장음표시 사용
81쪽
quod est propositum. Ex bis conflat,arcum H E, in figura propositisias
minorem esse arcu D F. Nam cum angulus F M X, acutus sit, O H Κ, obtuμs,s ex Amri,ad D E,perpediculares ducerentur,caderent hae in arcus D RBII, auferrentque, Ni in proximo lemmate ostendisus, arcus aequales. Quare arcus II E, minor e Ii arcu D F.
SI in circunferentia maximi circuli sit polus parallelorum, hunc que maximum circulum secet ad angulos rectos duo alij maximi circuli, quorualter ut unu S parallelorum , alter vero obliquus sit ad parallelos; ab hoc autem obliquo circulo aequales circunserentiae sumantur deinceps ad eandem partem maximi parallelorum, perque illa puncta
terminantia aequales circunserentias describantur paralleli circuli: Circunferentiae maximi illius circuli primo positi inter parallelos interceptae inaequales erunt, sem perque ea, quae propior fuerit
maximo parallelorum, remotiore maior erit.
IN eircunferentia maximi circuli A BCD, sit A, polus parallelorum, eumque secent duo maximi circuli B D,E C,ad angulos rectos,quorum B D, sit maximus parallelorum, A: E C, ad parallelos obliquus : & per F, G, H, puncta, quae e obliquo circulo arcus aequales auserunt F G, G H,describantur paralleli IK,L M,NO, ex polo A. Dico arcum I L,maiore esse arcu LN. Per polum enim A , & punctum G, circulus maximus describatur A P,secans parallelos in P , O . Quoniam igitur in sphaerae superficie intra periphaeriam circuli I Κ, punctum G,si' gnatum est praeter polum A, & ex G, duo a cus G P, G F , circulorum maximorum cadunt in circunserentiam circuli I Κ ; erit ar cus G P,Omnium minimus; atque adeo minor quam Gyr quod areus GP , GF, minores sint semicirculo,cum se non inter secent,antequam parallelum I Κ,diuidunt. Rursus quia in superficie sphaerae extra periphaeriam circuli N O, punctum G, signatum est praeter eius polum
82쪽
erit & arcus G Q , omnium ex G, cadentium minimus, hoc est,minor, quam G Hi quod arcus G Q , G H, minores sint semicirculo , cum se non inter- secent, antequam parallelo NO, Occurrant. Uterque igitur arcus FG, G H, utroque G P, G in , maior est. Et quoniam recta per G , & centrum sphaerae ducta, id est, communis sectio circulorum maximorum A P, E C, secant paralleli IK, planum i tra sphaeram ; non enim recta illa ad centrum sphaerae perueniet, hoc est, ad centrum maximi circuli B D, nisi prius planum cireuli I K, secet; quod parallelus IK, positus sit inter maximum parallelorum , & punctum G. secabit eadem recta planum paralleli N O, extra sphae ram, si recta illa ,& planum circuli ad partes G, producantur: propterea quod punctum G, positum est inter maximum parallelorum , & parallelum N O. Quoniam igitur duo circuli maximi A P, E C , se mutuo secant in G, iuncto , & a circulo EC, utrinque a puncto G, duo arcus aequales sumptiunt GF, G H,& per F, H, plana parallela circulorum ΙΚ,N O, ducta, quorum No, occurrit commnni sectioni circulorum maximorum A P, E C, extra sphaeram, ut ostensum est,estque uterque arcuum G F, G H , maior utroque arcuum G P, G α, erit arcus G P, maior arcu G Q I Elt autem arcus G P, arcui IL, & arcus G , arcui L N , aequalis. Igitur & arcus IL , arcu LN, maior erit. Qirare si in circunferentia maximi circuli sit polus,dec. uod demonstrandum erat.
