Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

51쪽

Εxemplum s.

8 . Proposita formula disserentiati

existente ny m - 1, eius integrale de ire. Ex exemplo a ' integralis pars quaecunque concluditur, siquidem breuitatis gratia tu statuamus :- cos. a E m tu I g I - a x cos. a E ω - - x x

vnde ista pars generalis abit in: sin. a mωArc. tang. a. c. Quare hinc ista integratio colligitur:

numeris paribus tamdiu ascendendo, quoad exponentem n non superent.

Corollarium.

8s. Indidem etiam haec integratio absoluitur, manen

52쪽

CAPUT L

vbi etiam numeri pares non vltra terminum n sunt continuinandi.

Exemplum 6.

8 6. Proposita formula disserentiali, eius integrale inuenire. Functio fracta per 3x affecta seeundum denominatoria

sectores est -- -- -- quae in has fractiones simplices resoluitur :

3I. Hoe igitur caput ita pertractare licuit, ut nihil amplius in hoc genere desiderari possit. Quoties ergo eius modi functio F ipsius x quaeritur, ut la aequetur functioni rationali ipsius x, toties integratio nihil habet difficultatis, nisi sorte ad denominatoris singulos factores eliciendos AIgebrae praecepta non lassiciant: verum tum desectus ipsi Algebrae, non Vero methodo integrandi, quam hic tractamus. est tribuendus. Deinde etiam potissimum notari conuenit, semper, cum iunctioni rationali ipsus x aequale ponitur, sunctionem I, nisi sit algebraica, alias quantitates transcendentes non inuoluere praeter togarithmos et angulos: ubi quidem o seruandum est, hic perpetuo Iogarithmos hyperbolicos inteIli-

53쪽

gi oportere, cum ipsus lx differentiale non sit - , nisi logarithmus hyperbolicus sumatur: at horum reductio ad mlgares est facillima, ita ut hine applicatio calculi ad praxia nulli impedimento si obnoxia. Quare progrediamur ad eos easus, quibus sormula functioni irrationali ipsius x aequatur, ubi quidem primo notandum est, quoties ista functio peridoneam substitutionem ad rationalitatem perduci poterit, casum ad hoc caput reuolui. Veluti s fuerit υ - iΘx,

unde integrale

s a a

54쪽

INTEGRATIONE FORΜULARO DIFFERENTIALIUM IRRATIONALIUΜ.

Problema 6.

JJeoposita formula dictrentiali Θs m eius inte

rate inuenire.

Solutio.

Quantitas α x--β x--γxx, Vel habet duos factores reaIes vel secus. I. Priori casu formula proposita erit huiusmodi ΘΙ - . Statuatur ad irrationalitatem tollendam

s litterae b et g paribus signis sunt affectae, integrale per Iogarithmos, sin autem signis disparibus, Per angulos expri

metur.

II. Posteriori casu habebimus 3s Statuatur .h b x x -- lla b x cos. ζ -- a a b x - a z , erit

G hine

55쪽

, ideoque

Corollarium A.

89. Casus Vltimus latius patet, et ad formu Iam δ'

m ---- , accomodari potest , dummodo fuerit υ

quantitas positiva et namque ob b g γ et a cos. ζ α - , oritur ,

F - t fro ' πέν - g α - - - ν xx J - C seu Corollarium I.

so. Pro eam priori cum sit

habebimus hos casus:

56쪽

Corollarium 3.

91. Harum sex integrationum quatuor priores omnes in casu Coroll. I. continentur, binae autem postremae in hac formula da --, continentur: sit enim pro Penultima

unde colligitur

si scilicet ille arcus duplicetur. Per cosinum autem erit

cuius veritas ex differentiatione patet.

Scholion I.

92. Ex solutione huius problematis patet etiam, hanc formulam latius patentem -'-- ----., si X suerit sumstio rationalis quaecunque ipsus a , per praecepta capitis praecedentis integrari posse. Introducta enim loco x variabili et, qua formula radicalis rationalis redditur, etiam X abibit in functionem rationalem ipsius z. Idem adhuc generalius locum habet, si posito Ucα--βx--γxx u, fuerit X functio quaecunque rationalis binarum quantitatum x et v, tum enim per substitutionem adhibitam, quia tam pro x quam pro usormulae rationales ipsius z scribuntur, prodibit sormula dis. serentialis rationalis. Hoc idem etiam ita enunciari potest, ut dicamus, formulae XΘx, si functio X nullam aliam irrationalem praeter x- v x x inuoluat, integrale assignari posse, propterea quod ea, ope substitutionis, in formulam differentialem rationalem transformari potest. G a Schois Diuitigod by Cooste

57쪽

CAPUT ILScholion I.

