장음표시 사용
351쪽
guttis A BC, duobus angulis A B E E BC, aequalis est,apposito eommuni an insulo A B D, erunt duo anguli A B C, A B D , tribus angulis D B A , A B E,. BC , aequales. Sed eisdem his tribus ostensum fuit esse etiam aequales duorrectos EBD, EB C; quae autem eidem aequalia , inter se sunt aequalia . Duci igitur anguli ABC, ABD, aequales sunt duobus rectis E B D, E B C . Cum ergo arcus circuli maximi in sphaera,&c. Quod erat ostendendum.
s E Q v IT V R die his, duca areus duorum angulorum, qui Λduobus tectis angulis sunt aequales, hoe est , qui ab area eireuit -- maximi armi alietius cireuli maximi insistente emetuntur. qualis sunt duo anguli A B A B D semicireulum constituere.Namu ex polo B, circulus maximus deseribatur C A D . erunt. ex eefin. c. CA. A D. areus angulorum ABC, ABD. Per spieuum autem est, a reus C A, A D. semicireulum eonseere .eum riteuli υ
maximi C B D, C A D, se mutuo secent bifatiam in C, D. D
THEOR. 1. PROPOS. 6.s I duo arcus circulorum maximoru in sphaera se mutuo siccuerint, angulos ad verticem aequales inter se essicient.
S E C E N T se duo arcus A B, C D, eIreulorum maximorum in sphaera in E, utcunque. Dico angulos,quos faciunt ad verticem E inter se esse aequa Ies; angulum videlicet A E D, angulo BEC, di angulum A E C, angulo B ED. Quoniam enim tam anguli A E D,D E B,quam angu-Ii D E B, B E C, duobus sunt reciis aequales, erunt illi duo his duobus aequales r ablato prgo communi angulo DE B, remanebit angulus A E D, angulo B E C, aequalis. Eademque ratione confirmabimus, angulum A E C , angulo B E D, aequalem esse.Si duo ergo arcus circulorum maximorum,M. Quod ottendendum erat.
THEOR. 6. PROPOS. 7. SI duo triangula sphaerica duo latera duobus lateribus aequalia habeant, Vtrumque utrique; habeant vero & angulum angulo aequale sub aequalibus arcubus contentu: Et basim basi aequalem habebunt; eritque triangulti triangulo aequale, ac reliqui anguli reliquis angulis aequales erunt, Vterq;.Vtrique, sub quibus aequalia latera su b tenduntur.
352쪽
SINT. duo trianetula sphaerica A B C, D E F, habentia duo latera AA C, duobus lateribus D E, D F, aequalia, utrumq; viriq; , ct angulum A,angulo D,aequalent. Dico& basem BC, basi E F,aequalem esse,& triangulum A B C, triangulo D E F, & reliquos angulos B, C, reliquis angulis E, F, virutaq; viriq;. ioniam enim arcus An , arcui D E, aequalis ponitur, at,ut si alter alteri intelligatur superponi in superficie sphaerae,
collocato puncto A, in puncto D, & putacto B, in puncto E, plana circulorum A B, D E, sibi mutuo congruant,& proinde arcus AB, arcui DE, congruat . Alias se,ut Theod. mutuo secarent bisariam circuli illorum arcuum in AM B, a tq; adeo semici cxuiuiu,. culi essent A B, D E . quod est absurdum . Est enim semicirculo vherq; minor . Cum ergo angulus A, angulo D, ponatur aequalis, congruet quoq; a cus A C, a reui D F, punctiamq; C, in punctum F, cadet, ob aequalitatem a euum AC, D F . Balis igitur B C, basi E F,congruet quoq;: alias, si supra caderet, aut infra, cuiuimodi est arcus E GF, essent arcus E F,. EGF, vel BC, ti. ahe . se nultuosecantes in E , F , semicirculi ; cum circuli maximi se mutuo secent, huici. bifariam . quod est ablurdum . Singuli enim semicirculo minores sunt. Quocirca basis B C, basi E F, aequalis erit, cum neutra alteram excedat; S triangulum A BC, triangulo DEF;&angvir B, C, angulis E, F, uterq; utrique, aequales erunt, ob eandem causam . Quare si duo trangula iphaerica ,&c-Quod ostendendum erat.
