De infinitorum spiralium spatiorum mensura, opusculum geometricum. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesuatorum s. Hieronymi, in Veneta prouincia definitore prouinciali

61쪽

De Infinitorum Spiralium AC, una eum facto sub dicta differentia quadratorum DA, AC, in quadratum A C. Quod utique est manifestum.Nam ex prop. I a .sector OAD, est ad spatium C A D, ut factum sub quadrato O A, in differentiam potestatum OA, AC, eiusdem gradus cum spurali, ad sui talem partem, & facti sub differentia quadratorum o A, A C, & sub potestate A C, eiusdem gradus cum spirali , quae se habeat ad haec, ut num rus ad numerum binario auctum. Ex praesenti proinposit. idem sector O A D, cst ad idem spatium , CAD, ut idem factum sub quadrato OA , in disserentiam potestatum OA, AC, eiusdem gradus cum spirali ad talem partem disserentiae potestatum O A, A C, duplici gradu altiorum potestate spirali, quae se

habeat ad dictam differentiam, ut numerus ad n merum binario auctum. Ergo ambo consequentia harum proportionum erunt aequalia. Cumque sint similes partes illarum magnitudinum cuius sunt pa tes: etiam integrae magnitudines erunt aequales. Dis

ferentia ergo potestatum OA, A C, dupli gradu altio-ru gradu spiralis,erit squalis facto sub quadrato OA, in disserentiam potestatum OA, A C, eiusdem graduscu spirali, una cum facto sub disseretia quadratorum O A,m,in potestatem CA, eiusdem gradus cu spirali. Quod utique illud idem est, quod supra dictum fuit.

Sed sicuti in schol prim proposit. anteced. d

62쪽

Spatiorum messura. 67 pressi fuerunt termini proportionis dictae primae, &secundae spiralis ad terminos inferiores, sic licebit

ipsos in praesenti deprimere, & compendiosiores rationes assignare, ut ibidem factum fuit. An vero necesse sit in alijs spiralibus altiorum graduum retinere proportiones illarum potestatum, adeo ut nullatenus liceat ipsas deprimere , non videtur a Trinandum. Sed quomodo possint deprimi, videat lector

proprio Marte . Saltem enim ex doctrinis Francisci Vietae explicatis innotibus prioribus ad Logisticen 'Speciosam a proposit. t . infra, colliget posse dictas proportiones deprimi uno gradu. Colligitur enim ex ibidem ab ipso ostensis. Consectarium suum vniuersale, quod habet post proposit. α . Quod iisseremiapotestatum Fadpucetur ad disserentiam laterum onem. tar singularia homogenea quibus constat potestas gradus proxime inferioris adgregati ipsorum laterum, semel sumpta. Et e contra. V. g. si cubus O A, minus cubo AC,

adplicetur ad O C, differentiam laterum o A, A Q0rientur quadratum OA, rectangulum OAC, &quadratum A. simul, & semel sumptas quae plana sunt omnia singularia plana potestatis unius gradus inferioris, nempe quadrati, adgregati laterum o A, . C. Et scin alijs potestatibus. Cum ergo proportio sectoris O AD, ad spatium C A D, sit eadem cum ratione facti su b quadrato OA , indifferentiam potestatum OA , AC, eiusdem gradus cum spirali, ad partes explicatas differentiae potestatum OA ,

5 C, duplici gradu altiorum potestate spiralis: patet

ambos

63쪽

41 De In treum Ipiraum ambos terminos huius proportionis posse adplicari ad OC, differentiam laterum. Sed haec omnia melius percipientur exemplificando in tertia spirali. Iahac sector O AD, est ad spatium C AD, ut facturus a b quet drato O A, in d fferentiam cuborum OA, AC, ad ' differentiae quadratocuborum OA, A C. Si adplicetur ad OC, differentiam laterum differentia cuborum OA , AC; orietur summa planorum singulariter, quibus constat quadratum adgregati laterum ΟΔ, Co, simul sumptorum; nempe quadratum OA , rectangulum OAC, & quadratum A C.

Si veris adplicetur ad eandem OC, d gerentia

qua dia tocuboium OA, AC; oricisy summa plano. planorum singulariter, quibus constat quadratoquDdratum laterum adgregati OA, AC, si ut sumptorum, neaepe . Quadratoquadratum o A. Plus cubus O Α, in A C. Plus quadratum Ο Α, in quadratum A C. Plus Ο Α, in cubum A C. Plus quadratoquadratum

A C.

