장음표시 사용
291쪽
LIB. I. Functionis fractae ipsius x nascuntur. Prima scilicet expressis
P - , E ά , dat Seriem geometricam
ex qua quidem mahes stum est quemvis numerum semel in Serie numerorum integrorum contineri. eoo. Expressio secunda : - , dat hanc Seriem
x' ε x' Η- 1x' ε ε 3x' ε 3 τ' Η x' in O '' in &c. , in qua cujusvis termini coefficiens indicat quot modis Exponens ipsius x in duas partos inaequales dispertiri possit. Sic terminus x' indicat, numerum 9 quatuor modis in duas partes inaequales secari posse. Quod si hanc Seriem per x' divida,-mis , prodibit Series , quam praebet ista fractio
quae erit I in x Η- Σx' - - χx' ε 3x' - - 3x' - - Η- ω' - - &c., cujus terminus generalis sit - Nx ' ; atque ex genesi hujus Seriei intelligitur coefficientem N indicare , quot variis modis Exponens n ex numeris I & 2 per additionem nasci queat. Cum igitur prioris Seriei terminus gencratis sit - , deducitur hinc istud theorema. Q.Vot variis modis numerus n per additionem ex numeris I O Σproduci potes, totidem variis modis numerus n Φ 3 in duas partes inaequales secari poterit. 3Io. Expressio tertia in Serieme oluta dabit
in qua cujusvis termini coes sciens indicat quot variis modis Exponens Potestasis x adjunctae in tres partes inaequales dispe Duiligod by Cooste
292쪽
NUMERORUM. 16rs I possit. Quod si autem haec fracti i-ὰθ
eVolvatur, prodibit haec Series
cujus terminus generalis si ponatur 'x', coefficiens N indicabit quot variis modis numerus n ex numeris I , 2 , 3 , Per additionem produci possit. Cum igitur prioris Seriei terminus generalis sit AIx' i si , sequetur hinc istud theorema.
Quot variis modis numerus n per additionem ex numeris I ,2, 3, produci potes, totidem variis modis numerus n Φ 6 in Ires partes inaequales secari poterit. 3II. Expressio quarta π: - - - . T in Seriem recurrentem evoluta dabit
in qua cujusvis termini coefficiens indicabit quot va iis modis Exponens Potestatis x adjunctae in quatuor partes inaequales dispertiri possit. Quod si autem haec expresso
superior Series per x'' divisa , nempei in x Φ, ε 3x' ε uex' - 6x' - 9x' in IIa y - &c. koijus terminum generalem ponamus - μ' ; atque hinc patebit cousscientem N indicare , quot variis modis numerus nper additionem oriri possit ex his quatuor numeris I, 2, 3, . Cum igitur prioris Serici terminus generalis futurus sit - δε χ' '', deducitur hoc theorema. Quot variis modis numeruι n per additionem produci potes
293쪽
LIB. I. ex numeris I , 2, 3,q , totidem variis modis numerus ti l Iola quatuor partes inaequales secari poterit. 3I2. Generaliter ergo, si haec expresso
ex numeris I, 2, 3, 6 m, totidem modis numerus
313. EX posita partitione numerorum in partes inaequales, perpendamus quoque partitionem in partes , ubi aequalitas partium non eXcluditur ἱ quae partitio ex hac expressione origianem habet
294쪽
Perspicuum autem est, si loco ponatur x , prodire ι x ij 1 - 1-Σ, ) i xi Z. Facsta ergo in Serie evoluta eadem mutatione , fiet
Multiplicetur ergo superior Series pariter per I - , eritque
ar . Expressiones istae a superioribus aliter non discrepant . nisi quod numeratores litet minores habeant Exponentes quam casu praecedente. Atque hanc ob rem Series , quae per CV Iutionem nascuntur, ratione coefficientium omnino conv2nient, quae convenientia jam ex comparatione g. 3oo & 3o . perspicitur , nunc vero demum ejus ratio intelligitur. Hinc ergo omnino similia thccremata consequentur, quae sunt.
c A P. XVI. Disit iroo by Cooste
295쪽
Quot variis modis numerus n per a Micionein produci potes ex numeris I , 2, totidem modis numerus n ε 2 in duas partes dispertiri poterit. Quot variis modis numerus n per additionem produci potes ex numeris I, 2, 3; cotidem ms is numerus n ε 3 in ins partes pertiri poterit. Quot variis modis numerus n per additionem produci potes ex numeris I , 2, ὴ , , totidem modib numerus n - Α Dr quatuor partes d: ertiri Foterit. Atque generaliter liabebitur hoc theorema :Quot variis mossis numerus n ρer additionem produci potes ex
numeris I, 2, 3, m, totidem modis numerus u m
in m partes disiperiiri poterit. 3Is. Sive ergo quaeratur quot modis datus numerus in m partes inaequales, sive in m partes , aequalibus non exclusis . dispertiri possit , utraque quaestio resolvetur si cognoscatur quot modiis quisque numerus per additionem produci possit cκ numeris I, 2, 3, ψ m , quemadmodum hoc patebit ex sequentibus theorematibus , quae ex superioribus sunt
Numerus n tot modis in m partes inaequales dispertiri potes, quot modis numerus u - per additionem produci potes ex numeris I , Σ, 3, ψ . . . . m.