Si in circunferentia maximi circuli sit polus parallelorum, hunc si maximum circulum ad amgulos rectos secent duo alij circuli maximi, quorum alter sit unus parallelo ru, alter Vero obliquus sit ad parallelos; sumantur autem ab obliquo circulo aequales circunserentiae deinceps ad easdem partes maximi illius paralleli,& per puncta terminantia aequales circu ferentias, perq; polum, describantur maximi circuli: Hi circunferentias inaequales intercipient de maximo parallelorum, quarum propior maximo circulo primo posito semper erit
IN cireunserentia maximi eireuli' h BC D, sit A , polus parallelorum, eumque secent duo maximi circuli B D, E C, ad angulos rectos,quorum BD, sit parallelorum maximus,at E C , ad parallelos obliquus, ex duo sumantur
Sehol. II. huius. 4.hum at a. huius.
83쪽
arcus aequales F G, G H; & per puncta F, G, H, perque polum A, ei reuli maximi describantur A I, A K, A L, secantes B D, in I, K, I. . Dico arcum K L, maiorem esse arcu I K. Describantur enim per eadem puncta F, G , H, pa ralleli M N, P, R, secantes AK,
in V, X'. Erit igitur arcus MO, maior arcu O in; atque adeo, cuare ui MO, retis VG,& arcui O arcus G X, sit aequalis ,erit & V G,
maior,quam G XJ. Sumatur arcus
C Y , ipsi G X , aequalis, & per
parallelus describatur S T, secanxcii eulum A I, in Z . Quoniam igitur arcus G Y,G X, aequales sunt. nec non G F,G H, erunt ductae re-ctyH X,Y F,aequales. Et quia circulus maximus A I, por polum A, secat circulum S T,ad angu Ios rectos,& bifariam , ciit communis sectio, nempe recta ex Z, ad alteram sectionem ducta diameter eireuli s T, super quam insistit semicirculus rectus ad circulum AI nempe semicirculus a puncto Z,incipiens,& per s,usq; ad alteram sectionem pro et rediens, hoc est,schment uni circuli, quod semicirculo Nadus non est.) aufertque recta illa ex circulo A I, segmentum semicirculo m ius,quod nimirum a pinicio Z, per I, usque ad alteram sectionem cum circulo S T, ducitur,atque est YZ , arcus insistentis semicirculi quadrante minor . propterea quod arcus I h , qui illi est similis, quadrante quoque minor est quod ita ostendi potest. Quoniam circuli maximi B D, E C, rccti sunt ad maximum circulum ABCD, erit hic vicissim ad illos rectos, ac proinde per illorum polos transibit.Quare eorum segmenta,quae semicirculi sunt, bifariam secabit id est, in quadrantes. Quadrans ergo cst arcus circuli B D, postus inter B, S illud punctum, ubi se mutuo secant circuli B D, EC, ideoque I K, quadrante minor. Nam circulus A li, cadit inter puncta B, I, cum circulum A BC D, secet in altero polo. atque adeo reliquus arcus ex semicirculo insistente interceptus inter Y,& alte tam sectionem cum circulo A l,quadrante maior erit rccta Y Z,omnium rem rum ex Y, cadetium in recun serentiam ZI, minima atq; ade 5 minor quam YF,hoc est, quam HX,qi ni equale ostenndimus esse rectae Y F. Quocirca cum circulus Q R, mn br latctrculci ST,au seret recta HX,maior maiorem arcum ex suo circulo, qpam Iecta YZ, minor
V o D autem recta Π maiorem a reum e erat ex suo circuIo quam Tecta
Υ ex Do,perspicuum fetis prius ι Merema,quod sequitur, de caestret ris
84쪽
AEQV ALES rectae lineae ex circulis inaequalibus auferunt arcus inaequales, maiorque est arcus minoris circuli, qu an ut similis sit arcui maioris circuli. S I P T circuli inaequales AP B, C D, circa idem centrum E, descriptι: cantur autem ex E, duae resis νtcunque E M, EB, secantes circulum c D, in punctis C, D: erunt , arcus A B, C D, similes, cum illis idcm angulus E, insistat ad centrum . Et quoniam recta EA, ΕΒ, proportiona