HEOR. . PROPOS. 8.IS O S C E LIU M triangulorum sphaericorum, qui ad basii ' sunt, anguli inter se sunt aequales : Et productis aequalibus arcubus, qui sub basi
sunt, anguli inter se aequale S ciunt . . t
SIT triangulum 'barrieum Isosceles A BC, cuius duo latera AB, AC, aequalia sint. Dico angulo B, C, supra basim B C, aequales esse: Item ii producantur arcus aequales A B, A C, insta basim BC, quantumlibet, angulos, huiui. quoque BG , sub basi B C, aequales esse. Quoniam enim arcus A B, semicirculo minor est, poterit in eo producto accipi adhuc arcus minor semicircu- ,. huiu, lo . Sit igitur arcus A D, sini circulo minor 3 & ex arcu A E, quantumcunq; producto abscindatur arcus A F, aequalis arcui A D ; & per duo puncta B, F,ao.i.Theo. Πος non per C, D,. ducantur duo arcus maximorum circulorum DF, CD. inita ergo duo lateta A B, A F , trianguli A BF, aequalia sunt duobus lateribu A C, A D, trianguli ACD , utrumque utrique , continentq; angulum
mhui uti cem Mnem A; erit basis B F, basi C D, aequalis ,& anguli A BF,& F, angu- Iis A C D,& D. Rurius, quoniam arcus A D , A F, aequales sunt; si deman-
353쪽
tur aequales AB, A C, erunt& BD, CF aequales. Quare duo latera DB, DC, trianguli DBC, aequalia sunt duobus lateribus F C,F B,triangu li F C B: quae eum contineant angulos aequales D, F, ut ollen- dimus, erunt & anguli DBC, DC B, angulis F C B, F B C, aequales. Q 6d si ex angulis AB F, A CD, quos ostendimus aequales esse, austrantur anguli F BC, DC B, quus etiam aequales esse demonstrauimus, rem nebunt anguli ABC, A C B, supra basim B C, aequales: Ostensum est autem & angulos DBC, FCB, infra eandem basim BC, esse aequales. Igitur & anguli supra basim intcr se,& anguli infra eandem inter se aequales sunt. Quam ob rem Isosceliua triangulorum sphaericorum,&c. Quod demon strandum erat.
HINC manifestum est. Omne uiangulum sphaericum aequilatet m. eme quoquε δ' uiangulum.
THEOR. 8. PROPOS. 9.SI trianguli sphaerici duo anguli aequales inter se fuerint: Et sub aequalibus angulis subtensa lat
IN triangulo ABC, sint duo anguli B, C, supra latus B C, aequales. Dleo latera quoque A B, A C, illis subtensa esse aequalia. Si enim non sunt aequalia , sit , si fieri potest A B, maius. Et 'uoniam arcus A C, minor e st semicirculo, abicin- ac datur ex arcu maiore A B, arcus B D, arcui mi in nori AC, aequalis;& per puncta C, D, arcus circuli maximi ducatur C D . Quoniam ergo duo latera A C, c B, trianguli ACB, aequalia sunt duobus lateribus D B, BC, trianguli DBC, continentq; angulos aequales ACB, DBC; erunt triangula A C B, D B C, aequalia, totum di pars. Quod seri non potest. Non ergo inaequa lia sunt latera A B,A C,sed aequalia. Si trianguli igitur sphaerici duo anguli, Sc. Qu*d erat ostendendum .
354쪽
RONGV DA PROBL. 1. PROPOS. Io. A D datum arcum circuli maximi in sphaera datumq; in eo punctum, dato angulo sphaerico aequalem angulum sphaericum constitueret, .
