장음표시 사용
81쪽
De In horam Spiralium parallela C A, Quoniam in spirali, ex proposir. . ε cst peripheria FDCB, ad peripheriam EM, ut a factum sub A B, in differentiam potestatum BA, B G, eiusdem gradus cum spirali, ad factum sub E A, in differentiam similium potestatum EA, AG: i5 pariterin trilineo , ex proposit. anteced. est CD, i ad GH , ut factum sub ΑΒ, in disserentiam pote- dstatum AB, BF, uno gradu depressiorum potesta- 'ite trilinei, nempe eiusdem gradus cum spirali in ad factum sub O B, in differentiam similium potestatum OB, BF. Ergo, ut in spirali cii cum ferentia F D CB, ad circumferentiam E M, sic in trilineo, CD,.ad G H. Et permutando, ut FDCB, ad CD, sic EM, ad GH. Sed circumserentis lFD CB, probata fuit aqualis rect CD. Ergo α
82쪽
hattorum . Mesr6 circumferentia EM, erit aequalis ipsi G H. Sed FA, in trilineo est aequalis G B, inspirali,& puncta E, O, accepta fuerunt arbitrarie, & inuentasuit aequalitas. Ergo omnes circumferentiae exces.sus circuli radi, AB, supra spatium spirale concentricae ipsi FDCB, aequales erunt omnibus lineis trilinei C G E D , parallelis ipsi C D. Ergo excesse sis praedictus erit aequalis trilineo mixto CGED. quod erat ostendendum .
Qui parui pendet indivisibilia, & gratuIatur excruciari in methodo archimedea, ipsam experiatur , nam eandem veritatem deducet. Attente etiam .
Qinderet, quod probatum suit de totis, probari
83쪽
quoque posse de panibus proportionalibus. Noa l
enim tantum tot excessus aequabitur toto trituneo CGED. Sed etiam pars clausa peripheria is la CDFβ, spirali BIS M, periphetia ME, & recta EB, erit aequalis quadrilatero C GH D. item reliqua pars G MEG, aequalis trilineo EG H. Idem dicatur de caeteris partibus proportiones,
Ergo per conum sionem rationis, erit circulus ad ipse ni spirale sparsum, ut triangulum CB D, ad sp, trum compi Cusum iectis CB, B E, ticurua CGE.
84쪽
Spasiorum Mensra. 6o Cum vero ex proposit. Iq. sit triangulum CB D, ad
illud spatium, ut factum sub differentia potestatum AB, BF, uno gradu depressiorum potestate trilinei nempe eiusdem gradus cum spiralii in quadratum B A, ad tales partes differentiae potestatum A B, B F, uno gradu superiorum potestate trilinei nempe duplici gradu superiorum potestate spiralis, quae se
habeant ad ipsam, ut numerus trilinei unitate minutus nempe ut numerus gradus spiralis ad numerum trilinei unitate auctum nempe ad numerum gradus
spiralis binario auctum. Ergo etiam et rculus radij A B, erit ad spatium spirale G M SIB G, ut fictu in subdifferentia potestatum B A, AG, eiusdem gra dus eum spirali, in quadratum B A, ad tales pari s differentiae potestatum BA, A G, duplici gradu altiorum potestate spiralis, quae se habeant ad dictam differentiam, ut numerus gradus spiralis ad ipsum
Immo ex schoL citat. proposit. t . poteriae uS alias eompendiosiores rationes assignare. Nam in spirali Iineari deducemus, esse circulum ad spatium , ut quadratum B A, ad rectanguluin s Ao eu i , quadrati s G. In quadratica, ut id in quadratum BA, ad idem rectangulum B A G, eum ἰ quadrati G v. Et uniuersaliter deducemus, i. taetreulum ad sp tium , ut factum sub quadrato AB , in omnes sing
85쪽
o De Agnitorum spirullam lares partes potestatis adgregati AB, AG ἰ unius gradus inferioris, gradu spiralis, ad tales partes omnium singularium partium potestatis adgregati AB, A G, uno gradu altioris potestate spirat is, quae se habeant ad ipsas, ut numerus gradus spiralis, ad numerum binario auctum.
omnia Datia spiraba Iuccessiae in ipta in quibuslibet timetilis simul sumpta, sunt ad tot circulos maiores quotus es numerus reuolutionum, it numerus gradus spiratis adnumerum binario auctum.