litersunt sectae in pis iis c , D, quod E A,
E Raequales sint,necnon E c, E D; erunt rem ducta A B ,c D, parallelae; atque adeo
triangula E AB, E C D , similia, habentia
gulos E A B, E C D, inter se aequales, nec non angulos EBA, E D angulu E, communem. Quare erit , t EA , ad A B, ita E C, ad C D: Est autem E A, maior PamE C. Igitur er AB, maior.erit, quam C D. Accommodetur igitur iU c D, in circulo B, aequalis B F; eriis arcus A B, maior , quam F B . aurae cum a
cur c D, arcui A B, sit similis; erit arcus C D,maior, quam ut similis stiU F s. Aequales igitur recta F B, C D , ex circulis inaequalibus A B, c D, inaequales arcus auferunt, maiori est arcus C D, circuli minoris, quam ut similis sit arcui F B, circuli minoris. quod es propositum
H I 2 C perspicuum est, multo magis maiior lineam ex circulo minore auferre arcum mutarem, quam ut similis sit ei, quem ex circulo maiore aufert linea minor. Cum enim recta CD, aequalis ipsi F B,auferat arcucD,maiorem quam ut ilis sit arcui FB;multo magis linea maior quam CD, auferet maiorem arcum, quam ut similis sit arcui F B, cum illa maior maiorem arcum abscindat, quam C D . Quare in propos hac sexta etiam recta II X, maior existens, q am recta ΥZ, auferet ex circulo minore QR, arcum H X, madorem , quani ut smilis sit arcui Τ Z, quom recta T Z, aufert ex S T, circulo mai re. HOC autem lemmate demonstrato, facile etiam ostendemur,squales rectas lineas ex circulis inaequalibus auferre arcus inaquales simpliciter, ita H arcus minoris circuli simpliciter maior sit arcu circuli maioris, non solu malo quam vi similis sit. Sint enim rectae linea CD, BF,aequales, auferais CD,arcum mimoris xirculi C E D, F B, artum circuli maioris FGB. Dico simpliciter arcum C E D,maiorem esse arcu F G B. Congruente enim refla CD,recta FB,cadet necissario arcus CED, extra arGι FGP;atiue adeo arcus cED, maior erit arca FG cum ille hunc totiun intra se
85쪽
contineat sint , ambo arcus in eande partem caui,ati eadem extroma puncta habeant, ut vult Ar chimedes in suppositionibus ante lib. I. de sphaeraer ιγ indro. eque Nero arcus C E D, arcui F G B, congruet,aut ivιraim sum cadet. Nam si dicatur congruere, congruet etiam tota circum rentia circuli C E D, toti circumferentia re seculi FGR, atque adeo aequales erunt. circuli. quod est absistam, cum inaquales ponantur: Si Nero arcus C E D,dia eatur eadere intra arcum F GB, c
iusmodi est arcus C A D, quoniam xt paulo ante in hoc lemmate oriensum est,arcus CED, id est, C A D, maiores,quain vi similis sit arcui F G R-- matur arcus H FB, Ercui c AD, similis,atque adeo maior arcu F G Bri
sumpto autem in arcu C AD, puricto A, Nicunque, ducantur recta F, AB; productaque recta F A, donec arcum FGB, siecet in G,. ducantur recta GH, GB. Itaque quoniam arcus C D, H F B, similes sunt, erunt anguli Cis D, IOB,in illissegmentis ea istentes,quales. Quia vero angulus CA D,angulo CGB, maior est,externus interno; iangulusicGR, angulo HGB, maior quoque, totum parte; erit multὸ maior angulus cta D,angulo H G B. quod est absurdu. Ostensus exum est aequalis. Non ergo arcus CED, eadet intra arcis FGBUed neq; et congruit, ut demostrata est. cadet ergo extra,atq; adeo maior erit arcus CED,arcu FGB, t dictu est..HINC etiam liquido connat, multo magis maiorem lineam ex ei seculo minore auferre arcum maiorem simpliciter eo, quem minor linea ex circulo maiore aufert.
