장음표시 사용
51쪽
Inuenire duos numeros quorum strema ducta iii
summam quadratorum ab ipsis Ostorum ,i. Psaciat Cub Um.
Sint duo numeri quaesitii N sic et i N. ergo summa a ducta in summam quadrato. ruinam . - N iacit g-N. a quandum cubo. Finge latus cubi a - eius cubus aequatus 8 -8 Ndabh-s quare pono rursus pro noua radice tN - litata quam resoluo ungulas particulas numeri superioris 8 SN & fit nouus terminus D3 - N aequandus cubo. Finge latus cubi s - ergo eius cubus ira, N-- aequandus est ias - 4 N. Lualor extat 'N. .lcvnde si tollas: ob nouam radicem i N - habebis v orem pro primis positionibus hunc tolle a i iuxta positiones & fiet secundus numerus quaesitus : I. Aduerte primo solos
numeratores soluere quaestionem nempe & 13 qq. Aduerte secundo hinc solui problema sequens. Diuidere numerum a. in duos taliter ut summae quadratorum duplicata sit cubus. Aduerte tertio indidem sellii aliam quaestionem, nempe inuenire duos numeros, ut summa quadratorum per quemcumque numerum multiplicata fiat cubus, visi cuperes summam quadratorum quintuplicatam facere cubum poneresi N. &ue - i N de procederes ut supra: Aduerte denique hinc solui pulcherrimum problema nempe. Inuenire duos numeros quorum differentiae sit aequalis differentia quadrato quadratorum: nam si capias duos numeros supra inuentos 26 93&i 799. &lis supponas pro denominatore communi, latus cubi facti ex summa eorum in huminam
quadratorum quod quidem latus est 3 o fient duo numeri quaesiti, P . .. V. .
Inuenit e duo triangula rectangula quae habeant eandem differentiam minorum laterum S talia ut
in uno eorum maius latus Circa rectum aequetur
18 Fotinetur primum triangulum ab I N & i latera sunt i - r. i Q r. a N. ergo se cundi trianguli maius latus circa rectum erit I. r inde si tollas differentiam duorum minorum laterum primi, quae citi I-a N. set minus latus cirea rectum secundi 1 N -- r, restat igitur ut duo quadrata quae nascunt iit ab I Q - i & a N - . a simul iuncta iaciant quadratum. Horum ergo summai Q Q 6 SN - .aequanda est quaὀtato. Finge latus et in 3. igitur quadratum illius lateris i s ac 6 aequaturi Q ΕΦ 6 Q - 8N - &nti N. aequalisl & iuxta positiones numeria quibus tarmatur triangulum, in integris, abjecto videlicet denominatore, sunt i & i. at primus numerus minor est secundo. Proinde in formatione trianguli occurrerent numeri ficti, quod est absurdum,quare ut huic incommodo remedium adseramus redintegranda est operatio & sormandum triangulum ab I N- I & r. igitur latera erunti O- a N. I Q - 2N -3. N . pro primo triangulo: dc pro secundo latere minore erunt i δ' a N - - s de N ' ia. horum duorum quadrata simul juncta
faciunt summam i mr C 'F 3o Iis N - 169. aequandam quadrato , huius quadrati latus fingi potest multipliciter, finge illud lo - - i Q eius quadratum
priori summae aequatum dat pro valore radicis rix ergo numeri a quibus ibrinatum
est triangulum, juxta positiones, in integris abjecto denominatore erunt - ρ ρ de
52쪽
io a. utere iis numeris per inde ac si nullus esset fictus desernia triangulum ab roya&ρ ρ, fientque duo triangula qu et ita aiso'o . 2i38i36. z 4 23. & 2I6 OI7. at Dyos. 679r. & satisfaciunt quaestioni.
lnvenire duo trian usa revingula in quorum viroque suimma laturum circa rectum sit aequalis talia ut hypotenus a unius sit aequalis maiori late
Formetur primum triangulum abi N --t de i latera erunt et Q a N. 1 Q a 3ρN. zN -- a. ergo hypotenuia i Q -- Σ - 2 N. erit maius latus secundi trianguli quo sublato ex summa laterum circarectum primi restabit a N pro altero latere circa rectum secundi. Igitur horum duorum laterum quadrata simul sumpta i Q Q Cir - 8N- aequanturqi dr eo. Finge latus I - a N - 4 de eius quadratum tm- 4C--ia Q-is N - iis aequetur priori fietque valor radicis- . de cape ergo Inouaodice t N Se iuxta illam resolue singulas particulas num i pnedictit Q - C- ir 8N- . fietque nouus terminus I a 2C -- . .
