo per tria dati puncta et rculus describi poterit , dummodo puncta illa non iaceant in eadem recta; Ductis enim duabus rectis tria data puncta iungentibus,

quae erunt chordae ei reuli quaesti, si agantur perpendicu . Iares . quae chordas illas aequaliter dividant , transibit uatraque per centrum , quod proinde in communi utriusque perpendicularis intersectione reperietur ἔ ut hinc proinde constet quod si tria circumferentiae puma conveniant eum tribus punctis alterius circumserentiae integrae circumserenistiae simul eongruent , & circuli erunt aequales. 11. L quet praeterea quod si duo et rculi idem hibeant centrum , de intra ipsos dueatur quaelibet recta MN . erit ND αBN. Nim ex communi eentro C ducti CE normali