장음표시 사용
21쪽
loti, prout indicat eius signum plus vel minus, &fiet nouus valor pro prioribus te minis qui dati sunt quadrato aeqv ndi. . Sit in exemplum uterque terminus sequens aequandus quadrato q N. -- i de ius - 2N - 1 praeloci. qui est 'bui Nato', inuenietur etiam valor I per methodum vulgatem Lubetvit viroqici Aloia nouas solutiones, ac primo iuxta praeceptum pro noua radice capio i N - 2. ergo q N. I qui fuit primus terminus arquatus diato erit N - 9. nam si i N. dat i N - - 2 habebis N. dare N - - 8. cui adde unitatem in eodem primo termino existentem fietque AN 'si simili ratione sumendo rursusi N. H. a. proi N.&iuxta illam resoluendo 1 - 2N -i qui est secundus ter minus datae aequalitatis,fiet nouus terminus aequandus quadrato i Q -- a N H. q. ab hoc tolle priorem N. -- q. & absolue hanc duplicem aequalitatem modo communi fietque vasor pro posterioribus terminis: cui adde a quia sempta fuit noua radita 1N- 1 3& habebis valorem nouum radicis pro data aequalitate V. ν Rursus placet per alium valorem: inueni e nouum V lorem: pono pm noua radicei N- - ' iuxta quam resoluti dati termini ψN- 1&I a N--rdant nouos terminos utrobique quadratus est, poterit haee aequalitas duplicata resolui, soluatur ut dictum est num. q. in tertio casu& inuenietur p ro posterioribus terminis valor cui adde : quia sumpta est noua r di, i N -- l) extabitque valor alius pro data aequalitate libHabes ergo secundos valores derivativos eri primis, atque ex tuis secundis potes V tertios et uere eodem prorsus artificio, ut si libeat per radicem V elicere tertiam, conia nectes illam eum i N. ut sit nova radix a N - - V iuxta quam resoluti dati termini N- .i deIQ-aN--I. eo modo quo res tui debere iam diximus, dabunt nouos terminos 4 N--:6 & r ergo valor radicis pro nouis illis terminis erit' cui si addas V. iuxta positionem praecedentem habebis pro valore in datis terminis-- illulia resoluti dati
termini exhibebunt quadratos. . .. o
o Hinc vides posse inueniri valores infinitos: etenim exprimis orientur secundi & ex secundis tertii, & sie in infinitum,in exemplo'dato iam habes quinque valores, expostremis iterum possunt erui noui; ergo quaelibet data aequalitas duplicata habet sol tiones infinitas, quod erat demonstrandum.
Non despondendus animus si occurrant pro solutione numeri & minores nihilo.
io Vsuuenit interdum ut in problematum enodatione reperianti ir numeri ficti, unde fit ut inexperti statim cadant animis, ut pote qui in casum ut ipsi existimant impossibilem inciderint, verum audacter assimamus cum nostro Fermatio etiam inde elici poste
ii Sit verbi gratia aequalitas duplicata data r- a N&I- N-- aQ & inuentus sit per methodum vulgarem valor radicis iuxta quam resoluti duo termini dant veros quadratos ρ & 4ρ illa radix est numerus fictus, sateor, haec tamen sic inseruiet ad veros numeros inueniendos; pone pro noua radice i N - & juxta illam re lue duos terminos priores,sentque noui termini ' - 2 N. & a Q - 2O N. -- 9 quia z N. aequiualebunt x N 8.quae si subtrahas ab unitate ut postulat signum desectus habebiss - α N. pro priori termino nouo non aliter a Q dabunt 2 D - 16 N.& N dabunt N - 16 quos si tollas ab a Q. - 32 - I6 N iunctis cum unitate ut primitivus numerus Indicat fiet 2O-io N. 4 9. quare cum in istis terminis unitatum numerus sit quadratus, inue-nar valor per methodum Diophantaeam, ex hoc valore inuento tolle quia radix
22쪽
est rN - fiet lueolor pro aequalitate igitiirper numerum fictum inuentus est verus nullistus qui satisGit quaestioni ut ipse per examen rebare poteris. 3 1ia Rut , u detur istii duplicara aequalitas 8Q. -- -- 16 N & a iacit et i, inuenientur radices a N- ς sed quia numeri isti seti sunt, cape pro nouait diceti N - a iuxta quam resoluti duo priores termini dant n os terminos quadr*to aequandoa 8 - - 16. N & a - ipitur per methodum Baesisti pro istis
nouis terminis inuenieriae valor radicis -- punde si tollas a. quia noua radix iuiti l- et extabit noua radix pro data aequalitate duplicata - ergo ex numero ficto inuet
tu estvcrus satisfaciens duplicatae aequalit ti. Idem fieri potest de alio numero ficto; timo &'&ex illis inueniri possunt alij sine numero: - ia i Tertium exemplum sit in istis terminis Quadrato aequandis a --a a Q&I--ε uN - a Q per methodum communem reperitur valor- qigiti redintei inda est operistio, deponendum pro noua radicer N-AE & secundum illam resolliendi priores termini, ut iam dictum est, fientque termini' ui 24--as -r N-dca 9 -io
N. ergo quoniam unitatum numerus utrobique quadratus est inuenietur ex methodo
Diophantaea valor radicis pro posteriori biis terminis i hinc tolle iuxta noluimradicem de relinquetur pro aequalitate data valor verus de realis Mileu, non ergo cadendum animo si occurrant aliquando numeri ficti quia reduci possunt ad veros ut de
monstratum est in exemplis prioribus. . Id
In hoc genere solue di duplicatas aequalitates, debet
differentia terminorum aequandorum constare μquadratis di radicibus solis.
