장음표시 사용
51쪽
83. Duae rectae DB , PU se In eIreula serenus . at
non per centrum non secant se mutuo bifariam. Nam ex centro C ducta CE ad punctum intersectionis . patet quod si se invicem b. sariam stearent, esset angulus CED rectus , itemque rectus angulus CEP, foret ergo angulus CED αCEP , quod est absurdum. PROPOSITIO XU. 84. Recta DB, quae per duo puncta in circuli perime
tro accepta ducitur , intra eirculum cadit. Sumatur in recta DB quodvis punctum E , & ex eenistro C ducantur rectae CD, CE , CB; Et quoniam CB diu CD, erit angulus CBD α CDR; sed angulus CBD major est angulo interno EBC, erit ergo angulus CED CDE. In triangulo igitur CED latus CD maiorem angulum CEDsubtendens est maius latere C E minorem angulum subtendenis te . Sed CD pertingit ad ei reum serentiam, ergo CE non peris ringer. ae proinde punctum E cadet intra circulum. Idemoliende ur de quolibet punctγ rectae DB I Tota ergo Ducadet intra circulum.
PROPOSITIO XVI. 23. Rectarum AB . AD , AE &e. quae ab eodem punis
cto A vel extra circulum , vel in ei reuli ei reum serentia . vel intra circulum accepto duei possunt ad cireumferentiam circuli ea vam , in alma est quae per eentrum transit , ceteris AD , AE maior est quae terminatur ad ei reum ferentiae punctum D propius puncto B , in quo maxima terminatur R. tr. Quoniam est DC M. CA DA, & DC CA die BA . ergo B AD; quoniam vero DC -- CA diu EC -. CA,
52쪽
s. Ergo recta AA intereepta inter punctum in eireuli circimerenti acceptum , & punctum intra ei reulum erit minima omnium , quae duci possunt a puncto A intra ei culum sumpto ad circumferentiam BDEΑΚ. Nam terminatur ad punctum A in circumserentia , quod prae aliis magis distat a puncto B. . 17. Ab eodem puncto A ad eireumferentiam EDEAΚ duae tantum rectae lineae duci possunt ad duo puncta aequaliter hinc inde distantia a puncto B rectae ΑΒ omnium maximae. Si enim ab eodem puncto duci ad ei reumferentiam Possent tres tectae aequales. duae ex iisdem forent ad uisnam eandemque plagam, licet ad puncta inaequaliter distanotia a puncto B termicatae , quod est absurduin. PROPOSITIO X v II. 18. Rectarum ΗΚ . EF , DG maxima est diameter . teteris ea major , quae centro propior. Cum enim fit CE - . CF EF . & CE -- CF α ΗΚ, erit ΗΚ EF. praeterea eum sit CE- CF m CD - CG,
dc angulus ECF DCG . erit basis EF DG . PROPOSITIO XVIII. su. Ex puncto N in eireumferentia eirenti ANEM ae
cepto rectam dueere , quae in eodest puncto eircumfere tiam ta Mat . scilicet utrinque producta eum nulIo alio eiusdem circumferentiae puncto eoncurrat D. 3. λεκ eentro et rculi C dueatur CN , eui normalis erigatur NΚ, quae erit quaesita tangeos . Nam in ipsa sumto γ quo. Diuili od by Cooste
53쪽
quolibet alio puncto x iungatur ex . Erit ergo ex ,
CN ii .e CO. Sed punctum o est in circumferentia eireuisti . qua re punctum K erit extra circumserentiam. Item osten. detur quodlibet aliud punctum L rectae KNL esse extra circumferentiam , unde recta Lx est quaesita tangens. PROPOSITIO. XIX. so. Re la CN a eentro C ad eontactum N rectae LTeum ei reuIO AN BM ducta rectum angulum cum ipsa tanis gente constituit. Si negas , dueatur CK normalis ipsi LΚ . erit ergo
absurdum . COROLLARIA.st. Hine si recta LK ei reulum tangat. & a eontactu Nexcitetur normalis N C eidem tangenti transibit per circuli centrum C . Secus enim si centrum seret puta in F extra CN iuncta FN , angulus FNΚ aequaretur recto , ac proinde aequalis esset ipsi cNΚ. quod est absurdum. 1. Si duo circuli AN B. X Nin eandem habeant tangen. iem. recta MN eidem normalis transibit per utriusque ce trum C. H. Dueantur enim a centris illis binae rectaἄCN. ΗN, erunt profecto rectae illae uni eidetuque tangenti LΚ perpendiculares in puncto N; quare rectae illae unicam lineam eonstituant oportet per b na centra C, Η tran seuntem . Idem ostenditur si eireuli se extrorsum contingant. Quaelibet alia recta N B a eoni actu ducta circylum se Cabit. Agatur enim ex centro recta CZ eidem perpendicula ris . Et quoniam est CN CZ. erit Co . sive CN CZ. qa -
ς Nd cadet infra arcuae Nos proindeque circulum ste bit.
