Resolutio omnium Euclidis problematum aliorumque ad hoc necessario inuentorum vna tantummodo circini data apertura, per Ioannem Baptistam de Benedictis inuenta

81쪽

Datus circulus st.a.b.c. s.cuius centrum inuenio , per vigesimam huius, sit ille .e .circa quem circulum, constituam quadratum , produco primum diametrum. b.e.d. ad quem a puncto .c. crigo allam diametrum perpendic lariter,per prima huius, quae sit .a e .c.deinde a quatuor punctis,scilicet. a.b.c.&.d.eXtraho quatuor perpendic lares per primam huius,quae e Xempli gratia ,sint. a.fhrh.

pter hoc quia si linea intelligatur ab . a. ad .d recta, ipsa qdem secabit angulos .a S. d. qui quidem recti sunt per definitionem linea perpendicularis super lineam,anguli

igitur partiales, minores erunt duobus rectis, Ut parS,toto minor est ergo per penultimam petitionem concurrunt ad . cum omnes anguli ad e recti sint per definitione perpendicularis linea super linea,erit anguluS. a.e.d rectus ' per eande,anguli .e .a .h.δ .e .d.l. . recti sunt,deinceps per domostrata in. xxxii primi angulus. h. rectus est na ibi demonstratum esti omnis quadrilaterus, quatuor angulos habet,quatuor rectis aequales per easdemetia rationes, anguli .fg θ.h. recti sunt, demit .s,. arquidi stans est.b.d per xxviii primi naangUli .h.a .e.&.a e .d. recti sunt,ut demostratum est per easdem rationes cl.g., aequid istas est b. d.erit enim P. XX.primi .g b.aequidistas f. k deinde: eas de rones praecise .g a quidistans est. h. s. erut igitur .g f&. h. l .inuic aequales per . xxxiiii primi,p

82쪽

L IBER quam etiam . . h. aequalis erit. f. h. cum vnn quaeque lunearum .g fA.h.3 .aequalis sit lineae vel diametro: a C per supradictam trigesimam luarta primi,per quam etiamfk.Vel .g. h. aequali S.b. d.&.b. d. aequalis .a .c. nam diame tri omnes eiusdem circuli, sunt inuicem aequaleS erit g. lf aequalis. b.d.per primam conceptionem, sed b. d. aequalis est.f.h. vel .g h. v demostratum est, per eandem ergo primam c6ceptionem .g. faequalis est. f. ..etiam .g. h per easdem etiam rationes h li aequalis est .f. .vel ili igitur s. h.h.g quadratus est,est etiam circa datu circulum designatus nam per correllarium.Xv.tertii omnes quatuor lineae tangunt circulum, quod est propositum.

PROBLEMA XXXII HUIUS.

uorum aequalium laterum triangulum designare curus uterque duorum angulorum, quos basis obtinet, reliUuo duplus existae. si exempli gratia linea data. a.b. nam eam primum diuido

83쪽

stram V S. in uia to c. per .Xvi. huius, ita lid quod fit ex c.a. aequale sit ei quod est lub. a b.&.cib. Tunc erit per. xiii .seXti .a. c. ad .c. b.Vt. a. , .ad. a.c.deinde super lineam aequalem a. c, qua per viii huius, inuenio quae sit.b.d. designo triangulum duorum aequalium laterum, periXXii huius quorum alterum sit. a.b. vel ei quale per. viii huius, si itaque triangulus. a b. d. ivem probabo facete problema, ducta porro c. l. erit modo. a. d. ad .d.b. t. a b ad .d. b. per septimam quinti, sed per eandem .a.b. ad b. l. est ut

decimam eiusdem, deinceps est. d. b. ad .b. Vt .a c. ad. C. b. per supradictam septima quinti, erat etiam. a. ad .c.

modo per praedictam d.b .ad. b.c. Vt . a d ad .b d .at an ulus .a.d.b. aequalis es angulo a b d per quintam primi, nam per hypothesim a d aequalis est a b ergo per vi. sexti angulus. l. c.b aequalis angulo.b.θ reliquus .c.d. b. reliquo a.dc. drd.b per. vi. primi, sed .d.b. aequalis est. a. c per hypothesim,exit etiam c. daeidem aequalis, per prinnam coceptionem anguli vero .cia. d.&.C. d. a.inuicem

erunt aequales per.Vi phimi angulus autem .cid.b. aequalis erit angulo .c.d.a per primam conceptione, erit ita angulus totalis, hoc est.a.d b. per communem scientiam duplus ad angulum a.d Getiam ad angulum .a. per conceptionem, S per sequentem postea conceptio nem , angulus.b. duplus erit angulo a quod est pro positum.