Saepius contingit in solutione aequalitatuis, ut differentia terminorum constet radicibus silis, ut ii oporteat aequare quadrato i Q - I-a N dc ir-3 N tollendo, secundum a primo differentia est a N. aliquando etiam differentia terminorum constat radicibus de unitatibus, vis termini sequentes aequentur quadratost in I -ar N.&9Q 2 N. supponendo enim primum maiorem vel minorem quod plerumque liberum est erit differentia i N - 9 vel 9- 27 N. verum in. Fermatiana methodo hoc curandum vidisserentia terminorum constet radicibus de quadratis ali quin vel in impossibile caderes, vel labor tuus nullam nouam produceret Glutionem, ut autem differentia constet quadratis de radicibus, debent unitates quadratae diuersae
reduci ad eumdem quadratii navi supra docuimus num.
Sit exempli gratia aequalitas duplicata sequens I Q - rN - - a dc I Q -- 3 N - - 3 33
alor radicis per methodum commvngm est a,ergo iuxta methodum Fermatianam sumi debet pro noua radice i N - 2. Sc iuxta illam oportet reseluere priores terminos, fient-cue noui termini aequandi quadrato I 3 N. -- Se i i N - I si horum caperes differentiam haberes a N -3 vel 3 - 2N. prout primus terminus supponeretur maior aut mino cape quo seis numeros qui has differentias producant, nihil proficies, nec unquam ad optatum peruenies finem, nisi reducas illos terminos ad eumdem quadratum quod fit diuidendo maiorem quadratum per minorem Sc per quotientem multiplicando terminum illum qui minorem quadratum continet, in eo igitur exemplo diuidem Peri. de quotiens 4. multiplicet terminum i Q IN - t. ita enim habebuntur duo termini noui ad nostram methodum apti N -- .i Sc i 3 N Ruris sint duo termini aequandi quadrato i in is-8 N. dc 3 --ε - N. Is per methodum vulgarem valor estis. ergo pro noua radice sumi debet i N. - - 16 iuxta quam si reselliantur priores termini fient termini noui quadrato aequandi t Q. - N. M '
23쪽
- αιε.&3 - :M N caue capias horum differentiam x Q -- lao N ia . impossibile enim Oret noc pacto ad solutionem peruenire,quid igitur faeies .u- et lud quod bai nusfactitatum eit sepius: diuides iso o. per 236 dc per quotientem et
multiplicabis ii 2 N --236 ω productus inde riarias κ' - - iueo N. - i5oo cum 3 Q N. in16oo. repraesentabit duos terminos aequandos quadrato, eorumquet unorum differentia constabit quadratis de radicibus: ergo ac nouam istutionem peruenire fas erit.
Hoc genus operandi non tantum valet ad soluti nes duplicatarum aequalitatum, sed etiam ad alias quascunque.
