장음표시 사용
421쪽
fit e atra Mo Q. eui addendo summam lateriam circa rectum, fit ceto in in ri N. aequalis s. sede fit 1 N. sunt ergo latera circa rectum quasiti manguli hypotellula . l. unde se area b. cui addendo iummam laterum circa recturn, fit seu 6. ut requitebatur.
IN v ε si κ ε triangulum rectangulum,
ut numerus areae multatus sumnia laterum circa rectum iaciat datum numerum. Esto datus f. Et rursus si statuamu quaestum triangulum datum specie , fit ut quaerendum sit triangulum rectangulum , ut summae laterum circa rectum semissis in seductus, & adsumens sextuplum areae , iaciat quadratum. Hoc autem iam ante est demonstratum, & est 28.4s. 13. POno itaque haec in numeris,& fit tandem 63o Q - 3N. aequale o. unde inuenitur IN. i. Ad positiones.
ADdi potest ex nora methodo sequens suaestio a Inuenire triangulum rectangstum ut summa lateram multua area consciat datam numerum.
EX praecedentium explieatione, sat Is hete fit dilucida. Integram solutionem om sit D o autus. quae talis est fit x N. Qitare latera quaesiti trianguli reperiuntur de Area vero est l. unde si detrahas summam laterum circa rectum, remanet P. sed O. ut postulabatur.
ut areae numerus adsumens summam
hypotenusae & alterius laterum. circa rectum, faciat datum numerum. Esto datus η. Rursus statuemus triangulum datum specie, & eo reducimur, ut inueniamus triangulum rectangulum , ut numerorum hypotenus, & alterius laterum circa remam summae semissis in seductus, & adsumens quadruplum areae faciat quadratum. Formetur triangulum ab t N.& t N. - 1.& summae hypotentiis& alterius laterum circa rectum semissis in se, siti Q -- C.-6 Q. - N. I. Quadruplum autem areae est8C. Ia Q. - N. Itaque oportet quaerere I x - ir C. - .i8 QP 8 N. I aequalia quadrato. Estolatus eius I ' 6 N. - I. & fit i N. formabitur ergo trian-
422쪽
όω πις υ πος- ς. gulum abs s & t. & omnia quater. FOrmabitur rursum triangulum a st. & 3. sumens minima similiuin , siatuo ipsum in numeris, fit 18 N. N. 33 N. Et est numerus areae adsumens seminam hypotentiis & alterius laterum circa Icelum 63o. Q ---N. q. &IN. eta. Ad pntiones.
IM p a et M t s monendus est lector, hane & sequentem propositionem in eodἰee X landri mal
ordinem immutate, esim sequens statuatur ibi decima ,& haec undecimae Rectius in eodice reiacio suum quemque obtinet locum, in quo uno codex ille nobis hucusque tuit auxilio, in reliquis omnibus nimis infeliciter eum eodice Xilandri e sentiens. Sed& euidens est Diophantum in le-quente quaestione vpdecima, supponere tinni sere decimae huius constructionem, ut de haruna pro itionum ordine nullus supersit dubitandi locus. Hic porro cum inueniendum sin triangulum, vi quadratus semissis composivi ex hypotenuis, & ex altero lateriim circa tectum, adsumens quadruplum areae faciat quadratum, formatur triangulum ab iN. dc abi N. - i. fitque hypotenuis a m a N. - a. basis a N. - . r. Perpendiculum a a N. Area vero est a C. -- 3 IN Oius quadruplum 8 C. - Ia -- N. summa autem hypotenuita di baseos est a Q -- Α - a. euius semissis Icr. - a N. - I. cuius quadratus sit I QQ. - C. - N. -- I. cui addendo quadruplum areae, fit I Qα- Ir. C. - I8 - - 8 N. -- I. aequandus quadrato. Huius autem latus cur ponatur , Diophanto I Q - 6 N. - I. satis super 'ite docuimus ad vigesimam nonam quarti, nimirum hac ratione tolluntur quadrato adrati, cubi & unitates, manetque aequitio inter duas proximas species quadratos de numeros. Nam fiunt i5 Q aequales 2o. N. unde fit 1 N 2. Quare Mimandum est triangulum al.& & omnia per q. multiplicando, fingitur trianculum 13. 3ey. suntque latera I . o. so. qua diuidendo per a. ut habeatur nimirum ttiangulum eiusdem speciei in integris, fiunt 13. G. s. cuius rei ratio ex demonstratis ad sextam satis liquet. Ponuntur ereo latera qua iti trianguli n N. 28. N. 4s N. deest area 63o eui addendo summam hv tenuis 1 N.&lateris 28 N. fit 63o Q - 8s N. aequalis A. unde fit I N. per quem resolvendo bypostases, fiunt latera quaesiti trianguli l 5 l. v. Area est, eui siaddas summam hypotentiis de ptimi lateris fit e i. seu q. ut requirebatur. . Caeterum eodem prorsus artificiosoluetur quasio quae a Diophanto pritermissa est, eum tamencul hanc traiestationem pertineat nimirum.
