장음표시 사용
71쪽
a Vel hoc modo, si triangulum ACL ςquale est Iun Iis ABCT, CGLF, compleatur triangulum CDL, O comis pleatur perfecta lunula , quae sit CGL H, ergo addita pars trianguli R DL equalis erit adcitae lunulae CFLH, sed pars trianguli addita RDL equalis cst triangulo ACR, Pr vidi. mus, ct par cst lunula ABCI lunulς CFLH. : . . 3 vel hoc modo , ti es limule ABCE, CGLF, AECTsunt aequales trigono Ac L, ct duae lunuli; CGL F, CFLHrrigono CDL, ergo omnes quatar iam ducte lunulae sunt aequales duobus trigonis A CR&CDL, scd tres lunulae ABCE, CGL F, L FCH sunt aequales trigono ALΚ, ergo reliqua lunula AECT est qqualis trigono ASR, quod quq
Vel tres lunulae ABCE, AECT,CGLF aequales sunt trigono ACL, ct trigonum CDL aequale lunulae CGLH, tolle triangulum CDL aequale iam dicta Iunulae CGL H, reliquum triangulum ACR lunulis ABCE, AECT aeqvale est, tolle lunulam perfectam ABCE, sublunula AEςΤsubtriangulo ASR aequalis erit, quod erat demonstrandu. I N hac Prop. 6. quatuor adducuntur probationes, I ex prima bene deducitur Iunulas C F L M, A BC Taequales esse, itemq; triangula RDL, ACR inuicem aequarilia , sed quomodo triangulum RDL sublunulae CFLΗ, &triangulum ACR lunulae ABCT aequale sit, no video,neq; verum est subtriangulo ASR imam lunulam AECT parem esse, nam hoc tunc sequeretur, si lunulae ABCT par esset triangulum A C R, quod quia indemonstratum est, indemonstratam quoque cernimus aequalitatem inter subtria-gulum A S R, & imam lunulam RECT, ct aduersus hanc probationem locum habet in statia superius a nobis facta, nam supponit autor se rite demonstrasse triangulum C R L par esse lunulae CG , quod nequaquampraestitit.
72쪽
x Ex secunda verum est triangula RDL, AC R esse aequalia, itemque lunulas ABCT, CAH, . sed non secundum illud additamentum, quod ex nostra instantia mox euanescit, sed bene verum ex prima,in qua cum idem probauerat & bene ,.a secunda probatione & mala supersedere poterat. 3 Quod affert in tertia non bene se habet,nam lunula CGLFbis assumenda est, & ita formari argumentum, tres
lunulae ABCE, AECT, CGLF aequantur trigono A C L,iteq; duae CGLF CFLH trigono CDL, ergo quinque lunulae ABCE, AECT,CGLF bis, C FLH aequales sunt duobus trigonis A CL & CDL,sed tres lunulae ABCE,CGLRCFLH aequantur duobus trigonis AC S, CDL, ergo reliquae duae AECT, CGLF duobus reliquis triangulis ASR, CR L aequales remanebunt, sed non constat triangulum . ASR aequari lunulae AECT, vel triangulum CRL lunulae ..CGLF, ergo. Rr autor in suo argumento quatuor tantufacit lunulas, nam supponit lunulam CGLF parem esse triangulo C R L, ut saepius diximus, quod nunquam pro
In idem absurdum incidit quarta probatio, nam tres Iunulae ABCE, AECT, CGLF pares sunt trigono ACL,&-lunula CGL H trigono CDL, ablatis trigono CDL & sua compari lunula CGLH, remanent rursus tres lunulae priores suo compari triangulo ACL aequales , quod argumen tum videtur principium petere, cum id probet, quod prius constabat; sed ipse aliter proponit, putans triangulo CR L parem esse lunulam CGFL ut moris,& ob id concludit lunulas ABCE. AECT equari triangulo ACR, & hinc ablatis aequalibus nempe lunula ABCE S triangulo ACS, pronunciauit sublunulam AECT subtriagulo ASR pare esse. Hae sunt quatuor probationes aut Oris, quae ut vidimus non beae se habent, & profecto in eo lapsus est Portia, ι Ia quod
73쪽
quod firmiter putauerit lunulam CGLF triangulo CRLomnino parem esse, quod sane nunquam probauit, ex quo unico & generali lapsu , reliqui desectus in determinanda subtriangulorum S sublunularum paritate insurrexerunt. Sed praetereundus non est latentior quidam alter desectus; nam Prop.6. triangulum fabricat rectangulum, cuius duo latera circa rectum sunt in ratione dupla , CL e numiduplum est ad AC,postmodum Prop. II. agens de circulo quadrando, mutat trianguli speciem, ut appparet ex figura praefatae Proposit. I7. nam triangulum rectangulum ADPnon habet latera cirisca rectum in dupla ratione,est enim DP
minus quam duplum ipsius AD, & tamen
ex Prop.6. dependet Propos. I7. nempe
ipsum quadrandi circuli artificiu, dehine omnia superius comprobata symptomata corruunt. Quod latus D P minus sit quam duplum ipsius A D, a paret manifesto, nam A D latus hexagoni aequatur semia diametro, cuius duplum est diameter A P, sed D P diam metro minus est, ergo DP minus erit quam duplam ipsius AD, patet & secnndo, nam DP est latus trianguli aequilateri, cum subtendat trientem peristri , si latus triangulisquilateri potentia triplum est ad semidiametrum, igitur latus D P logitudine minus erit quam duplum ipsius AD.