i Ferax est admodum ager iste quem colere coepimus, etenim methodus Femratia na, non tantum valet ad taluendas aequalitates duplicatas in infinitum, sed etiam ad alias s sit verbi gratia inueniendus numerus cuius duodecuplum sublatum ab O plo eius quadrato iuncto cum 8. iaciat cubum. ponatur numerus ille I N. ergo 8 8 - ia N. aequatur cubo,finge latus a - I N. cubus erit 3 - 12N-6Q. - i C. aequa diis 8 8 - 1,N. defit pro valore radicis-a quae radix licet ficta satisfacit propositae quaeitioni. Verum ut inde habeatur numerus verus, pone pro noua radicer N adciuxta eam reselue praedictum numerum 88 -ii N. fietque nouus terminus
8 N 'ε ε aequandus cubo, finge latus huius cubi ' est latus cubi ε . in nouo termino existentis, vero est quotiens qui fit diui qendo N. in nouo termino existentem per triplum quadratum lateris cubici 4. nempe 48 eius cubus f --N - Uue aequatus nouo termino 8 Q - N -- ε dat pro radice a undisi tol-a,las di. ob nouam radicem positam IN-α restabit valor pro priori positione ili' talis est numerus quaestiis,eius enim duodecuplum si tollas auqetia plo eius quadrato iuncto eum 8. dat cubum a latere : - .ie Rursus, si quaeras triangulum rectangulum, cuius area iuncta hypotentiis faciat quadratum, sormabis illud abi N - - & i N.latera sunt et Q - 2 N. I - a N.2 -- a. N. pinge aream 2C-3χ-IN. hypotenusiae 2DI- 2N & fit i - 3N - 3 --aCaequandus quadrato; finge latus i u & habebis v pro valore, pone igitur nouam ra- dicem in N. - . & juxta illani resolue , singulas particulas numeri superioris & summam inde ortam aequa quadrato fietque numerus za pro valore radicis ad primas
i. Simili ratione si sit inueniendum triangulum rectangulum, cuius area juncta unilateri circa rectum faciat quadratum, sormabis illud ut mox dictum est in numero praecedenti & area et C - - 3 Q -- i N. iungetur lateri 1- IN.&fiet valor-I cape igitur pro noua radice I N. -l & iuxta illam resolue singulas particulas numeri quadrato aequati & fiet noua summa 1C- . . - - aequanda quadrato: fin e latus -- p&fiet valor pro numeris primo positis : ia ac proinde triangulum quaesitum erit
Noua methodus ad solutionem duplicatarum
di. Sit data aequalitas duplicata dis N - ε & 9 Q --ao N. - 6 seu oporteat
24쪽
a quare quadrato utrumque numerum propositum: methodus comminis est reuocare mi meros quadratoriim diuerso satis eundem ut dictum est num. . verum hoc non estne ise, sed potest sumi immediate disserentia numerorum quae estis Q. - 15N iunia imaeniendi sunt tales produceptos, ut sumnia radicum iaciat io. N iςu duplum radicis tales sunt 8 N. Na N aliorum enim producentium summae semissis quadratum
aequatum priori termino as Q - N - ει quem supposuimus maiorem dabit valorem e.
Rursum si daremii r duo sequentes termini: P --&r o- iii ἡ-26 N. aequandi quadratis, cum numerus unitatum virobique sodem quaiat ex methodol vulgari capienda esset disserentia - tum sumendi solem producentes - ra& inde inueniendus valor radicis. Eermatius simit producentes 'e de ergo summa prodiicentium ra' - huius suinitiae semissis quadratus inlatus . '-Hi- dat valorem radicis T. Dii uti iiii Iterum sit soluenda aequalitas duficata 17 ιμ-16q. dc iQ- ao N. -- isy. tripliciter ista aequalitas solui potest: ptimo accipiendo differentiam termino rum illorum quae est 168 3 6 N oceligendo duos producentes in quorum uno sit
dis, duplum videlicet lateris quadrati I 69. atque hae est methodus communis: secun do selui potest reuocando diuers quadratorum nume ad eundem , quodseret ducendo singulas particulas numeri posteriori si i69. R. explicatum ethnum. q. teritu soluetur eadem aequalitas eligendo producentor N ScaaN-- 'M: ata etiam silmina radicum eris io N. duplumlateris quadrati Ibyy. atque haec est methodus Fermatia quae dat pro valore radicis
Dicet aliquis istam methodum esse quidem ingeniosam, sed buvilem, ut pote qu- asprodeat tantum ex numeris alte conquisitis, dc tali ratione dispositisve de illi producam differentiam terminorum quadrato aequandorum, de in flamma reperiatui duplum
laterismaioris quadrati. At quisquis hoc onit ignorat iratione sel in pulcherti. mum de dissicilliinu problema quod alias torni omnes Algebristas, de quod an lutum mansistet, n i Felmatius hae methodo tultus seluisset nodum Gordianum. Denique qui iniuilitatem huius methodi accusat videat solutionem multorum problematum intra ' num. S. 7. U. 3o. Quomodo autem inueniantur isti producentes ficile est judincare nam sumenduin duplum lateris quadrati majoris & illud diuidendum in duas
partes quae producant disserentiam quadratorum, ut in primo exemplo sumitur ro. ciuidendus iii duos qui faciantis. de inuenientur producentes 8 dea. uade caeteris.