Inuenire triangulum rectanguluini, ut areae numerus adsimens hypotenulam datum faciat numerum. Esto datus .Patet quaerendum prius triangulum , ut quadrato semissis hypotentiis addendo quadruplum areae fiat quadratus. Fingatur triangulum ab I N. Zc I N. - r. erit semissis hypotenuisi in x N. - ἰ. cuius quadratus I Q in se a C. - 2 - a N. - , eui addendo quadruplum areae,put sa -- ia Q. - N. fit Ic-- Io C. - I N. - l. aequalis quadrato. Ponatiusatus illius I Q - N. . fient tandem Io N. aequatis io. in Quare a N. est ι di fingendum in triangulum ab i. dc 1 a. fiuntque latera s. 3. 4, quae si statuantur in numeris,fiet area cum hypotenus. 6 Q - s N. aequalis 4. unde fit 1 N P. Hint ergo qua siti trianguli latera a I . cui si addas hypotrenuom fit numerus q. ut Postulabatur.
IN uε Nrη x triangulum rectangulum,
Vt numerus areae multatus sanania hypotet ausae & alterius laterum circa rectum , faciat datum numerum. Esto datus . Rursum si statuamus triangulum datum specie, eo ducimur ut inueniamus triangulum'rectangulum, v L quadruplum areae additum quadrato semissis ETP Si N νμ νιν ορθούνιον , ο-: ὁ
423쪽
flammae ex hypotenusa, & altero laterum circa rectum, laciat quadratum, α demonstratum est esse 28, s. 13. Pono illud in numeris, de fiunt Oo Q 8IN. aequales . & fit i N. ζ. Ad positiones. IONEM XI.
HViv x quaestionis solutio pendet omnino a lemmate ad praecedentem assumpto. Nam inuento triangulo ut quadruplum areae additum quadrato semissis compositi ex hypotenuia & altrici laterum, faciat quadratum, constituitur in Numeris, puta sue N. 28 N. 4s N. & fiunt tandem ero Q. - Si N. aequales q. unde I N. fit :. Quare quaesiti trianguli latera reperiuntur V m Areaeuna unde auferendo luminam hynotenuis &bdeos, Puta .. remanet 3. seu ut postulabatur. Eodem etiam artificio soluetur hae quaestio.
Inuenire triangulum rectangulum , ut area, detracti hypotenusa, faciat datum
Datus esto 4. Quaeretur triangulum, ut prius, ut quadruplum areae additum quadrato semissa hypotenuis, faeiat quadratum, quale initentum est ad praecedentem s. q. 3. statuatur ergo in Numeris, &sint quaesiti trianguli latera sN. N. 3 N. fient ergo 6 QO N. aequales . unde fili N. Ad hypostises. Sunt quHti latera trianguli V. . D Estque area I. unde si aus f hypot nu , remanet 2 seu q. ut postulabatur.
ADG potest ex n. a methodo sequens quaestios Inuenire triangulum re anguiam
τι summa hypoten a se atierius titeris circa rectam multata aras faciat datum numeram imo'sequens addi potes Eacheti commentariffs Inuenire triangu- Iam ut 0poιenuo detracta area faciat datum numerum.
IN v ε Nia a triangesum rectangulum, ut & interuallum laterum circa rectum,& ipsum maius latus, sit quadratum. Et praeterea area cum minore laterum circa rectum, faciat quadratum. Formetur triangulum a duobus numeris,& supponatur maius laterum circa rectum fieri ex duplo producti multiplic
tionis ipserum. Oportet ergo inuenire duos numeros , ut duplum multiplicationis eorum si quadratus, de excessus dupli mul iplicationis eorum super interuallum quadratorum ab ipsis ortorum, faciat quadratum. Hoc autem accidit duobus quibusiussi numeris, quando maior minoris est duplus. Formetur ergo triangulum abs r N. M a N. & fatisfit duabus propositi partibus. Superest ut videamus an area trianguli cum minore laterum circa rectum faciat quadratum fit aurem 6 QM, -- 3 Q, omnia per IQ, diuidantur. Fiunt f Q. -- 3. aequalia
424쪽
quabato. Quaeremus igitur aliquem nu--mQ-αίν ν merum , cuius lex quadrati adsumpto . etemario iaciant quadratum. Hujusmodi autem est r. & alii infiniti numeri. Ergo quaesitum triangulum rectangulum formabitur abi. N a.