SIT datu areus maximi elmuli in sphaera AB, datumq; In eo punctum C, oporteatq; dato angulo sphaerico D, ad punctum C qualem angulum sphaerieum constituere. Productis arcubus D E, D F, angulum D, continentibus quantumlibet, sumatur quadrans DG; atq, per G, & polum circula
DE, arcus circuri maximi ducatur GH, secans arcum D F, in II. Erit igitur angulus G, rectus. Deinde sumptoruoque quadrante CLucatur per I,& polum circuli A B, arcus m ximi circuli IK. Erit igitur Si angulus Ioectus. Postremo,quia a cus G H, semicirculo minor est, abscindatur ei arcus IK. aequalis, dueaturque per C, Κ, arcus circuli maximi C K. Dico angulum C , aequalem esse angulo D. Cum enim latera DG , G H , aequalia sint lateribus C I, I K, contineantque angulos aequales,va pote re , ae ua-Ies erunt anguli D,& C. Ad datum ergo arcum circuli maximi,&c. Quod sa-
THEOR. 9. PROPOS. Ita OMNIS trianguli sphaerici maior angulus
maiori lateri subtenditur. Et maius latus maiorem angulum subtendi ita.
IN triangulo sphaerico A B C, sit angulus ACB, angulo A, maior.DIeo
latus A B, maius esse latere BC. Quoniam angulus A C B,maior ponitur angulo A, fiat angulus ACI angulo A, aequalis,secetque areus C D, aecum A B, in D . Quoniam ieitur in triangulo A D C , anguli A,& A C D aequales sunt; erunt & latera A D,CD, aequalia. Addito ergo communi arcu DB, erunt arcus B D, D C aequales arcui A B : Sed arcus B D, DC, simul maiores iunt arcu B C. Ieitur & arcus A B,eode arcu B C. maior erit.Quod est propos t .
355쪽
sr D tam in triangulo sphaerico ABC, latus A B, malus si latere B QDico angulum C, maiorem esse angulo A. Si enim angu lus C, maior non est angulo A, erit vel ei aequalis, vel minor. Si est aequalis,erunt latera A B,C aequalia.Quod est absurdum,cum A B,ponatur malus, quam C B: Si vero minor est angulus C, angulo A, erit latus B C, latere A B, maius, ut ia osten- cum est. Quod etiam absurdum est. ponitur enim A B, maius,quam B C.Cum ergo angulus C quatis non sit, neque minor angu lo A,erit utique maior . Quod est propositum . Omnis ergo triangulisphsrici maior angulus,&c.Quod erat ostendendu.
SI duo triangula sphaerica duo latera duobus
lateribus aequalia habuerint, utrumque utrique, an pulum Vero angulo maiorem sub aequalibus arcubus contentum: Et basim basi maiorem habe- '
bunt. Quod si basim basi maiorem habuerint: Et
angulum sub aequalibus arcubus contentum a gulo maiorem habebunt .
SINT duo latera A B , A C, trianguli A B C, aequalia duobux lateriis bus D E, D F, trianguli D E F, sed angulus E D F , maior sit angulo A. Dico . ibasim E F , maiorem quoque esse basi BC. Sint enim primum triangula haec ' 'spliaeri ea Iloscelia , & ex D, polo per puncta E, F , arcus circuli describatur in superficie sphaerae E G F, qui circulus, si maximus fuerit,idem erit omnino,qui E F:alia ,cum maximi circuli sui bifariam secent, esset E F, semicirculus . quod est absurdum , cum sit semicirculo minor.Tunc autem circulus arcus E GF, maximus erit, cum arcus D E , D F, quadrantes fuerint; quod maximus circulus quadrante absit a suo polo. Sit ergo iam arcus E G F, maximi circuli, & idem, qui E F, satque angulus F D G , angulo A, aequalis. Erit arcus DG, arcui DE, a tque acla o& ars ut A B, aequalis: propterea quod rectae subtendentes D E, D G, ex desin. poli, aequales sunt. Quia igitur latera 'μ' -1 A B, AC, aequalia sunt lateribus D G, D F, angulosque continoni aequales; aequales erunt bases BC, G F . Cum ergo arcus E F, maior sit areu G F , maior quoque erit arcus B F, arcu BC. Quod est propositum. V OD si circulus ex polo D, per puncta E,F,descriptus non fuerit ma