Post: inuentos per analysin primitivos numeros
iterata operatio exhibet solutionem. O
Contingit non raro, ut in enodatione alicuius problematis incidatur in numeros fictos: iam supra ollensum est quomodo liliis malo medeatur ars analytica Fermatij, sed accipe insuper radicem singularem ex qua fructus innumeri prodibunt: radix illa est iterata operatio, sed ne incassum redintegres operationem analysis exhibebit
numeros primitiuos in secunda operatione ponendos Quaeratur verbi gratia triangulum rectangulum cuius tam hypotrarii si quam summa laterum circa rectum sit numerus quadratus, sermetur triangulum ab obuiis Numeri r N -- i & i N. ergo tria latera erunt a Q ΦΙ - - a N. a N. 2N - amigitarhypotenusa a Q. - I a N.&sumina lacerum circa rectum a Q. - Ι- N. aequam tur. quadrato& nt per methodum comunem valor radicisv unde duo nunieria quibusserinatum est trianoulum erunt-- seu in integris accipiendo selos numerat
res - -ia triangulum autem inde Brmatum est Ιερ. ii . Do. unde insem adsin,
25쪽
tionem problinatis inueniendum esse aliquod triangu una rectangulum cuius hypo- quadratus & differentia laterum circa rectum sit quadratus atque haec conclusio elidui vi analyseos praecedentis istud autem triangulum est 169 tis leto. quod larmatur vel ab - & - ia .vel a ' 3 dc-I2.quata item operationem de sermo triangulum quaesitum ab iN -- s. de i2. & peruenio tandem ad aequalitatem duplicatam quae non dabit amplius numeros fictos , sed veros beneficio trianguli illius primitivi vidistinetiu, videbitur infra num- - ri r L. . Rursus si proponatur quaerendum triangulum rectangulum quo productus sub hypotenuia in summam uniuilaterum circa rectum& dimidii alterius multatus area, iaciat quadratum formabitur triangulum ab obuiis Numeris i & i N - - i. ergo latera
i de productus i QO' 1 C - ρ Q. -- 8 N. -- a. multatus area i C. -- 3 a di dat re sduum i QO- - C- 6 CE 6N - - 2 aequandum quadrato. Finge latus 1 Q-- a N- ti eius quadratum est i C-6c N aequandum numero superiori& fit valor proindeque si luc listeremus secundum latus quod fuit ius a di foret
minus nihilo M ad solutionem postulatam ineptum,quare iteranda est operatio & fot- mandum triangulum ab i N - r & a. ita enim latera erunt i Q -- a N - 3. i Q -- aN-3. N -- . productus ex hypotenus a in summam unitis laterum circa rectum de dimidii alterius mulctatus area eriti C -- 6 ro N. I aequandus quadrato, finge latus 1 - io N -i Q.& fit pro Valore verus numerus erso ii ixta positioianes sermandum erit triangulum a ude 2 siue in integris accipiendo solos numeratores a di; & ii & fient latera quaesiti trianguli 98s. 6y7. 696. Idem omnino contingeret si . poneres pro noua radice I N . - ι & iuxta illam resolueres I -- - C-6N- , in
de enim orietur nouus terminus aequandus quadrato I C U- .nsn-
gelatust --s N. -i Q&fit valor Z- hinc tolle; ob nouam radicem & fit ζ'. pro prunis positionibus, quare iuxta positione formabitur triangulum in integris ab αρ. Mia ut supra. Iterum quaeratur triangulum rectangulum ita vi hypotenuia sit quadratus sicut &disserentia laterum ponatur iN -- I&I pro duobus numeris a quibus formetur triangulum, ergo latera erunt I Q -- 2 -- a N.I. - a N. 2N - - a. tolle postremum a N - .
a. a medio idi N. igitur disserentia I in a & hypotenuia i Q -- a -- N. aequantur quadrato & fit per duplicatam aequalitatem : pro valore radicis, ergo iuxta positiones numeri formantes triangulum erunt A es et seu in integris abiecto denoni inatote. - & ii. posses iterare operationem, & inuenire triangulum quaesitum , sed aduertevltro illud offerri ex sermatione 3 Se tr. fit enim triangulum rectangulum M'. ii p. Iro. ubi hypotenusa de differentia laterum est quadratus numerus.
