장음표시 사용
91쪽
Etiam ergo in praesenti propositione lieebit colligere ea omnia, quae supra varijs vicibus fuerunt collecta. Nimirum in spirali lineari, e sse sectorem ad spatium, Vt qa ad atum E A, ad rectang ilu n EAG, cum ἰ quadrati EG. in quadratica , ut qaadratum E . , ad i e fringulum E A G, cum I quadrati GE. Et uni ier taliter, esse sectorem ad spatium, ut factiam subq radrato E A, in omnes singulares partes adgregati potestatis EA, AG, unius gradus inseriori, potestate spiralis, ad tales partes omnium singularium partium potestatis adgregati EA, AG, uno gradii superioris potestate spiralis, quae se habeant ad ipsas, ut numerus spiralis, ad numerum binario auctum.
Si in schematibus proposit. anteced. 4A B, BF, in tribum snt aequales Κ A, AG, in spirali ; in circumferentia I R' sit qualis c D, in trilineo, item circumferentiam re, liveae CL, in tritineo, sty DA, in tribueo aequalis tot integris circumferentiis rasi A, quotus eri uu merus reuolutionum mnitate minor. Trdueum GI, in tribueo, erit aequale tritaeo R IS, in pirati, quo estiexcessuspectoria RAI cucumscripti putio SAL δε
92쪽
E Tenim, cum Ct, lutea in trilineo sit a qua ' scircumserenti v IR, in spirali, & A B, in trilineo aequalis semidiametroe K A, seu RA in spirali: triangulum C Bl, erit aequala sectori R Al. Timc in RS, accipi atta r quod libet puta tum 1, &' describatur circumferentia 2 3, se nidiametro K 2, occurren s spirali in ρ; & facta in trilineo RQ, ar- quali A x, sit MN PQ, parallela C A. Ad modum dictorum in proposit. i rodedicemus, M N P, in trilineo aequalem fore circumferenti e 3 2 , inspirali. Cum verbetiam N P, in trilinei sit ara i .ili Scircumserentiae a 41, inspirali sqvia ex hypo farsit, I D, est aequalis circumferentiae 'R k . 3 Ergo MN, in trilineo, erit aequalis circumferentiae 2 E. inspirali. Quia vero R S, ethaequalis OAs expeh. tis in methodo indivisibilium patebit , omnes cim cum serentias trilinei R IS , in spirali concentricas circumferentiae R i, aequales fore omnibus lineis trilinei CGl, parallelis Cl. Ac proinde trilineum ipsum Ri S, aequale fore trilineo CGl.
Cum vero supra probatum sit; triangulum C B I, aequale esse sectori R A I; ergo triangulum B C I, elit ad trilineum CGI, ut sector'R AI, ad trilineum Ris. Quare per eonuer sionem rationis, erit sector ad spatium S AI, quod includit, ut triangu-
93쪽
tum C RI, ad spatium CB GC. Cum ergo ex proposit. I . sit triangulum C Bl, ad spatium , ut factum sub quadrato ΑΒ, in differentiam potestatum AB, ΒΟ, unius gradus inserioris potestate trilinei nempe eiusdem gradus clim spirali j ad disserentiam potestatum AB, BO, unius gradus f perioris potestate trilinei cnempe duplici gradu altioru n potestate spiralis; sic etiam erit sector RM, ad spatium spirale. Nempe erit ad ipsum, ut factum subq iadrato R A, in disserentiam potestatum RA, Α S, eiusde in gradus cum spirali, ad differentiam potestatum. R A, A S, duplici gradu altiorum potestate spiralis. Cum ergo proportio reperta inter sectorem, &spatium, sit similis aliqualiter supra repertis, patebit
omnia compendia varijs vicibus supra explicata, posse etiam assignari in praesenti. Verum ergo erit etiam in presenti, quod in spirali lineari, erit sector ad spatium, ut qiadratum R A, ad rectangulum, RAS, .cum ' quadrati RS. Item in spirali quadratica, erit sector ad spatium, ut quadratum RA, ad rectangulum R AS, cum quadrati RS. PMriter uniuersaliter poterimus pronunciare. Esse sectorem ad spatium, ut factum sub quadrato R Α, in omnes singulares partes adgregati potestatis R A, A s, unius gradus inferioris potestate spiralis, ad tales partes omnium singularium partium potestatis adgregati R A, A s, uno gradu superioris potesta te spiralis, quas se habean t ad ipsas, ut numerus spiralis, ad numtrum Naario auctum. PRO-
94쪽
omnia statis hiraba successive insori a in quibuslibet eis-culis simul sumpta , rema cum quolibet figmeηto spatθresolutisms unitate maioris insiripto in seste rare , fune ad tot integros circulos sectoris quotus est numerus spatiorum integrorum, ina eum ipso sectore, mi numerus gradus spiralis ad numerum binario auctum.