356쪽
idia 'dem non sit, sui r s; sed vel cadat insta latemh E p .sue
supra , nihil eat in interest, quocunque cadit. fiat nihilominus angulas Fla H, angu lo A, aequalis: eritque rursus ireus D H, arcui D E, hoe esi, arcui A B, aequalis; eo quod rectae subtenden tes D E, D H, aequales sint, ex desin. poli. I ucto igitur pes uncia F, H, arcu circuli maximi FH; cum latera A IS, A G, latexibus D II, DF, aequalia sint,angulosque contineant aequales; erunt urbases BC, H F , aequales . Quoniam vero circulus maximus D F, per D, polum circuli LII F, transiens eum bisariam secat;erit arcus E H F, semi-cticulo minor, 'uia arcu, a puncto F, per E,vsque ad illud punctum, in quo, si pc-sactua esset ultra E', secaretur ab arcu F D, ad partes D, producto, cst
semicircuius : quandoquidem circulus arcus E IJ F, bifariam secatur a circulo arcus F D, ut dictum est . atque adeo recta F E, maior, quam recta F H, in eodem circulo quia illa propinquior est centro circuli E H F, hoc est. diametro, quam haec. Cum ergo circuli arcuum E F, H F,maximi sint, ideoq; aequales; sit autem uterque arcus E F, H F, semicirculo minor; erit arcus E F, maior arcu H F: Ostensus autem est arcus H F, aequalis arcui B C . Maior igitur
erit quoque arcus E F, arcu B C. Quod est propositum. SINT.deinde triangula proposita non Isoscelia , sed latus A B, maiussit latere AC, ac proinde S latus D E, maius latere D F. Producto ergo arcu DF, ad partes F, abscissoque arcu D G, aequali ipsi DE, qui minor est semicirculo, describatur ex polo D, per puncta E , G, arcus circuli E H G, siue maxi-D ximus is sit, Tue non maximus. Fiat rursus angulus FDH, angulo A , aequalis; Z eritque arcus D H, arcui D E, hoc est, ar-
eui A B aequalis; eo quod rectae subtensae
l δε, . . D IJ, D E, aequales sint,ex defin. poli. Ducto igitur per puncta H, F, arcu circuli maximi H F, erit,ut prius, arcus B C, ar- a cui H F, aequalis. Quoniam vero circulus II maximus D G, per D, polum circuli E G, - ducitur, estque punctum F , intra periphe riam circuli E G, nempe inter circulum,& polum D. & praeter eius polum; erit arcus F E, maior arcu F H , cum ille propinquior sit arcui F D , per polum D, transeunti,& uterque arcus F E, F H, semicirculo sit minor: propterea quod non se intersecant, nisi in puncto F r Ostensus est autem arcus H F. arcui BC, aequalis. Maior ergo erit quoque arcus E F, arcu BC. Quod est propolitum.
SED iam basis E F , maior sit basi B C.
Dico& angulum D , maiorem esse angulo A. Si enim angulus D, maior non est angulo A, erit vel aequalis,vel minor. Si aequalis dicatur esse , erit arcus E F, aequalis arcui BC. quod est μbsurdum. Ponitur enim arcus E F, maior arcu B C . Si vero minor dicatur esse angulus D, angulo A, erit, ut iam ostensum est, arcus B C , maior arcu E F. quod etiam absurdum est, cum E F, maior ponatura
357쪽
lm, quam 2 C. Cum exto aogulus D, neque aequalis sit angulo A, neque mi nor, erit utique maior. Quod est propositum . Itaque si duo triangula sphorica, Sc. Quod demonstrandum erat.
DUO semicirculi maximorum taculorum se mutuo secantes continent d candi, sse aequales.
