Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

421쪽

Iaambiguitatem signorum in ipsa aequatione differentiali ambae notari debent, ambiguitate inde sublata. Vtrinque autem haec aequatio rationalis resultatCα α αβ pp--qρ - γ p'--e -- αδ p pqq

616. Si constans Μ ita sumatur, ut fiat Δmo, ob tinetur integrale particulare huius formae qρ a , quod etiam a posteriori cognoscere licet. Ut enim satisfaciat sumi debeto G h E G G -- e E E G - e E zzz o, unde ratio E : G definitur , tum vero inuenitur F α - G et denique

Corollarium 2.

422쪽

Corollarium 3,

658. Haec aequatio facile in hanc larmam transmuistatur

quae est integralis completa huius differentialis

prorsus ut supra iam inuenimus.

Corollarium q.

639. Simili modo patet in genere, quando e non eua nescit, integrale completum ita commodius exprimi posse

quae ergo cum posito p o fiat q f, respondet huic functionum transcendentium relationi

Scholion I.

6 o. Cenera igitur iunctionum transcendentium, quas hoc modo perinde atque arcus circulares inter se comparare licet, in his binis formulis integralibus continentur

neque haec methodus ad alias formas magis complexas exte di posse videtur. Neque etiam posterior in denominatore po-

423쪽

testates impares ipsius et admittit: nisi sorte simplex substitutio reductioni ad illam formam sufficiat. Facile autem patet huiusmodi formam

hac methodo tractari certe non posse; si enim coemcientes ita essent comparati, ut radicis extractio succederet, talis formulas ξ ἀ- . i prosliret, cuius integratio, cum tam loga rithmos quam arcus circulares inuoluat, fieri omnino nequit, ut plures huiusmodi iunctiones algebraice inter se comparentur. Caeterum prior formula latius patet quam posterior, cum haec ex illa nascatur posito A o, si et a loco et scribatur. De priori autem notari meretur, quod eandem sormam seruet, etiamsi transformetur hac substitutione et prodit enim

ex quo intelligitur quantitates α, β, γ, δ, ita accipi posse, Ut potestates impares evanescant. Vel etiam ita definiri poterunt, ut terminus primus et Vltimus euanescat, tum enim posito uu, iterum sorma a potestatibus impatibus immunis nascitur.

Scholion 2.

5 I. sublatio autem potestatum impatium ita coinmodissime instituitur. Cum sormula A -- a B Σ - C et Σ -- a D Σ -- E E certe semper habeat duos factores reales, ita exhibeatur sor mula integralis f Θ Σ

quae posito et m abit in

424쪽

quodsi iam utroque terminus medius evanescens reddatur, fit

unde fit

Ninc sufficere posset eas tantum formuIas, in quibus potest res impares desunt, tractasse, id quod initio huius capitis se cimus, sed si insuper numerator accedat, haec reductio non amplius locum habet

. Problema 87.

6 2. Denotante n numerum integrum quemcunque, inuenire integrale completum algebraice expressum huius aequationis differentialis

Per functiones transcendentes integrale completum est II: n II: x -- Const. At ut idem algebraice expressum eruamus, posito Μ-C L,

sit per formulas supra 6a . inuentas

425쪽

CAPUT VI.

-- αδ pq - - 2ε pq pH-q --ζppρρ m ofi sumamus, posito p a fieri ρ b, constans illa L ita deis finiri debet, ut sit

426쪽

Hoc ergo valore pro L tonstituto, indeque litteris α, β, γ, δ, ζ per superiores formulas rite definitis, si iam p et qui variabiles, a vero Vt constantem spectemus, erit haec ae quatio α - - 2β p--D -- γ pp-qQ --- 2δpq Σερ ρ ρ ρ ζppqq-o, integrale completum huius aequationis differentialis

Postquam hoc modo q per ρ definiuimus, determinetur r per

hanc aequationem

quoniam, posito et r p, littera L, quae in valores β, γ, δ, e, ζ ingreditur, perinde desinitur ut ante. Quare cum sit II : ρ a II: p - II: a, erit II: r m a II: p - a II: a; unde sumto a constante, illa aequatio algebraica inter ρ et r, dum g per praecedentem aequationem ex p definitur, erit i tegrale completum huius aequationis differentialis

427쪽

et g CAPUT VI

aeqnationis differentialis

Cum hoe modo quousque libuerit progredi liceat, perspicuum est, ad integrale completum linius aequationis differentralis i veniendum

quarum prima sit p, secunda ρ, tertia r etc. Vltima Vero Θ dine n sit et, quae successive per has aequationes determi

nentur

donec ad vItimam a perueniaturi

428쪽

Corollarium.

6 a. Hinc etiam integrale completum inueniri potest huius aequationis differentialis

designantibus m et n numeros integros. Statuatur enim Vtrumque membrum - Ποῦ .hia et quaeratur relatio tam inter x et v, quam inter I et us unde elisa u orietur aequatio algebraica inter x et F.

s. . Ne hic extractio radicis in singulis aequationibus repetenda ambiguitatem creet, loco Vniuscuiusque uti conis veniet binis per extractionem iam erutis. Scilicet ut ex prima valor q rite per p definiatur, primo quidem habemus

ium vero capi debet

similique modo in relatione inter binas sequentes quantitates inuestiganda erit procedendum. Caeterum adhuc notari convenit numeros integros m et n positivos esse debere, neque hane inuestigationem ad negati uos extendi, propterea quod sommula differentialis posito et negativo, naturam suam mutat. Interim tamen cum hanc aequalitatem II: x --- II :F Const. supra algebraice expresserimus, eius ope quoque ii casus rein solui possunt, ubi est m vel n numerus negativus: si enim fuerit II: α n Π: p -- Const.

quae. Disiti od by Corale

429쪽

et aquaeratur ut sit II: F-II: a m Constia eritque Π:I - - α Π 2 p - ' Const..

Problema 8

6 s. si II: Σ eiusmodi. iunctionem transcendentem ipsius a denotet, ut sit

comparationem inter huiusmodb sunctiones inuestigare.

430쪽

et x. Θt -

siue

scque: habebimum

Est vero aequatione illa resoluta. .

unde conficituC