Duobus datis numeris , quorum summa iit quadratus. Inuenientur iii finiti quadrati , quorum quilibet ductus in unum datorum-adsumens alterunt, sa- ciet quadratum. Sint duo dati numeri 3.& & oporteat inuenire quadratum, qui ductus in s. & adsumens 6. faciat quadratum. Esto quaesitus quadratus I-2N. - I. & fiunt N.
aequalia quadrato, lui potest infini tis modis, quia unitates sunt quadratae. Esto igitur latus quadrati a - 3 N. & fit IN. q. erit igitur quadrati latus s. &alij infiniti inuenientur.
riplicatione, quam excessus eiusdem dupli producti super interuallum quadratorum, quadratus est. Quod ita demonstritur. Sint in ratione duola A minor & B maior, quorum, quotam inreruallum G. dico tum duplum productio A in B. tum 'A y v producti super G. esse quadratum, etenim quia Best duplus ad A patet D es Cy V3β nu latoplum ipsi ii, C. eo quod quadrati fiunt in duplicata ratione lateriim. Kea G 7 Iuctiline, A in suum duplum B aequatur biplo quadrati ipsiui A. ac proin
I ri' Ο o. in rimia lati insus A. hoe est quadruplo ipsius C. Ipatetit. Sed pro
seri lucti ει A i PB aeduitur uidi upio quadi ii ipsius A. hoe est quadruplo ipsius C. Igitur quadratus D. est duplum product ex R in B. Quod et x prim0 py0 'd' II :
excessum D supet Gesse ipsum quadratum C. Quare ex F TE' Dio antus non usitata prius ratione, quadrato aequat numerum ex duabus speciebus
425쪽
E latere 27. Quare si6α -- 3. aequemus quadrato 729. fiet N. M. Ac proinde fingatur triangu Ium ab ii & aa. eruntque latera oos. 8q. 363. quae bluunt quaestionem, nani inatu, laterum cilcarectum puta 48 . est quadratus a latere 22. N illius excessus super 36 . est i 2I. quadratus a latere H. Area vero addito minore latete iacit. 882om quadratum a latcre 297. Itaque notandus est modus iste, quo aeoliabimus quadrato quemlibet quadratorum & Vnitatum numerum, quamuis neuter sit quadratus, dummodo uterque simul conficiat quadratum.
Et ut aliquid addamus Diophanto, aio aequationem quoque explicari posse quamuis quadrat rum , & viiii atum numeri simul non conficiant quadratum, dum reperiatur quadratus aliquis qui ducto in numerum quadratorum, N producto addendo numerum unitatum fiat quadratus, quod sine perficiemus pet huiusinodi lemma.
Dati; duobus numeris, si altero per quadratum multiplicato, altero ad productum addito fiat quadratus, inuenientur alij quadrati idem praestantes.
Sint dati 1. S i 6. Nam ductoqiradrato in s. dc producto addendo 16. fit quadratus 36. Qi ut rendus ergo est alius quadratus quam . qui hoc idem praestet. Esto latus illius a -- i N. fiet quadra tus N. - - I Q. quo ducto in s.& producto adiiciendo Ict fit 36 - - 2o N. - - 1 Q. aequali, quadrato. Hic autem infinitae dati pinunt solutiones, quia unitatum numerus est quadratus. Fingatur vobi gratia latus huius quadrati 6--3N. fiet 1 N. 34. eritque quaesiti quadrati latus i6. ipse quadratus 216. quo ducto in s. & produG adiiciendo i6. fit Iasis. quadratus a latere 36. Immo quod de multiplicatione dictum est, intelligendum quoque deditiisone, &seias eadem arte solui huiusmodi lemma.
Datis duobus numeris, si altero per quadratum diuiso, & altero ad quotientem addito fiat quadratus, inuenientur alij infiniti quadrati idem praestantes.