Numerus n, tot modis in m partes sue oequalis sve inaequales dispertiri potest quot modis numerus n - m per additionem pro duci potes ex numeris I, 2, 3, m. Hinc porro sequuntur haec theoremata. Numerus n totidem modis in m partes inaequales secari potest, quot modis numerus n - in m partes , sue aquales
296쪽
merus n totidem modis in m partes , sive inaequales sive reqtiales , secari potest, quot modis numerus n --- ιn m partes inaequales dispertiri potest. 316. Per formationem autem Serierum recurrentium inveniri poterit, quot variis modis datus numerus n per additio nem produci postit eX numeris I, 2, 3, enim inveniendum evolvi debuint fractio
atque Series recurrens continuari debebit usque ad terminum Nae' , cujus coeffciens N indicabit, quot modis numerus nper additionem produci POissiit EX numeri S I, 2, 3, Φ, m. At vero hic solvendi modus non parum habebit dissicultatis , si numeri m n sint modice magni; scala enim relationis , quam praebet denominator per multiplicationem evolutus , ex pluribus terminis constat, unde Operosum erit Seriem ad plures terminos continuare. 317. Haec autem disquisitio minus erit molesta , si casus simpliciores primum expediantur , ex his enim facile erit ad casus magis compositos progredi Sit Seriei, quae ex hac fractione oritur ,
297쪽
LIB. I. ibit quot variis modis numerus n - m per additionem produci possit EX numeris I, 2, 3, Subtrahatur post rior eXprestio a priori , ac remanebit
quot variis modis numerus n per additionem produci possit ex numeri S I, 2, 3 m - I . 3I8. Hinc ergo sequentem regulam nanciscimur. Sit L numerus modorum , qui j iis numerus n per additionem produci potust ex numeris I, 2, 3, I P. Sit A I numerus modorum, quibus numerus n-m per additionem produci potest eX numCriS I, 2, 3, Sitque N numerus modorum, quibus numerus n per additionem produci potest CX numeris I , 2 , 3 , m.
His positis, crit , ut vidimus , L N-M; ideoque L Φ AI. Quod si ergo jam invenerimus quot variis modis numeri n & ir - m per additionem produci queant , ille ex
numeris I, 2, 3, -- , numeris I, λ , 3 , m ς hinc addendo cognoscemus , quot variis modis numerus n per additionem produci queat ex numeris I, 2, 3, m. Ope hujus theorematis a
casibus simplicioribus , qui nihil habent difficultatis , continuo ad magis compositos progredi licebit , hocque modo tabula hic annexa est computata, cujus usus ita se habet. Si quaeratur quot variis modis numerus so in 7 partes in quales dispertiri possit ; sumatur in prima columna verticali numerus so - - χα , in horizontali autem suprema numerus romanus VII ; atque numerus in angulo positus 322 indicabit modorum numerum quaesitum.
298쪽
Sin autem quaeratur , quot variis modis numerus so in 7 partus , sive aequales sive inaequales , dispertiri possit, in prima columna Vorticuli sumatur numerus 3ο - 7 q3 , cui incolumna 7 respondebit numerus quaesitus 89 6. 319. Series hujus tabulae verticales, etsi sunt recurrenteS , tamen ingentem habent conneXionem cum numeris naturalibus , trigonalibus , pyramidalil iis & sequentibus , quam paucis eXPOn Cre operae pretium crit. Quoniam enim ex fractione oritur Series I ε x ε χx' - Σx' - etae' in
uuae per divisionem oritur ex fractione unde patet Seriei postremae terminos numericos Seriem numerorum naturalium constituere. Hinc ex Serie ta-hulae secunda addendo binos terminos proveniet Series numerorum naturalium , posito x I.
I - - ΣΦ3 ε ε ε 3- 6 in 7Φ8-μ9-ΗΙ - - II-ΡΙΣΗ- dcc. Vicissim ergo ex Serie numerorum naturalium superior invenitur , subtrahendo quemque terminum Seriei superioris a te mino inferioris sequente. 32o. Series verticalis tertia oritur ex fractione Cum autem sit 1 - Σ i - xx ) i -
299쪽
LI B. I. illius terni termini addantur , tum bini hujus novae Seriei denuo addantur, prodire debere numeros trigonales, id quod ex schemate sequente apparebit. I -i εχε 3ε ε - s H- 8-ki1 ε i*-μ'Φ19
Vicissim autem apparet quomodo ex Serie trigonalium eruidibeat Suries superior. 311. Simili modo , quia Series quarta oritur ex fractione
' T; . Si in Serie quarta primum quaterni termini addantur , tum in Serie resultante terni, denique in hac bini , prodibit Series numerorum pyramidalium uti ex sequenti calculo videre licet.
Simili autem modo Series quinta deducet ad numeros Pyramidales secundi ordinis, sexta ad tertii ordinis & ita porro. 322. Vicissim igitur ex numeris figuratis illae ipsae Series, quae in tabulis occurrunt, formari poterunt, per operationes , quae ex iuspectione calculi sequentis sponte elucebunt. Dissiligod by Corale
300쪽
In his ordinibus primae Series sunt numeri figurati, unde sub trahendo quemvis terminum Seriei secundae a termino primae sequente sermatur Series secunda. Tum Serici tertiae bini ter mini conjunctim subtrahantur a termino sequente Seriei secun dae , sicque oritur Series tertia ; hocque modo subtrahendo ulterius summam trium , quatuor , & ita porro terminorum a termino superioris Seriei sequente , sorinabuntur reliquae Series donec perveniatur ad Seriem , quae incipit ab I in I in Σ &c., haecque erit Serius in tabula exhibita. 313. Series verticales tabulae Omnes similiter incipiunt , continuoque plures habent terminos communes ; ex quo intelligitur in infinitum has Series inter se fore congruentes. Prodibit autem Series , quae oritur ex hac fractione
quae cum sit recurrens, primum denominator spectari debet, ut