uanduς quadrato,finge latus i Q de fiet valor I pro isto nouo termino, Mi de si tollas i fiet valor pro primis positionibus G. igitur 1 N i & I in integris, abiecto denominatore erunt ast de Σε. a quibus formabis triangulum primum quaesitum a1i7. I 63. Ilo dc inde nascetur secundum is r3. Is . 136. Aliter ex - supra inuentis potuit inueniri Glutio applicand illam radicem i N - 1 de i. ita enim in integris fienti Sc a quare ponendi sunt numeri formantes triangulum 1 N - I de x Sc redintegranda
operatio, ita enim latera primi trianguli erunt i δ' 1 - 2 N. I Q 3 - a N. N - q. de latera circa rectum secundi i Q a N dc N. -ia. horum quadrata simul addita 1 OQ- C -- 3o miti Ν -- 169 aequantur quadrato, finge latus I3 - '. -- I Q
de hel valor ergo i N 'idea in integris erunt 23 5cas ut supra, unde formabuntur eadem triangula.
Inuenire triangulum rectangulum cuius hypotenusa sit numerus quadratus δc datus multiplex unius lateris circa rei tum additus alteri lateri fa
Detur multiplex duplus Se formetur triangulum quaestum ab i N de i latera simi 1 o I. iQ-ir N. duplum posterioris lateris N addatur priori lateri circa rectum S: de fieti Q i - N aequandus quadrato sicut de hypotenus a i Q. --i horum differentia est 1 - N de fit valor radicis debet autem I N esse maior unitate ; ergo iteranda est operatio de sontiandum triangulum ab i N -- 3 3c ia. latera sunt i i6' - - Io N. I Q - ii' -- ION. a N - Iro. duplum istius postremi late cis 8 N - et o additum m io facit i Q -- iri - 18 N.aequandum quadrato oc est etiam hypotenus a i in isto N. aequanda quadrato horum duorum productus i Q in 68 C -- 8 Hor N - ro ρ aequandus quadrato. Finge latus T. - de fit valor radicis ergo numeri formantes triangulii in integris erunt ar so8r3 totarysM 3 8o aro. unde triangulum ipsum non latebit.
53쪽
3. , Dochinae Analyticae inuentum nouum. Inuenire quadrato-quadratum cuius triplum addi
tum alteri qUadrat O-quadrato quam unitati, faciat quadratum.
t Iubetur add i alteri quadrato quadrato quam unitati quia alioqui res esset perfacilis, nam triplum unitatis additum unitati facit . Item tripium quadratoquadratum is additum unitati facit 9. pone ergo i tu qxuadrato-quadrati quaesiti i N - i cuius quadradrato quadratum i C - - 6 Q N - i. triplicatum de additum i QO facit Qu i a C --i8 Q -ia N - - 3 AEquandum quadrato,finge latus quadrati a ; N- - :. ω fiet valor v. ergo iuxta positiones latus quadratoquadrati erit in integris; cuius
quadrato-quadratum gi triplicatum de additum quadrat quadrato numeratoris ai. nempe i ε i facit 1 88 . quadratum a latere iret.similiter capiendo duplum a. nempe s. eius quadrato quadratum triplicatum additum quadrato-quadrato aa hoc est dupli ii facit Σ38i quadratum a latere o8 rursus capiendo triplum 3 nempe V eius quadrato quadratum triplicatum dc additum quadrat quadrato 33 hoc est tripli ii iaculio se quadratum a latere ioρ8. &sic in infinitum.
Inuenire triangulum sectangulum in quo quadratum hypotenusae additum dato multiplici
1 Detur duplum areae deformetur triangulum abi Ndca latera sunt Iin L i Q r. a N. quadratum hypotenuis est I - - et i cui additum duplum areae a C - . facit i QQ' a C - - 2 a N - 1 aequandum quadrato finge latus 1 Q - . t - . : defiet: pro valore radicis at non est maior i ergo non potest inde formati triangulum quin habeantur numeri ficti, quare iteranda est operatio de ponendo pro noua radicei N--: iuxta quam si resoluantur singulae particulae numeri mox quadrato aequati fiet nouus terminus i QR ε 3 C - - ' a -- 'd: quadrato aequandus finge latus Σ - ς - . de set valor radicis huic adde t ob nouam radicem, de fiet valor pro primis positionibus quare duo numeri a quibus sormabitur rectangulum trian.
gulum erunt in integris 6 37 13 dc 3 a37aso. in unico casu problema est impossibile.
lnvenire triangulum rectangulum in quo area detracta ex quadrato unius lateris circa rectum faciat quadratum.