SI in sphaera maximus circulus lagat aliquem sphaerae circulum, alius autem maximus circulus ad parallelos obliquus si tangati circulos maiores illis, quos tangit maximus circulus primo poli'tus , fuerint c eorum contactus in maximo circulo primo posito,& sumantur a circulo obliquo cir
86쪽
curi serentiae aequales, & continuae ad easdem partes maximi parallelorum; per puncta autem terminantia aequales circunserentias describantur paralleli circuli: Hi circumferentias inaequales intercipient de maximo circulo primo polito, quorum ea, quae propior erit maximo parallelorum , erit
IN sphaera maximus circulus ABCD, tangat eirculum A E , in puncto A; atque adeo & alium CF, illi aequalem: Alius autem circulus maximus GH, 6. nui . ad parallelos obliquus tangat alios duos circulos maiores illis,quos ABCD, tangit, sintque puncta contactuum G, H, in maximo cireulo ABCD; B D, maximus parallelorum : Ex obliquo denique circulo G H , sumantur arcus aequales I K, K L,& per puncta I, h, L, parallelidescribantur M N, O P. QR. Dico arcum M in maiorem esse arcu OQ. Nam per k, & S, polum paralIelorum circulus maximus dcstribatur S k, secans parallelos in punctis T, V. Item per k, describatur ma-2smus eirculus hE, tangon parallelum A E,in F, secansque is . .huius parallelos alios in X,Y; ita tamen ,,ut haec puncta X, Υ, sint
inter puncta L, T,& V,I. quod ita fiet. Quoniam pet k , duo
circuli deteribi possunt lagen -ntes circulum A Ε, quorum unus inter arcus E G , k S, cadit,alter vero extra ipsos; Nasi ambo ex eadem parte circulum A E, tangerent, secarents se mutuo prope puncta con tactuum, quod alter alteri ociscurreret . quod est absurdum ;cum se intersiccent in puncto,
paralleloru . si prior sumatur, cadet puncta X, Tinter puncta L,T,& VJ, ut patet.bitur quonia in spherae superficie intra peripheriam circuli MN, punctum v, natum est praeter po-ium S,&ex k , tres arcus cadund in eius cireunferentiam h V , k Y , k I erit kV, omnium minimus,& KY, minor , quam EI. Rursus quia in superficie Schor. ν. sphaerae extra peripheriam circuli mi, signatum est punctum K , praeter eius polum , & ex K , in eius circunfercntiam cadunt tres arcus K T, K X. K. Ε, erit Κ T, omnium minimus,&EL , minor quam T. L. Vterque igitur arcuu
87쪽
Κ IAL retroque ΚY,ΚX,rmior est.Et quoniam recta per Kβ sphqrae eenuli ducta. id est, communis sectio maximorum circulorum GH, E Y, secat planum paralleli QIt, extra sphaeram , si iecta illa , & planum circuli QI, producantur ad partes Κ, ut in demonstratione propos. s. huius lib. dictum Auiua. est;erit arcus K Y, maior arcu K X: Sed arcui K Y,arcus hi O, & areui K X.
is.1.huiuν arcus O , aequalis est; Sunt enim semicirculi,quorum unus ex A, per B,alter vero cx E, per K, ducitur non conuenientes,ut ex ijs, quae in demonstratione propos. I 3. secundi lib.diximus,perspicuum est. Igitur & arcus MO,maior erit a reu O Q . Si ergo in sphaera maximus circulus tangat, &e. Quod demonstrandum erat.