Sint dati numeri 6.& ia. Nam diuiso sis. per quadratum A. fit quotiens et q. cui addendo tr. st quadratus 36. Quaerendus ergo alius quadratus quam 4. qui praestet idem ponatur eius latus ut prius 2-I N. erit quadratus Α - N. I in per quem diuidendo 96. fit quotiens di hule addendo tr. fit 'retrata . aequalis quadrato. Est autem denominator quadratus. Quare superest ut numerator I . - - η8 N. - Ia aequetur quadrato, quod iacit E fit, quia i aest quadratus, & fingetur latus illius Ia --6 N. di fiet i N. 8. Quare latus quaesiti quadrati est Io. ipse quadratus ino. per quem diuidendo 96. fit quotiens cui addendo 12. fit Q. quadratu, a latere lἰ. Quod autem i necessario sit quadratus, patet, ex eo quod14 . fit addendo ads6. productum ex inia. Quare eum ex hypothesi a . & ia. simili faciant qdadlatum 36. si uterque per aliquem quadratum multipliceriar, erit& summa productorum quadratus. Atqui dueto . in x st96.&ducto eodem .inia. sit 8. Igitur summa ipsorum 96.& se puta I qualitatu, et
ille stitieet qui fit ducto A. in V.
Hoc autem lemmate mitifcὸ iuvatur operatio Diophanti, quae aliter fortuita videatur. Nam si finxisset triangulum ab aliquibus alijs numeris in ratione dupla constitutis, puta a a N. & N. fuissent, latera a o Q. I 6 Q. Ia in ubi laterum quidem circa rectum interuallum, itemque maius ipsoraim, quadratus est , sed area minore an inpio. Fit 96. λ ia' & Omnia diuidendo per I infit 96 Q -- ia. aequalis quadrato. Atqui s6. & Ita simili non conficiunt quadratum. Quare per ea quae tradit authori non constat quomodo 96 --- a. possit aequari quadrato, & eius lemma hie usui esse non potest. Per nostrum autem lemma facilὸ res expedietur, nam si dii ii das ς6. per quadratum A. fit aq. cui addendo ra. st quadratus 36- Quare per allatum Iemnia inuenientur intiniti quadrati ab ipsb . diuersi qui praestabunt idem, & inlinitas exhibebunt solutiones. Nam inuento verbi gratia quadrato Ioo. per quem diuidendo m. iii K. quo addito adia. fit quadratus f. aequabimus Q -- Ir. quadrato p. unde fiet IN. A. formabitur tria imgulum ab & se & erunt latera circa rectum n. quorum maius, itemoue interuallum ipsorum quadratus est. Area vero est:L. cui addendo minus latus fit quadratus latere a. Tora tamen haee Operatio, adhue labare videtur, nisi probetur aream trianguli sie diuidi posse per aliquem quadratum, ut quotienti addendo, minus laterum circa rectum, fiat quadratus. Quam brem ne hie scrupulus haereat, si e pronuncio.
Si a datis duobus ni meris in proportione dupla formetur triangulum rectangulum, eius area per quadratum minoris datorum diuisa , fit quotiens, quo addito minori laterum circa rectum , conflatur quadratus non cuplus ad priorem quadratum. Sint in ratione dupla A minor & B maior, quorum quadrati C D. quorum interual-c . D I lum F. ergo eum ut probatum est in adnotatis ad initio D sit duplum producti in A iuE .s si, -D F latera circa rectum trianguli. Quare diusto semisse ipsus D in F fiat area E. ' qua diuisa per C. st quotiens G. dico summam duorum FG esse quadratii in non cu-M plum ad ipsum C. Etenim quia ut probatum est ab initio D quadruplus est ad C. sequitur subtracto C ab ipso D. residuum Fesse triplum ad Quare cum se inissis ipsius D dueti ut in F. ducitur
426쪽
F. ducitur duplum ipsus C in triplum eiusdem. Igitur E eontinet lexies quadratum ipsius C. itaque diuidendo E per C. quotiens G e, sextuplus ad C. cui si addatur F. triplus ad eundem C. fiet utique sinima ipsorum FG noncupla ad C. ac proinde quadratus, cum sit noncuplum quadrati C. Qii
Superest ut moneam, verba illa postrema quae virgulis inclusimus, pirinti δὲ D J &Cainobis iacteta esse in Iocum is lotum quae in eodice manu exarato eorrupti it ma leguntur. γιειται δὲ τὸἐι ζαIὸν τοῦ T. ς. -ο - τοῦ ς' δ' - ε εν νῆτὶ, τ ει τὶ, 'Dra G ἐλαψον2--ραγωνον ,- ται - τὸν τῶ ἐλαψρνο- νεγαγωνον. A quibus tamen si quis commodum sensum elicere potuerit, per me licet, ut nostra deleat, de meliora reponat.