54쪽
ν4. Contra vero circulus langiore radio per contactum N descriptus eadet extra circulum ANB. Ducta quippe recta CO , iunctaque ΗΟ, quae producta secabit in I cireu. Ium XNα, & in P tangentem Lx . erit recta ΗΟ ΗN, sive HI, unde quodlibet punctum o circuli NOB ea-
det intra circulum X Nilo & circuli ipsi se mutuo tan. gunt in puncto N. ys. Itaque angulus Κ NO, qui dicitur eontingentiae, reocta KN. & arcu No comprehensus minor est quolibet an is gulo acuto rectilineo , & angulus mixtiliaeus CNO major quolibet acuto rectilineo .
σε. Animadvertendum hie est in eruenda . definiendaque flatura anguli contingentiae magni nominis Geometras insudasse , & in varias opiniones abiisse . Et quidem vix , ac ne vix quidem concis potest quomodo de minor sit quo. Iibet aeuto rectilineo , de simul in infinitos curvilineos di. vidi possit. Huius vero Feometrici paradoxi causam ex eo potissimum repetendam eensent Peletarius , & Mallosus quod anguli contingentiae natura diversa plane sit a natura anguli rect linei , quemadmodum lineae rectae natura diversa est a natura si perficiei ; clavius autem oppositam tuetur sententiam. At vero fieri potest observante Ct, Alambertio ut quaestio de angulo eontingenitae ad quaestionem de nomine revocetur, quippe quae ab idea proficiscitur, quae voci
angulur adnectitur: Et quidem si per hanc vocem intelligatur portio finita spatii inter curvam , eiusque tangentem eomprehensi , dubitari non potest, quin hujusmodi spatium comparari possit eum finita portione illius spatii , quod duabus rectisse invicem secantibus eomprehenditur. Si vero eidem voeiadnectatur vulgaris idea anguli, quem binae rectae constituant ν
55쪽
tuant, Deile deprehendetur, quod huiusmodi Idea absoIute.
ae sine modificatione aecepta angulo contingentiae eonvenire non potest, quod in ipso altera ex lineis, ex quibus constituitur, si curva . Peculiaris igitur definitio huic angulo tribuenda erit, qua .semel recte constituta, nulla amplius difficultas ct rea eundem angulum obversabitur. Ceterum quod huiusmodi quaestio si tantum quaestio de nomine , ex eo potissimum patet, quod Geometrae omnes inter se mire consentiant de proprietatibus omnibus, quae de angulo contingentiae demonstrantur; ex. gr. quod inter circulum, ejusque tangentem nulla recta linea , at infinitae lineae circulares
traduci possint &e. PROPOSITIO XX.s In eodem circulo , vel in eirculis aequalibus chordae AB , GD si fuerint inter sua quales , aeque distabunt a centro , scilicet normales in easdem a centro demisiae erunt aequales , & contra n. ra, r. Ductis rectis e G , e D, CA , CB , & ex centris ς , C normalibus eo , Co ad chordas, quoniam ponitur Auza GD, erit triangulum ACB aequi laterum . & aequiangulum triangulo GeD, ergo angulus BAC diu DGe; Est autem CO normalis ipfi AB , ut & re normalis ipsi GD , quar erunt rectae ΑΒ , GD bisariam sectae in punctis Ο , o ἰhinc ΑΟ π: Go ; at est angulus ΟΑC α OGe ; ergo basis CC aer ος ; x. Quod si huiusmodi distantiae statuantur aequales impositione facta cenisi e supra eentrum C , & re cta eo supra Co punctum o cadet in pu ecto O; & ob angulos ad a,& o inter se aequales recta GDeadet supra rectam ΑΒ δsed utraque terminatur ad eireumferentiam circuli, ergo punctum G cadet in puncto A , & D in B , unde tota Gogongruot toti ΑΒ, eruntque proinde inter se aequales yRO. Diuitiam by Corale