Formetur illud triangulum ab i N -i dc q.latera sunt 117 2 N. i in is - 1N.8 N - 8. eius area C - 1r Q. a N -- εο sublata ex quadrato secundi lateris, quod est i C - 26 6oN-- ra .relinquit iind 8 C 'I IIa N--rε aequanda quadrato,finge latus i Q N Hi . de fit valor radicis quare pono nouam radicem 1N - v. & iuxta illam resoluo singulas particulas termini quadrato aequati, fitque nouus terminus aequandus quadrato i mi 38 C -- Finge latusi Q iρ N-' Ne fit valor nunde si tollas' ob nouam radicem, de ex residuo unitatem, ob positionem restabunt duo numeri sormantes triangulum in integris εο oi dea:8o. igitur triangulum quaestum est latoqoi. 3o8I36or. 2736 1bo.
54쪽
SI duobus aequalibus numeri , inaequales duo adiiciamur, erit compositor im minor ratio quam adiectorum. Sint aequales numeri Α B. C D. quibus addantur inaequales B E maior, & D F minor. Dieo ni iis p rationem A E ad C F quain B E ad D F. Quoniam enim A B se C Do ri s sunt aequales ' minor erit ratio ipsinis A B ad maiorem B E, qu m ipsius C D ad minorem D F. igitur & eomponendo,, minor est ratio A E ad BE ouam C F ad DF. Q sate&vicissim minor est ratio A F ad C F quim BF ad DF. Quod demoti .itanduin erat.
Si fuerint quotlibet numeri continue proportionales, planus sub extremis aequatur plano sub duobus qilibustibet ab extremis aequaliter distantibus, atque etiam quadrato med ij, si multitudo numerorum fuerit impar.
h αλ Sint quotlibet numeri A BCDEF continuἡ proportionales nu- ΑλDq- η--i' 3 mero pari, dico primo planum sub Α F. aequalem esse tum pi Dosub B E,tum plano sub C D.Quia enim est A ad B ut Ead F ex hypothesi fiet idem numerus ex ptimo A in quartum F qui fit ex secundo B in tertium E. Similitet quia est B ad C ut D ad E , fiet idem numerus ex primo B in quartuni E qui fit ex secundo C in tertium D seu idem qui fit ex Α tu F. Igitur plani sub Α F sub B E sub C D sunt aequales. Quod erat propositum. Deinde considerentur tantum numeri ABC DE multitudine impari. Di eo planum sub Α Exquati tum plano sub B D. tum quadrato ipsius C. Nam vi prius quia est A ad B ut D ad E. pl nus sub AE aequatur plano sub B D ed quia est ut B ad C. ita C ad D planus sub B D. aequatur quadiato ipsius C. Igitur planus sub A E planus sub BD.& quadratus ipsius C aequales sunt inter se. Quod demonstrandum erat.
Si tres, pluresve numeri inter se multiplicentur, idem semper procreabitur numerus, quomodocunque & quouis ordine seruato fiat multiplicatio.
Quod ostendit Euclides de duobus numeris inter se multipli eatis decimasexta . id in uniuersum de tribus pluribusve Lic ostercietur. Tres autem, pluresve numeri inter se multiplicari dicuntur, cum unus ex illis ducitur in alium, tum productus in alium, & rursus productus in alium, & ita deinceps, donec omnes imi uiplicati sint.
Λ n c numiri ABC. ductoque A in B sat D. quo ducto in C fiat EAE' Rursus ordine mutato, ducatur B in C& fiat F, quo diicio in Α fiat G. Deni-D u mutato rursus ordine ducatur Ain C& fiat H, quo ducto in B. fiit K. V N tot enim modis ordo variari potest. Dico itia producta ΕΚ G inter se esse iralia. Quia enim B ductus in utrosque A C. yroducit ipsos D F erit A ad C ut D ad F. I itur . Letina Productus ex Α in F nempe G. ae luatur producto ex C in D nempe ipsi E. Similitet quia idem C 7. ductus in utrumque A&B producit ipsos H F. erit Α ad B vi H ad F. Igi .ut qui fit ex A iii F nempe a1
55쪽
G. aequatur ei qui fit ex B in Id nempe ipsi K. Quamobrem constat tres E X G. aequales esse inter se. Quod erat se ducti, fiat Equosi 4 Fοψ ducto inieliquum D fiat K. Tum mutato ordine, & tribus B C D inter te ductis A v3- Φ si p. quo dudio in reliquum A fiat H. Dico ipsos Κ & H aequales esse inter se,
G ' & semper eundem produci numerum quomodocumque aliter ordine mutato
K lao. H ιδ --A B C D inter se multiplicentur. Quia enim sumendo ternos ABC. tum ternos B CD. duo BC utrique sumptioni communes sunt, productus ex B in Cesto G. paret ergo eae dentonstratis in tribus numeris ex G in Α produci E, & ex G in D, pmduci F. Quate . ut E ad F sie est A ad D. . Igitur qui fit ex E in D, nempe id, aequatur ei qui fit ex F in Α nempe irv K.
