장음표시 사용
51쪽
L in. I. nominatoris Factorem quadratum tr ; S I Φ Ω Μ 1 - Suat fractiones partiales eX rs ortae se, erit
A - - π - , posito Factore F - o ; Uncque I. Tum erit Μ-AS 2---quod divisum per Factorem simplicem i , dabit T-- hincque - p sito o ; unde erit B o ; atque ex Factore denominatoris orietur unica haec fractio partialis Ex EMPLUM ILSit haec proposita Rinctio fracta ' iSj , cujus ob denominatoris Factorem quadratum I ', seactiones partiales sint
52쪽
Ponatur N- p-qr 'S, sitque fractio ex Factore Sorta CAp. IL
evanescere debet, eritque adeo M - AS o , ideoque g, posito Invento hoc pacto A , erit M AS divisibile peris; ponatur ergO-- T, E
visibile ; fiet ergo o , posito p - q O ; ex quo prodit B posito Sic autem iuvento B erit T-BS divisibile per p - qq. Hanc ob rem , posit - -- V, superest ut V- CS divisibile sit per p - qr ; eritque ergo V- CS o , posito p- qi O , atque C - y , positor Inventis ergo hoc modo numeratoribus A, B, C, Dactiones partiales ex denominatoris Factore p - qty
Sit proposita haec stacta Functi O t i i i J, EX cujus denominatoris Factore cubico I-r ' oriantur hae fractio-
53쪽
Hoc ergo modo si definiantur singuli numeratores constan
54쪽
FUNCTIONUM. 33A , C, D, Oc. invenientur omnes fractiones partiales , CAp. II. quae ex denominatoris N Factore p - ρῖ ' nascuntur. E x E M P L U Μ. Sit proposita ista Functio fractati ex cuius den minatoris Factore nascantur hae fractiones partiales
- O. Sequens ergo calculus ineatur
Quo circa fractiones partiales quaesitae erimi hae:
Euleti Introducti in Anal. in .
55쪽
6. Quaecunque ergo proposta fuerit Functio rationalis fractar- , ea sequenti modo in partes resolvetur , atque in formam simplicissimam transmutabitur. Quaerantur denominatoris N omnes Factorcs simplices sive reales sive ima inarii; quorum qui sibi pares non habeant, seo sim tractentur & ex unoquoque per g. I , fractio partialis eruatur. Quod si idem Factor simplex his vel pluries occurrat, ii conjunctim sumantur atque ex eorum producto, quod erit potestas sorinae p -- ' , quinantiar fractiones partiales convenientes per g. qs. Hocque modo cum ex singulis Factoria hiis simplicibus denominatoris erutae fuerint fractiones partiales , tum harum omnium aggregatum aequabitur Functioni propositae , nisi fuerit spuria ; si enim fuerit spuria , pars integra i super extrahi atque ad istas fractiones partiales inventas adjici
debebit, quo prodeat valor Functionis V in forma simplicissima
expressus. Perinde autem est sive fractiones partiales ante extractionem partis integrae , sive post quaerantur. Eaedem enim ex singulis denominatoris N Factoribus prodeunt fractiones partiales , sive adhibeatur ipse numerator M, sive idem quocunque denominatoris N multiplo vel auctus vel minutus ; id quod. regulas datas contemplanti facile patebit.
Quaeratur valor Functionis in forma simplicissima expressus. Sumatur primum Factor denominatorisI , erit M- I Sc Z solitarius i Φ r , qui dat
56쪽
- , atque ex Faetore i in r oritur haec fractio partialis Iam sumatur Factor quadratus I - ' qui dat: ι, Μ i, & Z ' in Positis ergo si actioni bus partialibus hisc ortis V p
& fractiones partiales quaesitae in f - . Denique tertius Factor cubicus dat o ; M I ; &Z - Ι - - ἔῖ - - r'. Positis ergo fractionibus partialibus
--- - : nulla enim pars integra insuper
57쪽
36 DE TRANSFORMATIONE FUNCTIONUM
De transformatione Functionum per substitutionem. 46 bis. S 1 fuerit y Functio quaecunque ipsus et , atque Z definiatur per novam variabilem X , tum quoque y per X definiri poterit. Cum ergo antea y fuisset Functio ipsius y , nunc nova qua titas variabilis x inducitur , per quam utraque priorum y & qdefiniatur. Sic, si fuerit y atque ponatur hoc valore loco r substituto , erit y - Sumpto ergo pro x Valore quocunque determinato , EX eo reperientur valores determinati pro φ & y , sicque invenitur valor
ipsius y respondens illi valori ipsius t qui simul prodiit. Uti fisi x T , fiet T , & y - i ; reperitur autem quoque y - γ, si in cui expressioni y aequatur, ponatur T.