93. Proposita autem formula differentiali quaeunque irrationali, ante omnia videndum est, num ca Ope cuiuspiam substitutionis in rationalem transformari possit' quod si succedat, integratio per praecepta capitis praecedentis absolui poterit: unde simul intelligitur, integrale nisi sit algebraicum, alias quantitates transcendentes non inuoluere praeter togarithmos et angulos. Quod si autem nulla substitutio ad hoc idonea inueniri possit, ab integrationis labore est desistendum, quandoquidem integrale neque algebr.aice neque per togarithmos vel angulos exprimere valemus. Veluti si XΘx fuerit eiusmodi sormula differentialis, quae nullo pacto ad rationalitatem reduci queat, eius integrale fXΘae, ad nouum genus functionum transcendentium erit reserendum, in quo nihil aliud nobis relinquitur, nisi ut eius valorem Vero proXime assignare con mur. Admisso autem nouo genere quantitatum transcendentium, innumerabiles aliae formulae eo reduci atque integrari poterunt. Imprimis igitur in hoc erit elaborandum ut pro quolibet genere sormula simplicissima notetur, qua concessa reliquarum sormularum integralia definire liceat. Hinc ded cimur ad quaestionem maximi momenti, quomodo integrationem formularum magis complicatarum ad simpliciores reduci oporteat. Quod antequam aggrediamur, alias eiusmodi so mulas perpendamus, quae ope idoneae substitutionis ab irr tionalitate liberari queant; quemadmodum iam ostendimus, quOties X suerit sunctio rationalis quantitatum x et v m g α -- β x -- V x M, ita ut alia irrationalitas non ingrediatur praeter radicem qua dratam huiusmodi formulae α--βx--γdex, toties formu Iam differentialem X Θ x in rationalem transformari posse.

58쪽

s . Proposita formula differentiali X s x a -- b x)ν , in qua X denotet functionem quamcunque rationalem ipsius x, eam ab irrationalitate liberare.

Solutio.

Statuatur a --b x Σ ut fiat a . b x ' Σ': tum quia x f, facta hae substitutione, iunctio X abibit in summonem rationalem ipsius z, quae sit Z , et ob δx i zy ΘΣ, formula nostra differentialis induet hanc sormam ὐ Z Θ et, quae cum sit rationalis, per caput superras inistegrari potest, et integrale, nisi sit algebraicum, per Iogariti,

mos et angulos exprimetur.

Corollarium I.

ss. Hac substitutione generalius negotium confici po-

terit, si posto a--bx u, littera V denotet functionem

fiat V functio rationalis ipsius formula V d x zz P U u' 'Α Θ erit rationalis.

Corollarium a.

96. Quin etiam si binae irrationalitates eiusdem quan .

bG a rati

59쪽

mula X Θ x euadet rationalis.

Corollarium I.

Exemplum

sectos g. Proposita hac sormula Θ y α

Problema 8.

99. Proposita sormula differentiali X Θ x V , denotante X functionem rationalem quamcunque ipsius X, eam ab irrationalitate liberare. Solu- Diqiligod by la

60쪽

ssc APUT IL

g Σ' - , g Σ' - byscque loco X prodibit functio rationalis ipsius et, qua posita Z, erit sormula nostra differentialis

quae cum sit rationalis, per praecepta Cap. I. integrari poterit.

Corollarium L

xoo. Posito si X fuerit functio qua eunque rationalis binarum quantitatum x et u , formula differentialis Xδ x per substitutionem usurpatam in rationalem trans-λrmabitur, cuius propterea integratio constat.

Corollarium 2.

xox. Si X fuerit functio rationalis tam ipsius ac, quam quantitatum quotcunque huiusmodi

tum sormula differentialis X Θ e rationalis reddetur, adhibita substitutione ζας α αλμ',

Scholion I.

Ioa. His cas bus reductio ad rationalitatem ideo me-eedit, etiamsi plures formulae irrationales insat, quod eae Om