similiter quomodocumque sumantur tres ex iisdem quatuor numeris, duo ex illis repetientur in qualibet alia trium sumptione. Quare lieebit eodem argumento propositum eoncludere. Eodem modo si sint quin e numeri, sumendo quaternos & quaternos , productumque exmutua quatuor numerorum multiplicatione, ducendo in reliquum , reperientur tres iidem numer in duabus quibuslibet sumptionibus, unde sumendo productum ex itium communium mutuo ductu,
Iieebit simili prorsus argumento propositum concludere. Et sic in sex numeris per ea quae in quinque demonstrata sunt probabitur intentum , Nin septem Perea quae in sex erunt ostenta. Igitur ex omni parte constat propositum.
Si suetint quatuor numeri in proportionalitate arithmetica, erit summa extremotum sumin 'mediorum aequalis. Et si summa extremorum sit aequalis suminae mediorum , erunt in proportionalitate arithmetica ipsi quatuor numeri.
Atithmetica proportionalitas dicitur cum primi & secundi idem est interuallum', quod tetit i Zequatit, ita tamen ut primus secundo, & tertius quarto comparati, singuli singulis vel aequales lint, vel maiores ; vel minores, non perturbato Ordine. Sint ergo arithmetice proportionales AB ad C sicut OG ad H. dico extrem tum δε β ει sunimam aequati summae mediorum C & D G. etenim vel A B aequalis est si ' C. vel maior vel minor illo. Sit primum aequalis ergo ut seruetur arithmetica
D se medietas, erit & D G. aequalis, ipsi H. Quamobrem si aequalibus A B N C ad-xi dantur aequales H & D G. erunt duo Α Β &ri simul aequales duobus C & D G Gmul. Quod est propositum. A Deinde excedat ΑΒ numerum C numero E Bitavi Α Ε& C sint aequales, igio β' v tur&DGeMedii H numero F G. aequali ipsi E B. per definitionem, & erit ς D F ipsi H aequalis. Itaque si aequalibus A E & C addantur aequales Id & D F ν' fient AE&H simul aequales H& DF fient ΑΕ& H simul aequites ipsis C &H D F simul, istitui si his summis aequalibus addantur rursus aequales E B & F G. Erant A B & H simul aequales ipsis C & D G simul. Quod demonstrandum erat.
Denique eo ipiatur id primus. D G secundus. C tertius. Α Β quartus, ita vi H si minor quam DG numeto F G. & C sit minor qu m A B numero E B, sintque differentiae F G. EB aequales ;dico rursus extremorum H & A B summam aequati summae mediorum D G & C. Nam eousidetatis iisdem numeris ordine inuerso concludetur per proximὸ demonstrata summam duorum AB & H. aequati summae duorum C & D G. Quod est propositum. . . Iam ε eonuerso sit summa extremorum A B & H summae mediorum C & DG. Dieo ipsos quatuor numeros esse in arithmetica medietate. Nam vel AB aequalis est ipsi C vel maior vel minor illo. Sit primum aequalis. Quia igitur Α Β & H simul aequantur ipsis C & D G simul. si viiiiii que auserantur aequales A B. & C. remanebunt D G. & H aequales. Quare sietat ipsorum Α Β & Cnullum est interuallum , sic & ipsorum D G. & H. Vnde eonstat propositum. Deinde meedae AB ipsum C numero E B ita vi A E & C sint aequales. Igitur ab aequalibus summis duorum Α Β & H simul, & duorum C & D G simul, auferendo aequales numeros AE&C. temanent EB & H simul, aequales ipsi D G. Quare si abscindatur ex DG. numerus DF aequalis H, erit reliquus F G. aequalis E B.Clim itaque A B. excedat C. eodem numero quo D G excedit
H. erunt atthimeticE proportionales ipsi quatuor numeri. Quod demonstrandum erat . . Denique eoncipiatur H ptimus D G secundus. C tertius. AB quartus. Ita vi H sit minor quam
D G numero F G. & reliquus D F sit aequat is ipsi H. Quἰa ergo ab aequalibus summis duorum H &ΑB. & duorum D G, &C. auferendo aequales H& DFremanent FG & C simul aequales ipsi A B,
si ab AB abscindatur R E aequilis ipsi C relinquetur EB aequalis ipsi F G. Quare eum H deficiat a
56쪽
DG. eodem numero quo C deficit ab A B. sint arithmetice ottionales H ad D G. sicut C ad A B. Quod erat Ostendendum.