Bachetus impossibilitatem agnoscit ubi Fermatius
patendum estingenuὸ plurimas quaestiones per methodos ordinarias solui infinities S ut cum uterque numerus quadrato aequandus constat radicibus diuersis & eodem quadrato,iacit Eenim est eo in castreperire quotlibet solutiones, propterea Bachetus at quaestion. 1 lib. I. cum in secundo modo soluendi duplicatas aequalitates dixisset unicam solutionem afferri, in quarto modo istutiones adhibet infinitas. Verum aliae sent aequalitates duplicatae delicatiores in quibus per methodos communes unica solatio, vel ad summum duplex inuenitur, unde ille idem illustras Diophanti commentor loco citato ait unicam solutionem afferri posse, dum numerorum ex tribus specubus compositorum digerentia constat unica specie, vel enim in uno numerorum L quadrato
26쪽
quadrato aequandorum sunt tres speetes ex una parte & duae tantum ex alia, estque vilicus virilique quadratus , vel dum sunt tantum duae species interminis aequantis,& unus constat quadratis S unitatibus, alter autem unitatibus de radicibus, addit autem contingere duas solutiones cum tam quadratorum quam unitatum numerus est quadratus ego vero, pace tanti viri dixerim, aio ex methodo Fermatiana etiam in his omnibus casibus contingere solutiones infinitas ut exemplis sequentibus pla
Primum exemplum sit in duplicata aequalitate et chin 3 N - - 7. & i Q - . N - . st
differentia eorum terminorum constat unica specie estque 8 N & sit valor . frustra Ba cheius per suam methodum alium quaereret, sed ponatur pro noua radice i N sergo noui termini erunt I Q et N. & I x --i N. igitur quoniam numerus unitatum quadratus est utrobique poterit Glui ista aequatio nec te terreant numeri
ficti qui occurrent iam enim sipra dedimus modum ex illis eliciendi veros. Secundum erit in Q I N - oc O is N. ubi sani tantum duae species ex una
parte, de quam Bachetus Bluit inueniendo unicum valorem: pone pro noua radicei N - - Τ. ergo iuxta illam resoluti priores termini dabunt nouos aequandos quadrato Q' i -- ρ N. & Q - - 23 N. ac proinde cum habeatur numerus unitatum quadra- ius inueniri potest valor radicis eritque Eri. Tertium exemplum sit in duobus terminis rQ--ρ - 2 N aequandus quadrato, duos inuenies valores ad solutionem istius aequalitatis, nempe 3 de : : inde inuenies infinitos, ponendo pro noua radice i N --3 vel 1N - - : a verum hoc indicasse satis e sto.
Deinde Bachetus ait reperiri duas solutiones in iis duplicatis aequalitatibus ,1
quarum termini habent tam numerum quadratum quam unitatum quadratum ut si 'dentur aequandi quadrato 1 -IaN--I & I Q -- r nam per methodos vulgares
reperientur valores t vel rat si quis petat alios, haeret Bachetus, noster tamen Fermatius inde se alacriter expedit & subministat infinitos. Adde quod ne in hoc quidem casi semper dabit duos valores Bachetus ut si dentur duo termini aequandi quadrato 1 Q in s N ini & i i N --t unicum enim eius methodus valorem exhibet,
imo continget saepe ut ne unum quidem sit exhibiturus ut si dentur aequandi quadrato i Q. - 6 N I Q - 2 N-: hoc autem continget quia valor exhibetur cum desectu, iam autem supra diximus per methodum Fermatianam innumeros valores exhiberi etiam dum numeri ficti occurrunt. Praeterea cum Diophantus L . q. 29. eo deuenisset ut 9 C--ερ - ra N. di, - - i. aequandus seret quadrato , Bachetus est quatuor tantum modis id fieri posse, su- Vblatis enim quadrato quadratis de unitatibus vel tollet radices, ut maneat aequatio inter cubos se quadratos ; vel tollit cubos ut maneat aequatio inter radices dc quadrata, unde inuenit tantum duos valores de ἰb Ferinatius vero reperit infinitos , primo enim expungit etiam quadrata, ut remaneat aequalitas inter cubos Ze quadratoqu drata vel inter radices de unitates. Secundo asserit Melietus si fingatur latus istius quadrati a 6 N - 1. sere ut incidatur in incommodum dea Q. - o C aequentur nihilo, Verum hoc incommodum non pertimescit Ferinatius. Tertio ex quolibet valore inuento, alios r perit in infinitum ut iam explicatum est.
