장음표시 사용
61쪽
quotlibet assumptae a primam, quarum multitudo C,
ultima D,&ciusdem ordinis inter Arithmetice dispolito numerus E. Dico B, ad D, esse ut planum Ct, ad unitatem. Inter numerosa, sit F, proximus maior . Et quoniam E, D, sunt ejusdem ordinis in uis dispositionibus constat , aequalem esse unitati denominatae plano F quoniam etiamC, est multitudo B, sunt in ordine A, nunieri ab unitate adi totidem, post unitatem ad F pariter totidem Arithmetice dispositi ergo excet suS F, super unitatem toties continet disterentiam consequentium, quot sunt unitates in Q; ergo C, multiplicando differentiam consequentium producit excessum F, super unitatem cui quidem excessui adiecta via,
tale fit numerus F; unde constat B, esse aequales C , denominato per F; ergo B, ad D, sunt ut , denominatus Prop. 3. per F, ad unitatem denominatam per planum EF; multiplicando terminos per planum EF, uti ad D, ita se habet planum C E, ad unitatem . Quod,&c.
Unitatum, qua denominantur planis Arithmetice dispositorum ab unitate, Gubet asympta ad succedentes in infinitum est, ut disserentia consequeotium ad nume
62쪽
rum ordinis eiusdrm cum assumpta murArithmetice illositos.
SIt in A, dispositio Arithmetica numerorum ab unistate,quorum disterentiam; initatum,quae denominantur planis A, sit assumpta C, quam succedentes in infinitum dispositae, aggregatae sint in D; eiusdem ordinis cum C, siti, inter numeros A. Dico C, ad D, esse ut B, ad E. Sint, quae praecedunt D aggregatae in Prop. 18. , quarum multitudo G; constat , adi, esse ut unitasPIN. 7 ad planum GT;&F, ad D, est ut planum BG, ad unitatem ergo ex aequo in perturbata C, ad D, est ut planum BG, ad planum Gi vel uti, ad E. Quod,&ci
Duarum amem minimis numeris ex
presiarum, cum denominatores numerato
rum sunt quemultiplices Derparticulta.
res , maior est, qua maioribus numeris ex
ponitur, F excessus est aequalis excessui numeratorum denominato per planu inomia
63쪽
C. II. D. 23. aequemultiplices D; adiecta singulis unitate
fiant denominatores F, G, aequemultiplices superparti culares numeratorum B, quibus propositae fractiones in minimis numeris exprimuntur diti, maior A, per excessum H unde fit etia D,maior C; addita communi unitate, G, maior P. Dico fractionem B, per G, excedere fractionem A peri, numero H, denominato
per planum FG . EX B, ducto in G, i, producantur I,4 exin, in G, fiat L quia D, C, sunt aeque- multiplices B, A, uti, ad A, ita D, ad C 4 idem I, qui fit ex B, in C, fiet etiam exin, in ta igitur A, multipli-plicando G, D, ficit Κ, I; multiplicando unitatem excessum G,D, facit se ipsum A, excessiim , I demon-srabitur eodem modo B, fieri excelsum L, I ergo excessus B, A, videlicet H, est etiam excessus L. .sed excesius fractionum B, per G, H, peri, est eXcessus L,
Unitatum, qua denominantur tinis Ariathmeticr dispostorum ab unitate, quotuba
64쪽
assumpti adhuccedentes in infinitum unt, mi multiplex disterentia in asposition se
cundum multitudinem assumptarum ad multiplicem eiidem disterentia secundum multitudinem praecedentium a prima semper auctum unitate.