Hinc apparet si quatuor numeri fuerint in hae proportionalitate, se conuertendo
fore eos in eadem proportional tale. Nam si primus excedat secundum, eodem interuallo quo tertius excedit quartum ,& conuertendo, quartus deficiet 1 tertio, eodem minimo quo secundus descit a primo. Rursus si primus d sciata secundo, eodem numero quo tertius a quarto, de conuertendo quartus excedet tertiuna, eodem interuallo quo secundus primum.
Si tres numeri arithmeticὸ proponionales fuerint, summa extremorum aequalis est duplo med ij. Et si semina eYtremoruni sit aequalis duplo medii, ipsi tres numeri arithmeticὰ proportionales erunt.. Sint, tres numeri A B C in arithmetica proportionalitate, ut A ad B ita B ad C. Dicos ου D s eximimorum A C summam aequari duplo medii B. Etenim sumpto D aequali ipsi B. erit ex hypothesi in arithmetica proportionalitate ut A ad Bita D ad C. quia D idem' est atque B Igitur per primam partein praeced. erit extremorum Λ C suinnia aequalis summae mediorum B D, seu duplo ipsius B. 4od erat primo propositum. Sit deinde suinina ipsorum A c aequalis duplo ipsius a. Dico esse in arithmetica proportionalitateri A&a ita a ad C. Nam rursus sumpto D aequali a erit ex hypothesi , summa duorum AC in mae duorum BD aequalis. Mare per secundam partem praecedentis erit in aristimetica medietatea ad a ut D ad G hoe est A ad a vi a ad c. Quod erat secundo demonstrandum.
Si sint quotlibet numeri in arithmetica medietate continui, summa extremorum aequalis.est sumniae duorum quorumlibet ab extremis aequaliter dii tantium, atque etiam duplo medii, si multitudo numerorum suerit impar. a A B, C, D Ε, si sint quotlibet numeri A n c D E F in arithmetica niedietate eotitias ,7 -9- δ' di eo summam extremorum Ap aequalem esse summae duo tum quorumlibet ab extremis aequaliter distantium , hoe est summae duorum ut, & summae dii mam CD. Nam ob eontinuitatem arithmeticae proportionalitatis, est A ad B sicut ε ad F. Igitur ex . ,.. i. tremorum A F summa, summae mediorum a s aequalis est. Similiter quia est in arithmetica inedietaten ad C, ut D ad E. erit summa extremorum s E aequalis summae mediorum C D. Quare cum eadem bsumma duorum aE sit iam ostensa aequalis summae duorum κε erit utique summa duorum A F aequa- Mi lis tam summae duorum s a. qu,ni summae duorum c u & sic de aliis si elutes essent numeri propositi. Quod si numeri A v c o x ν G sint multitudine impari,osten- ' ψ' demiis Vt prius summam extremorum A G qualem esse summae duorum c n. Mia vero ex hypothesi est C ad n ut D ad s. in medietate arithmetica, sum- .ma duorum C E aequalis est duplo medii D. Quamobrem ex omni parte constat propositum.
Si fuerint quatuor numeri arithmetice proportionales, ct permutando, arithmeticὰ proportionales erunt. Α i, no medietate arithmetica primus A ad secundum v. sevi tertius Cad quartum γc i permutando esse in eadem medietate A ad c vi s ad D. Quia enim est in hae me ' dietate A ad n ut C ad D. erit summa extremorum A D aequalis summ* mediorum C per Primam partem qliartae huius. Igitur per secundam partem eiusdem erit in eadem medietate primus A ad C secundum, sicut tertius v ad D quatium. Quod demonstrandum erat.
DROPOSITIO VIII. Omnis numerus pariter par, dimidium par habet. Et si quis numerus dimidium pax habet, is est pariter par. a a ii
57쪽
. Esto numeriis pariter par, euius dimidium a. Dico v esse parem. Si enim a esset impatia i p. ' ' RAE' A esset pariter impat tantum, eontra hypothesim. Non est ergo v in P r, sed par. Qxim D , D 1M u stum Deinde L . par, dico A esse paritet parem.& patet ex definitione. Etenim A producitur ex bin rio numero pati, in parem a Qualii rem ex omni parte patet intentum.
Binarius metitur omnem numerum parem, per i ius dimidium.
Omnis numerus pariter impar tantum, dimidium impar habet.