6. THEO REMA 8. PROPOS. 8.SI in sphaera maximus circulus aliquem sphae-
rae circulum tangat, aliquis autem alius maximus
circulus obliquus ad parallelos tangat circulos ma iores illis, quos tangebat maximus circulus primo positus, suerintquς eorum contactus in maximo circulo primo posito; sumantur autem de obliquo circulo aequales circunferentiae continuae ad easdem partes maximi parallelorum, perque puncta terminantia aequales circunferentias describantur maximi circuli, qui & tangant eundem circulum, quem tangebat maximus circulus primo positus,& similes paralleloru circunferentias intercipiant, habeantque cos semicirculos, qui tendunt a punctis contactuum ad puncta terminantia aequales obliqui circuli circunferentias, per quae describuntur, eiusmodi,Vt minime conueniant cum illo cir
culi maximi primo positi semicirculo, in quo est
et contactus obliqui circuli inter apparentem polum,& maximum parallelorum: Inaequales inter-
88쪽
cipient circunferentias de maximo parallelorum, quarum propior circulo maximo primo posito
IN sphaera maximus ei reuius AB, tangat et rculum AC, in A; atque adeo alium illi aequalem,& parallelum:& alius circulus maximus D E , ad parallelos obliquus tangat alios parallelos maiores, sintque cotactus in circulo AB, cuiusmodi est punctum D; & sit B E, parallelorum maximus: Ex obliquo autem circulo D E, sumantur arcus aequales F G, G HI& per puncta F, G, H, circuli maximi describantur C I, KL, MN, tangentes parallelum A C, in C, K, M, secantesque B E, maximum parallelorum in I, L , N , ita ut limite arcus parallelorum intercipiant, eorumque semicirculia punctis C, K, M, incipientes δε per F, G, H, transeuntes non conueniant cum s
micirculo circuli A B , ab A, incipiente , &per B, transeunte. Dico arcum I L, maiorem esse arcu L N. Describantur enim per F,G, H, p
tes circulum KL,in O,S. Erit ergo arcus P Q , maior arcu QR ; quibuscum sint aequa Ies arcus GO,GS,erit & GO, maior, quam G S . Fiat G T,
ipsi G S, aequalis,& per T, sarallelus describatur VT, secans circulum MN, in X. Et quoniam communis sectio circulorum M N , V X , hoc est,
recta ab X, sectione, ad alteram sectionem ducta aufert tegmentum , quod Incipit ab X,&transsi per V, usq; ad alteram sectionem,semicirculo minus; Nam circulus maximus M N, se ea n parallelum V X , non per polos austri segmentum maius semicirculo, quod nimirum est inter maximum parallelorum,& polum conspicuum, quale est segmentum incipiens ab X , & transiens per α , usque ad alteram sationem cum circulo M N. aufertque ex maximo circulo MN egmentum malui semicirculo quod nimirum ab X, incipiens per N, ad alteram sectionem transit;estque segmentum X V , ad segmentum X M , inclinatum versus partes R. Nam si per N, & Y, polum parallelorum ei reuius maximus describatur Y N, erit hie tectus ad B E . Ergo M N , qui inter hos duos est positus Quoniam enim ex puncto F, duo circuli tangentes parallelum A C , duci possiunt , unus ad sinistram circuli maximi Y N,& ad dexteram alter, nos priorem eligin .us, ut nimirum ponatur inter maximbs circulos YN, B E. ad eundem B si , inclinatu
89쪽
elinatus est ad partes R,& vicissim B E, atque adeo & sibi parallelus V x, ad
Μ N, ad easdem partes R, erit inclina tus. Item segmentum incipiens ab X , α ter V, usque ad alteram sectionem transiens sectum est inaequaliter in T, est-ue minor pars T X, ut mox ostcndemus. Igitur recta T X , minor est, quam 3. ius. recta TF: Sed recta T F, aequalis est rectae H S. Igitur & recta T X, minor erit quam recta H S;atque adeo,ut in lemmate propos. 6. huius lib.demonstratum est,maior erit arcus II S, quam ut similis esse possit arcui T X. Cum ergo ar-I3.1.huius. eus IL, arcui HS, & arcus L N, arcui T X, sit similis, maior erit quoque arcus I L, quam ut similis sit arcui L N; atque adeo,cum in eodem circulo sint, erit I L,maior,quam L N. Si igitur sphaera maximus circulus aliquem sphaerae circulum tangat,&c.Quod crat ostendendum.
