장음표시 사용
51쪽
su obtinebit. Quoniam enim conuerrendo L P, est ad PQ, ut tertia pars BD, ad dimidiam GBῶ ergo cum B L, sit octu pla L in B P, erit ad P R, ut 9. tertiae parres B D s nempe ut tripla BDy eum 8. dimidiis G B nempe cum quadrupla GJ2 ad dimidiam GR. Pariter cum D Q, sit tripla Laerit Pin ad P D, ut dimidia GB, ad quadruplam dimidia i G B nempe ad duplam G B in una cum tribus tere is partibus BD nempe cum B D . EDgo cxaeqviali, erit BP, ad PD, ut quadrupla G B,
52쪽
vnaeum tripla n D, ad duplam G B, cum BD. Et subquadruseando terminoe erit BP, ad PD, ut G B, cum subsesquitertia B in ad dimidiam G cum quarta parte BD.
centrum grauitatis confidis DperAbei se diuidit quaintam partem diametri ei iam ordine secundam ase, mi pars Hopinquior basi sit a reliquam, ut sexta pars lazteris transuersi, ad tertiam partem compossia ex latererransuerso, si V ex diametro.
SEd in schem. anteced. supponat prudens geometra diametrum BD, secari bifariam in L, ωLD, bifariam in Q; deinde Lia, sic secari in P, Vt in , sit ad D L, ut sexta pars G B, ad uertiam
Partem GD. i Dico P, esse centrum grauitatis conoidis ABC. Cum enim in sit centrum grauitatis coni ABC, & ex schol. proposit. 6. L, sit Centrum excessus conoidis supra conum ; & cum sit Q P, ad P L, ut sexta pars G B, ad tertiam Pa tem G D, nempe ex hypoth psi, ut sexta pars quadrati D F, ad tertiam partem quadrati AD; nem-Pe ex schol. cit. ut excessus noldis supra commradipsum conum. Ergo ex Archimede in aequeponde- rantibuS , erit P, centrum grauitatis totius cin
53쪽
Modus praesens assignandi centrum gratinaris conuenit cum antecedenti, ut attent δ consideranti patebit. Esset etiam alius modus inueniendi tale centrum grauitatis, inuento prius centro grauitatis excessus frusti conici supra cylindrum sibi inseriptum. Ex schol. enim s. proposit. IO patetralem e cessum ,& comides hyperbolicum , esse quantitates proportionaliter analogaS. Centrum velo grauitatis praedicti excelsus facile habebitur . Nam ex dictis in lib q. totius frusti coni habetur plui ibus modis centrum grauitatis. Sed habetur etiam centrum grauitatis cylindri in frusto inscripti ; habeturque ratio talis cylindri ad excessum frusti supra ip- sum. Quare centrum praedicti ex sus non ignorabitur. Vice versa tamen , modi reperiendi centrumigrauitatis conoidis assignati in duabus proposit. anteced. quadrabunt etiam praedicto excessui. Sed sicuti in superioribus docuimus in qua linea diametro parallela sit centrum grauitatis semili perbolae, sic videtur conueniens docere in qua linea diametro parallela sit centrum grauitatis segmenti semihyperbolae contenti inter duas lineas basi parallatas. Sed cum inuentioni talis lineae praemissa sit ratio cylindri circumscripti conoidi ad ipsum conoides, sic in praesentiarum anteponenda videtur ratio
cylindri circumscripti segmento conoidis hyperbolici
54쪽
holici contento inter duo plana basi parallela , ad
Si figmento conoidis bγperbolici resecti plano basi parallelo, sit circumscriptus Plindius. Erit hic ad lsum se memtum, mi rectangulum sub composita ex latere transueraso, ω ex diametro conoidis, sis sub diametro, ad rectangulum sub eadem composita , , sub diametro co-noidis ad mertice , ua cum reuangulo hub composi- ea e e dimidio lateris tra uersi, me ex tertia par,diametri frusti sub eadem tertia parte.