Haee conuertit triges mam tertiam, s. Euclidis. Esto A numerus pariter impar tantum, cuius is dimidium s. Dico a esse imparem. Nam si s esset par, ipse A esset pariter par. Atqui A sup-' ' poniturpit iter impar tantum. Igitur . non est par sed impar. Quod demonstrandum erat.
Omnem numerum pariter parem quaternarius metitur. Et omnem numerum quem quaternarius metitur, is pariter par est.
A C. ... G . Da. o ad , sed . D binarius metitur numerum paron Cn. Igitur&G metitur ipsum Λ v. Quod de monstrandum erat. Deinde quaternatilis G metiatur numerum A, Dico A B esse pariter parem. Nam primo parem esse constat, quia eum metitur G numerus par. Itaque ipsius Aa dimidium reo cs. Tune optius sumpto binario D.ostendemus esse D ad c a sicut G ad A p. sed G metitur A 2 ex hypotesi. . I iur& n metitur cv. Qiiamobrem An habens dimidium par, est pariter rat. Quod friundo erat ostendendum.
Omnis nil merus excedens binario aliquem pariter parem, est pariter impar tantum.
Sit numerus A s excedens pariter parem c s. binario A c. Dico Aa esse pari, Esto A v numerus pariter par cuius dimidium sit C v numerus par per octauam V huius. Et sit G. quaternarius. Dico primo G metiri ipsunt A s. Nam l umpton binario, erit D ad G sicut sicut C B ad A 3. ac permutando erit D ad c v, sicut
A. . C Bter imparem tantum. Nam primo esse parem constat , a quia componitur ex duobus paribus Ac. c s. Deinde esse patiter imparem sic probatur. Nam si ponatur pariter par, ι metietur eum quaternatius. Sed di idem quaternarius metitur Pariter parem C s. Ergo quaternatius metiens totum A a. & ablitum C B, metietur & reli auum binarium A C, maior minorem. Quod est impossibile. Quamobrem a s non est pariter par. Est igitur pariter impar ramum. d demonsitandum fuit.
Omnis numerus pariter impar tantum, excedet aliquem pariter parem binario.
c ri n Esto AB pariter impar tantum, dico eum excedere binario aliquem ' η pariter parem. Quia enim A a est par, secetur bifariam in A C. c s. eruntque Ae C impares. Quare si ab ipso ea auferatur unitas CD, reliquus D s erit par. Sit illi uxtat. duplus G B. Igitur O n erit pariter par. Gum itaque ut totus A a ad totum C s , sic sit ablatus o xv .am, ad ablatum D R. nam utrobiquo est proportio dupla erit & reliquus A G ad reliquum CD in eadem proportione dupla. Quare cum c D in unitas, erit A G binarius. Atque ideo cum G a sit ostensi rasiler par, numerus A v si petat pariter parem G n binario A G. Quod demonstrandum erat.
Si numerus pariter par, numero pariter impari tantum addatur, erit compositus
pariter impar tantum. o li Numerus paclter par AC. addatur pariter impati tantum C a. Dieo eompositum. Iava ' ex his A a esse pariter imparem tantum. Nain si a a ponatur pariter par, metietur eum quaternarius. Sed idem quaternarius metitur pariter parem A C. Igitur metiens totum A s. & ablatum Ac, metietur 5: teliquum c a. quamobrem CR erit pariter par contra hypothcsim.
58쪽
Nam positus est pnitet impat tantum. Igitur A s non potest esse pariter par. Vnde relinquetur esse rariter imparem tantulit. Quod erat ostendendum.
Si numerus pariter par per aliquem numerum multiplicetur, productus erit pariter p/r. Ax si si x numerus parixer par A quo ducto in quemlibet numerum B fiat C. Dico C esse pariter parem. Quia enim A est pariter par, 'metitur eum quaternarius. Quare cum A me- Ο-a,tiatur C. metietur di quaternatius, eundem C. Igitur C est paritet par. Quod demonstrandum erat.