IN schematibus proposit. anteced. supponamus circulum radii AG, esse circulum circumstriaptum spatio spirali cuiuscumque reuolutionis, V. g. lecundae, ita ut intra ipsum intestigendus sit circulus piimus circumscriptus spatio primae reuolutionis: sit etiam circulus radij A B, circumscriptus spatio tertiae reuolutionis: & centro A, interuallo quolibet AE , intel Iigatur sector MAE, circumscriptus M AG, fgmento spatij tertiae reuolutionis. Dico omnia spatia spiralia succcssiue inempe in casu nostro primae, & secundae reuolution .s una cum segmento MAG, esse ad tot in t g os circulos radjδE, quotus est numerus spatiorum integrorum .nempe in casu nostro ad duos in . una cum sectore M H E, ut numerus gradus spiralis, ad numerum bti
Supponamus enim trilineum saepe dictum CBA, & C. esse talis indolis, ut A B, sit aequalis A E, inspira & BF, sit aequalis AC: itam AD, sit aequalis
95쪽
sci De Infinitorum Spiralium lis ducibos circumferentijs radij AE, & CD, sita qualis circumserentiae EM. Facile patebit, triangulum CBD, aequale elle sectori MAT; & totum triangulum CBA, aequale esse duobus circulis radii
A E, & sectori MAEe item ex proposit. anteced. facile patcbit, in trilineo trilineum mixtum CC ED,
a quale esse in spirali trilineo G ME: &CBE C. in trilineo, aequale esse M AG, in sectori. Pariter ad modum proposit. I 8. patebit, spatium EB, in trilineo aequale esse alijs duobus spatijs spiralibus in-ι tu sis intra circulum radi j AGj N alium ipsi inclusum licet enim schema non exprimet, facile hoc perci. pietur si considero mi s circulum radii A G, in prae-lenri gerere vicem circuli radi j δε M, in dicta prο- posit. i 8. Quare manifeste patebit, duos circulos radi j A E, una cum sectore A ME, esse ad primum, di secundum spatium spirale , xna cum segmento
MAG, ut triangulum C BA, ad excessum ipsius supra trilineum. Nero e ex sepe letis, ut numerus gradus spiralis bmatio auctu S, ad numerum. Nempe vi circulus circumscriptus primo i patio ad ipsum . inare conuertendo, patet propositum. Q o d &
Si in spatio anteced proposis. semidiametro minori linea n . frabatur pector S A X. Erit R I S, trilineum, excessus i ctaris maioris se pra spatium, ad S I X, tythneum,excenmspatij supra minorem sectorem, excessus δει5 sub
96쪽
Spatiorum me cra. 8 rsub disserent apotestatum I A, M S, eluserim gratia eum spirali, in quadratum R A, supνa tales partes disserurentia potestatum EA, S A, duplici gradu altiorum potestate spiralia , quae se habeant ad dictam disseremitam , qui numerus spiralis ad eundem numerum binario
auctum, ad excessum praedictarum partium disserentiae potestatum RA, S A, duplici gradu altiorum potesate spir/bi , supra factum sub disserentia potestatum RA, AS, eiusdem gradus cum spirabun quadratum S A.