Deinde Bachetus lib. . q. 18. ait esse impossibile aequari cubo a C 8 N et O
i de affert rationem quia non potest fingi cubus iste nisi a latere a N-i vel tollantur cubi & vilitates: verum, pace tanti viri dixerim, falsum hoc est, primo enim potest fingi latus istius cubi P -i ex fit valoru deinde fingendo latus a N- 1 fiet radix -&re luendo numerum superiorem iuxta hanc nouam radicem. Haec fusius explicabun insta in tertia parte. ν
27쪽
Non satis caute negauit Vieta numerum compositum ex duobus cubis posse diuidi in alios duos cubos Fermatius enim docet id poste fieri ex iis quae habet Bacticius ad i. . in a. Diophami quod tamen ipse Bachetus non aduertit sit igitur compositus ex cuobus cubis i & 8 diuidendus in alios duos cubos,qiiaerantur primum duo cubiquorum differentia sit 9. beneficio huius canonis: virumque datorum cuborum i &8ducito ter in latus alterius , prodiictos diuide per interuallum cuborum & minori
quotienti adde maius latus, a maiore autem quotiente aufer minus latus, summa de residuum exhibebunt quaesitorum latera cuborum:proinde latera illa sunt cubi vero Secundo datis duobus cubis inueniuntur alij duo quorum differentia aequet differentiam datorum I hoc autem commode fiet per canonem sequentem, productumees utroque cubo ter in latus alterius diuide per sit minam cuborum,a naajore quotiente auset minus latus a minore quotiente aufer minus latus, relinquentur latera quaesitorum cuborum. At duorum cuborum mox inuentorum differentia est y. ergo latera nouorum cuborum quorum differentia est ρ. erunt i 88 79 de 363ro supposito utrique denominatore comuni sto;qi cubi autem erunt 6693syo8 afr6239 & 87o7 1o38o8coo modo tamen virique supponatur communis denominator 738s r 6376 6 7i horum igitur cuborum disserentia est y scut & priorum. Tertio extat alius canon quo inueniuntur duo cubi quorum summa aequalis est differentiae duorum cuborum datorum, Se est elusinodi: utrumque datorum cuborum duc ter in latus alterius, productos diuide per summam datorum cuborum , a maiore quotiente aufer minus latus,& minorem quotientem aufer a majore latere,relinquentur cuborum quaesitorum latera. Ergo cum duorum cuborum posteriorum differentia sit 9. si per hunc canonem inueniantiit duo cubi quorum summa sit aequalis illi differentiae habebuntur latera quaesitorum cuborum tu alii laetat a. la: Vieta Bluit acutissime problema Adriani Romani quod fuerat propositum omnibu, totius orbis mathematicis in uno casu, di im videlicet numerus cum quo debet fieri aequatio minor est binario, idque per lectiones angulares, ubi ingenij sui vim mirificὰ ostendit & maximam inde existimationem ubique terrarum sibi comparaudi. Verum Ferinatius noster, etiam dum numerus binario maior est, quo in casu nullum est ab sectionibus angularibus praesidium,soluit quaestionem; sit enim s. -3793 , --9 63 Sec. nihil omnino immutando in terminis Adriani numerus aequalis cuiuis numero . to eo enim recidit problema Adriani ut Vieta ipse vel agnouit vel emendauit sit autem datus numerus is 8 - qui est binario maior, asserit Ferinati iis valorem radicis primigeniae iacillime designari per radices uniuersales eritqtie in eo casu P potestatis 'χ- 'bin. Io. -- ' a J- R potestatis 43 3 - - 'bin. io -- ηιπὶ Rulius si detur numerus 4 asserit Ferinatius valorem radicis sore is potestatis que bin. si potestatis que. residui x-R3. & sic infinitum valores nouos dabit etiam supra binarium, cum Vieta ne unum quidem etiam sectionum angularium ope sufful
Vieta l. uenetet. q. infeliciter soluit quaestionem tertiam libri sexti Diophanti s cum' enim iste proponat inuenire triangulum rectangulum cuius area assumens d tum numerum iaciat quadratum, coanstauit Uieta quaestionem ad datum numerum ex duobus quadratis compositum , at Ferinatius innumeris modis soluit problema de dato quocumque numero si enim dentur a numeri sequentes exhibet triangulum quaesitum
28쪽
Inuentum n OUum. IIDiophantum in plurimis Ferinatius superat.