DUO semicireuli maximorum eireulorum A B C, R DC, se mutuo se-eent in A, C. Dico angulos A,&C, aequales es A. Diuiso enim semicirculo A B C, in B, bifariam, ut A B , BC , quadrantes sint,aucatur her B,& polum circuli ABC, arcus circuli maximi B D, secans arcu A D C, in D ; eritq; angulus B, ex utraquz parte rectus. Quia igitur duo latera AB, BD, duobus lateribus C B, B D , aequalia sunt, eotinentq; angulos aequales, utpote rectos; erunt & anguli A,& C,aequales. Quare duo simicirculi maximorum circulorum,Se. Quod demonstrandum erat. I
THEOR. ii 'PROPOS. i . CVIVSCVN QV E trianguli sphaerici uno latere producto, si reliqua latera simul qualia sint
semicirculo, erit angulus externus aequalis anguinto interno opposito supra arcum productum: Si vero minora sint semicirculo, erit angulus extemnus eodem interno opposito maior: si denique nraiora sint semicirculo, idem angulus cxternus duno angulo interno opposito minor erit.
- IN triantulo sphaerico A B C, produca-xur latus B C, ad D, & sint primum reliqua duo latera A B, AC simul semicirculo aequalia. Dico angulum externum ACD,aequalem iste in terno opposito B, supra arcum productum BC,&c. Coeat enim arcus B A, productus euin arcu BC, producto in D ; et itque 2 AD, semicirculus. Quia. veIOaIcu BA, - M. . The auiso
358쪽
A C, aequi ex ponuntur semicirculo BAD;dempto eommuni ateu B Α,erunt reliqui arcus AC, Α D, aequales. Quare & angulus A C D, angulo D, aequalis erit. Cum igitur anguli B, & D,sint quoque aequales,aequalis quoque erit angulus A C D, angulo B. quod est propositum. SINT deinde duo latera A B, A C, minora semicirculo B A D. Dempto ergo conii muni arcu A B, erit reliquus AC, reliquo A D, minor ; ac propterea angulus A C D, maior angulo D, hoc est, angulo B, qui an-D gulo D,aequalis est. Quod est propositum. SINT postremo latera A B, A C ,maiora semicirculo B A D. Dempto igitur c muni arcu A B, eri e reliquus AC, reliquo A D, maior; ae propterea angulus D, maior erit angulo AC D. Cum ergo angulo D, aequalis sit angulus B,erit quoque angulus B,maior angulo ACD, t hoc qst, angulus A C D, tangulo B, minor erit. Cuiuscunque ergo trianguli, Me. Quod eratostetidendam. l
' THEOR. 13. PROPOS. II. SI cuiuscunque trianguli sphaerici uno latere
producto, externus angulus aequalis fuerit interno opposito supra arcum productum, erunt duo rei, qua latera simul aequalia semicirculo : Si vero angulus externus maior fuerit interno eodem,& op possito, erunt duo reliqua latera semicirculo minora : Si de nil externus angulus interno opposito dicto minor fuerit, erunt duo latera reliqua si
POsITO eodem triangulo sphaerico, Ze eonstructione figurae eadem a
Sit primum angulus A C D,externus aequa lis interno opposito B . Dico latera AB, A C,semicirculo esse qqualia,&c.Cum enim angulus B, angulo D, aequalis sit, erit quoque angulus A CD, angulo D, aequalis; ideoq;& arcus AC, AD, aequales erunt. Addito ergo communi arcu AB, erunt duo
arcus Α Β, Λ C, semicirculo B A D, α. Ies . Quod est propositum.