56쪽
91. In eodem veI aequalibus cireulis aequales ehordae ΑΒ , GD subtendunt aequales a reus , & si arcus sint aequales , chordae pariter sunt aequales. r. superponatur segmentum G FD nempe portio circuli GFDM sub arcu,& chorda comprehensa segmento ΑΕΒ ita ut chorda GD conveniat eum thorda ΑΒ illi aequali, arcus GPD congruet a reui AEB; Nam ductis chordis aequalibus ΑΕ, GF,& radiis CA, CE , & eG, eF ad illarum extrema, triangula C EA,cFG etunt inter se aequalia, cum aequalia habeant singula latera , qua e punctum F cadet supra punctum Ε,& hoc semper eontinget relate ad omnia puncta aequaliter distantia a puniactis A , G ; unde consequitur quod arcus GF D eongruet arcui AEB , ac proinde erunt inter se aequales. a. Quod si arcus ponantur aequales quoniam arcus GF D congruet aris cui AEB , ubi punctum D cadit supra punctum B. punictum G cadet supra punctum Α , unde chorda CD congruet eum chorda ΑΒ, cui proinde aequalis erit.
ς ν. Nine est quod radii ad extrema, aequalium artuum in eodem vel aequalibus circulis ducti aequales angulos comis prehendunt. Si enim arcus A EB, GF D sint aequales, chor dae ΑΒ , GD sunt itidem aequales , unde , cum trianguis Ia ACB , Ge D singula latera habeant aequalia , aequabuntur iniet' se , & anguli ACB , Ge D aequalibus chordis
oppositi erunt aequales. goo. RId i quuque , qui in eodem vel aequalibus circuistis angulos aequales enmprehendunt , definiunt arcus ara
quales. Si enim anguli ACB , Ge D suerint aequales, trio
57쪽
34 annula ACB. GeD , eum aequalia habeant latera aequales
angulos conti aentia aequabuntur inter se , unde chordae ΑΒ , GD aequalibus angulis oppositae erunt aeqvales, adeo. que aequales arcus quos illae subtendunt.
1 or. Si recta C M per eentrum traducta aequaIIter diavidat ehordam ST, aequaliter quoque dividet arcum SMT n. 3. Enim vero eum singuIa puncta rectae CM , quae est ipsi ST perpendicularis , aequaliter distent a punctis S, T, aequalis erit puncti M distantia ab extremis S, T ; Unde si semicirculus N TM imponatur semicirculo NSM , punis ctum T eonveniet eum puncto S ; Est autem p uictum M commune , quare chordae M T , M S congruent inter se , nec non areus iisdem chordis subtensi , qui proinde sunt
inter se aequales a Demonstrari etiam potest arcuum aequalitas ex eo quod
xox. Ducta chorda ST diametro AB parallela Intereῖ-pit aequales areus ET , AS. Cum enim sit arcus AH arcui EM , & TM SM , demptis arcubus hisce inter se aequat bus , remanet BT ποῦ AS ; eadem ratione erit arcus T m arcui RS. I. 3, Patet autem datum arcum ei reularem in duos aeis quales arens seeari posse , si ducta chorda datum et reum subtendens aequaliter per rectam perpendicularem dividatur. Patet Diuitig Corale
58쪽
Patet insuper facile dividi posse quemlibet areum in par.
te α , ου , Isi , 3 , atque ita porro.
