Miscellaneum hyperbolicum, et parabolicum. In quo praecipue agitur de centris grauitatis hyperbolae, partium eiusdem, atque nonnullorum solidorum, de quibus nunquam geometria locuta est. Parabola nouiter quadratur dupliciter. Ducuntur infinitarum par

171쪽

ad solidum positio.

172쪽

PROPOSITIO XXXIX.

Datis i dem, quae is antecedent: pro 'sitae te in primo schemate, datur centrum qu ib ura iulinea, quae est radius rotatiquis a SEd dentur eadem, quae supra in primo schemate. Dico dari in DC, quae est rc. ius rotationis, centrum aequilibrii scini figurae DBC. Cum enim ex anteced. proposit datis ijs, detur etiam ratio cylindri ad alterum solidorum. Ergo dabitur Gliam ratio solidorum ad inuicem , nempe dabitur ratio solidi ABC, ad selidum DBCHV. Sed ex proposit. . lib. s. solidum ad solidum est ut pars DC, terminata a D, &a centro aequilibrij figurae DBC, ad reliquam partem D C. Quare palpi propo

situm .

Ii secuVrisbemate datis i dem, data ratioue anuuti lati ex semifigura ad annulu rictum eiusdem, dabitur praedictum centrum.

SEd in secundo schemate , vltra data in antecedenti , detur etiam ratio annuli lati DBUZHR, ad annulum strictum ex eadem DBC, reuoluta circa FC. Dico dari eius centrum aequi'

libri j

173쪽

librii in D C. Nam eodem modo patebit, dari rationem solidi ABC, ad solidum DBCZHR. sed etiam datur ratio ex hypothesi, D B C Z H R, ad an hulum strictum ex DBC, circa CF. Ergo ex aequali, dabitur ratio ABC, solidi ad praedi.

ctum annulum strictum. Quare ex cit, proposit. 3. dabitur quoque in D C, centrum aequilibrij quaesitum. Quod&c.

Ex his tribus propostionibus posivinus M cdum ex sola quadratura infinitarum parabolam n inuenire rationem cylindrorum circumscriptor u ris infinitos fusos parabolicos; sed etiam centrum grauitati, infinitarum parabolarum. Nam cum in proposit. 4.

lib. q. & in scholijs eiusdem, ostensum sit in schema- ..te illius proposit. data qualibet sem l parabola RH E, cuius basis RE, diameter BE , quae reuoluatur cum sibi circumscripto parallelogrammo R B, cir ca BS: cylindrum I Κ, esse ad solidum ER BZk, ut parallelogranomum. R i, ad semiparabolam EI B, cuius bis siER, diameter EB, quae sit gradus dupli; gradus semiparabolae reuolutae circa S B; patet cx data quadratura infinitarum parabolarum , dari rationem cylindri R Κ, ad annuIum ERBI. E. Data hac ratione, dabitur etiam ex proposit. anteced. ratio cylindri R k, vel ei aequalis orti ex Ru, circa RE, ad solidum ex ERR circa RE

174쪽

RE; nempe ad semisusum parabolicum. His dati dabitur etiam ratio illorum solidorum ad invicem ἰ& Consequenter centrum sequi librij semiparabolae E R B, in E B ; & consequenter centrum grauitatis parabolae RBA, in diametro B E. Sed hic notetur, parabolas inseruientes inuentio ni centri grauitatis infinitarum parabolarum, non esse omnes, sed illas dumtaxat , quarum exponente sunt numeri pares; quia hae dumtaxat inseruiunt i

uentioni

175쪽

uentioni rationis infinitorum cylindrorum R Κ, ad

infinitos annulos ER BZk, ut luculenter explicatum fuit in admirabili scholio q. citat. propoli t. q. lib. Insuper cum in varijs propositionibus lib. prim. assignata fuerit ratio, quam habet quaelibet pars parallelogrammi A S, ad quamlibet partem parabolara n A, quam pars parallelogrammi includit,& cum incit. proposit. q. lib. q.& in eiusdem scholijs, assi gnata suerit ratio ex illa simplici analogia, quam habet quaelibet pars cylindri R C, ad quamlibet paristem annuli A RBZ C; v. g. ostensa sit ratio, quam habet cylindrus I Κ, ad partem annuli ex EIT B, circa VBs patet ex proposit. antecedentibus, necdum dari rationem cuiuslibet partis cylindri R C, v. g. I k, vel ei aequalis exili , circa I E, ad partem n si ex ITAE, circa IE: sed etiam dari in BE, vel in VI, centrum aequilibrij segmenti IT BE, vel grauitatis duplicati segmenti ad partes BE, vel IV. in proposit. autem 3. lib. q. patuit cylindrum T C, esse ad quodlibet conoides parabolicum AB cuius exponens sit numerus par, ut parallelogi amnium E C, ad parabolam ABC, cuius exponens sit subduplus exponentis conoidis. Quare, ut ibidem patuit, infinitae parabolae non inseruierunt inuentioni rationi infinitorum cylindrorum ad in si alta

conoidea, sed tantum ad ea , quorum exponentes sunt numeri parcs. Eliciemus ergo ex antecedent