Adhibetur autem laetec novae variabilis introduetio ad duplicem finem : vel enim hoc modo irrationalitas, qua expessio ipsius y per s data laborat, tollitur; vel quando ob aequationem alti ris gradus , qua relatio inter y & exprimitur, non licet Func tionem explicitam ipsius r ipsi y aequalem exhibere , noVa Variabilis x introducitin , ex qua utraque y & commode definiri queat : unde insignis substitutionum usus jam satis elucet, exsequentibus vero multo clarius perspicietur. 7. Si fuerit y v a ε bet ; nova variatilis x per quam utraque Z ct y rationaliter exprimatur, sequenti modo invenietur. Quoniam tam r quam y debet esse Funetio rationalis ipfius x perspicuum est hoc obtineri si ponatur V a ε-: Fiet enim primo y - bx ; Scaq- bl bbo; hincque MX-- Quocirca utraque quantitas y & r per Functionem rationalem ipsius x exprimitur ; scilicet cum sit y- v a Φb fiat bo , y-b X. Disit roo by Cooste
58쪽
48. Si fuerit y a in bZ '' '; nova variabilis X , per
quam tam y quam Z rationaliter exprimatur , sic reperietur.
scilicet substitutionis quae praebet y x'. Quamvis igitur neque y per r, neque vicissim s per y rationaliter exprimi possit; tamen utraque reddita est Funistio rationalix novae quantitatis variabilis x per substitutionem introduistae, scopo substitutionis omnino convenienter. 9. Si fuerit y --; requiritur nova quantitas variabilis x per quam utraque y O 2 rationaliter exprimatur. Manifestum primo est si ponatur γ - ', quaesto satisfieri; erit enim - 4 -x , ideoque -- x ; EX Qua
aequatione elicitur g - quae substitutio praebet y-x'
Hinc quoque intelligitur si fuerit ,
tam 1 quam rationaliter per x expressum iri, si utraque formula
qui casus nil habent dissicultatis.
invenietur, qua y O Z rationaliter exprimantur , hoc modo. Ponatur V a 4-- c Φd sex, facile enim perspicitur hinc valorem rationalem pro r esse proditurum ;quia valor ipsius r per aequationem simplicem determinatur. Erit
59쪽
ό8 DE TRANSFORMATIONE FUNCTIONUM
a - ) ; obb- Φ Ι , c a , d - I ἔ ponatur , eritque y --Quoties ergo quantitas post signum V habuerit duos Factores simplices reales , hoc modo reductio ad rationalitatem absolvetur; sin autem Factores bini simplices fuerint imaginarii, sequenti modo uti praestabit. s i. Sit y V pεqZ in retet , atque requiritur sublitutio idonea pro et facienda , ut valor ipsus y flat rationalis. Pluribus modis hoc fieri potest , prout p dc ρ fuerint quantitates vel amrmativae vel negativae. Sit primo p quantitas assirmativa , ac ponatur aa pro p p etiamsi enim ρ non sit quadratum , tamen irrationalitas quantitatiun constantium praesens negotium non turbat. Sit igitur
& y sunt Funmones rationales ipsius x. Sit jam
III. Si fuerint p 8c r quantitates negativae ; tum , nisi sitqq qpr, valor ipsius y semper erit imaginarius. Quod si aurem fuerit qq υr ; expressio p Φ-Φ r is in duos Faetores Disit irod by Cooste
60쪽
resolvi poterit, qui casus ad g. praeced. reducitur. Saepenumero CAp.III. autem commodius ad hanc sermam reducitur , y v b ej d in et ); pro qua ad rationalitatem perducenda ponatur y a - bH-ci x, eritque d ε ei - χaxH- bo eri; unde fit & y Interdum commodius fieri
Si haheatur ista ipsius Functio irrationali sy V - I ε 3 -'; quae cum reduci queat ad hanc sermam y v Ι - Σ
Atque casus , quos Algebra indeterminata, seu methodus Diophantara , suppeditat; neque alios casus in his tractatis non comprehensos per substitutionem rationalem ad rationalitatem reducere licet. Quocirca ad alterum substitutionis iisum monstrandum Progredior.
- O , invenire novam variabilem X , per quam vatores ipsarum y O et explicite Uignari queant. Quoniam resolutio aequationum genoralis non habetur, eX