Diophantii l. s. q. 8. tradix artem inueniendi tria triangula rectanstula quae sint agae litalia quoad aream , qui Vero plura ab ipso expetet numquam obtinebit, praeterea numquam tradidit Diophantus methodum inueniendi triangulum dato triangulo
aequale quoad aream. Fc matius visumque in X atque eadem Operatione praestabit,
sit Verbi gratia inueniendum triangulum rectangulum cuius area sit ε. qualis est area trianguli rectanguli q. . esto Vnum latus cuiuspiam trianguli rectanguli; & aliud litus siti N - horum quadrata simul sumpta exhibent 2 - N. pro quadrato hypotenus ae : quare iste numerus arquatur quadrato, deinde area istius trianguli N debet esse sextupla alicuius quadrati quia postulatur aream esse 6, ergo eius areae sextans quadratus est ac proinde ille ductus in 3 6. essiciet quadratum,essicit autem y N - . igitur hic numerus aequandus est quadrato. En igitur duos terminos duplicatae aequalitatis ρ N - 36.&as 8 N. in his autem unitatumnum Tus quadratus est , ergo valor radicis facile reperietur er tque - Em ac Proindei N - erit aliud autem latus circa rectuni est 3 igitur horum quadrata simul sumpta faciunt quadratum cuius latus IV erit hypotenusa ergo habes triangulum rectangulum T. 3. cuius area est sextupla cuiuspiam quadrati nempe huius vero quadrati latus eli per quod si diuidas singula latera trian3uli mox reperti, habebis triangulum quaesitum lV iasin . a . cuius area est ρ. aduerte nos inuenisse hoc triangulu per illud quod datum fuit 3- q. s. ac per inuenium inueniri posse tertium, per tertium inuenietur quartum & sic in infinitum. Ecce tibi quatuor triangula rectangula quorum area est 8 o primum FS. 40. 2. secundum 7 . 2 . 7o. tertium II 3. II.
Diophantus I. 6. q. s. incidit in illam duplicatam aequalitatem ii q&i-- r N. potest illa resilui duobus modis, supponendo primum ex illis maiorem vel minorem altero, prout libuerit : &sunt duae radices I dc ἰ::. sciscitare ab illo tertiam, non dabit. Dimatius potest dare infinitas, pro exemplo sumatur noua radix I N -- juxta illum resoluantur i - . t QR i -- r . N. fientque noui termini i Q &q' -- i N. ergo cum vnitarum numeri sint quadrati in utroque termino, resolui potest per methoclum,eritque radix pro duobus terminis posterioribus GI . . . . 'cui necte ' & fiet valor radicis pro data aequat itate Diophantiis l. s. post quaest. 13. & i7. omisit tertium casum quo quaeri potest trian- Οgulum rectanguluin ut tam hypotenuia quam alterum laterum circa rectam, detracta area faciat quadratum: omisit inquam illud problema rarae subtilitatis non Mia de causa nisi quia incidit in numeros fictos quorum enodationem ignorauit. Armatius illud acutissime soluit ι primo enim per analysin deprehendit inueniendum esse triangulum rectangulum in quo productus sub hypotenuia in summam unius laterum circa rectum& . lini dij alterius multatus area, sit quadratus, deinde triangulum isthisinodi inuenit eiusqtie ratiocinium Sc praxim dedimus supra num.r6.ubi diximus triangulum 98 .697. 6 6. satisfacere huic lemmati. Tertio latera huius trianguli nectit characteri radicum visit triangulum quaesitum ρ8s N. 6ρ' N. 696 N. cuius area 2 233 6 . tollatur ab hy
aequanda quadrato,aequetur illud postremum quadrato ab ερ N. orto sitque 858oyaequalesy7N - 2 rs3 sq.& fiet valor radicis io ideoque triangulum ab initio quaestum erit , iis . En quo Diophantus nusquam attingere potuit, multa alia dabirimus elusinodi in sequentibus quae Diophantus omisit, ut pote sibi ignota. ψ
29쪽
12 Diniuinae Analyticae Quaestiones duodecim circa hactenus diis a.
t ot exempla dedimus tot sunt problemata dissicillima, quibus enodandis impares erunt algebristae vulgares. Primum enim exemplum in quo proposita est duplicata aequalitas N - I&iQ-2Ν -- I ita enunciari potest. Inuenire numerum octonario majorem cuius quadruplum additum unitati faciat quadratum & euius duplum subtractum ab eius quadrato cum unitate iuncto faciat rursus quadratum, numerus quaesitus est '. Secundum exemplum sic proponetur. Inuenire numerum cuius duplum detractum unitati quadratum exhibet & cuius quadruplum subtractum ab unitate iuncta cum duplo eius quadrato iaciat quadratum. Hinc existit duplicata aequalitas interi. - a N&i- N - aQubi valor radicis est Tettium exemplum in quo 89 - 16 N dca ' N aequantur quadrato,sic proponi potest in problema. Inuenire numerum cuius sedecuplum cum omplo quadrato additum . facit quadratum& cuius quadruplum cum quaternario de duplo ipsius quadrato, facit quadratum, hic valor est r. Omiuo reliqua exempla ut proponam illustriores quaseam quaestiones.
Inuenire infinities duos numeros quorum productus sublatus ab alterutro eorum, aut ab illoru summa aut a disserentia relinquat quadratum.