Ergo in spirali cubica erit sector O A D, ad spatium spirale CAD, ut quadratoquadratum O A. Plus cubus OA, in Α C. Plus quadratum OA , in quadratum C H. ad ' planoplanorum supra ennu-

ineratorum.

Ex qu ibus videtur posse dc duci aliam regulam generalem assignandi rationem feci oris Ο Α D, in quacunque spirali, ad spatiuin spirale CAD. Et haec

erit,

64쪽

erit, quod sit ut factum sub quadrato DA, in omzes s n gula res partes potestatis adgregati OA , AC, Vno gradu inserioris potestate spiralis , ad omnium iasgularium partium potestatis adgregati tales patates OA , AC, uno gradu superioris potestate spiralis, quae se habeant ad ipsas, ut numerus spiralis adnumerum binario auctum. Sed haec. &similia com. pendia, ut diximus, lector propri1s adinveniet viribus, si operibus Analystarum aliquando incubuerit. Quamplures etenim adinveniuntur, qui egregie, de cum summa laude in hac materia scripsere; sed omnibus Colophonem imponet Excellentissimus Geo metra Carolus Rinaidinus Serenissimi Magni Principis Etruriae Mathematicus in quodam magno ope re,quod iam exantiauit, quodque in posterum, immo quam primum, typis committet. Quamplurima erodissi vir ille egregius tum philosophica, tum m

65쪽

ιa De Iomitorum S Elam themattea molitus est: sed inter haec extat opus ab gebricum absolutissimum ; in quo praeter omnes

Analysis partes, concinnavit etiam librum non partium , in quo in amplitudinem artis soluta fuere plus quam Iiso. Problemata.

PROPOSITIO XIII.

Si in anteced.proposit. sem diametro minori linea , in scribatur sector Ac M. Erit C OD, trilineum exincessus sectoris maioris seupra spatium, ad M*G trisbneum excessumspatii seupra sectorem minorem, it e cessus facti sub disserentia potestatum OA, CA, Musdem gradus cum Dirati in quadratum OA, supra tales partes disterentiae potestatum OA, CA, duplici gradu altis-rum p te pate spirias, quae se habeant addictam disseremtiam , it numerus spiralis ad eundem numerum binario auctum,a excessum praedistarumpartium iusserentia potestatum G . . c A, et gradu altiorum potestate spirabs supra fictumsub deerantia potestatum OA, CAEem emgradus cum spirab, in adratum C a.

V. G. in spirali lineari, erit trilineum ODC, ad trilineum CDM, ut excessus facti sub OC, in quadratum O A, supra tertiam pa tem differcntiae ciborum OA , AC, ad excessum talis ter- iae parti, huius differentiae, supra factum Lb OC, inquadratum C A. In quadratica, ut excessuS facti d entia quadratorum o A, C A, in qt aura-

tula

66쪽

Spatiorum Mensera. 1tum OA , supra i differentiae quadratoquadratorum OA, C Α, ad excessum harum supra factum subdifferentia quadratorum OA , AC, in quadratum C Λ. Et sic in caeteris in infinitum. Quoniam enim sector ODA, est ad segmentum C AD , ex proposit. anteced. vi factum subdifferentia potestatum OA, CA, eiusdem gradus eum spirali, & sub quadrato O Λ, ad talem partem differentia potestatum o A, C A, duplici gradu altiorum potestate spiralis, quae se habeat ad ipsam differentiam, ut numerus spiralis ad numerum binario auctum: ergo & diuidendo, trilineum o DC, erit ad segmentum C AD , ut excessus antecedentis praedicti supra dietum consequens, ad ipsum. Ast, quoniam sector O D A, est ad sectorem C A M, ve quadratum o A, ad quadratum C As nempe vefactum sub quadrato O A, in disserentiam potesta-

G a tum

67쪽

sa De In irerum Spiraliamtum O A, C Α, eiusdem gradus cum spirali, ad factum sub tali differentia, &sub quadrato CA. Em go & segmentum C AD, erit ad sectorem CAM,Vt partes differentiae potestatum o A, C A, duplici gradu altiorum potestate spiralis, qnae se habeant ad

ipsam, ut numerus spiralis ad numerum binario auctum, ad factum sub differentia potestatum O A, CA, eiusdem gradus cum spirali, & sub quadrato C A . Quare & diuIdendo, erit trilineum CD in

ad sectorem C A M, ut excessus huius secundi anim dentis , supra tale secundum consequens , ad ipsum consequens. Ergo facile concludemus ex qquali, esse O CD, ad C DM, ut excessus primi ante cedentis praedicti supra.primum consequens, ad ex cessum secundi antecedentis supra secundum consequens . Quod &c

