장음표시 사용
371쪽
I. . Priusquam generalem Theorematis nostri demonstrationem aggrediamur, haud inutile erit peculiariter adii a Considerare circuliam tertium , quo meliUS ordinem suCCestionis radiorum perspiciamus. Quoniam OrmUIae . . leVi mutatione huic casu applicantur, aec disquisitio haud nimis erit Ioli Na.
Problema. . . Invenire radium c circuli , qui circulo A, B, b tangat.
372쪽
Quom hic circulus o ad Circulum prorsus se , heat, ut circulus bis CirCUIum a ideoqUe radius c-ce radio b eodem Prorsu modo inveniatur ut radius ex radio a omnes formula f. t adhiberi hic ossunt, si in iis loco radii a substituatur , et Hoc radii . Habemus itaqUΟ
ut itaque binae radices sint et
I. . Prior radi idem est cum a radio Circuli l. a.), qui nempe circulos A, B, b pariter tangit. Utraque Vero adica et cis radio b inventa, qui erat
373쪽
sub eadem forma continetur, si in ea loco n substituaturn Ct -- I. Eandem legem generalem esse, mota ostendem .
Theorema, I. 11. Si in ordine circulorum tangentium a b C, etc. circulus stat tu3, generatim est a diu C
Ponamus, an formam valere ad circulum sn- Τ)tum Usque, cita ut repertus sit radius proXime antecedens 'η tum vero ae litatio generalis, Ua radiUS Consequens C per antecedentem i, Xprimitur, hae est l. 8.)
374쪽
quo cum termino mitimo A B C Comparato Concludere IbCet, integram O ltantionem a toro agnos Cerct,
qtiorum ac ortam Prodiacitam actia esse reperitur. Hin aeqUmlionis nostrae binae res nitant radices I. C et di. c 'ης quartam prior praebet radium Circuli antecedentis , allera circuli consequenti C. Ostendimus itaque, si I X haec vera si pro N- ,
eandem Ilo JU Valere Pro QIIam linquo VC-ritas formulae peculiariter demonstrata sit Casibus N N TE 2 Ot I. . . . .); sequi Ur, eam ingenore Orct m esse, UemCUnqrae numerum integrum N ODO-let, sive affirmativum sive negativum. Q. V. D. f. a. tam in sormula nostra non nisi quadratum numeri occurrat, a numeris negativis non minu ConVC-
375쪽
nit Nam positivis, quod etiam UiVis figuram intuenti statim patebit, dum infra lineam in idem CirCulorum a b c ordo locum abs ac suPra eam. Quinimo infra videbimus,
ea in infinitum Unde patet, a V ad D Usque innumeros dari circulos tangentes, quod Per se Patet. Theorema. f. a. Pro quovis CirCul Ni gerieraliter verum est, perpendiculum e centro ad afri Di demissum aequari uia metro eiu3dem circuli in Numerum I ductae. Demonstratio. PerpendiCUlum in genere est et a UDAR C et J Io.), Ubi si substituatur 'η Q.), erit Proinde
cυ 'Αης anc seu Pran Π E. D. . a. Iam itaque ad Umpletam atque generalem Theorematis nostri J. i. dΘ monstrationOm PerVCnim I S, Uinius ad Casus quosdam speciales applicationem ad UC ostendamus. Talis est, si Circuli b, c, e C. non Ut in Fig. X. Circulos A, B, sed circulos B, C tangant, Ut in Fig. a. Videre ii Cet ad quem Castam novum calculum iustituere haUd OPUS Crit. Aia enim loco circulio , quem si intris tangebat, introducitur alitis , quem B Xttis tangit, PntCt,
376쪽
radium C ratione radii A oppositum habere silum. Si nem
De manente Unct Contactus F 1M, CirCials C radius continuo decrekat, done evanescat , Circolus C in punctum abit et 14 radius C Ulterius deCrescat, seu negati Mum imdUat valorem, Circulus C circulum B intus tanget ubi si radius eius maior fiat radio B, circulus C idem est quod in Fig. I. Circulus A. Quare quum sit C. A i, in omnibus formulis loco A substituendum est Ioco autem , m E A. Quapropter X g. . habemus radium b se aeqUationem secundi gradus, Cuius altera radi A, altera
Veritast tiarum formularum etiam inde patet, quod in omni bias Triangulis , quae ad eas perduXerunt, ater B a, b, CtC. manent Constanter B 9 a b , etc. latus autom
EXpressionem radii c esse generalem modo ostendi, mus I. 14.) Quoniam itaque occe usu reperitur sin
377쪽
Quare cum sit in genere g - - I. q. , sequitur
. 16. Alium casum speCialem P gura terim ob ocu τ . Ios ponit. Loco circuli C scili Cet assumitur eiUSdem Circuli pia. u. diameter si, ut itaque primus CirCulus a tangat irCulos A, B, et reclam M. Ceteri CirCuli b, c, etC. nnent quales erant in Q. I. ideoque ii omnes per CirCUlum a Cindem prorsus modo determinantia a supra Radi Us autem primus a Per Circulos A, B, C, alio iam modo determinari debet, siquidem circulus C evanescit. Quodsi itaque hian C, sum tanquam sub generali Theoremate 3 1. Comprehensum considerare, ideoque formulas generales ad eum CXlendere velimus, si erit ratiocinandum Circulus a iis in sormulis erat rimuS, dum semicirculum C sequebattar numerus enim pro circulis supra lineam re sitis accipiebatur positivus, pro CirCulis autem infra D negativus I. a.): Unde Tene pro Circulo C statuimus I. .),. Uoniam imbdia eius Pars supra, altera infra lineam re iacet, ideoque hic Circulus aequo iure positivis a negati Vis annumerari Potest: Unde pro illo non potest non esse ' o. ostro Ver casu Fig. a. semicirculus C evanescit ceter Ue min a nes
378쪽
nes circuli , , C, CtC. Per Un serniCiICUJum regredi inmtur, unde Pro quolibet UmCIUS ' dimidia Unitate diminui debet, ut pro CirCulo a stat pro CirCUlo l, et generatim Ioco substituatur His positis formula Pro radio C generalis oret f. o.)
formula generali I. 16. posuissemus ib. Valor pilor indicat Unctiam, et quidem punctiam , circulis A, et diametro commune. Le igitur assumta in CitCUI si lociam habet; Iam talem merito dubitari possit, utriam pro ' Umeros fracto assumere IiCeat, sormulas nostra hanc universalitatem Vere admittere, RUCis ad V verb1 demonstrabimUS.
Problema. f. 18 Formulam ro radio gerieralem inveHire, casu quem Fig. . exhibet
379쪽
Cum excepto CirCUJo , Cli'U Omne b, C, etc. pera inteceden em et CirCUJOS A, B, Odem In ne modo determ nentur ac in Fig. o. erit 'tiam hi in genere f. o. pro radio C,
Unde aeqUatione in ducta nanciscimur
380쪽
Posterior cum forma generali supra assumta I. 16. prorsus congrUit, unde eius generalitas est demonstratu. Q. E. I. I. as Pr, tertio Circulo C est a ideoque 'Λης Prior autem radi sit