CHAEc demonstratio erit similis traditae in pro
p0st, is . quae ideo ex ipsa petenda est. ImR 0 umnia compendia deducta in schol. eiusdem, PM Riimus deducere etiam in praesenti. Verum gQ
97쪽
etiam erit nune, esse in spirali lineari, RIs , ad SlX, ut RA, cum ' RS, ad SA , cum i RS.Itcm in spirali quadratica, RIS, SI X, ςqualia esse. Et in alijs spiralibus poterimus forsitan reperire alia compendia , quae lector poterit proprio Marte ex
Primi circuli spatium belicum cuiuscunque gradus, ad θ trum belleum secundi circuli, ect it factum siub tali parte quadrati radii primi circuli, quae se habeat ad ipsem, it numerus spirabs, ad numerum binaris auctum Abdisterentia potestatum radiorum primi, ω secundi circ b, eiusdem gradus cum spirali, ad tales partes disserentia potestatum horum radiorum duplici gradu altiorum potestate spiralis, qua se habeant ad ipsam, mi numerus sp ratis ad numerum binario auctum. Spatium mero secuπ-di circuli ad patium tertium, est etit serum ex hoc 'eundo facto, gr ex Verentia potestatam radiorum temtij, o secundi circuli eiu em gradus cum spirali, ad Lmis factum sub simili parte disserentiae potestatum radiorum secundi tertii circuli, duptici gradu actiorum pote Hate spirabi, mu sub disserentia radiorum primi, ω secundi circub eiusdem gradui cum spirali, ur sic Hi teps tu reliquis.
Si primum spatium helicum cuiuscunque gradus AGH, cum primo circulo radii Abi:
98쪽
Spatiorum M ur item seeundum spatium H R P M H , eum feeundo circulo radi i A M: item tertium cum tertio cireulo radij AB. Dico primum spatium AGH, esse ad secundum spatium H R. P M H, ut factum sub tali partequadrati A H, quae se habeatad ipsum, ut nu merus spiralis, ad numerum binaris auctum, re sub differentia potestatum M A, AH, eiusdem gyadu Lum spirali, ad talem partem disserentiae potest inm MA, AH, duplici gradu altiorum potestito L α se
99쪽
3. 'r I istorum spirasium spiralis, quae se habeant ad ipsam, ut numerus spiralis ad numerum binario a ast a m. Spatiu n secun sum ad spatium tertium MN LLSBH, ut fastum sub hoc secundo facto , & sub differentia potestatum . B A, A M, eiusdem gradus cum spirali, ad factum sub simili parte differentiae potestatum B A, A M, dciplici grad a altiorum poteltate spiralis , & sub differentia potestatum M A, ΑΗ, eiuslem gradus cum spirali. Et sic in infinitum . v. g. in spirali lineari erit pri num spatium ad secundum, ut factum sub ζ qa drati AH, in HM, ad ἰ differentiae cub rum ΑΗ, RH. Secandum vero spatium ad tertiu n erit, ut factum sub differenti e cubarum ΑΗ, A M , & sub H B, ad fact im sub i differentiae cubor am A M, A B, & sib H M . In spirali quadratica , erit primum spatium ad secundum, ut factum sub ' quadrati AH, in differentiam qua, dratorum AH, AM, ad i disserentiae quadrato quadratorum AH, A M. Secundum spatium erit ad tertium, ut factum sub dicta parte differentiae, &sub differentia quadratorum AB, AM, ad Actum sub et differentiae quadrato quadratorum A M, AB; & sub differentia quadratorum M A, A H; &sic in alijs. Primum enim spatium AG H, ad se- eundum spatium H RPMH, habet rationem com positam ex ratione ipsius ad primam circulum radii AH; huius, ad secundum circulum radii A M; &huius, ad secundum spatium. Primum spatium ad Primumcirculum est, ut numerus gradus spirat is ad
100쪽
Spatiorum Messura. numerum binario auctum ex coroll. proposit. . nemiape ut talis pars quadrati AH, quae se habeat ad ipsum, ut numerus spiralis ad numerum binario auctum , ad ipsum quadratum AH. Circulus radij AH, ad circulum radij A M, est ut quadratum AH, ad quadratum radij A M. Circulus radij A M, est ad spatium secundam helicum, quod comprehendit, ex schol. 1. proposit. 17. Vt fastum sub quadrato 4M, indifferentiam poststatum MA, AH, eius-