Si numerus pariter impar tantum, per numerum imparem multiplicetur, productus erit pariter impar tantum.1 n A numerus pariter impar tantum, quo ducto in s. imparem numerum . producat, ti i' C. Dico C esse pariter imparem tantum. Sumatur enim D dimidium iptius A, quoc dum in B fiat E. Euidens est , quia B ductus in utrumque D A producti I C - csle E ad C sicut Dad A. Quamobrem E est dimidium ipsius Atqui Dest impar, cumst semissis ipsius A numeri pariter impitis tantum N B etiam impar est ex hypothesi. lguut E 'producti is ex duorum imparium mutuo ductu , & ipse impar est. Quare C habens dimidium im- .ra est pariter impar tantum. Q iod erat demonstrandum. ma n a,
Si pariter pares quotcumque compmantur, totus pariter pare it. , t finx p riter pares quotcunque AB C. quorum summa D. dico D ea. pit iter parem. s ii Dis. QE A B C. iunt pariter pares, 'singulos illotum quaternarius metuor. Igitur δ & compostum ex is s D, idem quaternarius metietur. Q iamobrem erit D pariter: I par. Quod demonstrandum erat. h. '
si quotlibet numeri pariter impares tantum componantur, sit autem par illorum multitudo, totus erit pariter par. Si vero fit impar illorum multitudo , totus erit pariter impar tantum. Αι t Sint quotcunque pariter impares tantum A B C D.& sit primum par eorum multitu- ti l do, & compolitus ex ipsis K. dico Κ esse pariter parem. sumantur enim E F G H singulie o' binario minores s ngulis ABC D. Eruntque ii, si E F G H pariter pares. Numerus au- .i, ', u 'ὸ -K aequabitur composito ex ipsis E F G H & totidem binariis. At . compositus ex m. hanis. '' ipsi, EFGH est pariter par. Necnon & totidem binarii faciunt pariter parem cetini v mi β' ' compositus ex illis habeat dimidium par , scilicet numerum multitudinis ipsorum E F G H. Igitur X compositus ex duobus pariter paribus, est pariter par .Q iod demonstrandum fuit. ι s sint vero A B Cpariter impares tantum, multitudine impari, quorum suilinia D. dico D esse pariter imparem tantum. Nam sumptis ut prius EFG binario minoribus a decima in o quim ipsi ABC. erit D aequili, eomposito ex ipsis EFG & totidem binariis. Quia uero sitsuli E FG sunt pariter pares, erit f& compositus ex ipss pariter par. Summa vero totidem binarioDim est pariter impar tantum, s quia dimidium impit habet, numerum multitudinis ipsorum EFG Igitur numerus D compositus ex duobus quorum alter est . . . -. rariter par, alter pariter impar tantum, est di ipse patitet impar tantum. Quod demonstrandum erat. .
si cuiuis quadrato addatur duplum lateris illius, Se praeterea unitas, fit quadratus a latere unitate maiore. Sit quadratus Α cuius latus BC cui addita unitate CD fiat B D & ipsius BD qua- dratus esto G. dico si addatur ad A duplum sui lateris BC & praeterea unitas, fieri quadratum G. etenim Quadratus G. aequalis est quadratis ipsorum B C. CD. & , misis, producto bis ex B C in C D. Atqui quadratus ipsius T C est A, de quadratus CD i.
59쪽
est ipsa unitas: Productus autem ex unitate CD in BCbis, est dupluna ipsius B C. Patet e go qua-dtiuum G aeqirari quadrato A di unitati , α duplo ipsius B C. inod demonstr*ndum erat.
Dialem porso ratione si cuilibet ινιι arato audat in a plum'. iateris σε trasererat . ostendetur fera Padraium iam eris rinario maioris. Et siqua rato addamr se tMylum taleris , ct praterea s. siet quadratus lateris ternaris maioris, crμ ιnι noratum m uti piscando iatur per omnes mimeres pares ordinate dispositos, ct assumendo Padrato inis coliatorie seu quadratos usum eo rim -- rum rari . Nec ad demonstra dum repviratur u qu m P rta, a.
Si a quolibet quadrato auseratur numerus unitate minor duplo lateris illius, relinquetur quadratus a latere unitate minore. 6.' Sit A quadratus , cuius latus B cuius duplum C, unde ablata unitate relinquatur D & sit Eunitate minor ipso B. Dico si D auferatur 4 quadrato Α, relinqui quati Us tum ipsius S sumpto enim F duplo ipsiusta cum BE differant unitate, patet eo tum dupla C F disserre binario. Q late idem fiet numerus siue auferatur unitas ex C. siue addatur vilitas ad F. nempe idem D. Atqui si ad quadratum ipsius E addatur duplum eiusdem E unitate auctum nempe D. fiet quadratus ipsius B nempe A. Igitur si ex A detrahatur D. residuum erit qua dratus ipsius E. Quod demonstrandum erat.
Omnis numerus quadratus aut impar est , aut pariter par. Sit numerus quadratus A, cuius latus iudico Λ vel imparem esse, vel dat iter parem.' ps 'I'--Bimpar est, Vel par. Sit primum impar. Quia ergo ex impare B in imparemm v. fit A. erit Λ impar. Deinde sit B par. Quia igitur ex pari Binparem Bst A, erit Apariter par ex definitione. Quam brem Λ vel impar est, vel pariter par. Quod demonstrandum erat.