G SILA, dispositio Arithmetica numerorum ab unitate. quorum differentia B M unitatum, quae denominamur planis A sint assumpta G, quarum multitudo numerus D &inti, quae praecedunt, quarum multitudo numerus F; quae sequuntur sint in infinitum dispositae,in aggregatae in G exi, ducto in F, ,Ἀ-anta, H in I, auctus unitate fiat Κ. Dico C, ad G es.se ut , ad Κ. Fiat ex F, D, aggregatum L,4 exH. Κ, aggregatum M constat L, esse multitudinem E, G, simul. Et quoniam exi, ducto in F, D, facti sunt I, H; etiam exi, in L .fiet aggregatum ex I, H; quod auctum unitate est aggregatum ex H, Κ, videlicet M ergo M, est productum ex L, in B, a uinum unitate; propterea C,E,simul ssiti quales L, denominato per M; E, squalis est F, denominato per K ergo C, est aequalis exces 'p'3' sui nempe D numero denomina topc planum Κι ergo C, ad Ε, simul est ut D denominatus per planum M Κ, ad L, denominatum per M ue velimul Dplican. do
65쪽
Arithmeticae. Ido terminos per planum M B,yut planum Det , de nona natum per Κ, ad planum B L sunt autem E, C, simul Prop. L ad G ut planum B L, ad unitatem; ergo ex aequo C, ad G est ut planum B D, vel H, denominatus per Κ, ad unitatem; sed est H, denominatus per Κ, ad unitatem ut ii, ad Κ. Ergo ad est ut H, ad K. Quod,&
Unitates, qua denominantur planis omnium numerorum ab unitate bina a primasunt dupla singularum unitatum, qua densis
minantur planis omnium impar&m ab
SIn dispositiones omnium numerorum A,& omnium imparium B, ab unitate; initatum denominata rum planis A, S, sint C, ωD. Dico binas C, duplas esse singularum D, a prima. Quoniam in x, sunt omnes impares interiectis interis nos consequentes singulis paribus, concipientur singu ς dispositiones Arithmeticae trium numerorum, quorum extremi impares, medius par igitur singula plana sub extremis imparibus, videlicet singula plana numerorum B, a primo sunt
media harmonice inter bina plana sub singulis impari bus
66쪽
bus,& intermedio pari, videlicet inter bina plana nume rorum', a primo ergo singula unitates planis B, deno. minatae, videlicet singulaei, a prima sunt media Arithmetice inter binas unitate planis A, lenominatas, via delicet binas , a prima. Ergo binae C, sunt duplar singularum D, a prima Plod,&c.
Unitates denominata planis omnium numerorum ab unitate sumptae semper ictidem a prima secuUdum aliquem numerum ad unitates denominatas planis numerorum Arithmetice cum eodem numero excesii
dispositorum ab unitate singulas a prima
sunt, ut idem numerus ad unitatem.
SInt dispositiones A, omnium numerorum, i, Vnltatum denominatarum planis A qua semper totidem sumantur a prima secundum numeria C; sint etiam dispositiones, una Quidem, Arithmetica numerorum ab unitate cum excessu C, altera E, unitatum, qua denominantur planis D . Dico quod B, totidem semper apriis
67쪽
εArithmeti . 3a prima, quot sunt unitates in C ad singula si sunt ut C, ad unitatem. Quoniam in D, sunt numeri ab unita te quorum excessus C,4 in Α, sunt oes numeri igitur De D sunt inter numeros A, ab unitate semper totidem interiectis, quot sunt unitates C, una dempta pro pterea in A, possunt concipi ab unitate singulae dispositiones Arithmeticae totidem semper terminorum, quot sunt unitates C, una a tecta, quorum in extremis locis sunt numeri D; i, sumptae semper totidem ali ima quot sunt unitates in C, sunt unitates denominatae pia ni numerorum, qui in singulis huiusmodi dispositionibus comprehenduntur singula a prima sunt unitates denominatae planis extremorum earundem dispositionum . Ergo sumpta Β , a prima semper toti dem secundum numerum C, sunt ad singulas E alti. 'ρ ma, ut C ad unitatem. Quod,&c.