176쪽

bus propositionibus , inseruire infinitas parabolas 1nuentioni rationi cylindrorum EC, v I eis etequalium factorii in ex ED, circa E A, ad annula ex A UU, circ' AE, quorum exponentes sint numeri pares. Pariter eliciemus nos ex his habere centrum aequilibrij in basi A D, semiparabolaium ABD, quarum exponentes sunt numeri pares, ct non omnium .

Patet ergo ex dictis, aliquod admirabile, &non minus eo, quod expositum fuit in proedicto schol a

Dronosit. q. lib. q. Hoc autem cst, quod insinita para- ruiunt tam iniicntioni centri grauitatis inccntra Dauitatis infinitarum

177쪽

as finitarum parabolarum in diametro,quam inuentioni centri aequilibris infinit*rum semiparabolarum in basi. At inuenimus centra grauitatis infinitarum parabolarum in diametro. non adhibendo infinita parabolas , sed illas tantum ι quarum exponentes sunt numeri pares. E coiitra vhrb adhibendo in fianitas parabolas, non inuenimus centra aequilibri, in basi infinitarum semiparabolarum, sed illarum tantum , quarum exponentes sunt numeri pares. Ex cit. autem proposit. s. lib. q. ex schol elusidem, possumus ex proposit. anteced. elicere rationem, quam habet cylindrus ex AM, circa EA, ad partem annuli ex APMD, circa E Α, cuius exponens sit numerus par. Et insuper centrum aequili-btu in AD, segmenti APMD, semiparabolae A B D , cuius exponens itidem sit numerus par. Haec autem facile patent ex dictis. Quot igitur solidorum manifestata sint centra grauitatis, potuit lector ex dictis cognoscere. Sed nolumus sub silentio relinquere aliqua, quae nobisscitu digna videntur . ,

PROPOSITIO XLI.

Si se per eadem basi, m circa eandem diametrum sint se mibyperbola, in semiparabola. Tota semib- perbola cadet intra semiparabolam.

Sint se mi hyperbola AEBD, & semiparabola A FB D, quarum eadem basis A D, eadcm.. V que

178쪽

que diameter BD . Dieo totam se mi hyperbolam cadere intra seir i parabolam. Sit G B, latus transuersum hyperbolae , & accepto in BD, arbitrarie puncto H, ordinatim applicetur H E F . in niam enim in hyperbola est ex primo conic. propos t. t t. vi quadratum E H, ad quadratum AD, sierectangulum GHB, ad rectangulum G DB: &in parabola est ex proposit. ao. eiusdem lib. quadratum AD, ad quadratum FH, ut DB, ad B H; nempe ut rectangulum G DB, ad rectanguli. .

179쪽

δε sub GD, in B Hi ergo ex aequali , erit quadratum ΕΗ, ad quadratum FH, ut rectangulum GHB, ad rectangulum sub GD, in B H. Sed rectangum tum G H B, minus est rectangulo sub G D, in B H. Ergo & quadratum E H, minus erit quadrato F H. Ergo& EH, minor erit FH. Punctum autem H, sumptum fuit arbitrarie. Ergo omnes lineae hypem holae minores erunt singulis lineis parabolae. Patet ergo propositum ia

Patet ergo,quod si ex pudictis figuris intelligantur genita conoidea hyperbolicum Ai BC, & parabolicum A F BC , concides hyperbolicum cadet

intra parabolicum..

PROPOSITIO XLII

SIm ergo ut in pso sit. anteced. cono ea fi perbolicum AE DC, & parabolicum AFBC. Dico centium grauitati excessus conoidis parabolici supra conrides hyperholicum escis utedio B D. In conoidib. D Inscribatur conus ABC. Cum ergo ex sibol. proposit. a. sit in medio BD, cenuum suilaxis inmutatus, nempe exceria comid S pa

180쪽

rabolici supra conum ABC, quam partis I, nempe exceruis conoidis hyperbolici supraeundem conum. Ergo 'resiquae partis, nempe incessus conoidis paraboliti se pra conoides hyperbolicum erit centrum gravitatis in medio B D. inod&c. . t

Sed cum in praesenti occurrerit modus alius compendiosus assignandi centrum gravitatis conoidis