84쪽

PROBLEMA XXXIII HUIUS,

ET XI. Q VARTI .

Intra signatum circulum entagonum quiaMutum, ars aequitarerumfabricare. Circulus assignatus sit a.b .c. intra quem, pentagoni aequiangulum, equilaterumque aedificabo, designans primum triangulum, qualem praemissa proposuit, cui simili in dato circulo per xxviii huius descripto, existente .a.b .c.eiusque anguli b.&.c per qualia diuisi,vt.ix. huius docet, protractisque .c d.&.b .e erit, nusquisque an

omnes aequales per vigesimamquintam tertii cordae Quoque per vigesimamoctauam eiusdem qu bd verosit aequiangulus probo sic, at angulus e. a. c par est cum

angulo .e c. a per quintam primi, porro anguluS .a c. d.

85쪽

angulo. a.b ae litatis est per hypothesim angi aliis verod. C-b. angillo. i. a b .per vigesimam tertii, quare totalis angulus. a. aequalis est totali angulo .c. per easdem simili

ter, ratione torales anguli .a.b. S. c.inuicem pares sunt Vltemus, Una autem per hypothesim. a.c.aequali sit . a b S per demonstrata. c. b. linear .a.d. angulus quoque a. b. .angulo C. a. d. nam angulus. c.b .a. aequalis est angulo. c. a. b. per hypothesim xangulus .c.b .e .angulo b .a.d. per .XXVi.tertit, quamobrem erit angulus .c.b. a par cum angulo C .a. i. erit equidem angulus .c.d. a.aequalis angulo.a .c.b.VCl. a.b.C.per. XXXii primi,d primam conceptionern est enim angulus .a.b .c. angulo a c. b. aequali per

hypothesina, sed angulus c. f b etiam par si cum angulo .e a.c per supradictam vigesimam sexta tertii, luapropter erit totalis angulus a aequalis totali angulo. d. per easdem etiam totali angulo .e.per communem scientiam , igitur omnes quinque anguli a.d.b .c.e .inuicem

aequales sunt, quod est propositum.

86쪽

PROBLEMA XXX HII HUIUS,

Circa propositum circulam , pentagonum quiangulam aquilaterumque designare. Circulus assignatus sit a.b c circa luc,pentagonum aequiangulum, aequilaterumq; describam, inuenio primum centrum dati circuli,qui quide sit.sper. XX huius, postea vero inuenio quinque puncta pentagoni inscripti circulo a b c per praecedentem, sint quidem. a.d b. e. protractisque a centro .s ad quinque puncta lineis,super eas quinque perpendiculares erigo, ad quinque punctis

pradicta, per primam huius sint itaq;.g.a .m:m .e .l lG. h:k.b .h:hd g. quae vero lineae tangent circulum, ad puncta. a.e .c.b.&.d per correllarium. xv.tertii linea autem a. g.concurrit cum .l e .in puncto .m. quia stantelligatur linea protracta, ab e . ad .a ipsa etaim secabit angulos recto S. se .m &.fa. m. iaam recti sunt per definitione perpendicularis linea super lineam ideo per definitionem concurrent, eadem ratio est de reliquis, quae puncta cocursuum, sint . in .g. h.h.&.l .ad quae duco rectas lineas, a centro .fmOX cum per. XXXV. tertii .a. m. aequalis sit .e. m.

per definitione circuli. a. ff. S per hypothesin angu

lo .m .s .sed cum per hypothesim arcus, quinque puncta interiacentes, aequales inuice sint erunt smiliter anguli ad centrum, illis arcubus oppositi, inuice aequo

87쪽

M V .les per XXvi tertii,deinde erit angulus .a.fg aequalis an gulo a fm .per communem scientiam, quia per supra dicta rationes, angulus.a. g.dimidius est angulo .a fit.& si tota inuicem sunt aequalia, quidni dimidia, deinceps, Cum anguli ad .a recti sint ut dictum est superius 3 aequales etiam , similiter Languli.a.fg.&.a.f m. Sta tUS .a .s communis, erit modo per vigesimamsextam primi.a-g-a qualiS .a m. angulus .a.g.f. aequalis angulla fm-a.&.f.g. aequalis .f.m. per easdem militer rationes, angulus .fg.d a qualis est angulo.fg.a igitur per communem scientiam, totalis angulus .g. aequalis est totali angulo ira sua iliter quoque de reliquis, per quas etiam rationeS g.h aequalis est.m g Sita de reliquis, quod est propositum.