IN v ENiκ x triangulum rectangulum,
x t numerus areae adsumens alterutruiti
laterum circa rectum , faciat quadratum. Statuatur triangulum datum specie s N. ia N. I3 N.de fit 3o ia N. aequandus quadrato,esto quadrato 36 in & fit i N.2. dc cium i N.sit a.oportebit ut etiam 3o- N.st quadratus. At non est. Itaque eo compellimur , ut inueniamus quadratum aliquem quo multato numero 3O. & per residuum diuise ii. & quotientis quadrato per 3o. multiplicato , de adsumente quintuplum sui lateris fiat quadratus. Esto quaesitus quadratus 1 si inde auseratur ;o. de per residuu diuidatur ia. fit Ir. denominatione partis i Q. 3o. cuius quadratus est i q. denominatione partis r QQ. - Voo - so Q Hoc tricies cum quintuplo sui lateris, facit 6O Q - 2 2O. sub denominatione partis i Q - 'oo- fo aequale quadrato, de est pars quadratus. Oportet igitur & 6o Q - 232O. quadratum esse , hoc est oportet quadratum aliquem ductum in εο. de adsumentem 23ro. facere quadratum. Si ergo formantes rectangulum, curauissemus ut 6o. adscito 2 ro. saceret quadratum, soluta esset quaestio. Fit autem εο. ex mutuo ductu laterum circa rectum. At diuero. est solidus contentus sub ma- jore laterum circa reditam, de sub interuallo laterum circa rectum, & sub area. Eoque res rediit , ut iuueniendum sit triangulum rectangulum, ut qui fit mutuo durui laterum circa rectum adscito solido sub maiore laterum circa rectum, interuallo eorundem, de area contento, faciat quadratum. Et si constituamus maius laterum circa rectum, quadratum numerum, & omnia per ipsum diuida- ET PEIN τριτο νον ιρετ ανιον, ὀπως
427쪽
tur quaerentes aequare quadrato 6 Eil ergo triangulum ti . & constat
mus, quaeremus minus laterum circa re- etiam additum plano sub area & interuallo laterum circa rectum contento,esse quadratum oportet igitur datis duobus numeris, areae scilicet, & minoris laterum circa rectum, ipsis ad inuenire quadratum aliquem, qui ductus in unum datorum, & adsumens alterum, faciat quadratum. Haec autem lemmata supra suut demonstrata. Et est rectangulum I. q. . statuo id in numeris, fitque ut quaeramo in F ε N. aequales quadrato, dc εμ 3 N. aequales quadrato. Et rursum ii absoluamus maiorem aequalitatem, sti N. q. denominatione partis ι - f. ergo quadratus erit 16. denominatione partis I d. -- 36 - ia in Quamobrem sextuplum quadrati adscitis 3. N. erit Ia -- a . denominatione partis I 36 - Ia Proinde Ita 2 . aequari oportet quadrato. Et res eo rediit ut inueniatur quadratus , qui ductus in minorem datorum, & adsumeris maiorem iaciat quadratum. Est
autem 23. Quare i in est a 3. & i N. 3. Ui- έ. aequabimus quadrato 23 in& se i N.
VNias tantum speciei trianguia Diophantus exhibet propositum adimplentia, sed ex nosra methodo funeι ι infinita diuersae speciei triangula quae ex
Diophantaeo per ordinem derivantur. Sit igitur inuentum trian ulum s. cuius hac est proprietas ut qui si muixa ducta laterum circa rectum adscito solido sub maiore laterum circa rectum interuallo eorundem , areά contento faciat quadratum. Ab eo deducendum aliud eiusdem proprietatis , is maius ex lateribus circa rectum trianguli quaesiti q. minus vero 3-r N. Rectangulum sub lateribus circa rectum adscito holido sub maiore Hierometrea rectum inte alti eorundem es area contento , facit 36 - a N. - 8 qae ideo debent aquari quadrato. Cum autem latera N. tiatera circa rectum trianguli rectanguli, debent etiam eorum quadrata iuncta aquari quadrato. a arata illa iuncta seiunias s N -- I qua idcircὸ etiam aquanda quadrato. Et oritur duplicata aquali ιιs, nam 36- ra. N - 8 etiam
debent aquari quadrato. Eius aquationis duplicata solutio es in promtu. IN ELV AESTIONEM XIII.