, Sint duo illi i N. & i - I N sic enim satisfiet duobus postulatis prioribus, restat ergo
ut duobus posterioribus satisfiat, suppono i N esse minorem, ergo productus i N - 1'in subtractus a differentiai a Ndat pro residuo iχ -3N. subtractus autem a summai. relinquit 1 -i N. illa ergo duo residua aequantur quadratis de fit per methodum vulgarem l pro valore radicis ac proinde duo numeri quaesiti sunt l. l. Supponatur nunc pro noua radice i N. -- ὸ & iuxta illam resoluant ut duo residua supradi- , fientque de novo, duo terminii Q -- η v de i ---- aequandi quadratis, igitur quoniam in utroque termino unitatum numerus ea quadratus , inuenietur va'or pro his terminis huic adde e de fiet valor pro prioribus terminis, igitur duo numeri quaesiti erunt de M l. Potes ex isto posteriori valore elicere alium tertium, &ex tertio quartum, & sc in infinitum. En tibi alios duos numeros satisfacientes quaestioni Io io dc qi ' modo supposueris denominatorem si 863.
Inuenire infinities tres numeros quorum solidum
subtractum a singulis. dc a qualibet illorum differentia & a producto medij in extremos, dc a quadrato med ij, relinquat quadratum.
63 Ponantur tres quaesitii N. r. r. -iN horum solidum i N- detractum primo de tertio, itemque differentiae primi Se secundi, ac differentiae secundi de reriij relinquit quadratum , superest ergo ut satisfiat reliquis postulatis seu ut i I - i N & i
30쪽
Q -- I-3N. aequentur quadratis, simi autem iidem plane muneri cum iisdem signia quae in priori quaestione ligitur valor est i & fient tres quaesiti 3. 8. s. modo illis supponatur denominator communis 8. Item tres sequente. Ioqi6. r8os. At 49 modo supponatur illis denominator 3186 satisfaciunt quaestioni simili ratione tres subsequentes 2 987 rq . 78 9yryla. 33ni 77is.supposito denominatore communi 78 yyryra. Eluunt quaestionem. Potest idem problema aliter proponi hoc modo.Diuidere infinities binarium in tres partes, ita ut selidum sub illis detractum singulis, & cuilibet eorum differentiae & cuia libet producto medii in extremos ,& quadrato medit, semper relinquat quadratum, nam quilibet te artus ex supradictis aequatur binario. Aduerte dumtaxat me per medium non intelligere minorem majore & majorem minore, sed habere tantum rationem situs, in eό ordine quem supra vides.
Inuenire infinities duos numeros tales, ut differentia quadratoruab illis ortorum detracta maiori vel minori, vel summae vel differentiae eorum, relinquat quadratum.
Ponatur summa numerorum i - 2N. & differentia a N. ergo ipsi numeri erunt ζ & 4άx N. proindeque differentia quadratorum ab illis est a N- muae detracta summae vel differentiae relinquit quadratum. Restat ergo ut detracta alterutri numerorum, quadratu relinquat,relinquit autem : -- a N.& N.igiti ir haec aequanda quadratis, oc fit 1 N aequalis &duo quaesiti numeri sunt e & ut vero inuenias alios, pone pro noua radice r Ν - - 5 & iuxta hac resolue terminos quadrato aequatos,& pe ge in operatione secundum praecepta seperius tradita, neque despondeas animum si occurrant numeri ficti, iam diximus quomodo reduci debeant ad veros.
Inuenire duos numeros' quorum summa faciat quadratum , & quorum quadrata simul iuncta
Istud problema idem plane est cum superiori quo quaerebatur triangulum rectangm Ium cuius hypotenuia & summa laterum sit quadratus aliasque suit propositum plerisque doctissimis Mathematicis a Felmatio nostro sine se lutione. Utere igitur tria naulo primitivo supra inuento num. 23 169.rr9. lao. quod sormatur ab s &ir & forma triangulum ab iN -- &ir latera erunti in r69 ION.I 1Iy- ro N. a Ν -- Izo. igitur hypotenusa i Q - 169 - io N. M summa laterum circa rectum I -- i 3 N. aequantus quadrato, duc summam istam laterum in 16'. ergo productus i69 17 6 N. i69. cum hypotenuia i Q I69 - Io N aequantur quadratis. Ergo per ea quae dicta sunt num. 21 valor radicis est B P & iuxta positiones duo numeri a quibus nascetur triangulum quaesitum 6872986ror 89. 363 86oa776I. Iosa 6 et2933ro. nam de hypotenus a de quadratus de summa laterum dc quadrata laterum aequantur quadrato hypotenuis. Proindeque duo latera circa rectum sunt duo numeri quaesiti tum quia illorum summa quadratus est, tum quia horum quadrata simul iun iaciunt quadratoquadratum. e iij