PROBLEMA XXXV. HUIUS,

Intra propositum circv , hexagonum equiangulum,at aquilaterum designare. Circulus propositus sit .a b. intra quem,hexagonti aequu

88쪽

L I, E Rlaterum , a quiangulumque constituam. Inueni primum centrum e. per vigesimam huius duco postea diametrum. a. e. . lineam aequalem semidiametro per octauam liuius, in circulo arquidis antem. a.c.consti illo per. XXi. huiUS. quae sit g d. protraho etiam .g.C.b.&d.C.r. ducoque.b.f. modo clarum est,i .e g. aequalis est.

e. d. per definitionem circuli,d per hypotnesim l na- quaeq; illarum aequalis est g.d erit igitur trianguluS.C.g. d. aequilaterus, di per quintam primi, bis sumptam,co adiuuante prima coceptione aequiangulus deinceps per

quintamdecimam primi, angulus .f. e.b. aequalis est angulo g. e. d. Sper definitionem circuit,latera illum angultura continentia , inter se aequalia etiam 'lateribus e .ct e. d. per qUartam primi ergo b faequalis est .g. d. est etiam triangulus .e b. aequi angulus aequilaterus r per supra dicta rationes, postmodrim duco. a. g. a. b. C.&.c. d.praeterea, cum g d. a quidistet. a.c.erit anguluS .g. d.e. aequalis angulo. d. e .c.per. XXiX.primi, quia latera illos angulos continentia, inuicem sunt aequalia, partim per definitionem circuli, partim vero per hypotlaesim, erit ergo. c. d. aequalis .e .g. per quartam primi per eas de quidni erit. a g. aequalis e. d. xita .f.a. e b. C. b. c.se. per primam igitur conceptionem, Omnes linea scilicet g. l: d.C c. b:b. f L .' .a .g. inuicem aequalςs erunt hexagonu

us' adhuc habebimus aequilaterum,quod vero a quian

gulum sit, hoc facile patet, nam Vn Us Uislan: Ulorsi. a. P. s.c. b.&.fex duabus tertiis duoru rector uia: Oponitur coadiuuante. XXX ii primi, quare Oe inuicem pares erut

rectus recto sedissert. I sic habebimus propositu i

89쪽

Super datam lineam triangulum aquilaterum, quiangulamque constiti re

Data linea sit p. q.super quam triangulum aequilaterum constituam, quem etiam probabo esse, quiangulum, licet ab Euclide, hoc minime propositum sit,si data apertura .a.b .protractaque linea a b super quam constituo triangulum aequilaterum, ut prima primi docet, sit quae a d b.iam dico,t a quiangulus est ,δε primo et angulus. b. aequalis est angulo. i. nam .d b.aequalis est. a.d.per hy

b d .nec conuerso igitur anSulus.b. non erit maior, vel minor, angulo .d sed aequalis, alioqui duae recta lineae concluderent superficiem, per easdem rationes, omne se ii

90쪽

anguli inuicem aequales sunt Ulterius super lineam p-q-

ad puncta p.&.q costituam angulos quales. a. 'c.b perdecimam huius, protractiS p.o.&. q.o .concUrrent enim perpetitionem, quia anguli. a.&.b id es .p.&. q. minoreS sunt, duobus rectis per xxxii .primi, concurrant igitur ad iactum. o nunc erit angulus o. aequalis angulo. d.per praedictam, per quartam sexti erit .a.d.ad .p. o. Vt .d.b. ad. o. q.ita etiam a b ad p q. per septimam quinti. d b. ad .p. o. Vt. a.d ad p. . ergo per Undecima eiusdem .d. b. ad .p.Ο.Vt ad .Ο.q:O.q igitur aequalis st.p. o. per easdem quoi rationeS .p. q. q.o.&. O p.Omnes inuice sunt aequa

les,coadiuuante prima c6ceptione,ital habebo intentu.

ET 'RIMUM VARTI. duro puncto in circunfrentia circuli proposui lineam

rectam,quae minime maior diametro ex ut coliocare. Datus circulus sit a. b cuius centrum inuentumst per XX

circuli,a,b.existat, nam eam collocabo incirculo .a.b. ab