Factis duabus Arithmeticis dispositionisi a
bus numeris, quorum fiunt quemustiplices disserentia in dispositionibus tales denominata planis numerorum rumdem, cum eiusdem sunt ordinis, inter se reciprocesunt, ut quadrati primorum numerorum. a sint
68쪽
S Iot A,&i, duae Arithmetica dissipositiones a numeris
C, D,quarum differentiae sint E, F, aequemuli iplices D, per numerum G; desint , , unitates denominatae planis numerorum A, B Dico H, ad , iusiacm ora linis este, ut quadratus numeri D, ad quadratum C. Fiat Κ, Arithmetica dispositio ab unitate, in qua disserentia G, cuius numero tum planis denominatae unitates di Aponantur, in L. Quoniam C metitur se ipsum primo loco dispositum in A, per unitatem primo loco disposi, tam M.& mctitur H differentiam numerorum A, per G, disteremiam numerorum ergo componendi, C, Prop. 9 metitur omne A, per omnes eiusdem ordinis Q crgo L, ad H, eius cia ordinis ita sic habenti quadratus numeri ad unitatem 4 conuertendo, H, adtrita se habent ut unitas ad quadratum C eadem meth ad demonstrabimus, quod L, ad L, eiusdem ordinis ita se habent ut quadratus numerim, ad unitatem ex aequo in perturbata H ad I, eiusdem ordinis ita se habent ut quadratus numerii, ad quadratum C. Quod,&c, Theor.
69쪽
Theor. 33. Prop. 31-Vnitates denominata planis Arithmetica dispositorum ab aliquo numero sumpta ab se
jumpta Iemn totidem secundum numerum ordinis eiusdem inter Arithmetice dispositios, adsumptas a prima semper totidem Iecundum primum numerum eorum-dιm Arithmetice dispositorum sunt, idem primus numerus ad numerum ordi
SInt A numeri Arithmetice dispositi a B, tant C,
unitates denominata planis numerorum A, qua ruinas umpta D, dc exiisdem ordinis inter Arithmetice disposito A, si E. Dico C, silmptasam, semper totidem secundum numerum E ad easdem C, sumptas a prima totidem semper secundum numerum B esse vim, ad
70쪽
ad E siti, differentia in dispositione A, d numeris B, E, fiant Arithmeticae impositiones G, H , tiarum dis ferentiae plana Fi, WE; initates denommatae planis
numerorum tam , sint I, K. Quia omnes numeri G,H, sunt inter numeros B, E, semper totidem interiectis, quot sunt unitates in B, E, una dempta poterunt coniscipi in A, singulae dispositiones Arithmeticae a B, C, totidem semper numerorum, quot sunt v nrtat Suni, E, una amplius, in quarum extremis reperiunturi: ni con-F op. a. stquζntcs num Psidi iposition E in G, H eigo unitates denominatae planis huiusinodi singularum dispositionum Arithmeticaru ab E, cuiusmodi sunt Caumpi a D,sem
per totidem secundum E, ad unitates denam irata pia no extremorum earumdem,cuiusini di sunt singulae Κ, a
prima sunt viri, ad unitatem, vel ut quadratus numeri Prop. 3 . , ad E singulae autem , ad singulast, prima sunt, y quadratus iumeri B,ad quadratum E ergo ex aequo in perturbata C, sumptae a D, semper totidem secundum E ad singulas I a prima sunt, ut quadratus B, ad E;
p .p.4. singulM Rutem , utpote unitates denominatae planis existremorum dispositionum Arithmeticarum, quae singulae concipiuntur inter numeros A, aB, ad unitates denomi.
natas planis consequentium earumdem dispositionum, cuiusmodi sunt unitates C, sumptae a prima semper totidem secundum numerum B, sunt ut unitas ad B, velit
B ad sui quadratum ergo ex aequo in perturbata C, sumptaeam semper totidem secundum E ad easdem C, siumptas a prima sem, per totidem secundum B, sunt uti, ad E.