VT autori atque aliis satisfaceremus adduximus inte. gram eius Prop. o. & iam liquido apparuit, instantiam
74쪽
Exercitationes Mathematicae. 6
tiam, qua nostra Prop. 3. desecit, etiam aduersus suam 6. locum habuisse, ut superuacaneum fuit ipsam adduxisse is, imo non solum Prop. nostra eadem complectitur, quae it a sua sunt, sed ut Mathematico stylo consormior fieret catholice proposita est, ipse enim singulare dc conditionatum proposuit triangulum rectangulum, cuius duo latera circa rectum sunt in ratione dupla,& ob id Iunular CFLH. ABCT inuicem adaequantur, necnon & triangula ipsa ACR, R DL, sed laterum circa rectum ratione commutavita, aequalitas & inter lunulas & inter triangula prorsus evanescit. .
Ο N bene se gessit Egnatius Dates ad theorema septimum optices Euclidis,& ad vigesimum de speculis, in septimo theoremate dicit Euesides, quod si duae magnitudines aequaIes BG, DL conspiciantur ab oculo in C, maior apparebit magnitudo DZ quam BG,quia angu-gulus D Z maior est angulo BCG. - Ad quod ostendendum sic ra. B tiocinatur Egnatius, angulus CDG maior est angulo CZDPer.3 a. primi,at angulus CGD maior est angulo CDZper. I . primi, quia latus CD, quod opponitur angulo CGD,maius -- Iatere CZ, quod opponitur
75쪽
angulo CDZ,ergo angulus DCZ angulo GCD maior eriti eodem modo probabitur , quod angulus B C G minor sit angulo GCD, ergo multomagis B C G minor erit angulo DCZ: Miror sane quomodo hic vir alioqui diligentissimus
in re tam leui cespitauerit, Prop. enim I9. seu potius I 8. - primi locum habet in unico triangulo, quando eius anguli inuicem comparantur, quod ille videlicet angulus in aliquo triangulo maior dicendus est,qui a maiore latere sub tenditur,at ipse assumit duo triangula GCD, DCZ, ex qua Propositione male intellecta falsum conclusit, quod anν- Ius CGD maior sit angulo CD L, imo oppositum angulus CDZ maior est angulo C GD, externus interno in triangulo GCD per. I 6. primi,vel per 32. qua ipse utitutaQuod autem angulus D CZ maior sit angulo B C G Iegitime demonstrauit Vitellio lib. q. suae Optices Prop. 24. Suem consulere poterat. Eodem modo lapsus est Egnatius ad theorema et O. de speculis, dum ostendere nititur rectam E A. quia opponitur angulo obtuso EC A maiore esse recta AZ,que opponiis tur angulo acuto A C Z, in qua argumentatione veniunt duo triangula E A C, C A Z, quae nullo modo admittuntur
a Prop. I 8. seu potius I9. priri cum illa locum tantum habeat in unico triangulo, ut paulo ante monuimus..i In piato theoremate a o. asseritur,
quod angulus ECA sit obtusus, di quod recta EA maior sit quam A Z; Quod angulus E C A sit ob ----- lusus, ex eo fit manifestum, quia angulus T AC est rectus,fit enim
cutus,& suus deinceps EC A o lusus ; Ad ostendendum vero quod recta E A maior sit
76쪽
Exercitationes Mathematicae. γ rquam 'AL, considerandalum duo triangula E C A, C A B. eum itaque anguluς E C A maior sit quam. R c Z,& CAZ, C A E aequales,erit C Z A maior qua CEA, ergo in tria εgulo EZA angulus L maior erit quam angulus E , & obidiatus EA latere ΑΖ maius, quod erat ostendendum.
V M incidissem in Arithmeticam Maurolyci Venetiis impietam anno Is s. prope finε libri primi duas Propositiones reperi muti-Ias & imperfectas, nempe 6 . & 63. imo 6 s. caret principio, ouae, ut ibi dicitur, sicerane in exemplari manu scripto , placuit praecitas Propositiones restituere, ne nobilis ille labor Maurolyci sic imperfectus cerneretur,quod ex vestigijs ab eo derelictis mihi non admodum arduum fuit.