x3. huius. SIT deinde angulus A CD, maior angulo B, hoc est, ungulo D, qui an- .buius. Eulo B, aequalis est; eri tq; arcus A D, maior arcu A C . Addito ergo commu-ν A ' ni arcu
359쪽
nsareu A B, erunt duo areus A B, A C, minores semicireulo B AD. Quod vit propositum. SIT postremo angulus AC in minor angulo B, hoe est , angulo D, qui angulo B, aequalis est; eritque arcus A C, maior areu A D. Addito ergo commini arcu A B, erunt duo arcus A B. A C.miores semicirculo B A l . Quod 'propositum. Si igitur cui uicunque trisnsuli spliaetici.&c. Quod erat dein
THEOR. 14. PROP. I QSI cuiuscunque trianguli sphaerici duo latera simul aequalia sint semicirculo, erunt duo anguli supra basim duobus rectis aequales: Si vero munora sint semicirculo, erunt duobus rectis mino res: Si denique semicirculo sint maiora, erunt duo
IN triangulo sphaerieo ABC, sint primum duo latera R B , Α C , lem Iocireulo aequalia. Dico duos angulos B, C, esse aequales duobus rectis, &e. Producto enim arcu BC, ad D, erit angulus A C D, angulo B, aequalis .Cum ergo duo anguli ad C, duobus sint reciis aequales; erutquoque duo anguli B, & Α C B,aequales duobus rectis. SINT deinde latera A B, A C, semicirculo minora. Cum ergo duo anguli ad C, sint duobus rectis 'aequales; & angulus B, minor sit angulo A C D; erunt anguli B,& Α C B, duobus rectis minores. SINT tandem latera A B, A C , semieireulo maiora . Quoniam igitur duo anstuli C , sunt duobus reinctis aequales , estque angulus B, maior angulo ACB; erunt anguli B, S A C B, maiores duobus rectis. Si igitur euiuscun que triantuli sphaerici,&e.Quod erat ostendendum.
THEOR. is. PROP. 17. SI cuiu se unque trianguli sphaerici duo anguli supra unum latus duobus rectis aequales fuerint, crunt reliqua duo latera semicirculo aequalia: Si
vero duobus rectis fuerint minores, erunt minoia semicirculo: Si denique maiores extiterint duobus rectis, erunt semicirculo maiora .
360쪽
POSITO eodem triangulo sphaerico, & constructione figura eadem Sint primum duo anguli B , C , duobus ref is aequales supra latus BC. Dico reliqua duo latera A B, AC, si mi ei culo aequalia esse , Ne. Cum enim & anguli duo ad C, aequa ες sint duobus rectis; dempto communi angulo A C B, reminebit angulus A CD, angulo B, ae lualis. Quare sonteirculo aequales sunt arcus A ls, A C. SINT deinde anguli B, Α C B,duobus rectis minores . Cum erg duo anguli ad C, sint duobus rectis
aquales Idempto communi angulo A C B, remanebit angulus 'CD,maior angulo B. Arcus ergo AB, . A C. semicirculo sunt minores. SINT denique anguli B . A C B, duobus tectis maiores. Cum ergo dubanguli ad C, sint aequales ducibus rectis; si dematur communi, angulus ACB, erit reliquus AC D, reliquo B, minor I atque adeo arcus A B, A C, semicirculo maiores. Quocirca si cuiuicunque trianguli syhaetici, &c. Qu9d osten
THEOR. ic. PROP. I 8. SI duo triangula sphaerica habeant tria laterae tribus lateribus aequalia, singula singulis: habebut&tres angulos tribus angusis aequales , singulos singulis, sub quibus aequalia latera subicia duntur.
SINT duo triangula sphaerica A B C , D E F , habentia tria latera A P, . A C, B C, tribus lateribus I E , DF , E F , singula singuli, aequalia . Dieri &angulos tres A, B, C, tribus angulis D, E, F, sin aulos singuliς, ess aequale .
iub quibus aequalia subtenduntur latera. Si enim angulus A, ut ab L. ς angulo incipi mu . non est aequalis angulo D . erit vel maior eo vel minor si maior, erit basis B C, maior ducique basi s F. Ouod est a cir M. ponuntur enim latera B C, E F. aequalia. Si vero minor est angulus A , angulo D , erit basis E F, maior basi BC . Quod rurium est absurdum,
eum aeuualeς ponantur. Cum ergo angulus A, neque maior sit neque minor angulo D, erit urique illi aequalis. Igi tur 8e reliqui anguli B, C, angulis reliquis E, F, aequales erunt, nempe B. ipsi C, .ipii F. Si duo ergo triangula sphaerica, Sc. Quod erat ostendendum.
THEOR. 1 . PROPOS. 39.. SI duo triangula sphaerica habeant tres anzu-- tribus angulis, singulos singulis, a quales:habe