Onoides hyperbolictim cuius basis AC, Veristex B , diameter D B , latu ἀ-transuersum Gn, intelligatur sectum plano HKI, AC, parallelo,&ipsi sit circumscriptus cylindrus L C. Dico hunc esse ad segnentum conoidis , Ut rectangu- Ium G DB, ad rectangulum sub GD, in Ble, una cum rectangulo sub composita ex dimidia Gu, ει tertia parte D k, & sub tertia parte D h. Segmento A HIC, intelligarur inscriptum seg. mentum E N OF, conoidis parabolici cuius vertex B, eonditionis supra saepe expositae; & in talibus segmentis intelligantur se Luta conorum inscriptorum in integris conoidibus, quae sint A PQ C, ERS F. Quoniam frustum A HIC, constat ex frusto parabolico, &ex dictientia frustorum cono
55쪽
deorum ; & ex propositi Α, differentia frustorum c noideorum est aequalis disserentiae eonorum ; ergo LC, erit ad frustum A Hl C. ut est ad frustus parabolicum, una cum differentia frustorum conc rum. Hanc vero rationem sic venabimur. Cylindrus L C, ad frustum parabolicum ENO F, habet rationem compositam ex ratione cylindri L C, ad cylindrum TF, tali frusto parabolico circumscriptum,&huius ad ipsum frustum: LC, ad TR est ut quadratum AD, ad quadratum ED; nempe ex hypothesi, Ut D G, ad G B. Cum autem ex
56쪽
propos t. 3. lib. q. sit T p, ad ENO F, ut parallelogrammum TF, ad traperium ERSF;&cum ex proposit. 8. & s. lib. prim. sit TF, parallelogram-mum ad traperium ERS F, ut dupla ED, ad ED, - cum RΚ, vel ut dupla D B, ad D B, cum B k; se quitur cylindrum L C, ad segmentum parabolicum ENO F, habere ration m compositam ex ratione D G, ad G B, & ex ratione duplae D B, ad D B, cum Bh. Sed ex dictis rationibus componitur quoquc ratio dupli rectanguli GDB, ad rectangulum CBDiscum rectangul0 GBk. Et viduplum re clangulum CDB, Ψd praedicta consequentia, sic tripilum rectansulum G DB, ad sexquialterum re elangulorum G BD, CBE. Ergo LC, erit ad segni ritum ' ENO F,,ut triplum rectangulum . GDB, ad sesquialterum rectangularum G B D; G B k . Quod seruetur. Ex proposit. i , & is, lib. 2. habemuS tam totum cylindrum L C, quam ablatum T F, esse illum ad frustum conicum APQ C, hunc vero ad frustum conicum ERS F, ut tripla Dd, ad DB, BR, &harum tertiam minorem continue proportionalem. Ergo & reliquum ad reliquum erit ut totum ad totum et nempe tubus cylindricus L E M, erit ad disse rentiam frustorum conorum, ut tripla Dd, ad DB, Bh, & illam tertiam proportionalem. Tunc argumentetur sic. Ratio cylindri L C, ad difforentiam segmentorum conorum componitur ex ratione L C,
ad tubum L E M, & huius ad differentiam segmen-
57쪽
torum conorum .' at L C, ad tubum est ut quadrarum A D, ad rectangulum AEC, nempe ex by pothesi supposita per conuersionem rationis , VP G D, ad DBr tubus auteon est ad disserentiam frustorum conorum ut tripla DB, ad DB, Bk, dcillam tertiam proportionalem. Ergo ratio LC, ad differentiam segmentorum Conorum Componetur quoque ex rationibus GD, ad DB, & triplae DB, ad D B, B X, S illam tertiam pro reionalem. Sed ex dictis rationibus componitur etiam ratio tripli
58쪽
DBh, & rectangulum sub DB, & sub illa tertia proportionali quod est aequale quadrato mediae
Bh). Ergo LC, eritae isserentiam frustorum conorum, ut triplum rectangulum G DB, ad quadrata Dd, Bh, cum rectangulo DB Κs nempe ad tria quadrata Bh, cum triplo re sta n gulo BED, & cum quadrato Dk , quia quadratum DB, diuiditur in quadrata Bh, ED,& in duo rectangula BED; &pariter rectangulum DBk, diuiditur in quadratum Bh, N: in rectangulum BikDin. Cum autem supra
reni aes frunorum conorum simul, nempe ad Dustum A H IC, ut triplum rectangulum G DB, ad triplum quadratum B k, cum triplo rectangulo v k D, cum quadrato ΚD, &cum sesquialteror ctangulorum G B D, G B E. Ergo & ut horum planorum tertiae partes: nempe L C, erit ad AHIC, ut rectangulum G DB, ad quadratum ΒΚ, cum rectangulo Bh D, S cum tertia parte quadrati Dh, una cum dimidio rectangulorum G BD, GBK. Cum vero dimidium rectanguli GB D, diuidatur
in dimidium G ΒΚ, & in dimidium G B, Κ D. Ergo dimidium rectangulorum C B D, G B Κ, erit
rectangulum G Bh, cum dimidio rectanguli GRADR Si ergo simul iunxerimus rectangulum G ΒΚ, cum quadrato B Κ, & cum rectangulo BKD, habe
59쪽
bimus rectangulum GD, B h. . Pariter si simul tu Xeriurus rectangulum sub dimidia G B, & sub D Meum tertia parte quadrati DK, nempe cum rectangulo sub D Κ, &sub tertia parte DL, habebimus rectangulum sub composita exdimidia GB, & ex tertia parte D , , &sub D X. Ergo a primo ad vitiamum concludemus, esse L C, ad frustum conoidis hyperbolici A HIC, ut rectangulum G DB, ad rectangulum CD, η cum rectangulo sub eomp sta ex dimidia Gη, & ex tertia parte D & sub DK. Quod eratostendendinn. fCH
60쪽
Proportionem praedicti cylindri ad ilIud segmentum hyperbolicum, etiam duobus alijs modis, con sequenter ad superius dicta, liceret colligere. Cum enim tale segmentum constet ex segmento coni sibi inscripto, & ex excessu supra ipsum I & cum talisex cessus sit aqualis excessui segmenti connidix pan,
bolici supra suum segmentum conicum ; &'irum ex dictis in ijs, quae de infinitis parabolis conscripsimus, facile liceat colligere rationem L C, & ad' mentum conicum APQ C, & ad excessum segmenti conoidis parabolici ENO P; supra segmentum. conicum E R S Fr sequitur Deiles etiam nos obtin re rationem LC, adfigmentum A HIC. Pariter si in schemat. proposite. ro .ctam segmtatos Α C , quam segmento excelsus frusti conici GN PH, supra cylindrum RM, mente concipi mus circumscribi cylindros; patet ex dictis in eadem Propositione, tubum cylindricum cuius basis armilla circularis GL H, altitudo OD, aequalem esse cylindro circumscripto segmento A M C. Pari-ἔerque patet excessiun frusti GN PH, supra cylindrum Rin aequalem esse segmento A QT C. Cum Argo ex dictis in opere supra citato, facilissime possimus habere rationem praedicti tubi ad illume
cessum supra cylindrum ; faciliter etiam habebimus yationem cylindri circumscripti segm ent hyperbo-llico