Sed quoniam in superioribus in duabus primis spiralibas compendiosius ostensa est ratio sectorisO AD, ad spatium C AD , compendiosius etiam ostendemus in prima spirali, esse O , ad CDM, ut CA, cum OC, ad CA, cum I OC. Quod

sic patebit, Quia cum probatum fit in schol. L. proposit. I sectorem O AD , esse ad segmentum C A D, ut quadratum o A, ad rectangulum OA C, eum , quadrati O C. Ergo diuidendo , erit MDC, ad C Α D, ut rectangulum o C Α, cum '

68쪽

Spatiorum Uur . s I quadrati OC, ad rectangulain OAC, cum quadrati OC illis enim planis quadratum O A , excedi t rectangulum OAC, cum quadrati OC. Pariter, cum sector ODA, sit ad sectorem CAM, ut quadratum O A, ad quadratum C A. Ergo&spatium C AD, erit ad sectorem CAM, ut rectangulum OAC, cum ς quadrati OC, ad quadratum C A. Et diuidendo , erit CDM, ad CAM, ut rectangulum OCA, cum quadrati CO, ad quadratum C A. Facile ergo conclud tur, o DC, esse ad CDM, ut rectangulum OCA, eum ζ quadrati OC, nempe cum rectangulosum QR&sub I OC, ad rectangulum OCA, cum quadrati OC, nempe cum rectangulo sub OC, &sub ἰ OC. Cum ergo omnia haec rectangula habeant commune latus o C, erit oDC, ad CDM, ut CA, tum ' OC, ad CA, cum I OC. In secunda autem spirali ostendemus eodem inodo, O DC, & CDM , aequalia esse. Quare sequitur Lin portionem spiralis quadraticae esse veluti dime tientem fasciae ODM C. Quod sic patebit. Quia cum in schol. citat. ostensum fuerit, sectorem esse ad spatium, ut quadratum DA, ad rectangulum OAC, cum I quadrati CO. Ergo diuidendo, ODC, erit ad CAD, ut rectangulum OCA, cum dimidio quadrati OC, ad rectangulum OAC, cum dimidio quadrati OC. Sed pariter probabimus diuidendo, C D M, esse ad C A M, ut rectangulum OCA, cum kimidio quadrati OC, ad quadratum C AL Vnde

69쪽

34 Infinitarum Spiralium DeiIe concludemus. OD , esse ad CDM, ut rectangulum o CA, cum I quadrati OC, ad rectangulum OCA, cum I quadrati OC; nempe ut aequale, ad aequale. Quod Me. Sed etiam in alijs spirat bus poterit praedicta ratio aliqualiter deprimi. Sed videat lector modu m depressionis .

PROPOSITIO XIV.

Si euilibet erilineo a 'rim'secto it in propst. 3 .sit circum- Icriptum triaugulum . Erit eriangulum pars totius, cuius latus non ea diameter trilinei, ad portionem excessu ipsius supra portionem tribuet Ue comprebensem , mi factum se, excessu potestatis diametri trilines ino grada inferioris potestate trilinei , supra similem potestatem δή- metra trali ι ad Uerticem, ιn quadratum diametri trilianei , ad tales partes excessus pote natis diametri trilinei no gradu altioris potestate trilineisupra similem potestatem trilinei ad terticem, que ad talem excessem se ba

beant me numerus tributa πιnitate minutus, ad numerum muri te auctum.

HAEc proposit, est a 4. lib prim. de Infinit. P

rab. In schemate ergo proposit. 3. ducatur CB. Dico triangulum C BD, esse ad spatium C BEC, comprehensum a rectis CB, BE, & a curua C E, ut factum sub excessu potestatis AB, uno gradu in serioris potestate trilinei, supra similem potestatem BF, in quadratum B A, ad tales partes

70쪽

cessus potestatis A B, uno gradu superioris pol st.ite trilinei, supra similem potestatem BF, quae se

habeant ad talem excessum, ut numerus trilinei unutate minutus ad numerum trilinei unitate auctu . .

v. g. in trilineo quadratico, erit ut factum sub F A, in quadratum B A, ad tertiam partem excessus cubis Α, supra cubum B F. in cubico, ut factum sub excessu quadrati BA, supra quadratum B F, in quadratum BA, ad excessus quadratoquadrati AB, supra quadratoquadratum B F. In quadrat quadratico, ut factum sub excessu cubi AB, supra cubum B F, in quadratum BA, ad I excessusq drὸ toeubi A B, supra quadratocubum B F. Et

sic in infinitum.

moniam enim ex propost. s. est C Α, ad A