Nullus numerus pariter impar tantum, est quadratus.
Patet , cum numerus pariter impar tantum , nec impar sit, nec pariter par.
Quilibet quadratus impar, excedit numerum pariter parem Unitate. in Sit A quadratus impar, cuius latus iaet ab ipso A detram unitate supersit C dieo Ch i esse pariter parem, Sumat ut D numerus unitate minor ipso B. Quia ergo Best impatv A 'nim si B esset par, est ductu illius in seipsum fieret A par contra hypothesim erit D pir. - Atqui duplum ipsius D vii, cum qu rato eiusdem D aequatur numero C. adratus autem numeri patis D, est pariter par. Duplum quoque numeri paris D est pariter par cum sat ex binario piti numero, in Uparem. igitur & Ccomposivus ex duobus pariter paribus, est pariter par.
Duorum quorumlibet quadratorum interuallum, aut impar est, aut pariter par. Sint duo quadrati A maior & B minor, quorum interuallum C. Dico C esse pariter A F' 3 9' parem, vel imparem. Sumatur ipsius A latus DF,& latus ipsius B sit DE, ita uti, E F sit differentia dictorum laterum. Itaque E F vel par est , vel impar. Sit primum D -- L V ikitur inte uillum quo quadratus A superat quadratum D ' aequetur quadrito ipsius E F N producto ex D E in E F bis, erit C aequalis quadrato ipsius E F & pioducto ex D E in E Fbis , , At quadratus paris numeri E F est pariter nar. Neenon Zc duplum producti ex D Ein EF est paritet par, cum dimidium eius , nempe productus ex D E in EF parem, sit par. 4 I tur C eoa possitas ex duobus paritet paribus, est pariter par. Quod erat Proposuvin.
60쪽
Deinde sit E F impar. Tune quia quod fit bis ex D Em EF est numeriis par habet. enim dimidium quod fit semel exox in a r. si ei adiiciatur quadratus impatis E F, qui impar est, erit C. eompositus ex pari N impati, impar. Quamobrem ex omni 'p Ne patet propositum. vicesima
Numerus pariter imνartantum, non potest esse interuallum duorum quadratorum. I ntellio unitate indivisibili manente, aliter enim ciuilibet numerus statui potest interuallum durrum quacitatorum, ut ostendit Diophantus lib. a. sed α vigesima propositio, & hae etiam intelligendae sunt de numeris integris, nam fiam numeri nec pares sint nec impares.
Si duorum inaequalium numerorum summae addatur & adimatur eorundem inter uallum aggregatum quidem, maioris numeri, resduum vero, minoris duplum est.
v r, Sint numeri A a n & , aequalis ita ut reliquus CD sit interuallum iptorum. Di- eo primo, si toti A D addatur E A aequalis interuallo C D aggregatum E D eis duplum maioris nu- metia D. etenim eum aequalibus A n. a C. addantur aequales E A. CD erunt tolt E s. BD aequales, atque ideo totus a D ipsius B o duplus erit. Quod erat propositum. Dico secundo, si a toto A D auseratur interuallum C D, residuum A C minoris A a duplum esse, de patet cuma et ipsi A a sit aequalis. Quamobrem ex omni parte constat propositiviii.
si semissifumma duorum numerorum addatur se adimatur semissis inre aliaeerundem auregatum quidem maiori numero , residuum vero minora alua Ie eis.
Si quotlibet numeri continue proportionales, in totidem alios continue proportionales ducantur, primus in primum, secundus in secundum, tertius in tertium Mita deinceps, & producti continu E proportionales erunt.
a. o emo Sint quotlibet numeri continuὸ proportionales As CD det
sumatiarque etiam a productus ex xinu. Itaque quoniam GA in v dc ex C in G 'nt Fu& ex x in M'fit n. valet R produci ex mutua multiplicatione quatuor numerorum a C EG. Quamobrem idemst produeetur quomodocunque iidem quatuor numeri inter se ducantur, nimirum si A ducatur m α&hinci.&ptoducti ptante e ducantur. Igitur ex Pinosci R. At producius ex mutuo duciuquadratorum P aequatur quadrato plani siab lateribus 2 ν di ex v in F nt L ex hypothesi. Ergo R est quadratus ipsus ae proinde tres x L M iant continuε proportionales. Eadem ratione osseudemus tres L M N esse continue proportionales. Quamobrem patet & omnes x L M N esse continuξ proportionales. Quod erat demonstrandum. a vite=