MULTA sunt lite obseritatu dignissima. sed eum tres operationes instituat Diophamus, eas si ilatim pereurtendo , omnia dilucidabimus. In prima operatione sumit quemlibet triangulum datum specie, putas N. Ia N. 13 N. fitqueat ea OQ. eui addendo sigillatim latera circa tectum, fiunt 3οα-- Ia N.&3o - N. simili aequandi quadrmo. Non est autem locus duplicatae aequalitati, quoniam quadratorum numerus 3
428쪽
non est quadratus. Quam obetem alio, & sanE mirabili artificio utitur Diophamus. Sumit enim
alteriitia numerorum quadrato aequandorum , puta;o Q. -- Ia N. quin a facit quadrato aequalent. Id autem facili mi umeri lumendo quemlibet quadrat om numerum quadratum , maiorem quam dio. ut r6 Q. unde fit i N. a. N sine pet hune Numeri valorem resoluendo F - - Ω N. fit quadratus. Sed ut valida sit aequatio , oportet vi pet eundem valorem Numeri te ibi uendo quoque sa -- s fiat quadratus. Quod nun aecidit, nam eum I N. sit a. quadratus est l. atque adeo Q. sunt iro. cui addendo s N. leu io. fit I; o. qui neutiquam quadratus est. Necessitas ergo seeundae operationis tunc innotescit. Nam ut aequemus quadrato 3o - - I 2 N. sumimus aliquem quadratum maiorem quam 3o. 1 quo auterendo Io. & per residuum diuidendo Ia. fit valor Numeri. Quare ut alter numerus 3υ -- - N. sit aequalis quadrato, o rict ut quotientis illius quadratus tricies sumpto, adicito qui neuplo eiusdem quotientis, sat quadratus. Ponit itaque qliaestum quadratum I unde auferendo 3o. fit i Q π 3o. per quem diuidendo I a. sit quotiens huius quadratus est cuius tripecii plum est , . . cui addendo quincuplum ipsus lateris . puta fit autem haec adcitio reducehdo ad denominationem alterius numeri cui additur, nempe ducendo 6o. in I in 3o. unde fit 6o -i o. quo addito ad aro. fit numerator fractionis quae est summa numerorum additor0m. puta μα- 2Do. manetque idem denominator , putat Q .-6o mo. l tur ut consequam ii r qu ,d hae secunda operatione intenditur, oportet 't aequetur quadrato, &qii idem denominatorem istis constat esse quadratum, eum facius sit a latere i -3o. Numerator autem restat aequandus quadrato, quod quidem optimὸ fieret per lemmata ad praecedentem tradita, si summa ipsorum 6o. &asao. ess et quadratus, vel si reperiretur quadratus per quem multipli eando vil diuidendo 6o. 8e produino, quotieniive addendo 23ro. seret quadratus. Quod euin fieri non possi, apparet necessitas tertiae operationis. Sed prius eoi siderandum est unde proueni aut 6o. de asao. 3e quidem manifestum est 6o. produci ex mutua multiplicatione laterum circa rectum, nempe ex ia. in s. At a No. ait Diophantus esse solidum sub maiore laterum eitea
rectum, sub ipsorum interi allo laterum, Et sub area contentum , quod quidem ita se habere non statim apparet. Quare id demonstrandum est. Hoe autem nil aliud est,quiun huiusmodi Theorema.
Datis duobus numeris inaequalibus, & tertio quocunque, si tertius ducatur in quadratum maioris duorum datorum, fit numerus aequalis solido sub tribus datis contento, & solido sub maiore duorum datorum , interuallo eorundem, & tertio
dato. Sint dati numeri A maior 3e B minoi, & tertius quicunque C. ipsorum autem A B. interuallum 4 D m esto D &ipsius A quadratus sit E. Quo ducto in C fiat F. Tu niducatur Ain
v. solidus item G. sub tribus C A B contentus , fiet ducendo C in A Ee produGum H in V. Q are G fit ex H in B. At ex eonstructione ex eodem H in D fit solidus L. Cum GE U D. simul aequentur ipsi A. ' numeri G L. producti exH in ipsos B D. aequabuntur producto ex ri in i sum A. At ex Hin A producitur F. ri ostensum est. Igitur solidi GL simul aequant ut ipsi F. mod
Hinc porro sequi quod ait Diophantus manifestum est, si operatio illius diligenter consideret ut
de R B statitant ut latera ei rea rectum trianguli, & C ponatur area. Itaque in tertia operatione quaerendum est triangulum tectanguli im, ut planus contentus sub lateribus cirra rectum , adie ' solido sub maiore laterum, interii allo eorundem laterum, & area contento, sit quadratus. Sie autem ratiocinatur Diophantus. Si eoncipiamus tam planum, quam solidum supradicium diuidi per maius latus . orietur inde minus latus, hine vero planus sub area & interuallo laterum contentus. uiates malim latus ponatur quadratus, sufficiet ut summa minotis lateris, N plani sub liue ali dii area contenti, sit quadratus, sic enim ex quadrato in quadratum, fiet quadratus. Igitur oportet constituere triangulum rectangulum , ita ut maius laterum circa tectum sit quadratus, & praeterea planus sub interii allo laterum Sc area eontentus, adscito minore latere faciat quadratum, vel certe
qii omisit Diophantusi idem planus per aliquem quadratum diuisus , det quotientem cui
adiiciendo minus latu. , fiat quadratus. Id autem praestabit, quod uis triangulum per praecedentem inuentium, nam & maius laterum, circa rectum erit quadratus, & ipsum interuallum late ni, quadratus erit; N area adscito minore latete faciet quadratum. Quare cum planus sub area & intemino larerum contentus, diuidetur per quadratum illum qui est interuallum laterum, Iuotiens uel ipsa. Martia.