OVnis columna pentagona cum duplo quadrati collateralis simul sumpta, triplum valet suae pyramidis pentagonae.
Exempli gratia, columna pen- Per. 63. lagona quinta III. cum duplo I 73. Ia . cubus S. quadrati quinti as . hoc est cum col. O I. 6o .co. Δ.ε. Io. facit a 2 3. quod triplum est - Io. Δ. q. sius
77쪽
sius pyramidis pentagonae quinta I . Δ s. 73. quod ostenditur sic; columna
Io.-q. pentagona quinig aequalis est cubo quinto per q3. columnae trian gulae quaris , & triangulo quarto simul acceptis , quibus appono unum quadratum quintum, & pro' altero quadrato quinto appono duos triangulos quintum & quartum, qui per II. simul Pyr. I. I.
Hic pauca desunt demonstrandum erit quod natriangula quarta, triangulo quin to , ' duobus triangulis quartisssimul triplum est pyramidis petagonae quintς , sed pyr mis pent,gona quinta per 36. constat ex combinatione duarum pyramidus scilicet quadratς quintς, & trian gulς quartq; ergo est demonstrandum , quod dilium aggregatum est triplum huic combinationi , quod sic patet , una pars illius aggregati , scilicet cubus quintus cuquadrato quinω & triagulo quinto simul per prscedentem, squalis est triplo quintς quadratq pyramidis
Ηic multa desunt,quq non sunt in exemplari manuscripto per.3 7. ' scilicet pentagons quin
78쪽
tae' Quare ostende dum est, quod Per. 37. supradictum aggregatum est tri- 93plum huius combinationis , quod Pyr. hex. . constabit sic. Vna pars illius aggregati, scilicet columna pentagona quinta cum duobus quadratis quintis per praecedetem aequi ualet triplum pyramidis pentagonae quintae, quς fuit una pars combinationis,& similiter reliqua pars aggregati, scilicet columna trianis gula quarta cum duobus trianguis lis quartis simul per. so. huius,tri plum valet pyramidis triangulae quartae, quod est residuum combinationis. Quamobrem quoniam duae partes aggregati duabus partibus combinationis, singulae singulis triplae sunt, propterea per prima quinti elementorum, & tois tum aggregatum totius combina. tionis triplum valebit, quod fuit demonstrandum , & eodem syllo. Si imo pro quouis alio assignato loco utemur ad roboratione pro
79쪽
O Mnis columna pentagona cum duplo
quadrati collatera lis stimul sumpta , triplum valet suae pyramidis pentagonae.
Exempli gratia, columna pentagona quinta I 7 . cum duplo quadrati quinti Σ3. hoc est Per. 63. cum o. facit et et . quod triplu est 173. ia I. cubus . ipsius pyramidis pelagonae ciuintae col. 9 I. 6 P.LO. Δ.q. 7 . quod ostenditur sic; columna IO. Δ. q. pentagona quinta aequalis est cubo quinto per ψ3. columnae trian. --- gulae quartς, & triangulo quarto
simul acceptis , quibus appono pςy x- l λ unum quadratum quintum, di proas i I . Ω altero quadrato quinto appono T 3. lις δε ε duos triangulos quintum d quar tum, qui per II. simul sunt aequa-ta 3 lcs quadrato quinto,Nunc demo- I. strandu erit, quod cubus quintus cum quadrato quinto ; columna --' triangula quarta, triangulo quin'to , & duobus triangulis Quartis, simul triplum est pyramid S peta-Pyr. I 3. gQuae quintae. Sed pyramis penis 33. lagona quin per 3 6. constat ex Pyr. Δ . combinatio*: duarum pyramidu, a o. scilicet quadratς quintς, & trianguil quarti; ergo est demonstrania
80쪽
dum , quod dictum aggregatum est triplum huic combinationi , quod sic patet, una pars illius aggregati , scilicet cubus quintus cuquadrato quinto ct triagulo quinto simul per prς cedentem, squalis est triplo quintς quadratς pyramidis, sed per Io. columna triaingula quarta cum duobus triangulis quartis ς qualis est triplo pyra midis triangulς quartae, ergo per primam quinti elementorum congeries cubi, quadrati, & trianguli quinti , Una cum coluna triangula quarta & duobus triangulis quaris, iis, triplum erit ad totam combi. mationem duarum pyramidum a s scilicet quadratae quintς & triangulae quartae , quandoquidem partestsingulae partibus singulis triplae sunt , quod erat demonstrandum, & ita in similibus fa.