Io4. Angulus FCΗ ad eentrum duplus est anguli FE ad cireumferentiam , eum eidem arcui insistunt i n. r 3. - . Angulus D CH aequatur angulis DEH, CHE, qui cum snt inter se aequales, erit proinde angulus DCH duplus anissuli DE FI . Eadem ratione angulus DCF duplus est anguli
ros. Igitur mensura anguli ad circumferentiam erIt semInsis a reus cui insistit . ros. Anguli AEF, ΑεF eidem arcui AF Insissentes a quantur inter se, sunt enim ambo semissis anguli ad cenistrum ACF. xor. Αngulus AFB in semicirculo rectus est. Cum enim si angulus ACF duplus anguli AEF , & angulus FCB duplus anguli FER. erunt anguli ACF, FCB α xAEB. Sed anguli
ACF, FCB aequantur duobus rectis, ergo angu us ΑΕΒ in semieirculo uni recto aequalis est. xo g. Unde constat quemlibet a neu Ium ΑΕΗ in segmento circuli majore aculum esse, angulum vero AE N in minore obistulam a Ios. Habetur praeterea ratio qua ex puncto G extra cirisculum dato circuli tangens duci possit. Iuncto namque cenistro C cum dato puncto, & supra rectam CG deseripto se micirculo datum ei reuiuin secante in puncto H dueatvr GH . quae erit quaesita tangens utpote cum radio CH re. Oum angulum constituens. E a s Io. ΗInc
59쪽
3sDo. Hine in triangulo rectangulo si sit pra Iatus recto
angulo oppositum, quod h)pothen am vocant, tanquam dia. metrum describatur circulus transibit per verticem anguli recti.
PROPOSITIO XXIV..etis. In quadrilateris circulo inscriptis, quorum scilicet veristices in ejus cireumferentia existunt , anguli oppositi DAB, DEB , ut et ADE, ABE sunt duobus rectis aequales s n. I . Ductis enim ex eentro C rectis CA, CB, CE, CD , ductisque AE, DB in puncto F se secantibus, erit angulus BCE duuplus anguli BAE, & angulus DC E duplus anguli DAE, uec non angulus ACB duplus anguli AEB, denique angulus A CD duplus anguli AED, ergo omnes anguli circa punctum C dupli sunt anguloruin BAD, BED, sed priores illi aequantur, quatuor rectis, ergo posteriores sunt duobus rectis aequales.
COROLLARIA.ox. Ergo si in quadrilatero duo anguli oppositi sunt
duobus rectis aequales, circulus per quatuor ipsus angulos traduci poterit. Si enim transiret per tria puncta D , Α , B, & non per E, imo rectam BE secaret in G ducta DG, B. rent anguli DAB , DG B duobus rectis aequales , videlicet aequales ipsis D AB, DEB . ablato utrinque D AB seret an .gulus DGB DE B, nempe internus aequalis externo, quod est absurdum. at 3. Exinde vero eonstat nullum parallelogrammum obli,quangulum , rhombum nempe , vel rhomboidem circulo inseribi posse ob inaequalitatem angulorum oppositotum cum
60쪽
x et . Si recta LNT eireulum tangat in puncto N , altera vero m ducta a puncto contactus eundem secet, erit angulus LNS aequalis cuilibeti angulo NTS , & angulus XNS . aequalis cuilibet angulo NRS , nempe mensura anguli LNS est dimidius arcus NS , & anguli LNS dimidius ariscus NBMS R. 3. Si recta NS transeat per centrum circali , res patet. secus ducatur TS tangenti parallela iunctaque in dueatur NHM quae transeat per eentrum quoniam ergo angulus L NH est rectus . rectus erit & angulus NHT , unde SH dia ΗT , & triangulum NIIT est aequi angulum triangulo NΗS, hine angulus NSH α NTS . Sed angulus LNS aequatur alterno NSII , ergo LNS α NTS. Et quoniam anguli in segmento NΤS aequant ut singuli, angulo NTS , hine horum quilibet aequabitur angulo LNS . Denique cum quilibet angulus in segmento NRS Τ una cum amulo NTS aequeturdutibus rectis , quibus pariter aequales sunt anguli LNS , KNS . si hinc auferatur angulus LNS , illinc angulus NTS,
reliquus ΚNS aequabitur cuilibet angulo , qui constitui prutest in segmento NRS : i
,rs. Hine ex dato cireulo abstindi poterit portio eapax dati anguli si dueatur ex contactu recta linea , quae eum tangente datum angulum constituat ; ita 'enim segmentum a recta illa resectum comprehendet angulum ab alterna parte . propositum , & . ad eandem erit segmentum rapax alterius anguli qui cum angulo dato eonscit duos rectos. yi6. Si super data . recta 'Nῖ construendum laret seg.