LEMMA. I. QA O D autem arcus TX, minor sit semisse sigmenti quod ab Minci
pit,et per V, que ad alteram sectione protenditur, ita demonstrabimus. ver E,ducatur circulus maximus E Z,tangens parallelum C, in Z,puncto, quod sit ad deauram circuli maximi Υ: cum ex E, duo circuli ram
unus ad sinistram circuli NΥ, et ad dexteram alteri Eriis E Z, quadrans. Nam circulus maximus Z per polum circuli AC per Ζ, cotactum descriptustrasit quoq; per polum ci culi tangentis E Z. uare idem circulus T Z , secabit segmenta circulorum B REZ,bifariam. Cum ergo hi maximi circuli se bifariam secent,fecabitur sigmetum d puncto F,per Z, que ad alteram sectionem, in duos quadrantes in puncto Z; atque adeo E Z, quadranserIt. Eodem modo quadrans erit E D, si per polum Υ, contactum D, circulus maximus Τ D. describatur. Est autem O arcus circuli maximi Corol. rci inter E, O L polum,quadrans. Igitur circulus maximus ex E, tanquam i Ri ' poto,er interuallo E Z, descriptus transibit per puncta D. 'on aliter ostendemus , esse quadrantem; atque adeo circulum maximum ex
2 polo, ct interuallo descriptum transire per Τ, polum parasi torum, qualis es M T, atque adeo secare arcum B D, vltra punmum D,
90쪽
er arcum R, vltra arcum D B, ideoque oe arcum Xυ, ultra emdem arcum D E : propterea quod maximi circuli ZΥD , Mar, se mutuo secant in ri ριχ,σ punctum M, en inter D , OZ. Quoniam veris circulo maximus M T, ductus per L polum paralleli A C, o per contactum M , transit etiam per polum circuli tangentis N M; transibit per polos circulorum X N M, se mutuo strantium in x . Quare bifariam seculit ipsorum segmenta. Cum ergo ultra punctum V, secet segmentum ab X, per υ, que ad aliud punctum, ubi se mutuo secat circuli Xυ, M, ut proxime est onensum: erit XV,arcus minor Iemisse sigmenti ab X,per V, Uque ad alteram sectionem; ae proinde multo minor semisse eiusdemst menti erit T X. quod est propositum. LEMMA. II. PROPOSITIS duabus magnitudinibus inaequalibus, reperire aliam mediam , quae datae cuicunque magnitudini commen surabilis sit. S I VT proposita duae magnitudines inaequales AB , AC, O data alia quaecunque D Gr oporteat , inuenire aliam mediam, hoc est, qua maior quiidem sit, quam A c, minor vero, quam A B, ct ipse D G, commensiurabilis. Sit primum D G, minor,quam E Gexcessus inter magnitudines AB, AC, ct E, multiplex ipsius D G,proaime maior quam A C. Quo po-yto, era E, minor, quam AB. Si enim aequalis esset, si detraheretur ex E, una
magnitudo ipsi D G,aequalis tqus quiidem
nor ponitur,quam BC,ὶ maneret adhue reliqua multiplex ipsius DG,maior quam o C. nergo E, esset multiplex ipsius D G,proxime maior,quam A c. uod esst absurdum . Nyn ergo aequalis est E, ipsi A B; atque adco multo magis neque maior erit. Minor igitur est,quam A B; atque adeo cum maior quoque sit quam AC ,σ ipse D G , commensurabilis,quod eius multiplex sit,constat propositum ' . . SED iam data magnitudo D G, non minor sit,quam B C. Diui Cι
tur D G, bifariam, dimidia parte rursus bifariam, ct sic deinceps, d nec relinquatur pars D F, minor quam B c; set F, ipsius D F, mictiplex proximἰ maior,quam A c; erit . F, ipsi DF, commensurabilis; atque adeo ct ipsi D G : propterea quod utraque E, D G, iU D Rcommensurabilis es. Rursus eodem pacto, ut paulo ante demonstrauimus, crit E, minor,quam AB. Cum eris maior quoque sit, quam A c, ct ipse DC, inmensurabilis ; conflat prσρδη ' TREOR.