429쪽
area quae adsciscens minus latus iaciet quadratum ex liypothesi; ac proinde pet lemma quod vitimum attulimus ad praecedenteni , planus i ub area ta interuallo lateriam eontentus , adscitccns minus latus, infinitas modis aequari poterat quadrato. Hae ad integram quaestionis huius intelligentiam didia suis cerent. Sed libet praeterea in tyronum gratiain, turtiam Diophanti operationem , quam ille breuiter perii ruixit, iusius explicare. Sunio triangulum per piaecedente in inuentum, di constituo illud in Numeris, putas N. N. 3 N. fitque area 6 cui Midendo sigillatim latera circa rectum, fiunt 64 - 4 N.&6 -- 3 N. aequandi quadrato. Quare per ea qua diximus de necessiitate secundae operationis, oportet inuenire quadratum, a quo autetendo 6. N per residuum diuidendo . fiat quotiens, cuius quadratus sexies iunirtus, ct adsuinens triplum sui lateris faeiat quadratum. Quadratus ille estot schic dempto per
residuunt druidendo sitne o. cuius quadratus , cuius sextuplum i ci τὰ s cui addendo is uin lateris, puta vel sub eadem denominatione. o fit utique sum-rna quam aequare oportet quadrato, & cum denominator sit quadratus, superest viaequemus quiarato numeratorem Ia Q. - - 2 . Mod iacit E fit quia Ia. & 2 . simul efficiunt quadratum 36. de utendum Iemmate quod ad precedentem attulit Diophantus. Quia enim quadratus
quaesitus debet esse maior quam6. ut aequari postit 6. Q N. 2 oportet quaerere quadrarum
maiorem quini 6. qui ductus iii ir. & adiumens a . iaciat quadratum sit eius latus I N. i. fiet quadratus ductus in ii. & adsumens a . ia -- 24 N. - 36. cuius cuius latus esto 6 3 N. fit
1 N Ergo latus quadrati est s. ipse quadratus as. Quare 6 Q - N. aequamul as & fit i N.
α,. ziiqite triangulum quaesitum fitqlia area G. cui audendo si illati in latera circa tectum, fiunt quadrati i l. & , lateribus Possunt autem infinitae dati solutiones, utendo eodem triangulo 3. 4. s. Quia per lemma praecedentis loco as. inueniri possunt alii infiniti quadrati, vel biseatia ii numeri ia Q. - 2 N. 36i. ponas latus 6 4 N. fiet i N. i8. eritque Iarus quadrati i ipse quadratus 36i. Mare 6 - N. aequabitiit 36i Q. N fici I N. erunt igitur latera tiran-ἰλ. r. . Area cui addendo latera circa rectu in , fiunt quadrati a lateribus tui.& lo Ceterum inoneo, casu accidere in hypothesi Diophanti, ut planus sub lateribus, puta ia. adsumens et . solidum sub maiore laterum , uitet uallo laterum & area contentum, iaciat quadratum, quod aeeidit quia ii ueruallum laterum 3.& est unitas; sed si aliud sumat ut triangulum praecedenti satisfaciens, id non continget. Quare ut uniuetialis reddatur operatio Diophanti, in alio trunculo libet rem experiri. Sumat ut triangulum per praecedent mi inventum 363N. N. 6os N.