SInt quaelibet spatia sipiralia A G H, H RPM,
M N LSB, inscripta in circulis radiorum ΑΗ, AM, AB . Dico omnia illa spatia simul sumpta esse ad tot circulos radij A B, quotus est numerus reuol tionum nempe in nostro casu ad tres in ut numerus gradus spiralis, ad numerum binaris auctum. Nempe in prim, ut I. ad s. In secund. vi 2. ad q. ut 3. ad . dcc.
Sit etiam triangulam QIZ, cum sibi inscripto trilineo parabolico QSZ, gradus congruentis gradui spiralis; sitque talis indolis, ut Z Ε, Υ E, ET, sint aequales AB, AM, A H; & QT, sit aequalis tot peripher ijs 3 FDC, quotus est numerus reuolutionum. Ergo ex proposit. anteced. spatium contentum re-
ας Q E, E X, S curua QX, erit aequale spatio spi-
87쪽
- - , De Infinitorum Spiraliam
tali MN ZLSBM. Eodem modo patebit spatium X EIX, aequale esse spatio HRPOM Hi &IEI, aquale esse spatio AGH. Ergo totus e cessus trianguli Q EZ, supra trilineum, erit aequalis omnibus spatiis spiralibus simul sumptis. Sed
etiam triangulum QEZ, est aequale tot circulis ra-d j AB, quotus cst numerus reuolutionum . Ergo excessus trianguli QEZ, supra trilineum erit adip- sim triangulum, ut omnia spatia spiralia ad tot circulos radi j AB, quotus est numerus reuolutionum. Nempe ex conuerso coroll. proposit. s. ut numeruS gradus spiralis, ad n uinerum binario auctum. Nempe ut spatium spirale inscriptum in primo circulo, ad ipsum. Qu9d&c.
In sibimatibus prop. i7. excessus patii spiralis GMSIBG, seupra circulum radii AG, est aequalis in trilineo natio comprehenso a recZis C Κ, Κ Ε, in a curua ζ G E. Cum enim probatum sit in propolit. I7. triangulum C B D, aequale fore circulo radi j A B: &cum AB, BF, sint aquales semidiametris B A, A C; facile probabimus, etiam triangulum k B E, aequale sore circulo radij Α G. Sed totum spatium CBEGC, ostensum fuit squale toti spatio spirali. Ergo etiam spatium ChEGC, erit aequale i eliquo spatij spiralis dcmpto ab eo circulo radij AG. Quod &c.
89쪽
yn migrammatismis pro fit. anteceri si in pirali accepto ibilibet puncto M, indum A M, centro ea, intem R A M, describatur peripheria EM. Sector A ME, erit adJanu pirate A MGA, quod comprehendu tractum sub quadrato EA, in disseremiam potestitum EA, AG, eiusdem tradus cum spirali, ad tales partes Hsserentiae potesaium EA, AO, duplici Pradu altiorum potestate spiralis,quae se habeant ad ipsam t mmc-
russpirali ad inerum binario auctum.
NAM in trilineo, supposita Bo, aequali Α Ε,
& FO, quali GE, iam ex schol. pri. prop. 7. patet, trilineum G E H, in trilineo aequale esse e eessui GMEG, & G H, aequalem sore circumferentiae EM. Cum ergo etiam radius A si, sit aequalis BO, alutudini trianguli GBH, cducta prius recta BG.ὶ Ergo triangulum BGH, erit aquale sectori A E M: & erit ad trilineum G E H, ut sector MAE, ad excessum ipsius supra sp at Iuminempe ad G MEG. Eigo & per conuersionem rationis, erit sector ad spatium A MG, a se con prehensum, v riangulum G B H, ad spatium CBLG. sed ex proposit. sq. trivgulum est ad illud spatium in assignata ratione. Quare pater propositum.