fiet area adsumens sigillatim latera ei rea tectum 8 846 in N. & 878 6-- 363 N. & ut tumque oportet aequare quadrato. Quate inueniendus est quadratus , quo detrahena. 878 6. & per residuum diuidendo fiat quotiens, cuius quadratum ducendo in 878 6. N producto addendo
quod fit ex eodem quotiente H 363. fiat quadratus. Et ri rem compendio absoluam, eo redactusem ut aequem quadrato II 692 -- si Mi 3IA . & numerus quadratorum est planus sub lateribus circa tectum 48 . & 363. contentus. At numerus unitatum eiu solidus sub maiore latere ossi ib interuallo laterum Iat. & sub area 878 6. contentus. Porto utriusque numeri summa minimE quadratum iacita Scd quia quadrato per quadratum diuiso fit quadratus, diuido utrumque numerum per maius latenim circa rectum, puta per 48 qui quadratus est ex lege praecedentis. & fit ' r9366. aequandus quadrato. Vbi quoque quadratorum & unitatum numeri simul additi non coimetunt quadratum. Sed quia quadratorum numerus 363. est minus laterum circa roctum, at unitates rosa 9366. conficiunt planum sub area 878 6. & sub interuallo laterum iri. qui quadratus est ex ter praecedentis & lumina areae de minoris lateris, confieit etiam quadratum. ex eiusdein praecedentis lege. Patet cum 363. & 878 6. simul iaciant quadratum , si quadratus iat. dueatur iis utrimiqne, &productorum summam is quadratum, at ex Iat. in S, M. fit io61R66 .t dictum est. Igitur si&Ia I. dii eaturin 363. de prodin adiiciaturi 29;65. fit quadratus. Gateret lemma praecedentis a nobis ampliatum 363 - - lo629366. infinitis modis aequari potetit quadrato, sic autem aequari de et quadrato, ut valoriquadrati excedat 878 6. quia quadratus ille aequari debet 87 6 - Ponatur ergo quadrati latus i N. - Ii. fiet ipse Iai - 2a N.
aequamius quadrato, de fictust, quia unitates sum quadratae. Ponatur ergo latus illius 26 1st N. fiet i N. cui addendo I r. fit latus quadrati s 99. ipse quadratus et t64Ur. I it 8 8 6 Q - - 48 N. aequabimus 337 si GI set irilia per quem rest luendo latera trianguli ciuae posita erant ' N. 48 N. 6os N. net quaesitum triangulum .,ἰii eius area est in via EAG. uae adsumens si ilatim latera circa rectum, iacit uuadratos.
Superest ri mo in loco verboriim quae primo asteriscis inclusimus , legi in eodice manus
430쪽
IN vs Ni κε triangulum rectangulum,
ut numerus areae multatus alterutro la
terum circa rectum, faciat quadratum. Rursum si conitituamus id datum specie sicut in praecedente, eo res redit ut inueniendum sit triangulum rectangulunt simile huic 3. . .l onatur ergo in numeris, S fit 3 N. N. 1 N. Et f Q, 4 N.aequantur quadrato. Et si statuamus quadratum minorem quam s. fieti N. sub denominatione pariis excessus quo f. superat quadratum aliquem. Et si ponamus quadratum et inopus erit tali existente numero, aequare etiam quadrato 6 3N.&r sexies sumptiis est ys. sub denominatione partis I Q a. - 36- 12. lateris autem triplum est 1 a. sub denotuinatione partis 6. -I Q. hoc est 7Σ - Ia insiab denominatione partis eiusdem, &si hoc auferamus a 96. sub denominatione eiusdem partis , relii quunturia -- a . sub denominatione
quadratus. Proinde oportet aequare quadrato ir - 24. & est i N. t. Pono istitur 6 N. aequales i siti N. '. Erunt igitur quaesiti rei tanguli latera P. 4. de si nolis uti vilitate , statue quadrati latus I N. r. Itaque triplum quadrati adseito 6. fit 3 6 N. - 9. aequandus quadrato. Hoc autem facile est. Se inuenietur i N. non maior quam . At quadrati latus quod est i N. - - I. non erit maius quam Et inde ortus quadratus si, Natus def. faciet numerum
F X a, inoratis ad praecedentem, omnium quae hie asiantur rationem reddere saeillimum est uirum fortasse alicui videre possit, cum in hae quaestione utendum sit subtractione loco additionis qua uten him erat in praecedente, eui tamen ad extremum maneat idem numerus Ia. et . itandus quadiato. Huius autem l mpton intri eausa est , contrarietas additionis & subtractionis via cum admixtione contrariorum signorum pluris & minoris. Nam in praecedente oppor at addere Ia r. z. ad ys. in hac autem oportet de 96. subtrahere a - ra Q. Quate euideoscii, do summain illam, S hoc residuum, eundem edicere numerum, puta xa in --. 24. unda satis adiparet demonstrationes ad praeeedentem allatas, de hie locum habete. Crteriam cum ad aequandii in quadrato ra c.-- et . oporteat quaerere quadratum qui ductus in a. de adsumensam sicut quadratum, sumit Diophantus pro huiusmodi quadrato viat Meni, quod